9. Metrické prostory I 9.1. Základní pojmy Definice. Metrickým prostorem budeme rozumět dvojici (P, ϱ), kde P je množina bodů a ϱ : P P

9. Metrické prostory I 9.1. Základní pojmy Definice. Metrickým prostorem budeme rozumět dvojici (P, ϱ), kde P je množina bodů a ϱ : P P R splňuje (i) x, y P : ϱ(x, y) = x = y, Funkci ϱ nazýváme metrika. (ii) x, y P : ϱ(x, y) = ϱ(y, x), (symetrie) (iii) x, y, z P : ϱ(x, z) ϱ(x, y) + ϱ(y, z). ( -nerovnost) Příklady: 1) Euklidovská metrika na R n. Pro x, y R n definujeme ϱ e (x, y) = n (x i y i ) 2. 2) Maximová metrika na R n. Definujeme ϱ (x, y) = max...n x i y i. 3) Součtová metrika na R n. Definujeme ϱ 1 (x, y) = n x i y i. 4) Diskrétní metrika na libovolné množině P je definována jako ϱ(x, x) = pro všechna x P a ϱ(x, y) = 1 pro všechna x y. 5) Supremová metrika na C([, 1]) je definována ϱ(f, g) = sup x [,1] f(x) g(x). 6) Metrika na L 2 ([, 2π]) = {f : [, 2π] R : f(x) 2 dx < } je definována 2π ϱ(f, g) = f(x) g(x) 2 dx. 2π 7) Definujme prostor obrázků Obr = {x R 128 124 : x i [, 1]} s metrikou x y = ϱ e (x, y). Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor, x P, r >. Otevřenou koulí se středem x a poloměrem r nazveme B(x, r) := {y P : ϱ(x, y) < r}. Uzavřenou koulí se středem x a poloměrem r nazveme B(x, r) := {y P : ϱ(x, y) r}. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že množina G P je otevřená (v (P, ϱ)), jestliže pro každý bod x G existuje r >, že B(x, r) G. Řekneme, že množina F P je uzavřená (v (P, ϱ)), pokud je P \ F otevřená. Příklady: 1. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak B(x, r) je otevřená množina a B(x, r) je uzavřená množina. 2. Je [, 1] otevřená množina v R s diskrétní metrikou? Věta L 9.1 (vlastnosti otevřených množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak (i) a P jsou otevřené. (ii) Jsou-li G 1,..., G n otevřené, pak n G i je otevřená. (iii) Necht A je libovolná (i nekonečná) indexová množina. Jsou-li G α, α A otevřené, pak G α je otevřená. Věta L 9.2 (vlastnosti uzavřených množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak (i) a P jsou uzavřené. (ii) Jsou-li F 1,..., F n uzavřené, pak (iii) Jsou-li F α, α A uzavřené, pak Příklad: ( 1 i, 1 i ) = {} není otevřená v R. [ 1 i, 1 1 i ] = (, 1) není uzavřená v R. α A n F i je uzavřená. F α je uzavřená. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor, A P a x P. Řekneme, že x je vnitřním bodem množiny A, jestliže existuje r > tak, že B(x, r) A. Množinu všech vnitřních bodů A nazýváme vnitřkem A a značíme int A. α A Příklad: Co je vnitřek [, 1) v (R,. ), Q(, 1) v (R 2,. ) a Q v (R,. )? 1

2 Věta L 9.3 (charakterizace vnitřku). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Potom int A je největší (vzhledem k množinové inkluzi) otevřená množina obsažená v A. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor, M P a x P. množiny M, jestliže pro každé r > platí M B(x, r) a (P \ M) B(x, r). Množinu všech hraničních bodů M nazýváme hranicí M a značíme ji M. Uzávěr množiny M je definován jako M = M M. Příklad: Co je hranice a uzávěr [, 1) v (R,. ), Q(, 1) v (R 2,. ) a Q v (R,. )? Řekneme, že x je hraničním bodem Věta L 9.4 (uzávěr a uzavřené množiny). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Pak A je uzavřená v P A = A. Věta L 9.5 (vlastnosti uzávěru). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Potom platí (i) A B A B, (ii) necht A, pak A = {x P : ϱ(x, A) = }, (iii) A = A, tedy A je uzavřená množina. Začátek 2. ročníku 9.2. Konvergence a spojitá zobrazení v metrických prostorech Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a {x n } n=1 je posloupnost prvků P a x P. Řekneme, že {x n } n=1 konverguje k x (v (P, ϱ)), pokud lim n ϱ(x n, x) =. Značíme lim n x n = x, nebo x n ϱ x. Poznámka: Pro (R, ) je tento pojem konvergence shodný s dříve zavedeným. Věta L 9.6 (vlastnosti konvergence). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak platí (i) Necht pro posloupnost {x n } n=1 z P existuje n N a x P tak, že pro všechna n n platí x n = x. Pak lim x n = x. n (ii) lim x n = x a lim x n = y x = y. (Jednoznačnost limity) n n (iii) Necht {x nk } k=1 je vybraná posloupnost z {x n } n=1 a necht lim x n = x. Pak n lim x n k = x. k Definice. Necht (P, ϱ) a (Q, σ) jsou metrické prostory. Necht M P, f : M Q a x M. Řekneme, že f je spojitá v bodě x (vzhledem k M), jestliže ε > δ > x B ϱ (x, δ) M : f(x) B σ (f(x ), ε). Řekneme, že f je spojitá na M (vzhledem k M), jestliže je spojitá v každém bodě M (vzhledem k M). Necht pro každé δ > platí B ϱ (x, δ) M \ {x }. Řekneme, že f má v bodě x limitu (vzhledem k M) rovnou y Q, jestliže ε > δ > x B ϱ (x, δ) M \ {x } : f(x) B σ (y, ε). Poznámky: 1. Pojem konvergence a spojitosti v (R n,. ) je shodný s dříve zavedeným pojmem. 2. Definice spojitosti lze zapsat jako ε > δ > : f(b ϱ (x, δ)) B σ (f(x ), ε). Příklady (viz 2. semestr): 1. Necht h(x), g(y) jsou spojité z R do R. Pak f(x, y) = h(x) a f(x, y) = g(y) jsou spojité z R 2 do R. 2. Necht f 1 (x), f 2 (x) jsou spojité z R n do R. Pak f(x) = f 1 (x) f 2 (x) a f(x) = f 1 (x) + f 2 (x) jsou spojité z R n do R. Specielně například polynomy funkcí více proměnných jsou spojité funkce. Věta L 9.7 (charakterizace spojitosti). Necht (P, ϱ) a (Q, σ) jsou metrické prostory a f : P Q. Pak následující tvrzení jsou ekvivalentní: (i) f je spojitá na P, (ii) G Q otevřenou, je f 1 (G) otevřená, (iii) F Q uzavřenou, je f 1 (F ) uzavřená.

