WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Poziom podstawowy Klasy I

Logika i zbiory WYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Poziom podstawowy Klasy I odróżnianie zdania logicznego od innej wypowiedzi i ocenianie jego wartości logicznej ocenianie wartości logicznej zdań złożonych zbudowanych za pomocą jednego z funktorów zdaniowych budowanie zdania w formie wynikania i równoważności oraz ze zwrotem dla każdego i istnieje znajomość pojęć: zbiór, podzbiór, suma i część wspólna zbiorów znajomość konwencji zapisu przedziałów (otwartość, domkniętość) zapisywanie przedziałów i zaznaczanie ich na osi liczbowej znajdowanie sumy, różnicy i części wspólnej zbiorów skończonych budowanie zdań złożonych za pomocą spójników odróżnianie w praktyce zdania typu p q od zdania q p znajomość związku między koniunkcją i częścią wspólną oraz alternatywą i sumą zbiorów znajdowanie sumy, iloczynu i różnicy przedziałów i zaznaczanie ich na osi liczbowej zaznaczanie na osi liczbowej zbiorów określonych koniunkcją lub alternatywą nierówności rozumienie, że zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa lub na odwrót oraz zaprzeczeniem dużego kwantyfikatora jest mały i na odwrót odróżnianie zdania od formy zdaniowej wykonywanie działań na dowolnych zbiorach liczbowych znajomość nazw: koniunkcja, alternatywa, symbole spójników oraz wynikania i równoważności umiejętność zapisywania praw de Morgana za pomocą symboli stosowanie poznanych praw logicznych wykorzystywanie języka matematycznego w komunikowaniu się dokonywanie różnego rodzaju zapisu zbiorów Liczby rzeczywiste podawanie przykładów liczb: naturalnych, całkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych, potrafi zakwalifikować daną liczbę do jednego z tych rodzajów znajdowanie NWW i NWD liczb znajomość i zastosowanie cech podzielności przedstawianie liczby wymiernej w różnych postaciach (ułamek zwykły, liczba dziesiętna) zamiana ułamka zwykłego na dziesiętny i skończonego rozwinięcia dziesiętnego na ułamek zwykły zaokrąglanie liczby z podaną dokładnością wykonywanie działań na liczbach wymiernych: cztery działania arytmetyczne, potęgi o wykładniku całkowitym i postaci 1, także z użyciem kalkulatora n upraszczanie pierwiastków i znajdowanie ich przybliżonej wartości za pomocą kalkulatora obliczanie procentów danej liczby znajomość wzorów skróconego mnożenia 1

rozumienie pojęcia rozwinięcia okresowego, znajdowanie rozwinięcia dziesiętnego ułamków zwykłych znajomość faktu, że suma, różnica, iloczyn i iloraz liczb wymiernych są liczbami wymiernymi upraszczanie wyrażeń zawierających potęgi o wykładniku wymiernym i pierwiastki sprawne posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia usuwanie niewymierności z mianownika zapisywanie i odczytywanie liczby w notacji wykładniczej zwiększanie i zmniejszanie liczby o dany procent, porównywanie liczb z użyciem procentów szacowanie wyników działań i wielkości ze świata rzeczywistego posługiwanie się pojęciem wartości bezwzględnej, znajdowanie wartości bezwzględnej liczby znajomość interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej zamiana rozwinięcia dziesiętnego nieskończonego okresowego na ułamek zwykły upraszczanie wyrażeń zawierających potęgi o wykładniku wymiernym i pierwiastki (zadania trudniejsze) usuwanie niewymierności z mianownika z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia posługiwanie się notacją wykładniczą w obliczeniach rozwiązywanie zadań z procentami dotyczących m. in. płac, cen, podatków, także z użyciem równań i układów równań liniowych rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną postaci x = a, x a, x a znajomość definicji wartości bezwzględnej i umiejętność jej zastosowania umiejętność pokazania na przykładach, że suma (różnica, iloczyn i iloraz) liczb