Żywe liczby i nie tylko

Mirosław Dąbrowski, Ewa Wiatrak Żywe liczby i nie tylko Od ponad 0 lat w naszym kraju bardzo są popularne tzw. metody aktywne, niekiedy nazywane też metodami aktywizującymi. Prawdopodobnie ogromna większość nauczycieli klas 1-3 wzięła udział w ostatnich latach przynajmniej w jednym szkoleniu na ten temat, być może nawet mowa na nim była o rozwijaniu umiejętności matematycznych dzieci. Bardzo często jednak zapomina się przy tej okazji o jednej kluczowej kwestii: metoda aktywna nie polega na tym, że dziecko się rusza, metoda aktywna polega na tym, że dziecko jest aktywne(!) intelektualnie, czyli myśli i pokonuje trudności! Aby tak się stało, wystarczy najczęściej pomysł i bardzo proste rekwizyty. Ale także umiejętność stawiania pytań i wiara w to, że dzieci potrafią na nie samodzielnie, czyli bez naszej pomocy i pokazanego wzoru, odpowiedzieć. W tym opracowaniu chcemy opisać kilka takich właśnie, sprawdzonych w praktyce, prostych pomysłów 1. Na początek ŻYWE LICZBY 1 7 0 1 10 5 1 1 Po raz pierwszy byliśmy żywymi liczbami równo 0 lat temu, podczas warsztatów prowadzonych przez Jana Potworowskiego. 1

Pomoce: kartoniki na wstążce do zawieszenia na szyi z kolejnymi liczbami od 1 do np. 4 jeśli w klasie jest 4 uczniów, albo samoprzylepne nalepki jednokrotnego użytku z napisanymi na nich liczbami. Jeśli liczba dzieci jest nieparzysta, warto aby liczbą stał się także nauczyciel, bo wielokrotnie liczby będą łączyły się w pary. Innym rozwiązaniem jest powierzenie jednemu z uczniów funkcji sekretarza będzie on notował (w dowolny sposób) kolejne polecenia i ich efekty. Przyjmijmy dla wygody, że uczniów jest 4. Każdy z nich staje się liczbą, którą ma zapisaną na swoim kartoniku. Mamy więc 4 kolejne liczby, możemy zaczynać. PORZĄDKOWANIE I PORÓWNYWANIE Uwaga! Każda liczba łapie za rękę liczbę o 1 większą od siebie! 10 11 1 13 14 15 16 17 Po krótkiej chwili zamieszania powinniśmy mieć przed sobą ustawiony długi szereg liczb od 1 do 4. Jeśli powstało kilka oddzielnych kawałków, to powtarzamy: Każda liczba łapie! Nie ustawiamy dzieci, poradzą sobie same, bo w razie potrzeby jedni pomogą innym. W razie absolutnej konieczności reagujemy głośno zadanym pytaniem, np. takim: A kogo powinna złapać za rękę liczba 1? Gdy mamy łańcuch, czy lepiej półkole liczb (wszystkie dzieci będą się wtedy dobrze widziały), możemy (powinniśmy!) dokładniej przeanalizować powstałą matematyczną strukturę: Kto nie miał kogo złapać za rękę? Dlaczego? A jaka liczba by była następna? Warto w tym momencie pokazać puste miejsce obok 4. A jeszcze dalej? I Jeszcze dalej? Jaka liczba by była dziesięć miejsc za 4? A sto miejsc?

Kogo nikt nie złapał za rękę? Dlaczego? Możemy spokojnie powtórzyć początkowe pytania sprzed chwili w każdej klasie znajdą się dzieci, które powiedzą, że po 1 stoi 0, a po 0 by stały -1, -, dodając np., że to tak jak na termometrze. Mam pytanie do liczby 14. Gdzie są liczby większe od Ciebie? A mniejsze? Gdzie jest liczba o większa? A o 3 większa?... I pytanie do wszystkich. Jaka liczba jest dwa miejsca dalej w lewo? Z punktu widzenia dzieci. A cztery miejsca dalej w lewo? Czy musimy spojrzeć, aby to wiedzieć? Czy możemy tak to powiedzieć, żeby odpowiedź pasowała do każdej liczby? A dwa miejsca dalej w prawo? Trzy miejsca w prawo? O ile różni się od nas liczba, która jest trzy miejsca w prawo od nas? A trzy miejsca w lewo? Dlaczego? A co się zmieni, jeśli zaczniemy od nowa i każdy złapie za rękę liczbę o 1 większą? Dlaczego? OBLICZENIA Uwaga! Łączymy się w pary tak, aby jedna liczba w parze była o 3 większa od drugiej. 1 9 7 10 19 5 11 Przydzielając liczby dzieciom warto pamiętać o tym, że im większą liczbę otrzyma uczeń, tym trudniejsze operacje będzie prawdopodobnie wykonywał przydział 3