3 Příklady: 1. Množina {[x, y] R 2 : x 2 + y 2 < 1} je otevřená. 2. Množina {[x, y, z] R 3 : x + y + z, x 2 + y 2 + z 2 1} je uzavřená. Věta L 9.8 (spojitost složeného zobrazení). Necht (P, ϱ), (Q, σ) a (Z, τ) jsou metrické prostory. Necht f : P Q je spojité zobrazení a g : Q Z je spojité zobrazení. Pak g f : P Z je spojité zobrazení. Příklad: Funkce f(x, y) = x 2 + y 2 je spojitá z R 2 do R. Konec 1. přednášky 29.9. Věta L 9.9 (Heine). Necht (P, ϱ) a (Q, σ) jsou metrické prostory. Necht M P, x M a f : M Q. Pak je ekvivalentní: (i) lim f(x) = f(x ), neboli f je spojitá v x, x x, x M (ii) pro každou posloupnost {x n } n=1 splňující x n M a lim x n = x platí n lim f(x n) = f(x ). n Důsledek: Jako speciální případ dostáváme Heineho Větu 3.1 ze ZS. 9.3. Kompaktní množiny Věta L 9.1 (charakterizace uzavřených množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a F P. Pak F je uzavřená ( x n ϱ x a xn F x F ). Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P. Řekneme, že K je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti prvků K lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou v K. Příklady: 1. [, 1] je kompaktní v R. 2. [, 1) není kompaktní v R. 3. Konečná množina v (P, ϱ) je kompaktní. Věta L 9.11 (vlastnosti kompaktních množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P je kompaktní. Pak platí (i) K je uzavřená, (ii) Je-li F K uzavřená, pak je F kompaktní, (iii) K je omezená (tedy x P, r >, že K B(x, r)). Věta T 9.12 (charakterizace kompaktních množin R n ). Množina K R n je kompaktní, právě když je omezená a uzavřená. Příklady: 1. B(, 1) je kompaktní v R n. 2. B(, 1) není kompaktní v C([, 1]). Věta L 9.13 (nabývání extrémů na kompaktu). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P je kompaktní. Necht f : K R je spojitá. Pak f nabývá na K svého maxima i minima. Specielně je tedy f na K omezená. Konec 2. přednášky 3.9. Věta L 9.14 (spojitý obraz kompaktu). Necht (P, ϱ), (Q, τ) jsou metrické prostory a necht f : P Q je spojité zobrazení. Necht K P je kompaktní množina, pak f(k) Q je kompaktní množina. Definice. Necht (P, ϱ), (Q, τ) jsou metrické prostory, K P a f : K Q. Řekneme, že f je stejnoměrně spojitá na K, jestliže [ ] ε > δ > x, y K : ϱ(x, y) < δ τ(f(x), f(y)) < ε. Věta T 9.15 (o vztahu spojitosti a stejnoměrné spojitosti na metrickém prostoru). Necht (P, ϱ), (Q, τ) jsou metrické prostory, K P je kompaktní a necht f : K Q je spojité zobrazení. Pak f je stejnoměrné spojitá na K. 9.4. Úplné metrické prostory Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a {x n } n=1 je posloupnost bodů z P. splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku (případně, že je cauchyovská), jestliže platí ε > n N m, n N, m, n n : ϱ(x n, x m ) < ε. Řekneme, že x n

4 Poznámka: Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Definice. Řekneme, že metrický prostor (P, ϱ) je úplný, jestliže každá cauchyovská posloupnost bodů z P je konvergentní. Příklady: 1. (R,. ) je úplný (viz Věta 2.14). 2. ((, 1),. ) není úplný. 3. (Q,. ) není úplný. 4. (R n,. ) je úplný. Věta L 9.16 (vztah kompaktnosti a úplnosti). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a P je kompaktní. Pak P je úplný metrický prostor. Věta T 9.17 (úplnost a prostor spojitých funkcí). Metrický prostor C([, 1]) se supremovou metrikou je úplný. Příklad: Metrický prostor C([, 1]) s metrikou ϱ(f, g) = 1 f(x) g(x) dx není úplný. Konec 3. přednášky 6.1. Věta T 9.18 (Banachova věta o kontrakci). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor a T : P P je kontrakce, tedy γ [, 1) x, y P : ϱ(t (x), T (y)) γϱ(x, y). Pak existuje právě jedno x P tak, že T (x) = x. Aplikace: 1. Předchozí věta nám ukáže, že každá hezká diferenciální rovnice má řešení. 2. Fractal compression Věta L 9.19 (o převedení na integrální tvar). Necht I R je otevřený interval, x I, f : I R R spojitá a y : I R je spojitá. Pak y je řešení ODR právě tehdy, když y (x) = f(x, y(x)) na I splňující počáteční podmínku y(x ) = y x y(x) = y + f(s, y(s)) ds pro všechna x I. x Věta T 9.2 (Picard). Necht I R 2 je otevřený interval a [x, y ] I. Necht f : I R je spojitá a lokálně lipschitzovská vůči y. Pak existuje (x δ, x + δ) okolí x a funkce y(x) definovaná na (x δ, x + δ) tak, že y(x) splňuje ODR y (x) = f(x, y(x)) pro x (x δ, x + δ) s počáteční podmínkou y(x ) = y. Navíc y je jediné řešení na (x δ, x + δ). NA PROSEMINARI DEJ UDELAT ARZELA-ASCOLI A PEANO Konec 4. přednášky 7.1. 1. Funkce více proměnných 1.1. Úvodní definice a spojitost Většina definic zde je jen opakování již známého z LS, nebo z definic spojitých funkcí na metrickém prostoru. Definice. Necht M R n. Funkcí více reálných proměnných rozumíme zobrazení f : M R. Vektorovou funkcí více reálných proměnných rozumíme zobrazení f : M R m, kde m N. Definice. Vzdálenost dvou bodů x = [x 1, x 2,..., x n ], y = [y 1, y 2,..., y n ] R n je x y = n (x i y i ) 2. Necht c R n a r >. Otevřená koule se středem v c o poloměru r je množina B(c, r) := {x R n : x c < r}. Prstencová okolí c je definováno jako P (c, r) := B(c, r) \ {c}. Příklad: Trojúhelníková nerovnost. Pro libovolné x, y, z R n platí x z x y + y z.