niewymiernych może być zarówno liczbą wymierną jak i niewymierną rozwiązywanie zadań z procentami dotyczące m. in. płac, cen podatków (zadania o podwyższonym stopniu trudności) wykorzystanie umiejętności szacowania w bardziej złożonych sytuacjach, obliczanie błędu względnego zastosowanie definicji wartości bezwzględnej w rozwiązywaniu zadań, w tym równań i nierówności Funkcje i ich własności znajomość pojęcia funkcji, dziedziny funkcji liczbowej zbioru wartości i miejsca zerowego odczytywanie z wykresu wartości funkcji, argumentów, dla których funkcja przyjmuje daną wartość, miejsc zerowych, przedziałów, dla których funkcja przyjmuje wartości dodatnie (ujemne) znajomość różnych sposobów przedstawiania funkcji wykonanie wykresów funkcji liczbowej znajomość wykresów funkcji liniowej uzyskiwanie wykresu funkcji y f ( x) + a y = f x = z wykresu funkcji ( ) 2

odczytywanie z wykresu dziedziny, zbioru wartości, przedziałów monotoniczności, wartości najmniejszej i największej podanie przykładów funkcji uzyskiwanie z wykresu funkcji f wykresu funkcji f ( x a) wyznaczanie dziedziny funkcji liczbowej posługiwanie się różnymi sposobami opisu funkcji odczytywanie z wykresu własności funkcji (zadania o podwyższonym stopniu trudności) przekształcanie wykresu funkcji przez symetrię względem osi uzyskiwanie z wykresu funkcji f wykresu funkcji f ( x a) + b rozumienie pojęcia wektora znajdowanie współrzędnych narysowanego wektora rysowanie wektora o danych współrzędnych szkicowanie wykresu funkcji opisującej zależności między pewnymi wielkościami przy znajomości własności tej zależności interpretacja informacji na podstawie wykresów funkcji (np. dotyczące różnych zjawisk przyrodniczych, ekonomicznych, socjologicznych) przetwarzanie informacji wyrażonych w postaci wzoru lub wykresu funkcji obliczanie współrzędnych wektora, współrzędnych sumy wektorów i iloczynu wektora przez liczbę przesuwanie wykresów funkcji o wektor Funkcja liniowa, układy równań i nierówności liniowych rysowanie wykresów funkcji liniowych i odczytywanie własności na podstawie jej wykresu interpretacja współczynników w równaniu prostej y = ax + b, wyznaczanie współczynnika kierunkowego prostej sprowadzanie ogólnego równania prostej do postaci kierunkowej (jeśli to możliwe) znajomość warunków równoległości i prostopadłości prostych rozwiązywanie równań i nierówności liniowych prostych układów równań liniowych dowolną metodą rozwiązywanie graficzne układów dwóch równań z dwiema niewiadomymi zaznaczanie w układzie współrzędnych zbioru punktów spełniających warunek typu: x > 0, y 4 wyznaczanie wzoru funkcji liniowej, której wykres spełnia dane warunki rysowanie prostej o danym równaniu rozwiązywanie układów równań liniowych oraz zadań tekstowych prowadzących do rozwiązywania takich układów rozwiązywanie zadań tekstowych prowadzących do rozwiązywania równań i nierówności liniowych znajomość metody podstawiania i przeciwnych współczynników objaśnianie związku pomiędzy liczbą rozwiązań układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi a wzajemnym położeniem prostych zaznaczanie w układzie współrzędnych zbioru punktów spełniających warunek typu: y < 2 x + 3 3

[ rozwiązywanie zadań dotyczących funkcji liniowej i jej zastosowań m. in. do opisu zjawisk z życia codziennego wyznaczanie równania prostej spełniającej podane warunki interpretacja graficzna zbioru rozwiązań koniunkcji i alternatywy nierówności liniowych rozwiązywanie trudniejszych zadań tekstowych rozwiązywanie trudniejszych zadań tekstowych uwzględniających zadania praktyczne z różnych dziedzin układanie zadań tekstowych do układów równań liniowych Funkcja kwadratowa odróżnianie wzoru funkcji kwadratowej od wzoru innych funkcji 2 rysowanie wykresów funkcji kwadratowej postaci y = ax + q i odczytywanie jej