liczb może być ważnym świadomym zabiegiem indywidualizującym pracę dzieci. Uwaga! A teraz zupełnie coś innego. Łączymy się w pary tak, aby jedna liczba w parze była o 3 mniejsza od drugiej.. Trzeba było zmieniać pary czy nie? Dlaczego? Warto zobaczyć, czy byli tacy uczniowie, którzy świadomie pozostali w tych samych parach. Koniecznie trzeba podyskutować z uczniami na ten temat na koniec tej serii poleceń. A teraz jedna liczba w parze ma być o większa od drugiej! Łączymy się w pary tak, aby liczby w parze różniły się o 1.. A czy możemy tak to zrobić, aby każdy miał parę? (O ile pozostali uczniowie bez par.) Dobrze by było używać zamiennie różnych zwrotów opisujących te same związki: jedna liczba w parze o 1 większa od drugiej, jedna liczba w parze o 1 mniejsza od drugiej, liczby różniące się o 1, różnica liczb równa 1, buduje to u dzieci lepsze rozumienie stosowanych pojęć i lepsze rozumienie języka matematyki. Pamiętajmy jednak o tym, żeby zaczynać od zwrotów możliwie potocznych. A poprzednio, gdy jedna liczba miała być o 3 większa od drugiej, też można było tak zrobić, żeby każda liczba miała parę?. A gdy liczby w parze różniły się o? To jest przykład problemu, w którym pomocne może być zapisywanie tworzonych par, żeby wyraźniej wyeksponować stosowaną metodę łączenia. Można do niego wrócić i wspólnie się nad nim zastanowić już po powrocie do ławek. Wrócimy do tego tematu dalej. Uwaga! Łączymy się w pary tak, aby liczby z pary po dodaniu dały razem 1 (lub jakąkolwiek inną liczbę różną od 5). O zaproponowanie pierwszej i kolejnych sum liczb w parze warto poprosić dzieci. 1 6 7 11 19 16 4 10

Kto został bez pary? Dlaczego? Jaka liczba by była lepsza? Dlaczego? No to spróbujmy. Łączymy się w pary tak, aby liczby z pary po dodaniu dały Powtarzamy polecenia do momentu znalezienia przez dzieci(!) właściwej sumy dla liczb od 1 do 4 jest to 5. Jeśli już każdy ma swoją parę, to spróbujmy wspólnie się zastanowić nad tym, jaka jest suma wszystkich liczb, które tu mamy. Jeśli dodamy wszystkie liczby od 1 do 4, to jaki będzie wynik? Czy można to jakoś szybko ustalić? Warto ten problem sformułować i dać chwilę czasu do namysłu oraz zaprezentowania przez dzieci pierwszych pomysłów. Można do niego wrócić już po powrocie do ławek. Jego rozwiązanie wcale nie przekracza możliwości dzieci, także tych, które nie znają jeszcze mnożenia mogą np. wpaść na pomysł, żeby brać razem po 4 pary, co (dla sumy w parze 5) kończy obliczenia lub zaproponować inną, równie skuteczną, metodę. Podane przykłady tylko sygnalizują nam możliwości, jakie stwarza łączenie w pary. Do każdego obliczeniowego celu, który w danym momencie chcemy realizować, można dobrać właściwe polecenia: Uwaga! Łączymy się w pary tak, aby: o różnica liczb była równa o iloczyn liczb w parze był większy niż o jedna liczba dzieliła się przez drugą o reszta z dzielenia większej liczby przez mniejszą wynosiła 1 o 5

A jeszcze liczby mogą się przecież łączyć np. w trójki. Uwaga! Łączymy się w trójki tak, aby jedna liczba w trójce była sumą obu pozostałych. 1 1 9 3 7 10 13 5 A teraz łączymy się w trójki tak, aby: o jedna z liczb byłą różnicą pozostałych o z liczb tych dało się ułożyć jakieś działanie o Łączymy się w trójki tak, aby suma liczb w trójce byłą równa 30. Ile trójek powstało? Zobaczmy wspólnie, czy z pozostałych liczb nie można utworzyć jeszcze jednej trójki. Jakie liczby zostały bez przydziału? To jaka suma może być lepsza? Ten problem jest już znacznie trudniejszy i nie daje się go w prosty sposób rozwiązać, ale ważne jest to, żeby uczniowie podjęli próbę jego rozwiązania często najbardziej kształcący jest sam udział w procesie rozwiązywania problemu. Uwaga! Odliczamy do pięciu i tworzymy pięć zespołów (cztery pięcioosobowe i jeden czteroosobowy). Możecie swoje liczby dodawać, odejmować, mnożyć, dzielić. Możecie wziąć wszystkie liczby, albo tylko ich część. Każdą liczbę można wykorzystać tylko raz. Waszym zadaniem jest otrzymać 100, albo wynik jak najbliższy tej liczbie. Jeżeli nie zapisujemy obliczeń w postaci jednej formuły, znajomość kolejności wykonywania obliczeń wcale nie jest nam tu potrzebna. 6