Definice. Necht f : G R, kde G R n je otevřená. Řekneme, že f má v bodě a G limitu rovnou A R, jestliže platí ε > δ > x P (a, δ) : f(x) B(A, ε). Značíme lim x a f(x) = A. Řekneme, že funkce f je bodě a G spojitá, jestliže lim x a f(x) = f(a). Limitu (a spojitost) vektorové funkce f = [f 1, f 2,..., f m ] : G R m definujeme po složkách. Tedy lim f(x) = [ lim f 1(x), lim f 2 (x),..., lim f m (x)]. x a x a x a x a Zřejmě platí aritmetika limit, věta o dvou policajtech i věta o spojitosti složené funkce (viz Věta 9.8), a proto je budeme používat na cvičení. Příklad: Funkce je spojitá na R 2. f(x, y) = { xy x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] Definice. Mějme posloupnost bodů x j R n pro j N. Řekneme, že limita posloupnosti x j je rovna a R n, pokud ε > j N j j : x j a < ε. Poznámka: Konvergence posloupnosti bodů x j = [(x j ) 1, (x j ) 2,..., (x j ) n ] R n pro j N je ekvivalentní konvergenci po složkách, tedy lim x j = [ lim (x j) 1, lim (x j) 2,..., lim (x ] j) n. j j j j Příklad: lim j [ 1 j, 3j2 +1 j 2 +j ] = [, 3]. Následující věta lze dokázat analogicky důkazu Věty 9.9. Věta BD 1.1 (Heine). Necht G R n, a G, A R a f : G R. Pak je ekvivalentní: Příklad: Funkce (i) lim x a f(x) = A, (ii) pro každou posloupnost {x j } j=1 splňující x j G \ {a} a f(x, y) = lim x j = a platí j { xy x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] lim f(x j) = A. j není spojitá v bodě [, ]. 1.2. Parciální derivace a totální diferenciál Definice. Necht G R n je otevřená, i {1,..., n}, f : G R a x G. Parciální derivací funkce f v bodě x podle i-té proměnné nazveme f f(x 1,..., x i + t,..., x n ) f(x 1,..., x i,..., x n ) f(x + te i ) f(x) (x) = lim = lim, t t t t pokud limita existuje. Příklad: Spočtěte parciální derivace funce f(x, y) = xe x2 +y 2 na R 2. Definice. Necht M R n, f : M R a x M. Řekneme, že f nabýva v bodě x svého minima (lokálního minima) vzhledem k M, pokud pro všechna x M platí f(x) f(x ) ( existuje δ >, že pro všechna x M B(x, δ) platí f(x) f(x ) ). Analogicky definujeme maximum (lokální maximum). Konec 5. přednášky 13.1. Věta L 1.2 (nutná podmínka existence extrému). Necht G R n je otevřená, i {1,..., n}, a G f a f : G R. Má-li f v bodě a lokální minimum (maximum) a existuje-li (a), pak f (a) =. 5

6 Příklady: 1. Nalezněte maximum a minimum funkce f(x, y) = x 2 xy + y 2 na množině M := {[x, y] R 2 : x 2 + y 2 1}. 2. Metoda nejmenších čtverců (Lineární regrese): Mějme zadány body [x i, y i ] R 2, i = 1,..., n. Chceme nalézt a, b R, abychom měli co nejmenší n ( yi (ax i + b) ) 2. Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R, x G a v R n. Derivací funkce f v bodě x G ve směru v nazveme f f(x + tv) f(x) (x) = lim, v t t pokud limita existuje. Příklady: 1. Z existence f (x) neplyne existence f v (x). Stačí mít f(x, y) = 1 na osách a jinde. 2. Z existence všech f (x) neplyne spojitost v x. Položme f = 1 na {[x, y] : x, y = x 2 } a jinde. Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R a a G. Řekneme, že lineární zobrazení L : R n R je totální diferenciál funkce f v bodě a, jestliže f(a + h) f(a) L(h) lim =. h h Značíme Df(a) a hodnotu v bodě h R n značíme Df(a)(h). Poznámka: 1. Lineární zobrazení L : R n R lze reprezentovat jako L(h) = A 1 h 1 + A 2 h 2 +... + A n h n. f(x) f(a) L(x a) 2. Ekvivalentně lze definovat jako lim x a x a =. 3. Geometricky význam je, že lineární funkce f(a) + L(x a) je velmi blízko původní funkce f(x) f(a) + L(x a). Věta L 1.3 (o tvaru totálního diferenciálu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht existuje totální diferenciál f v bodě a, pak existují parciální derivace f (a) a pro všechna h R n platí Df(a)(h) = f (a)h 1 +... + f (a)h n. x 1 x n Navíc pro v R n platí Konec 6. přednášky 14.1. Příklady: 1. Funkce nemá totální diferenciál v [, ]. 2. Funkce má totální diferenciál v [, ]. f(x, y) = g(x, y) = f (a) = Df(a)(v). v { x 2 y x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] { x 2 y 2 x 2 +y 2 pro [x, y] [, ] pro [x, y] = [, ] Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R a a G. Necht f má v bodě a totální diferenciál. Pak definujeme gradient funkce f v bodě a jako vektor [ f f(a) = (a), f (a),..., f ] (a). x 1 Můžeme tedy psát Df(a)(h) = f(a), h. Věta L 1.4 (geometrický význam gradientu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht existuje totální diferenciál f v bodě a, pak max{ f (a) : v = 1} = f(a). v Poznámka: 1) Necht existuje totální diferenciál f v a. Pak Df(a)(h) = f(a), h f(a) h. 2) metoda největšího spádu.