własności na podstawie wykresu 2 interpretacja współczynnika a w równaniu ogólnym y = ax + bx + c rozwiązywanie równań kwadratowych niezupełnych y = + rysowanie wykresu funkcji kwadratowej postaci a( x p) q 2 i y = ax + bx + c, a 0 odczytywanie własności funkcji na podstawie jej wykresu znajomość związku wyróżnika z wykresem i równaniem kwadratowym sprowadzanie funkcji kwadratowej do postaci kanonicznej oraz do postaci iloczynowej rozwiązywanie równań kwadratowych oraz nierówności kwadratowych rozwiązywanie zadań prowadzących do równań kwadratowych niezupełnych rozwiązywanie zadań tekstowych prowadzących do równań kwadratowych znajdowanie największej i najmniejszej wartości funkcji w przedziale domkniętym analizowanie zjawisk z życia codziennego opisanych wzorem (wykresem) funkcji kwadratowej znajdowanie wzoru funkcji kwadratowej o zadanych własnościach rozwiązywanie zadań prowadzących do nierówności kwadratowych rozwiązywanie zadań z treścią prowadzących do poszukiwania ekstremum funkcji kwadratowej opisywanie danego zjawiska za pomocą funkcji kwadratowej sprawne posługiwanie się językiem matematycznym i symboliką matematyczną 2 4

Planimetria i trygonometria obliczanie funkcji trygonometrycznych kątów trójkąta prostokątnego przy znajomości długości jego boków stosowanie funkcji trygonometrycznych kata ostrego do rozwiązywania prostych zadań geometrycznych korzystanie z podanych wartości katów: 30, 45, 60 do rozwiązywania prostych zadań znajomość i rozumienie pojęć i znajomość własności figur: punkt, prosta, odcinek, półprosta równoległość, prostopadłość trójkąt równoboczny, równoramienny trójkąt ostrokątny, prostokątny, rozwartokątny kwadrat, prostokąt, równoległobok, romb, trapez promień, cięciwa, średnica, łuk okrąg, koło kąt środkowy, kąt wpisany oś symetrii, środek symetrii, figura symetryczna do danej znajomość wzorów na obwody i pola wielokątów (trójkąta i czworokątów), pole koła i długość okręgu rozwiązywanie prostych zadań na obliczanie pól i obwodów znajomość twierdzenia Talesa i Pitagorasa znajomość cech przystawania trójkątów i umiejętność ich zastosowania wykorzystanie twierdzenia Talesa do rozwiązywania zadań prostych, korzystających z jednej proporcji rozumienie intuicyjne pojęcia podobieństwa obliczanie wymiarów figury podobnej do danej w danej skali obliczanie odległości między punktami w układzie współrzędnych wykonywanie prostych rachunków z zastosowaniem funkcji trygonometrycznych, także z zastosowaniem kalkulatora stosowanie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego do prostych sytuacji z życia codziennego znajomość wartości funkcji kątów 30, 45, 60 i wykorzystanie ich do rozwiązywania zadań znajomość wzoru na jedynkę trygonometryczną i wykorzystanie go do wyznaczania wartości jednej z funkcji, gdy dana jest inna znajomość i rozumienie pojęcia punktów współliniowych, symetralnej odcinka, dwusiecznej kąta oraz znajomość ich własności obliczanie pól i obwodów trapezu, rombu o danych przekątnych ilustrowanie przykładami twierdzenia Talesa stosowanie twierdzenia Talesa do rozwiązywania typowych zdań umiejętność badania czy dane prostokąty są podobne znajdowanie skali podobieństwa dwóch figur podobnych znajomość cech podobieństwa trójkątów zastosowanie w prostych zadaniach 5

