Skrypt do laboratorium PRACOWNIA FIZYCZNA I Ćwiczenie 5: Wyznaczanie rozmiarów szczelin i obiektów za pomocą światła laserowego. Opracowanie: mgr Tomasz Neumann Gdańsk, 2011 Projekt Przygotowanie i realizacja kierunku inżynieria biomedyczna - studia międzywydziałowe współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego.
USTALENIA WSTĘPNE Wymagania wstępne: Zapoznanie się z wiadomościami teoretycznymi oraz przebiegiem ćwiczenia zawartymi w instrukcji do ćwiczenia. Cele ćwiczenia: 1. Usystematyzowanie wiadomości z korpuskularno-falowej natury światła. 2. Zapoznanie studentów z metodą pomiaru obiektów o bardzo małych rozmiarach, rzędu mikro metrów. 3. Wykonanie pomiaru rozmiaru szczelin, włosów, odległości pomiędzy włóknami w tkaninach, itp.. 4. Analiza zebranych danych pomiarowych, błędów pomiarowych oraz wykonanie odpowiednich wyliczeń. 5. Oszacowanie niepewności pomiarowych. 6. Sformułowanie wniosków. Wykaz przyrządów niezbędnych do wykonania ćwiczenia: Rys. 1: Układ pomiarowy: 1 - ława optyczna ; 2 - źródło światła laserowego ; 3 - badany obiekt ; 4 - ekran. Wykaz literatury podstawowej: 1. D. Halliday, R. Resnick, J. Walker - Podstawy fizyki. 2. M. Skorko - Fizyka dla studentów wyższych technicznych studiów zawodowych. 3. K. A. Tsokos - Physics for IB diploma. 4. K. Kozłowski, A. Zieliński - I Laboratorium z fizyki. 5. A. Zagórski - Metody matematyczne fizyki. 2
WPROWADZENIE DO ĆWICZENIA Fala elektromagnetyczna padająca na przeszkodę ulega ugięciu, a następnie promienie świetlne nakładają się na siebie. Dlatego wyznaczanie rozmiarów szczelin lub przeszkód za pomocą światła oparte jest na zjawiskach dyfrakcji i interferencji fal świetlnych. Obraz za pojedynczą szczeliną Na rysunku 2 przedstawiona została pojedyncza szczelina o szerokości d oddalona od ekranu o L, na którą pada prostopadła fala płaska. W świetle ugiętym docierającym do Rys. 2: Warunek na wystąpienie pierwszego minimum w obrazie dyfrakcyjnym. ekranu obserwacyjnego, fale pochodzące z różnych punktów szczeliny interferują ze sobą i wytwarzają na ekranie obraz dyfrakcyjny, złożony z jasnych i ciemnych prążków. W punkcie P 0 obserwować będziemy maksimum interferencyjne, gdyż wszystkie promienie świetlne wychodzące ze szczeliny w myśl zasady Huygensa będą w tej samej fazie. Aby wyznaczyć położenie minimum interferencyjne, rozważmy punkt P 1 (rys. 2), do którego dociera promień świetlny r 1 wychodzący z góry szczeliny oraz promień świetlny r 2 który wychodzi ze środka szczeliny. Jeżeli odległość r będzie równa połowie długości fali λ wówczas promień r 1 będzie w przeciwnej fazie niż promień r 2 i w punkcie P 1 nastąpi całkowite wygaszenie wiązki. W związku z tym każdy promień świetlny z górnej połowy szczeliny będzie się znosił z promieniem świetlnym oddalonym o d/2 z dolnej części szczeliny. Warunek na wygaszenie dla przybliżenia dalekiego pola można zapisać w postaci a po uproszczeniu 1 2 d sin ϕ = m1 λ, (1) 2 d sin ϕ = mλ, (2) w których m = 1, 2, 3,..., odpowiada kolejnym rzędom minimów interferencyjnych. W przybliżeniu w połowie odległości między każdą parą sąsiadów minimów interferencyjnych 3