7 Věta L 1.5 (o vztahu spojitosti a totálního diferenciálu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht existuje totální diferenciál f v bodě a, pak je f v bodě a spojitá. Věta T 1.6 (postačující podmínka pro existenci totálního diferenciálu). Necht G R n je otevřená, a G a f : G R. Necht f má v bodě a R n spojité parciální derivace, tedy funkce jsou spojité v a. Pak Df(a) existuje. x f x j (x), j = 1,..., n Věta L 1.7 (o aritmetice totálního diferenciálu - důkaz jen (iii)). Necht a R n, f, g : R n R a Df(a), Dg(a) existují. Pak existují i D(f + g)(a), D(cf)(a) (c R), D(fg)(a), a pokud g(a) pak i D(f/g)(a) a platí (i) D(f + g)(a) = Df(a) + Dg(a), (ii) D(cf)(a) = cd(f)(a), (iii) D(fg)(a) = f(a)dg(a) + Df(a)g(a), (iv) D(f/g)(a) = Df(a)g(a) f(a)dg(a) g(a) 2. Definice. Necht G R n je otevřená, f : G R k a a G. Řekneme, že lineární zobrazení L : R n R k je derivací funkce f v bodě a, jestliže f(a + h) f(a) L(h) lim =. h h Značíme Df(a) a hodnotu v bodě h R n značíme Df(a)(h). Poznámka: Necht L : R n R k je lineární zobrazení. Potom existuje právě jedna n k matice A tak, že L(h) = Ah. Konec 7. přednášky 2.1. Věta L 1.8 (reprezentace derivace maticí). Necht G R n je otevřená a f = [f 1, f 2,..., f k ] : G R k má derivaci v bodě a G. Pak Df(a) je reprezentováno maticí f 1(a) f x 1... 1(a) x n...... f k (a) x 1... f k (a) x n Poznámky: 1. Má-li f derivaci v a, pak f je v okolí a velmi blízko lineární funkci f(a)+df(a)(x a). 2. Matice Df(a) se nazývá Jakobiho matice. Pokud k = n tak se determinant této matice nazývá Jakobián a značí se J f (a). 3. Derivace Df(a) existuje právě tehdy, když existují totální diferenciály Df 1 (a),..., Df k (a). 4. Z 3. bodu a Věty 1.6 dostáváme, že jsou-li všechny parciální derivace f spojité v bodě a, pak existuje derivace Df(a). Poznámka: Necht L = Ah : R n R k je lineární zobrazení reprezentované maticí A. Pak existuje C > tak, že Ah C h. Lemma Necht f : R n R k má derivaci v bodě a R n. Pak existuje δ > a C R tak, že f(a + h) f(a) C h pro všechna h B(, δ ). Věta T 1.9 (derivace složeného zobrazení). Necht f : R n R k, g : R k R s, f má derivaci v a R n a g má derivaci v b = f(a) R k. Pak existuje derivace Dg f(a) a platí Dg f(a) = Dg(b) Df(a) = Dg(f(a)) Df(a). Příklad: Necht F = (F 1, F 2 ) : R 2 R 2 je zobrazení definováné {[(x 2 + y 2 )(e x x 1), 2 x F (x, y) = 2 +y ] pro [x, y] [, ], 2 [, ] pro [x, y] [, ], a G : R 2 R 3 je zobrazení definované G(s, t) = [st, s 2, t 2 ]. Spočtěte D(G F )(1, ).

8 Věta L 1.1 (řetízkové pravidlo). Necht f : R n R k má derivaci v a R n a g : R k R má totální diferenciál v bodě b = f(a) = [f 1 (a),..., f k (a)]. Pak funkce má totální diferenciál v a a platí Konec 8. přednášky 14.1. h(x) = g(f 1 (x),..., f k (x)) h (a) = k j=1 g y j (b) f j (a). Věta L 1.11 (o přírůstku funkce). Necht G R n je otevřená a f : G R má totální diferenciál v každém bodě G. Necht a, b G a necht úsečka L spojující a, b je obsažena v G, tj. L = {(1 t)a + tb : t [, 1]} G. Pak existuje ξ L takové, že f(b) f(a) = Df(ξ)(b a). 1.3. Parciální derivace vyšších řádů Definice. Necht f má na otevřené množině G R n parciální derivaci definujeme pro a G a j {1,..., n} druhou parciální derivaci 2 f (a) = ( f ) (a) pro i j a 2 f (a) = x j x j Analogicky definujeme parciální derivace vyšších řádů. Přiklad: Spočtěte všechny derivace až do řadu 3 od f(x, y) = x 2 e x+y. x 2 i f, i {1,..., n}. ( f ) (a). Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R. Řekneme, že f C1 (G), pokud existují parciální derivace f, i = 1,..., n, na G a jsou to spojité funkce na G. Řekneme, že f Ck (G), k N, pokud existují všechny parciální derivace f až do řadu k včetně a jsou to spojité funkce na G. Důsledek: Necht G R n je otevřená. Z Věty 1.6 dostáváme, že je-li f C 1 (G), pak existuje totální diferenciál f ve všech bodech G. Věta T 1.12 (záměnnost parciálních derivací). Necht G R n je otevřená, a G a f C 2 (G, R). Pak 2 f (a) = 2 f (a). x j x j Příklad: Necht Pak f(x, y) = { xy(x 2 y 2 ) x 2 +y 2 pro [x, y] [, ], pro [x, y] = [, ]. 2 f x y (, ) 2 f (, ). y x Definice. Necht G R n je otevřená a a G. Necht f C 2 (G). Definujeme Hessovu matici f jako 2 f (a)... 2 f x 2 1 x 1 x n (a) D 2 f(a) =...... 2 f x n x 1 (a)... 2 f x (a) 2 n Podle předchozí věty je tato matice symetrická, a proto můžeme pracovat s následující kvadratickou formou D 2 f(a)(u, v) = u T D 2 f(a)v pro každé u, v R n. Definice. Necht G R n je otevřená a a G. Necht f C 2 (G). Pak definujeme Taylorův polynom f druhého řádu jako T f,a 2 (x) := f(a) + Df(a)(x a) + 1 2 D2 f(a)(x a, x a). Věta L 1.13 (Taylorova věta pro druhý řád - bez důkazu). Necht f : R n R je třídy C 2 na nějakém okolí bodu a R n. Pak f(x) T f,a 2 (x) lim x a x a 2 =. Poznámka: Lze definovat i Taylorovy polynomy řádu k pomocí k-tých parciálních derivací a pro f C k dobře aproximují f. Pak