stosowanie funkcji trygonometrycznych kąta ostrego do rozwiązywania trudniejszych zadań sin cosα znajomość wzorów: sin ( 90 α ) = cosα, cos ( 90 α ) = sinα, tg α =, ctg α = cosα α sinα i wykorzystanie ich do obliczania wartości funkcji trygonometrycznych gdy dane są pozostałe wykorzystanie wartości funkcji trygonometrycznych do rozwiązywania trudniejszych zadań znajomość i rozumienie pojęcia kątów przyległych, wierzchołków i naprzemianległych znajomość nierówności trójkąta i wykorzystanie jej do rozwiązywania zadań obliczanie pola wycinka koła i długości łuku rozwiązywanie różnych zadań z wykorzystaniem, twierdzenia Talesa, Pitagorasa, twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym, pól i obwodów figur, cech podobieństwa trójkątów obliczanie odległości między dwiema prostymi równoległymi samodzielne rozpoznawanie sytuacji, w których można zastosować funkcje trygonometryczne sin cosα 2 2 wykorzystywanie wzorów: tg α =, ctg α =, sin α + cos α = 1, cosα α sinα sin 90 α = cos, cos ( 90 α ) = sinα do upraszczania wyrażeń ( ) α dowodzenie twierdzenia odnośnie sumy kątów w trójkącie i czworokącie rozwiązywanie zadań (trudniejszych) z zastosowaniem poznanych twierdzeń stosowanie twierdzenia o polach figur podobnych Wymagania wykraczające celujący za wymagania na poziomie wykraczających wymagań należy uznać spełnienie wszystkich wymagań z poziomów niższych oraz umiejętność rozwiązywania zadań znacznie wykraczających poza wymagania na poziomie wymagań dopełniających stopniem trudności lub tematyką Opracowała: Edyta Kultys 6

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Poziom podstawowy Klasy II Wielomiany Znajomość pojęcia: jednomian, wielomian jednej zmiennej x rozpoznawanie wielomianów, jednomianów, wskazywanie jednomianów podobnych określanie stopnia wielomianów jednej zmiennej dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów porządkowanie wielomianów obliczanie wartości wielomianu dla danej wartości zmiennej sprawdzanie, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu rozkład wielomianu na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz stosując wzór a 2 b 2 = ( a b)( a + b) ustalenie krotności pierwiastka wielomianu danego w postaci iloczynowej rysowanie przebiegu (wykresu) znaku wielomianu o danej postaci iloczynowej rozwiązywanie nierówności wielomianowych w wykorzystaniem wykresu znaku Wymagania z poziomu K oraz: znajomość i stosowanie algorytmu dzielenia wielomianu przez dwumian obliczanie reszty z dzielenia wielomianu W ( x) przez dwumian x p znajomość Twierdzenia Bézout znajdowanie pierwiastków wielomianu zapisanego w postaci iloczynu czynników liniowych i kwadratowych 2 ax + bx + c dx + e > rozwiązywanie nierówności wielomianowych typu ( )( ) 0 Wymagania z poziomów K i P oraz: dzielenie wielomianów stosowanie twierdzenia Bézout do znajdowania pierwiastków wielomianu znajomość i stosowanie twierdzenia o pierwiastkach całkowitych wielomianu 3 3 2 2 3 3 2 2 stosowanie wzorów k l = ( k l)( k + kl + l ), k l = ( k + l)( k kl + l ) rozkładu wielomianu na czynniki rozwiązywanie równań i nierówności wielomianowych stopnia 3 + do Wymagania z poziomów K R oraz: znajomość i stosowanie twierdzenia o pierwiastkach wymiernych wielomianu rozwiązywanie równań i nierówności stopnia 4 i wyższego 7

Funkcje wymierne odróżnianie wyrażenia wymiernego od innych wyrażeń algebraicznych dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych o tych samych mianownikach upraszczanie wyrażeń wymiernych przez skracanie (proste przypadki) obliczanie wartości wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej sprowadzanie danych wyrażeń wymiernych do wspólnego mianownika będącego iloczynem mianowników znajomość nazw związanych z wykresem funkcji homograficznej (hiperbola, asymptoty) obliczanie wartości danej funkcji homograficznej dla danego argumentu wyznaczanie dziedziny funkcji homograficznej przekształcanie wzoru f ( x) = k + q do postaci f x ( x) = ax+ b dla danych wartości p cx+ d k, p, q rysowanie wykresu funkcji homograficznej y = a i odczytywanie z niego własności x funkcji i zjawisk opisanych przez tę funkcję rozwiązywanie równań z funkcją homograficzną i stosowanie ich do rozwiązania prostych zadań Wymagania z poziomu K oraz: dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych o różnych mianownikach (sprowadzanie