4 16 10 1 WŁASNOŚCI LICZB Łączymy się w pary tak, aby suma w parze była parzysta. Zrobione? Każdy ma parę? To proszę zapamiętać, z kim tworzycie teraz parę. Teraz łączymy się w pary tak, aby suma w parze była liczbą nieparzystą. I znowu zapamiętujemy partnera. Tak, trzeba pamiętać obu! A teraz każda liczba łapie za rękę liczbę o większą. 5 3 1 4 6 Ile mamy zespołów? Gdyby było nas więcej, to jakie liczby byłyby dalej w tym zespole? A w tym zespole? Czy pamiętacie, z kim byliście w parze o parzystej sumie? To pokażcie ręką swojego partnera. A teraz wszyscy pokazujecie, z kim tworzyliście parę o sumie nieparzystej. Gdzie znajduje się pierwszy partner? A drugi? Dlaczego tak się stało? I znów najważniejsze jest zachęcenie dzieci do udziału w dyskusji, do prób opisywania, co się wydarzyło i prób formułowania wyjaśnień, dlaczego tak się stało, z czego to wynika. Bo to właśnie buduje rozumienie i strukturę wiedzy matematycznej. A co by się stało, gdyby to różnica miała być najpierw parzysta, a potem nieparzysta? Potrafimy na to pytanie odpowiedzieć bez łączenia się w pary? 7

Choć powtórzenie tych samych kroków dla odejmowania też ma swój walor kształcący. No to idziemy dalej. Uwaga! Łączymy się w pary tak, aby suma w parze była podzielna przez 3. Zapamiętujemy partnera. A teraz każda liczba łapie za rękę liczbę o 3 większą od siebie. Ile powstało łańcuchów tym razem? Wszyscy pokazują, z kim przed chwilą tworzyli parę. Widzicie, co się stało? Dlaczego tak się dzieje? A ile zespołów by powstało, gdybyśmy to powtórzyli dla sumy podzielnej przez 4? Dlaczego tak uważacie? Sprawdźmy, czy te przypuszczenia były słuszne. Zatem A gdyby suma miała być podzielna przez 5? Dlaczego? Jak widać, możliwości tematyczne ŻYWYCH LICZB są w zasadzie nieograniczone. Tym bardziej, że na kartonikach nie muszą być wcale kolejne liczby od 1 do 4, a mogą być, np.: liczby od 1 do 1 każda w dwóch egzemplarzach liczby od 0 do 9 oraz pełne dziesiątki: 10, 0, 30, Wszystko zależy od naszej pomysłowości oraz od tego, czy dzieci polubią tę formę pracy. Bo jest to praca, a nie zabawa! I, co więcej, bardzo matematycznie rozwijająca i budująca u uczniów motywację do ucznia się. I jedna ważna uwaga praktyczna. Nie należy za jednym razem sięgać po zbyt wiele pomysłów. Lepiej jest wybrać jeden (góra dwa), który w danym momencie jest dla nas najistotniejszy i nim zająć się możliwie dokładnie. A po inne sięgać przy kolejnych okazjach. Wspomnieliśmy na początku o tym, że metoda jest aktywna nie wtedy, gdy dziecko się rusza, ale wtedy, gdy rusza głową. Im więcej razy zadamy pytanie Dlaczego?, tym poziom aktywności intelektualnej dzieci będzie wyższy. Ale to, co dotychczas opisaliśmy, to zaledwie połowa szans, jakie ŻYWE LICZBY stwarzają.