9 Věta L 1.14 (o pozitivně definitní kvadratické formě). Necht Q : R n R je pozitivně definitní kvadratická forma. Potom ε > h R n : Q(h, h) ε h 2. Věta T 1.15 (postačující podmínky pro lokální extrém). Necht G R n je otevřená množina, a G a necht f C 2 (G). Necht Df(a) = (tedy a je bod podezřelý na lokální extrém). (i) Je-li D 2 f(a) pozitivně definitní, pak a je bod lokálního minima. (ii) Je-li D 2 f(a) negativně definitní, pak a je bod lokálního maxima. (iii) Je-li D 2 f(a) indefinitní, pak v a není extrém. Příklad: Nalezněte lokální extrémy funkce f(x, y) = x 4 + y 4 x 2 2xy y 2 na R 2. 1.4. Implicitní funkce a vázané extrémy Věta T 1.16 (o implicitní funkci). Necht p N, G R n+1 je otevřená množina, F : G R, x R n, ỹ R, ( x, ỹ) G a necht platí: (i) F C p (G), (ii) F ( x, ỹ) =, (iii) F ( x, ỹ). y Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R bodu ỹ tak, že pro každé x U existuje právě jedno y V s vlastností F (x, y) =. Píšeme-li y = ϕ(x), pak ϕ C p (U) a platí Příklad: Necht F ϕ x (x) = j (x, ϕ(x)) pro všechna x U a j = 1,..., n. x F j y (x, ϕ(x)) M := { [x, y] R 2 : x 3 + y 3 2xy = }. Ukažte, že na jistém okolí [1, 1] lze M napsat jako graf ϕ(x). Spočtěte ϕ (1) a ϕ (1). Poznámka: Navíc platí, že je-li F C k, pak ϕ C k a derivace ϕ lze spočítat derivováním vztahu F (x, ϕ(x)) =. Konec 3. přednášky Věta T 1.17 (o implicitních funkcích). Necht n, m N, p N, G R n+m je otevřená množina, F j : G R, j = 1,..., m, x R n, ỹ R m, ( x, ỹ) G a necht platí: (i) F j C p (G) pro j = 1,..., m, (ii) F j ( x, ỹ) =, tedy F j ( x 1,..., x n, ỹ 1,..., ỹ m ) = pro j = 1,..., m, (iii) determinant m m matice parciálních derivací F j je nenulový, tedy F 1 F y 1 ( x, ỹ)... 1 y m ( x, ỹ)...... F m F y 1 ( x, ỹ)... m y m ( x, ỹ) Pak existuje okolí U R n bodu x a okolí V R m bodu ỹ tak, že pro každé x U existuje právě jedno y V s vlastností F j (x, y) = pro každé j = 1,..., m. Píšeme-li y j = ϕ j (x), pak ϕ j C p (U) pro j = 1..., m. Příklad: Dokažte, že existují funkce z(x, y), t(x, y), které jsou třídy C 2 na nějakém okolí bodu [1, 1] splňující z(1, 1) = 2, t(1, 1) = a Spočtěte druhé derivace z a t. x 2 + y 2 1 2 z2 t 3 =, x + y + z t 2 =. Věta T 1.18 (Lagrangeova věta o vázaných extrémech). Necht G R n m < n,f, g 1,..., g m C 1 (G) a mějme množinu je otevřená množina, M = { z R n : g 1 (z) =... = g s (z) = }.

