Prof. dr hab. inŝ. Jerzy Kisilowski Materiały pomocnicze z przedmiotu Metrologia dla studentów kierunku Transport Wszelkie prawa autorskie zastrzeŝone.
. WSTĘP Materiały pomocnicze stanowią uzupełnienie wykładu. podane zostaną podstawowe pojęcia, definicje oraz objaśnienia do tematów. Materiały są przygotowane w oparciu o wykład z tego przedmiotu. Ujęcie przedmiotu dla kierunku Transport zawiera w podstawowej części przedstawienie metod pomiarów wielkości stałych i zmiennych w czasie oraz przedstawienie przyrządu jako złoŝonej struktury zawierającej elementarne stopnie przetwarzania. Dla wielkości stałych i zmiennych w czasie przedstawione są elementy teorii błędu oraz metody wyznaczania funkcji opisujących cechy probabilistyczne pomiarów. Rozszerzenie materiału moŝna znaleźć w czterech pracach [,,3,4], w których są przedstawione szczegółowe omówienia tej problematyki. W Materiałach jest równieŝ przedstawiona ta część wykładu, którą trudno znaleźć w podanych podręcznikach. Jest to materiał zawierający równieŝ doświadczenie z własnych prac badawczych. W Materiałach cytowane będą niektóre definicje i określenia podane w tych czterech pracach, bez odnośników, skąd zaczerpnięto. Jest to materiał będący przedstawieniem podstawowych zagadnień omawianych na wykładzie. Prezentowane omówienia są obarczone pewnymi uproszczeniami i dlatego mogą w częściach zawierać braki w precyzji sformułowań. Tak naleŝałoby traktować wiele wyprowadzeń, w których pominięto pełny tok wyprowadzeń matematycznych. Przedstawione Materiały posiadają układ zgodny z organizacją toku studiów zaocznych.. Przedmiot ten zawiera osiem dwugodzinnych wykładów i w takim układzie starano się przedstawić Materiały. Wykłady tworzą równieŝ podstawę do ćwiczeń laboratoryjnych; wszystkie ćwiczenia są wykonane w oparciu o programy informatyczne, istnieje więc potrzeba posiadania wiedzy, co w trakcie obliczeń jest realizowane. Jest to pierwsze wydanie Materiałów pomocniczych i co roku będzie ich korekta. Materiały są drukowane jednostronnie, tak, aby wolne (niezadrukowane) strony umoŝliwiły robienie notatek na wykładach.
Literatura: [] J. Piotrowski Podstawy metrologii, PWN, Warszawa 978 i wydania następne. [] Praca zbiorowa pod red. J Kisilowskiego, Dynamika układu mechanicznego pojazd szynowy - tor (rozdział 4), PWN 99. [3] J. Kisilowski, Pomiary wielkości stałych i zmiennych w czasie, wyd. PW, Warszawa 997. [4] W. Styburski Przetworniki tensometryczne, konstrukcje, projektowanie, uŝytkowanie. WNT, Warszawa, 976. 3
. PODSTAWOWE POJĘCIA Z PODSTAW TECHNIKI POMIAROWEJ. NARZĘDZIA POMIAROWE. WZORCE rys.. W pomiarach występują wielkości mierzone i pomierzone. Wielkości mierzone potraktujmy jako zbiór. Dla zbioru, jako wielkości mierzonej moŝna podporządkować następujące własności: zbiór moŝe być ograniczony bądź nieograniczony; kaŝdy z tych dwóch moŝe być nieprzeliczalny bądź przeliczalny. Odpowiada to traktowanym funkcjom o zmienności od - do + ; tak traktowany zakres