wyniku do najprostszej postaci) wyznaczanie dziedziny wyrażenia wymiernego rysowanie wykresu funkcji homograficznej określonej wzorem f ( x) = k + q x p i odczytywanie z niego własności funkcji i zjawisk opisanych przez te funkcję rozwiązywanie równań z funkcją homograficzną (trudniejszych) i stosowanie ich do rozwiązywania prostych zadań ustalanie wzoru funkcji homograficznej na podstawie informacji o przesunięciach wykresu Wymagania z poziomów K i P oraz: mnożenie i dzielenie wyrażeń wymiernych i sprowadzanie wyniku do najprostszej postaci rysowanie wykresu funkcji homograficznej postaci f ( x) = ax+ b i odczytywanie z niego cx+ d własności funkcji i zjawisk opisanych przez tę funkcję rozwiązywanie nierówności z funkcją homograficzną i stosowanie ich do rozwiązywania prostych zadań Wymagania z poziomów K R oraz: rozwiązywanie nierówności z funkcją homograficzną (trudniejszych) i stosowanie ich do rozwiązywania zadań układanie równania lub nierówności do zadania tekstowego rozumienie różnicy między funkcjami f ( x) = x a g ( x) = 1 x 8

Ciągi liczbowe rozumienie intuicyjne pojęcia ciągu obliczanie wartości wyrazu ciągu na podstawie wzoru zaznaczanie w układzie współrzędnych punktów należących do wykresu ciągu rozpoznawanie ciągów malejących, rosnących, niemalejących, nierosnących, niemonotonicznych na podstawie wykresu rozumienie intuicyjne ciągu arytmetycznego (geometrycznego), podawanie i rozpoznawanie przykładów tych ciągów znajomość wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego (geometrycznego) wyznaczanie różnicy ciągu arytmetycznego i ilorazu ciągu geometrycznego tworzenie kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego (geometrycznego) przy znajomości wyrazy pierwszego różnicy (ilorazu) obliczanie odsetek lokat rocznych według podanego oprocentowania znajomość wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i stosowanie go do obliczeń Wymagania z poziomu K oraz: znajdowanie reguły, którą można opisać ciąg, którego kolejne wyrazy zostały podane i zapisanie jej w prostych przypadkach ustalanie wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego na podstawie informacji o wartościach dwóch jego wyrazów znajomość wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego i stosowanie go w prostych przypadkach obliczanie wartości wyrazu środkowego z wykorzystaniem średniej arytmetycznej badanie monotoniczności ciągu przez analizę różnicy an+1 an określanie monotoniczności ciągu arytmetycznego na podstawie wzoru dostrzeganie ciągów arytmetycznych i geometrycznych w otaczającej nas rzeczywistości obliczanie odsetek lokat w procencie składanym Wymagania z poziomów K i P oraz: sprawdzanie monotoniczności ciągu przez badanie ilorazu a n podawanie przykładów ciągów rosnących, malejących, niemonotonicznych ustalanie wzoru ciągu geometrycznego na podstawie np. wartości jednego wyrazu i ilorazu wykorzystanie średniej geometrycznej do obliczania wyrazu środkowego stosowanie wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego do rozwiązywania zadań obliczanie odsetek lokat w różnych okresach kapitalizacji ustalanie oprocentowania lokaty na podstawie informacji o okresach kapitalizacji oraz odsetkach obliczanie podatku od zysku z oszczędności na podstawie informacji o stopie procentowej i okresach kapitalizacji odsetek Wymagania z poziomów K R oraz: dostrzeganie ciągu arytmetycznego lub geometrycznego w zadaniach tekstowych stosowanie poznanych wzorów (na n ty wyraz oraz sumy n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego lub geometrycznego) do rozwiązania zadań tekstowych badanie zjawisk opisanych przez ciąg arytmetyczny (geometryczny) porównywanie ofert banków i instytucji finansowych dostrzeganie związku wzoru na procent wkładany z ciągiem geometrycznym a n + 1 9