1 Je-li a M bodem lokálního extrému f vzhledem k M a vektory ( g1 g 1 (a), (a),..., g ) 1 (a) z 1 z 2 z n ( gm z 1 (a),. g m (a),..., g ) m (a) z 2 z n jsou lineárně nezávislé, pak existují čísla λ 1,..., λ m tak, že neboli Df(a) + λ 1 Dg 1 (a) +... + λ m Dg m (a) = f z 1 (a) + λ 1 g 1 z 1 (a)+... + λ m g m z 1 (a) =,. f z n (a) + λ 1 g 1 z n (a)+... + λ m g m z n (a) =. Přiklad: 1. f(x, y) = x 2 + y 2 xy na M := {x 2 + y 2 1}. 2. Sněhulák. Poznámka: Předchozí věta nám říká, že pokud extrém existuje, tak ho umíme najít z nějaké rovnice. Věta ale nezaručuje existenci extrému! Připomeň: 1. Necht K R n. Pak K je kompaktní K je omezená a uzavřená. 2. Necht K R n je kompaktní a f : K R je spojitá. Pak f nabývá na K svého maxima a minima. 3. Necht G R n je otevřená, f : G R má v a G extrém a existuje parciální derivace f (a). Pak f (a) =. 1.5. Regulární zobrazení Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R n. Řekneme, že f je difeomorfismus na G, jestliže je f prostá na G, U = f(g) je otevřená množina v R n, f C 1 (G) a f 1 C 1 (U). Věta T 1.19 (o lokálním difeomorfismu). Necht G R n je otevřená a f : G R n je třídy C 1. Necht pro a G platí J f (a). Pak existuje U G okolí a takové, že f U je difeomorfismus na U. Definice. Necht G R n je otevřená a f : G R n. Řekneme, že f je regulární zobrazení, jestliže f C 1 (G) a pro každé a G platí J f (a). 11. Metrické prostory II 11.1. Více o kompaktních a úplných prostorech Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a K P. Řekneme, že K je kompaktní, jestliže z každé posloupnosti prvků K lze vybrat konvergentní podposloupnost s limitou v K. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Necht ε > a H P. Řekneme, že H je ε-sít prostoru P, pokud P B(x, ε). x H Řekneme, že P je totálně omezený, pokud pro každé ε > existuje konečná ε-sít prostoru P. Příklady: 1. ([, 1],. ) a ((, 1),. ) jsou totálně omezené. 2. ([, 1] 2,. ) je totálně omezená. Věta L 11.1 (omezenost a totální omezenost). Necht (P, ϱ) je totálně omezený metrický prostor. Potom je P omezený. Konec 13. přednášky Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. kompaktní množina v (P, ϱ). Řekneme, že P je kompaktní metrický prostor, je-li P Věta L 11.2 (kompaktnost a totální omezenost). Necht (P, ϱ) je kompaktní metrický prostor. Potom je P totálně omezený.

11 Věta T 11.3 (kompaktnost a otevřené pokrytí). Metrický prostor (P, ϱ) je kompaktní právě tehdy, když z každého otevřeného pokrytí lze vybrat konečné podpokrytí. Tedy platí P G α pro libovolnou indexovou množinu A, G α otevřené α A existuje konečná A A tak, že P α A G α. Důsledek (Borel): Necht a, b R, a < b, a {I α } α A je systém otevřených intervalů. Pak [a, b] I α existuje konečná A A tak, že [a, b] I α. α A α A Důsledek: Lokálně stejnoměrnou konvergenci f n loc f na (a, b) můžeme ekvivaletně definovat jako x (a, b) r > tak, že f n f na [x r, x + r]. Důsledek: Každá spojitá funkce na [a, b] je stejnoměrně spojitá. Konec 14. přednášky Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor a {x n } n=1 je posloupnost bodů z P. splňuje Bolzano-Cauchyovu podmínku (případně, že je cauchyovská), jestliže platí ε > n N m, n N, m, n n : ϱ(x n, x m ) < ε. Poznámka: Každá konvergentní posloupnost je cauchyovská. Řekneme, že x n Definice. Řekneme, že metrický prostor (P, ϱ) je úplný, jestliže každá cauchyovská posloupnost bodů z P je konvergentní. Příklad: Metrický prostor l 2 := { {a n } n=1 : a n R, n=1 a2 n < } s metrikou ϱ({a n } n=1, {b n } n=1) = (a n b n ) 2 je úplný. Věta L 11.4 (Cantorova věta o vnořených množinách). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor a F n je posloupnost neprázdných uzavřených množin v P takových, že F n+1 F n a lim n diam F n =. Pak n=1 F n je jednobodová množina. Dotazy: Platí tato věta bez předpokladu a) úplnosti P, b) uzavřenosti F n, c) podmínky lim n diam F n =? Věta T 11.5 (o totální omezenosti a úplnosti). Metrický prostor (P, ϱ) je kompaktní právě tehdy, když je totálně omezený a úplný. Věta L 11.6 (o zúplnění metrického prostoru). Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Pak existuje úplný metrický prostor ( P, ϱ) tak, že P P a pro všechna x, y P platí ϱ(x, y) = ϱ(x, y). Konec 15. přednášky n=1 11.2. Husté a řídké množiny Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je hustá, pokud A = P. Příklady: 1) Q je hustá v R. 2) Q 2 je hustá v R 2. 3) polynomy jsou husté v C([, 1]). 4) Může být průnik dvou hustých množin prázdná množina? Věta L 11.7 (charakterizace hustých množin). Necht (P, ϱ) je metrický prostor a A P. Potom je A P je hustá právě tehdy, když pro každou otevřenou neprázdnou množinu G P platí G A. Důsledek: Necht G 1, G 2 P jsou otevřené a husté v (P, ϱ). Pak G 1 G 2 je otevřená a hustá v P. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je řídká, jestliže P \ A je hustá. Příklady: 1) N je řídká v R. 2) Q není řídká v R. 3) R {} je řídká v R 2 4) Cantorovo diskontinuum je řídké v [, 1].