występować będą maksima interferencyjne, które spełniają warunek d sin ϕ = (2m + 1) λ, m = 1, 2, 3,.... (3) 2 Względne natężenie światła obserwowane na ekranie w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny jest opisane zależnością I(ϕ) I m = ( sin α ) 2, (4) α w której α jest parametrem zależnym od szerokości szczeliny a, długości fali λ oraz kąta położenia ϕ w postaci α = πa sin Θ. (5) λ Zgodnie z równaniem 4 minima dyfrakcyjne wystąpią, gdy spełniony będzie warunek Rys. 3: Względne natężenie światła w obrazie dyfrakcyjnym pojedynczej szczeliny dla różnych szerokości szczeliny. α = mπ m = 1, 2, 3,..., (6) który po podstawieniu do równania 5 daje warunek na minimum dyfrakcyjne pojedynczej szczeliny opisany równaniem 2. Należy pamiętać, że względne natężenie centralnego maksimum wynosi ponad 90% całego obrazu. Pierwsze minimum boczne stanowi około 4, 5%, drugie około 1, 6%, a trzecie mniej niż 1%. Dyfrakcja na otworze kołowym Przepuszczając wiązkę światła przez otwór kołowy nie uzyskamy obrazu punktowego zgodnie z prawami optyki geometrycznej lecz na przemian występujące wzmocnienia i wygaszenia 4
Rys. 4: a) Obraz dyfrakcyjny powstały na ekranie za otworem kołowym; b) rozkład natężeń światła w obrazie. fali świetlnej. Obraz dyfrakcyjny otworu kołowego składa się z centralnego krążka (tzw. krążek Airy ego), otoczonego na przemian ciemnymi i jasnymi pierścieniami. Rozmiar dysku Airy ego wyznaczony jest przez położenie pierwszego minimum natężenia w obrazie dyfrakcyjnym, które jest opisane za pomocą równania sin Θ = 1, 22 λ d, (7) w którym d jest oznacza średnicę otworu. Zależność 7 można uogólnić do postaci sin Θ = k i λ d, (8) w której k i jest wyrazem skalującym dla kolejnych minimów (wartości k i dla kolejnych 5 minimów zostały umieszczone w tabeli 1) Jeżeli znamy odległość L przeszkody z otworem i-te minimum 1 2 3 4 5 k i 1,22 2,33 3,24 4,24 5,24 Tablica 1: Wartości czynnika skalującego k i. kołowym do ekranu oraz możemy skorzystać z przybliżenia sin ϕ = tg ϕ = ϕ, to promienie ciemnych pierścieni możemy wyznaczyć z zależności r i = k i λl d. (9) W takim przybliżeniu, rozkład natężenia światła w obrazie dyfrakcyjnym od otworu kołowego opisuje zależność J ( πdr ) 2 1 I(x, y) = I 0 λl, (10) πdr λl w którym J 1 jest funkcją Bessela pierwszego rzędu i rodzaju. W centralnym dysku skupia się około 84% całkowitego natężenia wiązki. 5
Dyfrakcja na dwóch szczelinach. Na rysunku 5 przedstawione zostały dwie szczeliny odległe o d od siebie, znajdujące się w odległości L od ekranu, na które pada prostopadła fala płaska. Na każdej szczelinie światło Rys. 5: Warunek na wystąpienie pierwszego maksimum w obrazie dyfrakcyjnym od dwóch szczelin. będzie ulegać ugięciu a po czym nastąpi ich nakładanie się. W świetle ugiętym docierającym do ekranu, falę pochodzące ze szczelin interferują ze sobą tworząc obraz dyfrakcyjny złożony z jasnych i ciemnych prążków. W punkcie P 0 obserwować będziemy maksimum interferencyjne, gdyż promienie świetlne dochodzące do tego punktu ze szczelin będą zgodne w fazie. Również w punkcie P 1, obserwować będziemy maksimum interferencyjne, jeżeli odległość r dwóch interferujących promieni ze szczelin będzie odpowiadała całkowitej wielokrotności długości fali λ. Warunek wzmocnienia w punkcie P 1 stosując przybliżenie dalekiego pola może być zapisany w postaci mλ = d sin ϕ, m = 1, 2, 3,..., (11) gdzie d oznacza odległość pomiędzy szczelinami. Pomiędzy kolejnymi wzmocnieniami będą występować minima interferencyjne. Warunek wygaszenia w obrazie interferencyjnym od dwóch szczelin możemy zapisać w postaci (2m 1) λ 2 = d sin ϕ, m = 1, 2, 3,..., (12) Wypadkowe natężenie światła przenoszone przez fale z dwóch szczelin można wyrazić wzorem sin 2 (ϕ) I = I 0 sin 2 (ϕ/2) 22 I 0 = 4I 0. (13) Z zależności 13 wynikałoby, że wszystkie maksima powinny mieć takie samo natężenie. Musimy jednak zwrócić uwagę, że rozważaliśmy jedynie pojedynczy promień świetlny wychodzący ze szczeliny, a więc zaniedbaliśmy szerokość szczeliny. W rzeczywistości warunek ten 6