Trygonometria znajomość wartości funkcji trygonometrycznych kątów: 30, 45, 60 i wykorzystanie ich do rozwiązywania zadań rozwiązywanie trójkątów prostokątnych przy różnych danych wyrażanie miary kątów skierowanych w stopniach i w radianach zamiana miary kątów stopniowej na łukową i na odwrót wielokrotności kąta prostego 30, 45, 60 odczytywanie z tablic przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych zaznaczanie kątów skierowanych o danych miarach w układzie współrzędnych znajomość interpretacji współczynnika kierunkowego w równaniu prostej rozpoznawanie wykresów funkcji trygonometrycznych szkicowanie wykresów funkcji: sinus i cosinus odczytywanie własności funkcji trygonometrycznych obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych przy pomocy kalkulatorów na podstawie wykresu obliczanie pozostałych wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego jeżeli dany jest cosinus lub sinus Wymagania z poziomu K oraz: zamiana na miarę łukową i z miary łukowej na stopnie dowolnych kątów szkicowanie wykresów funkcji tangens i cotangens rozróżnianie na podstawie równania prostych nachylonych pod kątem ostrym i prostych nachylonych pod kątem rozwartym do osi x wyznaczanie równania prostej przechodzącej przez dany punkt, nachylonej do osi x pod danym kątem wyznaczanie kąta nachylenia prostej o danym równaniu do dodatniej półosi x sporządzanie przekształconych wykresów funkcji trygonometrycznych obliczanie pozostałych wartości funkcji trygonometrycznych kąta ostrego, jeśli dany jest tangens lub cotangens obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dla wielokrotności kąta prostego rozwiązywanie równań postaci sin x = k lub cos x = k dla kątów z przedziału 0,2π Wymagania z poziomów K i P oraz: obliczanie pozostałych wartości funkcji trygonometrycznych kąta skierowanego, przy znajomości jednej z nich przekształcanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych poprzez sprowadzanie kąta do pierwszej ćwiartki podawanie przykładów zjawisk, w których opisie występuje sinusoida Wymagania z poziomów K R oraz: obliczanie wartości funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta na podstawie informacji o położeniu końcowego ramienia kąta rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych sprawdzanie, czy dane wyrażenie jest tożsamością trygonometryczną wyznaczanie graficznie zbiorów wartości funkcji trygonometrycznych dla danych zbiorów argumentów 10

Planimetria znajomość i rozumienie pojęcia, znajomość własności figur okrąg opisany na wielokącie, okrąg wpisany w wielokąt kąt środkowy i kąt wpisany oś symetrii, środek symetrii figura symetryczna do danej wektor obrót o kąt skierowany dookoła punktu znajomość zależności między miarą kąta wpisanego a miarą kąta środkowego opartego na tym samym łuku wykonywanie konstrukcji: okręgu wpisanego w trójkąt opisanego na trójkącie figury stycznej do danej wyznaczanie osi symetrii wielokątów rozwiązywanie zadań z wykorzystaniem własności figur wyznaczanie obrazu punktu w przesunięciu o dany wektor, podanie współrzędnych punktu otrzymanego w wyniku przesunięcia Wymagania z poziomu K oraz: formułowanie twierdzenia o czworokącie opisanym na okręgu i czworokącie wpisanym w okrąg i zastosowanie go w zadaniach uzupełnienie rysunku figury przy wykorzystaniu informacji o osi symetrii lub środku symetrii przesuwanie figury o dany wektor obliczanie współrzędnych początku (końca) wektora, gdy dane są współrzędne jego końca (początku) i współrzędne wektora znajdowanie obrotu danej figury w obrocie o dany kąt skierowany dookoła danego punktu Wymagania z poziomów K i P oraz: rozwiązywanie różnych zadań z wykorzystaniem: twierdzenia o kącie wpisanym i środkowym warunku wpisywalności okręgu w czworokąt i opisywalności okręgu na czworokącie symetrii osiowej i środkowej