12 Věta L 11.8 (vlastnosti řídkých množin). Nech (P, ϱ) je metrický prostor a necht A, B P. Potom (a) Je-li A řídká v P a B A, pak je také B řídká v P, (b) Jsou-li A a B řídké v P, pak A B je řídká v P (c) A je řídká v P právě tehdy, když A je řídká v P. Definice. Necht (P, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A P je 1. kategorie, jestliže existují řídké množiny A n tak, že A = n=1 A n. Řekneme, že C P je 2. kategorie, jestliže C není první kategorie v P. Příklady: 1) Q je 1. kategorie v R. 2) Q R je 1. kategorie v R 2. 3) R \ Q je 2. kategorie v R. Konec 16. přednášky Věta T 11.9 (Baire). Necht (P, ϱ) je úplný metrický prostor. Necht G n, n N, jsou otevřené a husté v (P, ϱ). Pak n=1 G n je hustá v (P, ϱ). Důsledek: Úplný metrický prostore není první kategorie sám v sobě. Příklad: Existují A N = [, 1] tak, že A je 1. kategorie a N má nulovou míru? Věta T 11.1 (o nediferencovatelné funkci). Existuje spojitá funkce f : [, 1] R, která nemá derivaci v žádném bodě z (, 1). 11.3. Prostory L p Věta L 11.11 (Jensenova nerovnost). Necht (, A, µ) je pravděpodobnostní prostor, f L 1 (µ), a, b [, ] a f : (a, b). Je-li ϕ : (a, b) R konvexní funkce, pak ( ) ϕ f dµ (ϕ f) dµ. Příklad: Důkaz AG nerovnosti. Definice. Necht 1 < p <, pak číslo q splňující 1 p + 1 q = 1 nazveme sdružený exponent. Pro p = 1 definujeme q = a pro p = definujeme q = 1. Věta T 11.12 (Hölderova a Minkovského nerovnost). Necht (, A, µ) je prostor s mírou, 1 < p <, q je sdružený exponent k p a f, g : [, ] jsou měřitelné funkce. Potom platí Hölderova nerovnost ( ) 1 ( ) 1 fg dµ f p p dµ g q q dµ a Minkowského nerovnost ( Konec 14. přednášky (f + g) p dµ ) 1 p ( ) 1 ( f p p dµ + g p dµ Definice. Necht (, A, µ) je prostor s mírou a 1 p <. Definujeme prostor L p jako kde L p (, µ) := {f : R : f L p < }, ( f L p = f p dµ Definice. Necht g : [, ] je měřitelná. Esenciální supremum g definujeme jako Prostor L (, µ) definujeme jako ) 1 p esssup g := inf { α : µ(g > α) = }.. ) 1 p L (, µ) := {f : R : f L := esssup f < }. Věta L 11.13 (Trojúhelníková nerovnost v L p ). Necht 1 p. Pak pro f, g L p (, µ) platí f + g L p f L p + g L p. Poznámka: Víme, že L p je lineární vektorový prostor (f, g L p a α R, pak f + g L p a αf L p ). Místo funkcí z L p budeme uvažovat třídy ekvivalence vzhledem k rovnosti skoro všude. Na tomto prostoru (na třídách ekvivalence) je f L p norma. Takto chápaný L p je metrický prostor s metrikou ϱ(f, g) = f g L p..

13 Věta T 11.14 (Úplnost Lp prostorů). Necht 1 p. Pak prostor L p (, µ) je úplný. Poznámka: Z důkazu předchozí věty plyne, že pokud f k k v L p, 1 p <, pak existuje podposloupnost f kj tak, že f kj (x) f(x) pro skoro všechna x. 11.4. Námět na proseminář - Důkaz Peanovy věty Věta T 11.15 (Arzela-Ascoli). Necht A C([, 1]). Pak A je kompaktní právě tehdy, když jsou funkce z A stejně omezené a stejně stejnoměrně spojité. Tedy pokud existuje K > tak, že a f A, x [, 1] : f(x) K ε >, δ >, x, y [, 1], f A : x y < δ f(x) f(y) < ε. Poznámka: Platí i obrácená implikace. Necht A C([, 1]) splňuje, že A je kompaktní. Pak A je stejně omezená a stejně stejnoměrně spojitá. Konec 25. přednášky Věta T 11.16 (Peano). Necht Ω R 2 je otevřená, f : Ω R je spojitá a (x, y ) Ω. Pak existuje U(x ) okolí x a funkce y(x) definovaná na U(x ) tak, že y(x) splňuje ODR a počáteční podmínku y(x ) = y. y (x) = f(x, y(x)) x U(x ) 12. Hilbertovy prostory MISTO HILBERTAKU LZE DELAT METRICKE PROSTORY 3, AT JE VSE U SEBE - UVIDIME, KOLIK BUDE CASU. Poznámka: Většina vět této sekce i s důkazy se dá najít v knize W. Rudin: Analýza v reálném a komplexním oboru. 12.1. Základní definice Definice. Necht H je reálný vektorový prostor. Řekneme, že H je prostor se skalárním součinem, jestliže existuje zobrazení, : H 2 R takové, že (i) x, y = y, x pro všechna x, y H, (ii) x + y, z = x, z + y, z pro všechna x, y, z H, (iii) αx, y = α x, y pro všechna x, y H a α R, (iv) x, x pro všechna x, y H, (v) x, x = jenom tehdy, když x =. Definujme x = x, x. Řekneme, že prvek x H je ortogonální k y H, pokud x, y =. Věta L 12.1 (Schwarzova nerovnost). Pro každé x, y H platí x, y x y. Věta L 12.2 (trojúhelníková nerovnost). Pro každé x, y H platí x + y x + y. Specielně (H, ) tvoří metrický prostor (ϱ(x, y) = x y ). Definice. Necht H prostor se skalárním součinem. metrický prostor (H, ) úplný. Příklady: (1) (R n, ϱ e ) je Hilbertův prostor (2) l 2 := { {a n } n=1 : a n R, n=1 a2 n < } se skalárním součinem {a n } n=1, {b n } n=1 = a n b n Řekneme, že H je Hilbertův prostor, pokud je je Hilbertův prostor. (3) L 2 (, 1) := {f : (, 1) R : (L) 1 f(x) 2 dx < } se skalárním součinem je Hilbertův prostor. Konec 5. přednášky f(x), g(x) = 1 n=1 f(x)g(x) dx