nie jest spełniony i należy uwzględnić dyfrakcję na pojedynczej szczelinie. Natężenie światła ugiętego na pojedynczej szczelinie w takim przypadku przyjmuje postać I dyf = I 0 sin 2 (α/2) (α/2) 2, (14) w której α oznacza różnicę faz między promieniami pochodzącymi z dwóch brzegów szczeliny. Ostatecznie względne natężenie obrazu interferencyjnego dwu szczelin wynosi I = sin2 (α/2) sin 2 (ϕ) I 0 (α/2) 2 sin 2 (α/2). (15) Rys. 6: Obrazy interferencyjne uzyskane od dwóch szczelin różniących się szerokością - czerwona krzywa obrazuje szczelinę o znikomych rozmiarach, zielona szczelinę o rozmiarach d/3, niebieska szczelinę o rozmiarach d/2. Siatka dyfrakcyjna. Siatka dyfrakcyjna jest jednym z najbardziej użytecznych narzędzi do badania światła i obiektów, które emitują lub absorbują światło. Urządzenie to posiada N równoodległych szczelin, które przy N = 2 odpowiada układowi dwóch szczelin. Jeżeli do oświetlenia siatki dyfrakcyjnej użyjemy światła monochromatycznego i będziemy przechodzić stopniowo do coraz większej liczby N, to wykres natężenia światła będzie się zmieniał jak na rysunku 7. Z powyższego rysunku widać, że natężenie centralnego maksimum wzrasta proporcjonalnie do kwadratu liczby szczelin. Aby wyznaczyć warunek na maksimum kolejnego rzędu musimy postępować jak w przypadku układu dwóch szczelin, powtarzając rozumowanie analogicznie do wszystkich par szczelin. Ostatecznie dla przybliżenia dalekiego pola uzyskamy warunek d sin ϕ = mλ m = 1, 2, 3,..., (16) 7
Rys. 7: Obrazy interferencyjne uzyskane dla siatek o różnej liczbie szczelin z uwzględnieniem dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. w którym d jest odległością pomiędzy szczelinami i nosi nazwę stałej siatki. Jeżeli równanie 16 przekształcimy do postaci ϕ = arc sin mλ d, (17) to zauważymy, że położenie kątowe każdej linii zależy od długości fali światła padającego na siatkę. Dlatego też, jeżeli na siatkę pada światło o nieznanej długości fali, to pomiar kątów ϕ dla linii wyższych rzędów pozwala na wyznaczenie, za pomocą równania 16, długości fali tego światła. W obrazie interferencyjnym dwóch szczelin jasne prążki odpowiadające różnym długościom fali tak silnie nakładają się na siebie, że nie można ich rozróżnić. Przydatność siatki dyfrakcyjnej do rozróżniania bliskich siebie długości fali światła określona jest przez dyspersję kątową, zdefiniowaną jako odległość kątową między dwiema liniami ϕ, których długości fali różnią się o λ D = ϕ λ. (18) Im większe jest D, tym większa jest odległość pomiędzy dwiema liniami, których długości fali różnią się o λ. Dyspersja kątowa siatki dyfrakcyjnej wiąże się z kątem ϕ zależnością D = m d cos ϕ. (19) Aby uzyskać największą dyspersję, należy używać siatki o małej wartości stałej siatki i brać pod uwagę wyższe rzędy w obrazie interferencyjnym, nie zależy jednak od liczby szczelin N. Jednostką dyspersji w układzie SI jest radian na metr. Żeby rozdzielić linie, których długości fali są bliskie siebie, powinny one być możliwie jak 8