zmienności jest właściwy dla rozwaŝań teoretycznych. W praktyce pomiarowej będziemy wielkość mierzoną traktować jako zbiór ograniczony, co dla funkcji oznacza zakres zmienności od x min do x max. Zbiory nieprzeliczalne moŝna podporządkować funkcjom ciągłym, będącymi wielkościami mierzonymi. Zbiory przeliczalne to funkcje dyskretne, w których mamy dyskretyzację i kwantyfikację, tj. podzielonym wartościom zmiennych niemierzonych odpowiada wartość zmiennej zaleŝnej; w praktyce jest to jak na rys.. Tych pojęć będziemy uŝywać definiując następne określenia. W pomiarach przyjmiemy szereg załoŝeń, które dotyczą zarówno wielkości mierzonych, pomiarów oraz przyrządów pomiarowych. ZałoŜenie Pomiar wykonywany jest z niedokładnością róŝną od 0. ZałoŜenie Wielkość mierzona jest zbiorem zdarzeń losowych; czyli wielkość mierzona jest losową. MoŜemy przyjąć załoŝenie, Ŝe moŝna traktować wielkość mierzoną jako zdeterminowaną. Z definicji zmiennych losowych przyjmiemy, Ŝe zdarzenie pewne tj. prawdopodobieństwo równe występuje, gdy zmienna przyjmie wartości od - do +. Jak ograniczyć ten zakres dla praktycznych zastosowań powiemy w dalszej części wykładu. ZałoŜenie 3 Przyjmuje się, Ŝe przyrządy mają charakterystyki liniowe. Wiemy, Ŝe w rzeczywistości wszelkie charakterystyki będą miały mechaniczny charakter. ZałoŜenie 4 Sygnał pomiarowy posiada trzy dziedziny, dla których wyznacza się funkcje będące wynikiem pomiaru. Te dziedziny to dziedzina czasu, amplitudy i częstotliwości. 4
ZałoŜenie 5 Losowy sygnał pomiarowy będzie traktowany jako proces stochastyczny i stacjonarny w szerszym sensie i globalnie ergodyczny. Te własności pozwolą prowadzić pomiar i analizę sygnału na podstawie jednej realizacji (rys..b.). Warunki, jakie winna spełniać ta realizacja zostaną omówione w dalszej części. x x x i t i t t a.) x - wielkość mierzona, t - zmienna niezaleŝna (moŝe być to czas) Rys.. x x i (t) x (t) x n (t) b.) t x - wielkość mierzona - proces stochastyczny, t - zbiór okresowości procesu stochastycznego (najczęściej jest to czas, ale moŝe to być inna wielkość). x x i (t) Rys.. a.) Zbiór realizacji, b.) Jedna realizacja t 5
Zgodnie z Polską Normą przyjmuje się nazwę narzędzi pomiarowych, które są traktowane jako środki techniczne przeznaczone do wykonywania pomiarów. Narzędzia pomiarowe będziemy dzielić na wzorce i narzędzia pomiarowe. Omówmy niektóre wymagania i własności wzorców. Wzorce jednostek miar powinny posiadać następujące cechy: Niezmienność w czasie; warunek ten jest niezgodny z załoŝeniem. i dlatego zapiszemy to w postaci równania X = W 0 + f(t), gdzie W 0 - jest stałe, a f(t) jest losową funkcją czasu. MoŜna wykazać, Ŝe f max (t) 0 dla określonych warunków (w których wzorce się znajdują) i dla określonego czasu. Wtedy X W = W ± gdzie 0 jest zmienna. Tak więc parametrami wzorów są W 0-0 0 nominalna miara wzorca, - niedokładność miary wzorca oraz okres zachowania niedokładności miary wzorca. Parametry te są podawane na wzorcach lub w