przesunięcia o wektor obrotu figury o kąt skierowany wyznaczanie osi i środków symetrii wykresów znanych funkcji Wymagania z poziomów K R oraz: rozwiązywanie wieloetapowych zadań tekstowych podawanie przykładów funkcji, których wykresy mają oś symetrii lub środek symetrii Wymagania wykraczające celujący za wymagania na poziomie wykraczających wymagań należy uznać spełnienie wszystkich wymagań z poziomów niższych oraz umiejętność rozwiązywania zadań znacznie wykraczających poza wymagania na poziomie wymagań dopełniających stopniem trudności lub tematyką Opracowała: Edyta Kultys 11

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W 3 LETNIM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM Poziom podstawowy Klasy III Rachunek prawdopodobieństwa i elementy statystyki opisowej (K) n obliczanie wartości n! oraz, gdy dane są n i k k rozwiązywanie zadań kombinatorycznych z wykorzystaniem permutacji podawanie przykładów eksperymentów losowych i zapisywanie ich wyników wskazywanie zdarzeń elementarnych w prostych doświadczeniach losowych określanie zdarzeń jako podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych i rozróżnianie zdarzenia pewnego i niemożliwego oraz zdarzeń wykluczających się wypisywanie w prostych przypadkach zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń losowych w prostych przypadkach przy wykorzystaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa oraz przy pomocy drzewa stochastycznego odczytywanie danych statystycznych z tabel, diagramów, wykresów porównywanie danych w tabelach, diagramach obliczanie średniej arytmetycznej i zastosowanie tej umiejętności w prostych zadaniach (P) wymagania z poziomu K oraz stosowanie w prostych przypadkach pojęć kombinatorycznych obliczanie liczby kombinacji, wariacji, permutacji przy zastosowaniu wzorów obliczanie częstości wyniku eksperymentu losowego podawanie przykładów zdarzeń losowych danego doświadczenia wykonywanie działań na podanych zdarzeniach opisywanie zdarzenia przeciwnego do danego i ustalenie liczby jego elementów obliczanie liczby zdarzeń elementarnych niewymagających zastosowania kombinatoryki zapisywanie i przedstawianie wyników eksperymentu np. za pomocą drzewa znajomość i zastosowanie wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń znajomość i stosowanie wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego obliczanie prawdopodobieństwa zdarzeń przy zastosowaniu klasycznej definicji prawdopodobieństwa oraz przy pomocy drzewa sporządzanie diagramów słupkowych i kołowych wykonywanie obliczeń z wykorzystaniem danych zawartych w tabelach i diagramach obliczanie mody, mediany i rozstępu danych (R) wymagania z poziomów K i P oraz podawanie przykładów ilustrujących pojęcia z kombinatoryki biegłe stosowanie wzorów kombinatorycznych w zadaniach w tym do obliczania liczby zdarzeń elementarnych podawanie przykładów doświadczeń o zdarzeniach elementarnych jednakowo prawdopodobnych oraz doświadczeń, w których zdarzenia elementarne nie są jednakowo prawdopodobne określanie przestrzeni zdarzeń elementarnych za pomocą zbiorów lub ciągów stosowanie własności prawdopodobieństwa sprawne korzystanie z danych zawartych w roczniku statystycznym wyznaczanie średniej ważonej i stosowanie tej umiejętności w zadaniach analiza i interpretacja danych statystycznych 12