największe, czyli siatka powinna mieć dużą zdolność rozdzielczą R, która jest zdefiniowana jako rozróżnialna średnia długość fali λ śr do różnicy długości fal jeszcze rozróżnianych λ Zdolność rozdzielcza siatki dyfrakcyjnej jest opisana zależnością R = λ śr λ. (20) R = Nm, (21) czyli jest zależna od liczby szczelin. Typowe siatki dyfrakcyjne mają 200, 600, 1200 lub 2400 rys na milimetr. Obraz interferencyjny siatki o 600 szczelinach na milimetr przedstawia poniższy rysunek Rys. 8: Obrazy interferencyjne uzyskane dla siatek o różnej liczbie szczelin z uwzględnieniem dyfrakcji na pojedynczej szczelinie. Zasadniczym warunkiem uzyskania wyraźnego i niezakłóconego obrazu interferencyjnego jest spójność (koherencja) światła tzn. musi występować zgodność między fazami w różnych punktach wiązki światła lub w różnych wiązkach światła. Rozróżnia się spójność światła przestrzenną i czasową. Spójność czasową określa zgodność fazowa między wiązkami światła wychodzącymi z jednego punktu źródła rozciągłego po przebyciu przez nie pewnej drogi optycznej l c, zwanej długością spójności. Charakteryzuje ją również czas spójności τ, tj. najdłuższy przedział czasu, w którym zachowana jest zgodność fazowa między tymi wiązkami. Spójność światła przestrzenna jest to zgodność fazowa między wiązkami światła pochodzącymi z dwóch różnych punktów źródła rozciągłego. Zwykłe termiczne źródła światła wykazują bardzo mały stopień spójności przestrzennej. Stopień spójności wiąże się bezpośrednio z monochromatycznością światła - światło spójne musi być monochromatyczne. Jeżeli 9
światło monochromatyczne ma szerokość widmową µ, to czas spójności wynosi 1/ µ, a długość spójności c/ µ. Wynika stąd, że im mniejsza szerokość spektralna µ, tym większy czas spójności. Oznacza to, że światło idealnie monochromatyczne ( µ = 0) jest całkowicie spójne. Światło spójne możemy uzyskać następującymi sposobami a) przepuszczając wiązkę światła niespójnego przez mały otwór - długość spójności rośnie w miarę zmniejszania średnicy otworu. Ten sposób zastosowano w doświadczeniu Younga (spójność przestrzenna); b) rozdzielając wiązkę światła na cienkiej warstwie, a następnie zbierając po pewnym czasie rozdzielone wiązki w jednym punkcie. Ten sposób zastosowano w interferometrze Michelsona (spójność czasowa); c) używając laserów pracujących przy wykorzystaniu zjawiska emisji wymuszonej, zapewniających wysoki stopień spójności emitowanego światła. Lasery są jedynymi źródłami światła zapewniającymi, przy doskonałej monochromatyczności, możliwie największą długość i czas spójności przy dużym natężeniu światła. Typowe lasery gazowe pracujące w sposób ciągły mają szerokość widmową µ 10 2 s 1, co zapewnia długość spójności około 3000 km! (dla zwykłego termicznego źródła zaledwie 3 m). Tak więc, przy użyciu światła laserowego doświadczenie Younga można przeprowadzić, przesuwając dwie szczeliny bezpośrednio do lasera. Wszystkie przeszkody znajdujące się na drodze fal świetlnych powodują zakłócenie kształtu powierzchni falowych, co prowadzi do zjawiska ugięcia, czyli dyfrakcji światła. PRZEBIEG ĆWICZENIA Podczas pracy z laserem należy zwracać uwagę na to, aby skolimowana wiązka światła nie wpadła do oka. Nawet wiązka o małej mocy, rzędu mw, w przypadku zogniskowania jej na siatkówce, może wywołać lokalne uszkodzenie receptorów wzrokowych. Wyznaczanie długości fali światła laserowego Wiązkę światła z lasera kierujemy na siatkę dyfrakcyjną o znanej stałej siatki, ustawioną w odległości l od ekranu. Siatka i ekran powinny być prostopadłe do wiązki. Na ekranie dokonujemy pomiarów położeń maksimów obrazu dyfrakcyjnego. Jeżeli przez x 1, x 2,..., x k oznaczymy odległości pomiędzy maksimami 1, 2, k tego rzędu, to długość fali możemy obliczyć z warunku dla maksimum przy interferencji światła ugiętego przez siatkę dyfrakcyjną o następującej zależności λ = 2kl ax k 1 + x2 k 4l 2, (22) w którym a oznacza stałą siatki dyfrakcyjnej. Jeżeli spełniony jest warunek dalekiego pola, 10