14 Věta L 12.3 (spojitost skalárního součinu). Necht H je Hilbertův prostor, potom jsou zobrazení x x, y, x y, x, x x spojitá na H. Definice. Necht H je Hilbertův prostor a E H. Řekneme, že E je konvexní, jestliže pro všechna x, y E a t [, 1] platí tx + (1 t)y E. Věta L 12.4 (o existenci prvku z nejmenší normou). Necht H je Hilbertův prostor a E H je konvexní a uzavřená. Potom existuje právě jeden prvek v E s nejmenší normou. Definice. Necht M H je lineární podprostor Hilbertova prostoru H. podprostor M = {y H : x, y = pro všechna x M}. Definujeme ortogonální Věta T 12.5 (o projekci na podprostor). Necht M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H. (i) Každý prvek x H má jednoznačný rozklad x = P (x) + Q(x) tak, že P (x) M a Q(x) M. (ii) P (x) je bod z M nejbližší k x, Q(x) je bod z M nejbližší k x. (iii) Zobrazení P : H M a Q : H M jsou lineární. (iv) x 2 = P (x) 2 + Q(x) 2. Důsledek: Necht M je uzavřený podprostor Hilbertova prostoru H a M H. Pak existuje y M, y. Příklad: Metoda nejmenších čtverců. Konec 6. přednášky Příklad: 1) Necht M je konečnědimenzionální podprostor Hilbertova prostoru H. Pak M je uzavřený. 2) Spojité funkce C([, 1]) tvoří lineární podprostor L 2 (, 1), který není uzavřený. 3) A = { (q 1, q 2,..., q k,,,...) : k N, q i Q pro i = 1,..., k } je lineární podprostor l 2, který není uzavřený. Věta L 12.6 (o reprezentaci lineárního funkcionálu). Necht H je Hilbertův prostor L : H R je spojité lineární zobrazení. Pak existuje právě jedno y H tak, že L(x) = x, y. 12.2. Rozklad do Schauderovy báze Definice. Necht H je Hilbertův prostor a A je indexová množina. α A, se nazývá ortogonální, pokud u α, u β = pro všechna α, β A. Množina prvků u α H, kde Ortogonální množina {u α } α A se nazývá ortonormální, pokud navíc u α = 1 pro všechna α A. Jestliže {u α } α A je ortonormální množina, pak pro každé x H definujeme Fourierovy koeficienty x vzhledem k u α jako ˆx(α) = x, u α. Věta L 12.7 (o konečné ortonormální množině). Necht H je Hilbertův prostor, {u α } α A je ortonormální množina a F A je konečná množina. Označme M F lineární obal {u α : α F }. (i) Necht ϕ : A R je mimo F. Pro vektor y = α F ϕ(α)u α platí ŷ(α) = ϕ(α) pro každé α A a y 2 = α F ϕ(α) 2. (ii) Je-li x H a s F (x) = ˆx(α)u α, pak s F (x) = P (x), kde P je projekce na M F. α F Navíc platí ˆx(α) 2 x 2. α F Definice. Necht (, ϱ) je metrický prostor. Řekneme, že A je hustá, pokud A =. Příklady: 1) Q je hustá v R. 2) Q 2 je hustá v R 2. 3) A = { (q 1, q 2,..., q k,,,...) : k N, q i Q pro i = 1,..., k } je hustá v l 2. 4) Jsou spojité funkce C([, 1]) husté v L 2 (, 1)? Konec 7. přednášky

15 Lemma 12.8. Necht, Y jsou metrické prostory, je úplný a f : Y je spojité. Necht je hustá podmnožina, na které je f izometrie, a necht f( ) je hustá podmnožina Y. Potom f je izometrie na Y. Věta L 12.9 (Riesz-Fischerova věta). Necht H je Hilbertův prostor a {u i } je ortonormální množina. Necht P je prostor všech konečných lineárních kombinací vektorů u i. Potom pro každé x H platí nerovnost ˆx i 2 x 2. Zobrazení x ˆx je spojité lineární zobrazení H na l 2, jehož restrikce na uzávěr P je izometrie P na l 2. Důsledek: L 2 (, 1) je izometricky izomorfní l 2. Definice. Necht H je Hilbertův prostor a h i H, i N. Řekneme, že řada h i konverguje k s H, pokud n lim s h i =. n Věta T 12.1 (o maximální ortonormální množině). Necht H je Hilbertův prostor a {u i } je ortonormální množina. Následující podmínky jsou ekvivalentní: (i) {u i } je maximální ortonormální množina v H. (ii) Množina P všech konečných lineárních kombinací prvků z {u i } je hustá v H. (iii) Pro každé x H platí x 2 = ˆx i 2. (iv) Je-li x, y H, potom x, y = (v) Pro každé x H platí x = ˆx i ŷ i. ˆx i u i. Poznámka: Analogie této věty platí i pro Hilbertův prostor s nespočetnou bází. Jen je potřeba správně zadefinovat výrazy jako α A ˆx(α) 2 a α A ˆx(α) u α. Konec 8. přednášky Definice. Necht f L 2 (, 2π). Potom čísla a k = 1 π b k = 1 π 12.3. Trigonometrické řady 2π 2π f(x) cos(kx) dx pro k N a f(x) sin(kx) dx pro k N. nazýváme Fourierovy koeficienty funkce f. Trigonometrickou řadu nazýváme Fourierovou řadou funkce f. F f (x) = a 2 + (a k cos kx + b k sin kx) Věta L 12.11 (o ortogonalitě trigonometrických funkcí). Necht n, m N, pak { 2π pro m n sin(nx) sin(mx) dx = π pro m = n 2π k=1 cos(nx) cos(mx) dx = 2π { pro m n π pro m = n sin(nx) cos(mx) dx =.

16 Věta T 12.12 (o maximalitě trigonometrických funkcí). Systém trigonometrických funkcí { 1 } { 1 } 1 π sin(nx), π cos(nx) a n=1 n=1 2π tvoří maximální ortonormální množinu v L 2 (, 2π). Tedy jediné f L 2 (, 2π) takové, že 2π je identicky nulová funkce. f(x) sin(nx) dx = n N a 2π f(x) cos(nx) dx = n N Z Věty 12.1 dostáváme: Důsledek: Pro každé f L 2 (, 2π) a a k, b k jsou Fourierovy koeficienty f. Pak platí f(x) = F f (x) = a 2 + (a k cos kx + b k sin kx) ve smyslu rovnosti rovnosti L 2 funkcí. Tedy v příslušném metrickém prostoru platí f(x) = a n 2 + lim (a k cos kx + b k sin kx). n Navíc platí Parsevalova rovnost 2π k=1 k=1 f(x) 2 dx = π a2 2 + π (a 2 k + b 2 k). Specielně tedy dostáváme, že trigonometrické polynomy jsou husté v L 2, a tedy spojité funkce C([, 2π]) jsou husté v L 2 (, 2π). Aplikace: 1) mp3 2) jpeg 3) Existují i jiné báze vhodnější pro práci s obrázky - například Rademacherova báze k=1