Po zaplanowanej serii działań i dyskusji na ten temat dzieci wracają do ławek. Dobrze by było, żeby nie zdejmowały jeszcze swoich liczb, bo teraz jest właśnie pora na te drugie 50%. Przed chwilą zadbaliśmy o to, żeby bycie liczbą stało się dla dzieci realistyczne, żeby zdobyły pewną pulę doświadczeń. Wykorzystajmy to teraz, żeby dalej wspólnie zajmować się sensowną z punktu widzenia uczniów matematyką i porozwiązujmy zadania oraz problemy dotyczące tego, co przed chwilą robiliśmy. Teraz właśnie jest dobry moment, żeby np. wspólnie się zastanowić nad tymi wszystkimi pytaniami i problemami, które nie do końca rozwiązaliśmy podczas biegania z liczbami: Upewnijmy się, czy rzeczywiście, gdy tworzymy takie pary, w których liczby różnią się o 3 możemy tak to zrobić, żeby każdy miał parę. Wedle jakiej zasady powinniśmy tworzyć te pary? A gdyby było nas mniej, np. 0, też moglibyśmy to zrobić? Dlaczego? To kiedy się da, a kiedy nie da? Ale także jest to dobry moment, żeby rozwiązać więcej zadań podobnych do tych, które robiliśmy sobą chwilę wcześniej: Z kim liczba 1 połączyła się, gdy była tworzona para o parzystej sumie? A z jaką inną liczbą mogła się połączyć? I z jaką jeszcze? Pada polecenie: Tworzymy pary o sumie. Jakie pary mogą powstać? Ile ich wszystkich może być? Dlaczego? Pora NA ŻYWE CYFRY! Pomoce: kartoniki na wstążce do zawieszenia na szyi z cyframi od 0 do 9, albo samoprzylepne nalepki jednokrotnego użytku z napisanymi na nich liczbami. NAJPIERW W PARACH Dzieci dzielą się na pary. Jeśli jest ich nieparzysta liczba, to wcześniej możemy jednemu dziecku powierzyć ważną funkcję sekretarza (będzie notować na szarym papierze powieszonym na ścianie tworzone przez kolegów liczby), sędziego (będzie 9

sprawdzał, czy wszystkie zespoły dobrze rozwiązują zadania) czy po prostu naszego pomocnika. Dzieci ustawiają się w parach tak, aby się dobrze wzajemnie widzieć (np. w kręgu), po czym ustawiają liczby (zwróćmy uwagę na kierunek ustawiania i czytania liczb) zgodnie z kolejnymi poleceniami, np.: Budujemy jak największą liczbę. Odczytajmy, jaka to liczba. Jaka jest w niej cyfra dziesiątek, a jaka cyfra jedności? Które zespoły mają takie same cyfry dziesiątek? Który zespół utworzył największą liczbę? Każdy zespół oblicza, o ile jego liczba jest mniejsza od tej największej. 9 1 7 0 5 1 Budujemy jak najmniejszą liczbę. Odczytajmy, jaka to liczba.... Czy któryś zespół zbudował liczbę mniejszą od 10? Kiedy to jest możliwe? Czy był taki zespół, który w obu przypadkach ustawił tę samą liczbę? Kiedy to może się zdarzyć? Budujemy liczbę, która jest jak najbliższa 50 (30, 70,...). Co to znaczy: jak najbliższa? Próbujemy zbudować liczbę parzystą. Czy każdemu zespołowi się udało? Dlaczego? A teraz budujemy liczbę nieparzystą.... Przyjrzyjcie się innym liczbom. Która z nich jest najbliższa Waszej liczbie? O ile się obie liczby różnią?...... Warto te same polecenia powtarzać kilkakrotnie, za każdym razem w inny sposób tworząc pary. Pozwoli to dzieciom wykorzystać w kolejnych rundach to wszystko, 10

czego się nauczyły w poprzednich taka sytuacja silnie motywuje do uczenia się nowych rzeczy. I W TRÓJKACH! Dzieci łączą się w trójki. Oprócz cyfr potrzebują kartki i długopisu. Pracując w trójkach, uczniowie szukają odpowiedzi na szereg analogicznych pytań jak poprzednio, a także na wiele nowych, wynikających z możliwego rozszerzenia zakresu liczbowego, np.: Jaką największą liczbę dwucyfrową możecie zbudować, korzystając ze swoich cyfr? Jakie dwie cyfry w tym celu trzeba wybrać? A jakie powinniście wybrać, jeśli chcecie utworzyć najmniejszą dwucyfrową liczbę?... 5 3 9 Ile różnych liczb dwucyfrowych można ułożyć, gdy się ma trzy cyfry? Czy zależy to od tego, jakie to cyfry? Uczniowie mogą pracować w różny sposób, np. najpierw ustawiając liczbę, a potem ją zapisując, żeby łatwo było im sprawdzić, czy któraś liczba się nie powtarza. Jaką największą liczbę trzycyfrową możecie ustawić ze swoich cyfr? A jaką najmniejszą? Zbudujcie liczbę jak najbliższą 500. Czy możecie zbudować z nich trzycyfrową liczbę parzystą? A trzycyfrową liczbę nieparzystą? Liczbę parzystą mniejszą od 150? Liczbę nieparzystą mniejszą od 0? Zniknął warunek określający ilość cyfr w liczbie, ale na pewno nie każdy zwróci na to uwagę, więc może powstać pewien (niewielki) konflikt poznawczy. 11