metryce wzorca. Łatwość odtworzenia Łatwość stosowania Największa dokładność odczytu. Wzorce dzielą się na podstawowe, I rzędu, II rzędu. Wzorce podstawowe są zdefiniowane zgodnie z układem SI. Jednostkami podstawowymi będącymi wzorami podstawowymi zgodnie z układem SI są: metr, niedokładność 0-8 kilogram masy, niedokładność 0-9 sekunda, niedokładność 0-5 Amper, niedokładność 0-5 Kelwin, w zaleŝności od metody niedokładność od 0,K do 0,000K Kandela, niedokładność ( ) 0-3 Mol - liczba atomów węgla zawarta w 0,0 kg czystego nuklidu węgla C Definicje tych wzorów są podawane we wszelkich źródłach omawiających układ SI. PoniŜej w tabeli podane zostaną jednostki podstawowe i pochodne zgodnie z układem SI. 6
Tabela. Jednostki miar w układzie SI. Lp. Nazwa wielkości Nazwa jednostki miary Skrót nazwy jednostki I II III IV Jednostki podstawowe. długość metr M. masa kilogram Kg 3. czas sekunda S 4. natęŝenie prądu elektrycznego amper A 5. temperatura termodynamiczna kelwin K 6. światłość kandela Cd 7. ilość materii mol Mol Jednostki uzupełniające. kąt płaski radian Rad. kąt bryłowy steradian Sr Jednostki pochodne. pole powierzchni metr kwadratowy M. objętość metr sześcienny M 3 3. częstość herc Hz 4. gęstość kilogram na metr sześcienny Kg/m 3 5. prędkość metr na sekundę M/s 6. prędkość kątowa radian na sekundę Rad/s 7. przyspieszenie metr na sekundę do kwadratu M/s 8. przyspieszenie kątowe radian na sekundę do kwadratu Rad/s 9. siła niuton N 0. ciśnienie niuton na metr kwadratowy N/m (Pa) (napręŝenie mechaniczne) (paskal). dynamiczny współczynnik lepkości niutonosekunda na metr kwadratowy Ns/m 7
I II III IV. kinematyczny współczynnik lepkości metr kwadratowy na sekundę m /s 3. praca, energia, ilość ciepła DŜul J 4. moc wat W = AV 5. ilość elektryczności (ładunek) kulomb C = As 6. napięcie elektryczne, róŝnica potencjałów, siła elektromotoryczna wolt 7. natęŝenie pola elektrycznego wolt na metr 8. rezystancja om 9. pojemność elektryczna farad V = kg m A s 3 V / m= kg m A s 3 Ω = kg m F A s 3 s = A 4 kg m 0. strumień indukcji magnetycznej weber. indukcyjność henr. indukcja magnetyczna tesla Wb s = A 3 3 kg m H = kg m T A s s = A kg m 3. natęŝenie pola magnetycznego amper na metr A/m 4. siła magnetoelektryczna amper A 5. strumień świetlny lumen lm = cd sr 6. luminacja (gęstość światłości) kandela na metr kwadratowy cd/m 7. natęŝenie oświetlenia luks cd sr lx = m 8
3. DEFINICJE POMIARU. MODEL ZMIANY WIELKOŚCI MIERZONEJ NA POMIERZONĄ. rys. 3. W pomiarze biorą udział dwa zbiory: x - zbiór wielkości mierzonych; jest to zbiór, który prócz innych cech (podane w poprzednim rozdziale) jest nieuporządkowany, y - zbiór wielkości pomierzonych; zbiór uporządkowany według wartości bądź według innych elementów, na przykład według czasu. Pomiar jest to czynność pobrania ze zbioru x wielkości x i i podporządkowania do uporządkowanego zbioru y (rys. 3.). W zbiorze y istnieją elementy tego zbioru ułoŝone na przykład według rosnących indeksów, czyli