tj. x k l, to równanie 22 można uprościć do postaci Wyznaczanie średnic drucików i szerokości szczelin λ = ax k 2kl. (23) Wiązkę światła laserowego kierujemy na badany drucik lub szczelinę i na ekranie, ustawionym prostopadle do wiązki w odległości l od badanego obiektu, mierzymy położenie jasnych plamek. Należy zwracać uwagę na numerację rzędów plamek. Plamka rzędu zerowego na tle śladu silnej wiązki nieugiętej może być błędnie uważana za dwie symetrycznie położone plamki rzędu pierwszego. Średnice drucików lub szerokość szczeliny wyznaczamy za pomocą zależności opisanej wzorem 3. Wyznaczanie średnic otworków Wiązkę światła laserowego przepuszczamy przez badany otworek o średnicy mniejszej niż przekrój wiązki. Na ekranie powstaje obraz dyfrakcyjny z jasnym krążkiem o średnicy d, który otoczony jest jasnymi i ciemnymi pierścieniami. Średnicę otworu wyznaczamy za pomocą wzoru 8 Zadania 1. Wyznaczyć długość fali światła lasera, wykorzystując siatkę dyfrakcyjną o znanej stałej siatki a. 2. Wyznaczyć szerokość pojedynczej szczeliny. 3. Wyznaczyć średnicę cienkiego drucika lub włosa. 4. Wyznaczyć średnicę przeszkody z otworem kołowym. OPRACOWANIE DANYCH POMIAROWYCH Niepewność wszystkich pomiarów oceniamy metodą różniczki logarytmicznej dla niepewności systematycznych. Względna niepewność pomiarów długości fali δ λ światła laserowego wynosi δ λ = λ = x + l. (24) λ x l Względna niepewność pomiaru grubości drucików, szerokości szczeliny oraz średnicy przeszkody kołowej możemy obliczyć z zależności δ d = d d = x + l + λ. (25) x l λ SPRAWDŹ CZY ROZUMIESZ. ZADANIA PROBLEMOWE 1. Na siatkę dyfrakcyjną o m = 100 rys/mm pada prostopadle promieniowanie o długościach fal λ 1 = 5890, 0 Å i λ 2 = 5895, 9 Å, obserwowane następnie na ekranie jako dwa leżące bardzo blisko siebie (lecz jeszcze rozróżnialne) maksima pierwszego rzędu. (a) Pod jakim kątem będą występować maksima pierwszego rzędu dla tych 11
fal? (b) Ile nacięć musiałaby mieć ta siatka, aby za jej pomocą można było rozróżnić linie w widmie trzeciego rzędu? Ile wynosiłaby wówczas stała tej siatki? ODP. a) α 1 = 3, 377, α 2 = 3, 380 ; b) 3 10 6 m. 2. Wiązka promieniowania lasera o długości λ = 653 nm pada prostopadle na zapisaną standardową płytę CD. Po odbiciu na ekranie ustawionym w odległości L = 1, 2 m zaobserwowano rząd plamek. Odległość między centralną plamką i sąsiednimi wynosi x = 0, 5 m. Oblicz odległość między ścieżkami zapisu. ODP. d = 1, 7 µm. 12
PRACOWNIA FIZYCZNA I - KARTA POMIARÓW WYZNACZANIE ROZMIARÓW SZCZELIN I OBIEKTÓW ZA POMOCĄ ŚWIATŁA LASEROWEGO...... nazwisko i imię data wykonania 1) Wyznaczenie długości fali światła laserowego x ij l i l 1 =...[ ] l 2 =...[ ] l 3 =...[ ] x 1j x 2j x 3j x 4j Stała siatki a=...[ ], x =...; l =...;;. 2) Wyznaczenie szerokości szczeliny x ij l i l 1 =...[ ] l 2 =...[ ] l 3 =...[ ] x 1j x 2j x 3j x 4j x =...; l =...;; 3) Wyznaczenie rozmiaru przeszkody -.... x ij l i l 1 =...[ ] l 2 =...[ ] l 3 =...[ ] x 1j x 2j x 3j x 4j 3) Wyznaczenie rozmiaru otworu kołowego. x =...; l =...;; 13
x ij l i l 1 =...[ ] l 2 =...[ ] l 3 =...[ ] x 1j x 2j x 3j x 4j x =...; l =...;;... podpis prowadzącego zajęcia 14