I znów wszystko zależy od naszej wyobraźni i pomysłowości, umiejętności stawiania pytań oraz wiary w możliwości uczniów. PORA NA PEŁNE ZESTAWY! Dzielimy dzieci na zespoły. Liczbę zespołów i ilość cyfr w zespołach dobieramy w zależności od liczby uczniów: Jeśli np. jest ich 4, to dobrym pomysłem jest stworzenie trzech ośmioosobowych zespołów w każdym zespole będą wówczas cyfry od 0 do 7. Jeśli jest ich 1, to tworzymy dwa zespoły dziesięcioosobowe (cyfry 0-9), np. powierzając ostatniej osobie funkcję sędziego. Różne zespoły mogą mieć cyfry w innych kolorach, ułatwi to m.in. identyfikację zespołów. Zespoły rywalizują z sobą, ustawiając na czas liczby spełniające podawane warunki. Liczby są ustawiane w wyznaczonym miejscu (wskazane jest, aby dzieci musiały przebiec w tym celu kilka metrów) w taki sposób, aby koledzy z zespołu mogli je dobrze odczytać. I zaczynamy: Uwaga! Ustawiamy 17. Ten zespół, który zrobił to najszybciej dostaje punkt. 64 0 9 0 0 Tego typu polecenia bardzo ładnie pokazują różnicę między cyfrą a liczbą cyfra to znak, który uczniowie mają na sobie, liczba to to, co z tych znaków budują. 1

Koniecznie(!) trzeba pamiętać, żeby wśród ustawianych liczb były także liczby jednocyfrowe. Należy również pamiętać o uważnym dobieraniu poleceń do zestawu cyfr, którymi dysponują zespoły w liczbach nie mogą powtarzać się cyfry, bo dzieci mają je w jednym egzemplarzu, nie mogą także występować w nich te cyfry, których dzieci nie mają, bo np. rywalizują w ośmioosobowych zespołach. Kolejne polecenia warto sobie przygotować na kartce, pamiętając także o tym, aby każda cyfra była wykorzystywana mniej więcej tak samo często. Teraz odrobina obliczeń: Uwaga! Tym razem ja podaję działanie, a wy ustawiacie wynik. I znowu punkt zdobywa ten zespół, który jako pierwszy zastygnie w bezruchu z dobrze ustawioną liczbą. Zaczynamy: 1 + 5, 30, 7, 36 : 3,. 1 7 7 1 ŻYWE CYFRY, w odróżnieniu od ŻYWYCH LICZB, mają w opisywanej wersji wyraźnie rywalizacyjny charakter. Można go znacznie osłabić np. ustalając czas (30 sekund), jaki mają zespoły na ustawienie potrzebnej liczby. Bezpieczniej i spokojniej, ale mniej ekscytująco. Pora na coś trudniejszego: Uwaga! Tym razem będę opisywać tę liczbę, którą macie ustawić. Zaczynam. Jest to liczba dwucyfrowa, w której cyfrą jedności jest 4, a cyfra dziesiątek jest o większa. Jest to liczba dwucyfrowa, w której cyfra jedności jest o 3 większa od cyfry dziesiątek, a cyfrą dziesiątek jest 5. Jest to liczba dwucyfrowa, w której jedna cyfra jest o 5 większa od drugiej. I tyle o niej wiemy.. 13

W przypadku tego ostatniego polecenia istnieje kilka liczb spełniających podane warunki: 50, 61, 16, Zespoły muszą więc dodatkowo ustalić, którą z nich ustawiają. I, ponownie, pamiętajmy o tym, żeby po każdej serii poleceń już po powrocie do ławek, ale ciągle jeszcze z cyframi na piersiach wspólnie porozwiązywać kolejne zadania i problemy związane z tym, co działo się wcześniej: W pewnym momencie zespoły ustawiły liczbę 1. Czy pamiętacie, jakie było wtedy polecenie? A przy jakim innym poleceniu też trzeba ustawić 1? A jeszcze innym? Z jakich cyfr można ustawić liczbę dwucyfrową, w której cyfry różnią się o? Ile jest takich liczb? Jeśli będziemy o tym stale pamiętać, to zarówno ŻYWE CYFRY, jak i ŻYWE LICZBY będą faktycznie aktywizować uczniów, a uczniowie faktycznie będą się przy ich okazji uczyć. 14