podporządkowanie wielkości x i do zbioru y, tj. znalezienie wielkości y i i y i +, które to wartości będą spełniały nierówność: y i x i y i+ Z nierówności tej wynika tej wynika równanie y y = > 0 i+ i ε i rys. 4. Przyjmuje się, Ŝe ε jest to niedokładność pomiaru, którego wartość jest symetrycznie rozłoŝona po dwóch stronach osi symetrii rozkładu prawdopodobieństwa wystąpienia błędu. ZałoŜenia o tematyczności rozkładzie błędu w pomiarach przyjmuje się powszechnie w teorii błędów wielkości mierzonych. Definiując wielkość mierzoną i pomierzoną przyjmijmy model zamiany wielkości mierzonej na wielkość pomierzoną. MoŜna to przedstawić na rys. 4. zbiór x x i y i Rys. 3. y i+ zbiory 9
P(ε) -ε +ε ε - ε + ε = ε Rys. 4. x EF y x - wielkość mierzona, y - wielkość przeliczona, EF - element funkcjonalny, nazywany równieŝ elementarnym stopniem przetwarzania. Rys. 5. 0
4. CECHY METROLOGICZNE PRZYRZĄDÓW POMIAROWYCH. PARAMETRY CHARAKTERYZUJĄCE PRZYRZĄDY POMIAROWE. a. Wskaźniki ograniczające miarę b. Skala - podziałki c. Działka elementarna d. Wartość działki elementarnej e. Obszar mierniczy podziałki f. Obszar mierniczy narzędzia g. Czułość przyrządu h. Dokładność przyrządu i. PrzełoŜenie wskazań j. Błąd wskazań przyrządu KaŜdy przyrząd charakteryzują parametry, które mówią o cechach tych przyrządów. Nazwa przyrządu moŝe zawierać rodzaj wielkości mierzonej, zasadę lub metodę pomiaru. Klasa niedokładności np. dla przyrządów do pomiarów parametrów elektrycznych ciąg klas niedokładności jest znormalizowany 0,; 0,6; 0,5; 0,4; 0,6; ;,6;,5;; 4; 6; 0. Niedokładność ta jest podana w procentach. Błędy dodatkowe przyrządu - gdy stosujemy przyrząd w warunkach odmiennych od warunków odniesienia. Własność dynamiczna przyrządu; zdolność przyrządu do pomiaru wielkości zmieniającej się w czasie. Zakres określony oddzielnie w trzech dziedzinach. Niezawodność przyrządu; prawdopodobieństwo bezbłędnego wykonania określonego pomiaru. Miara niezawodności to intensywność uszkodzeń dn λ( t) = ( )( ), gdzie n - liczba sprawnych elementów w przyrządzie lub n dt przyrządów w układzie pozornym, t - czas. JeŜeli λ = constans to prawdopodobieństwo sprawnej pracy przyrządu opisuje rozkład: p n = = e λ, gdzie n e - liczba wszystkich przyrządów lub elementów. JeŜeli λ constans, to prawdopodobieństwo sprawnej pracy przyrządu opisuje rozkład Weibulla. n e t
5. PRZETWARZANIE WIELKOŚCI MIERZONEJ NA POMIERZONĄ. Będziemy rozróŝniać dwa rodzaje przetwarzań: przetwarzanie statyczne i przetwarzanie dynamiczne. Przetwarzanie statyczne to takie, gdy zbiór wielkości mierzonej zamieniony zostaje na jedną wartość. Tych wartości moŝe być tyle, ile razy został wykonany proces zamiany. Przetwarzanie dynamiczne to takie, gdy zbiór wielkości mierzonych został przetworzony w całości na zbiór wielkości pomierzonych. Zbiór wielkości pomierzonych został uporządkowany według zmiennej niezaleŝnej, jaką jest czas. Przetwarzanie statyczne jest szczególnym przypadkiem przetwarzania dynamicznego.