Celujący (D) wymagania z poziomów K R oraz sprawne posługiwanie się symboliką kombinatoryczną i wzorami obliczanie prawdopodobieństw zdarzeń z zastosowaniem elementów kombinatoryki dowodzenie podstawowych własności prawdopodobieństwa obliczanie wariancji i odchylenia standardowego zbieranie, opracowywanie, analiza i prezentacja danych np. z wykorzystaniem histogramu, wykresu dokonywanie analizy jakościowej danych statystycznych oraz argumentowanie i wyciąganie wniosków stosowanie aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa Wymagania wykraczające (W) wymagania z poziomów K D oraz rozwiązywanie zadań nietypowych na obliczanie prawdopodobieństwa stawianie problemów, w których pojawia się zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa i rozwiązywanie tych problemów rozwiązywanie pełnych zadań statystycznych np. jako zadania projektowe (sformułowanie problemu, planowanie, przeprowadzenie badania, opracowanie wyników, prezentacja ich w dowolny sposób np. wykorzystując komputer oraz analiza i wyciąganie wniosków) Stereometria (K) wskazywanie na modelach i rysunkach wielościanów ich wierzchołków, krawędzi i ścian wskazywanie na modelach i rysunkach wielościanów krawędzi oraz ścian równoległych i prostopadłych określanie wzajemnego położenia prostych i płaszczyzn w przestrzeni określanie kąta między prostą i płaszczyzną i kąta dwuściennego rozpoznawanie ostrosłupów (w tym prostych i prawidłowych), graniastosłupów (w tym prostych i prawidłowych) i brył obrotowych (walec, stożek, kula) klasyfikowanie figur przestrzennych rysowanie przekrojów osiowych prostych brył obrotowych obliczanie objętości oraz pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego, ostrosłupa prostego i brył obrotowych (kula, stożek, walec) korzystając bezpośrednio ze wzorów stosowanie Twierdzenia Pitagorasa i funkcji trygonometrycznych do obliczania długości tworzącej, promienia podstawy, wysokości stożka na podstawie przekroju osiowego wyznaczanie podstawowych związków miarowych w prostopadłościanie z wykorzystaniem trygonometrii obliczanie objętości, pola powierzchni bocznej, pola powierzchni całkowitej graniastosłupa prostego trójkątnego, ostrosłupa, brył obrotowych z uwzględnieniem umiejętności obliczania określonych długości odcinków i miar kątów z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych np. w trójkącie równobocznym, prostokątnym, kwadracie 13

(P) wymagania z poziomu K oraz wskazywanie na modelach i rysunkach wielościanów krawędzi skośnych wskazywanie na modelach i zaznaczanie na rysunku kątów nachylenia krawędzi i przekątnych wielościanów do ścian wskazywanie kątów dwuściennych i kąta prostej z płaszczyzną zaznaczanie na rysunku kątów liniowych kątów dwuściennych rysowanie siatek oraz rzutów ostrosłupów, graniastosłupów rysowanie siatek walca i stożka oraz brył w rzucie obliczanie pola powierzchni i objętości graniastosłupów i ostrosłupów oraz walca, stożka i kuli przy różnych danych i z zastosowaniem trygonometrii opisywanie brył obrotowych powstałych w wyniku obrotu figur płaskich rysowanie przekrojów brył obrotowych stosowanie przekrojów brył obrotowych do obliczania długości odcinków i miar kątów (R) wymagania z poziomów K i P oraz badanie własności wskazanych brył przestrzennych wskazywanie na modelu i na rysunku wielościanu jego przekrojów stosowanie Twierdzenia Pitagorasa, Talesa i podstawowych związków trygonometrycznych do obliczania objętości, pola powierzchni brył, długości odcinków oraz miar kątów (D) Celujący wymagania z poziomów K R oraz obliczanie pola powierzchni, objętości, długości odcinka, kąta dla brył z wykorzystaniem poznanych wzorów i twierdzeń rozwiązywanie zadań stereometrycznych z uwzględnieniem brył wpisanych w daną bryłę i opisanych na danej bryle przy łącznym wykorzystaniu wiadomości z różnych działów: ciągów, trygonometrii, funkcji, związków miarowych w figurach płaskich Wymagania wykraczające (W) wymagania z poziomów K D oraz analiza wyników i formułowanie wniosków będących konsekwencją nietypowych rozwiązań korzystanie ze wzoru Eulera do wyznaczania liczby ścian, krawędzi i wierzchołków wielościanu rozpoznawanie wielościanów foremnych wyznaczanie płaszczyzny symetrii, osi symetrii oraz środka symetrii wielościanów i brył obrotowych Opracowała: Edyta Kultys 14