Fraktale
Co to jest fraktal? Według definicji potocznej fraktal jest obiektem samopodobnym tzn. takim, którego części są podobne do całości lub nieskończenie subtelny czyli taki, który ukazuje subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu danego obrazu.
Co to jest fraktal? Ze względu na olbrzymią róŝnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w kaŝdej skali struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to w przybliŝonym lub stochastycznym jego wymiar geometryczny nie jest całkowitym ma względnie prostą definicję rekurencyjną ma naturalny wygląd ( poszarpany, kłębiasty, itp.)
Historia fraktali Pojęcie fraktali zostało wprowadzone do matematyki, za sprawą francuskiego matematyka i informatyka polskiego pochodzenia, przez Benoita Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku. Uczony ten odkrył znany zbiór, nazwany na jego cześć zbiorem Mandelbrota. JednakŜe nie był to pierwszy fraktal, bowiem juŝ wcześniej istniało wiele zbiorów o niecałkowitym wymiarze Hausdorffa. Benoit Mandelbrot ur. Warszawa 1924 Mandelbrot uŝywając komputera do wizualizacji uczynił z fraktali przedmiot intensywnych badań. O waŝności dziedziny zadecydowały zastosowania w róŝnych dziedzinach (zwłaszcza poza matematyką), a w szczególności istnienie licznych odpowiedników w naturze. Słowo fraktal (ang. fractal) pochodzi z łaciny od słowa "fractus", które oznacza złamany.
Georg Cantor 1845-1918 Przykłady fraktali Zbiór Cantora
Trójkąt i dywan Sierpińskiego
Krzywa i płatek Kocha
Przestrzeń zespolona Najpiękniejszą grupą fraktali, są fraktale stworzone na płaszczyźnie zespolonej. Tutaj takŝe obraz jest uzyskiwany przez iteracyjne przekształcanie wcześniej uzyskanych wyników, jednakŝe tym razem operujemy na liczbach zespolonych, a zamiast przekształceń afinicznych korzystamy z wielomianów zespolonych, np. 2 f ( z) = z + c Własnościami tego przekształcenia zajmował się w latach 30 XX wieku Gaston Julia - matematyk francuski, który badał układy dynamiczne, w szczególności iteracje funkcji kwadratowej na płaszczyźnie zespolonej.
Zbiór Julii Zbiór Julii fraktal, będący podzbiorem zespolonej płaszczyzny dwuwymiarowej. Mianem tym określa się kaŝdy zbiór z pewnej rodziny zbiorów.
Zbiory Julii - przykład
Zbiór Mandelbrota Mandelbrot zastanawiał się jak wygląda zbiór tych parametrów c, dla których zbiór Julii jest spójny. Odpowiedź na to pytanie uzyskał przy uŝyciu techniki komputerowej. Zbiór Mandelbrota (Ŝuk Mandelbrota) - podzbiór płaszczyzny zespolonej, którego brzeg jest jednym ze sławniejszych fraktali. Pierwsze obrazy tego zbioru Mandelbrot opublikował w 1980 r., a grafiki te bardzo szybko obiegły cały świat.
Zbiór Mandelbrota
Czarnym kolorem zaznaczone punkty c naleŝące do zbioru Mandelborta. Zbiór Julii jest spójny, jeŝeli c naleŝy do zbioru Mandelbrota.
Zastosowanie fraktali w informatyce Kompresja fraktalna to system kompresji stratnej opierający się na wykorzystaniu fraktali do reprezentacji danych. UŜywany jest prawie wyłącznie do kompresji obrazów. Tworzenie grafiki komputerowej - przy pomocy algorytmu moŝemy generować zarówno krzywe fraktalne jak i figury z nich złoŝone, które w rzeczywistości wyglądają jak linie brzegowe, całe wyspy, góry czy chmury. Zapamiętując jedynie dwa początkowe punkty i wysokości trójkątów, moŝemy zapamiętać dowolną łamaną uŝywając stosunkowo niewielkiej ilości pamięci. Powiększanie obrazów dzięki zastosowaniu algorytmu wykorzystującego fraktale, moŝemy powiększać dany obraz, poniewaŝ obraz będzie miał nieskończoną rozdzielczość. Brakujące fragmenty nie będą co prawda odtwarzane dokładnie, lecz piksele staną się punktami, a nie kwadratami jak w grafice rastrowej.
Pomimo, iŝ fraktale są w miarę nową gałęzią matematyki, znalazły bardzo szerokie zastosowanie, nie tylko w świecie matematyki i informatyki. Dziś, fraktale powoli zaczynają wkraczać w nasze środowisko nie tylko od strony natury, ale takŝe nowoczesnej technologii. Oto najwaŝniejsze zastosowania fraktali: Inne zastosowania fraktali badanie nieregularności powierzchni opis procesów chaotycznych zachodzących w układach dynamicznych przetwarzanie i kodowanie obrazów cyfrowych kompresja fraktalna modelowanie tworów naturalnych dla celów realistycznej grafiki komputerowej badanie struktury łańcuchów DNA badanie samopodobnych struktur harmonicznych występujących w muzyce