6. PRZETWORNIKI POMIAROWE Przetwornik pomiarowy jest to element przyrządu pomiarowego bądź przyrząd pomiarowy, który przetwarza wielkość mierzoną na wielkość pomierzoną. Przetworniki pomiarowe mogą posiadać szereg cech; mogą być nieliniowe lub liniowe; przyjmijmy, Ŝe w metrologii przetworniki będą miały charakterystyki liniowe. Przetworniki mogą być czynne lub bierne. Czynne to takie, gdy na wyjściu wielkość pomierzona ma cechy energetyczne, bierne to takie, gdy wielkość na wyjściu mamy sygnał nie mający cech energetycznych. Często te przetworniki nazywamy parametrycznymi; na wyjściu obserwujemy zmianę parametrów, która to zmiana moŝe wywołać zmiany sygnałów posiadających cechy energetyczne. Na przykład zmiana oporności wywołuje w układzie mostkowym zmianę napięcia lub prądu. W przetwornikach do ich opisu uŝywamy parametrów skupionych i ich opis to w przetwornikach dynamicznych równania róŝniczkowe zwyczajne. Jeśli byłyby to parametry rozłoŝone, to do opisu zjawisk dynamicznych naleŝałoby stosować równania róŝniczkowe cząstkowe. Przetworniki posiadają szereg cech metrologicznych. Cechy te dotyczą przetworników dynamicznych. Są to następujące cechy: wartość sygnału y zaleŝy wyłącznie od zmiany wielkości x. Powszechnie mówi się o selektywności i dokładności przetworników. Funkcja przetworzenia powinna być jednoznaczna w całym zakresie pomiarowym i być niezaleŝna od czasu. Przez tą cechę rozumie się zakres pomiarowy i stabilności. pochodna dy dx niezaleŝna od x. (nazywana częstoczułością) powinna mieć określoną wartość i być przetwornik na wyjściu powinien zapewniać dogodną postać energii, najlepiej elektryczną bądź łatwą moŝliwość zamiany wielkości y na sygnał energetyczny. w przetworniku poziom szumów powinien w stosunku do sygnału mierzonego nieć małą wartość (co najmniej o rząd mniejszą niŝ minimalny zakres pomiarowy). przetwornik powinien posiadać małe oddziaływanie na wielkość mierzoną. przetwornik powinien posiadać znane przesunięcie fazowe lub powinien charakteryzować się brakiem przesunięcia fazowego. 3
7. PRZYRZĄDY POMIAROWE; ZASADY DZIAŁANIA Rys. 6. Przyrząd pomiarowy moŝna przedstawić w postaci schematu rys. 6. energia wielkość mierzona przyrząd wielkość pomierzona x y Rys. 7. Rys. 6. Przyrząd moŝna rozłoŝyć na elementy, które nazwiemy elementarnym stopniem przetwarzania. Elementarny stopień przetwarzania daje opisać się jednym prawem fizycznym. Elementarne stopnie przetwarzania moŝna łączyć w układy otwarte bądź zamknięte. RozwaŜmy następujące układy; otwarte to połączenie elementarnych stopni przetwarzania w obwód szeregowy bądź równoległy. Układ zamknięty to obwód ze sprzęŝeniem zwrotnym. RozwaŜanie nasze przeprowadzimy dla równania y = kx; równanie to opisuje elementarny stopień przetwarzania statycznego. Jest to równanie dla przetwarzania statycznego. Wyznaczmy równania dla róŝnych obwodów i nazwijmy to schematami strukturalnymi przyrządów. Równanie przetwarzania dla struktury szeregowej ma przedstawiać rys. 7. k k... k i x y x y x i y Rys. 8. Rys. 7. Połączenie szeregowe elementarnych stopni przetwarzania y = k k... k i x Równanie przetwarzania dla struktury równoległej ma przedstawiać rys. 8. k y x k i Rys. 8. Przetwarzanie równoległe elementarnego stopnia przetwarzania y = (k + k +... + k i ) x 4
Rys. 9. Przed wyznaczeniem obwodu zamkniętego w postaci schematu strukturalnego ze sprzęŝeniem zwrotnym zdefiniujemy węzeł rozgałęźny i sumacyjny (rys. 9.). Następnie wyznaczmy równanie obwodu zamkniętego ze sprzęŝeniem zwrotnym. a.) x węzeł rozgałęźny x b.) x x x x 3 węzeł sumacyjny c.) x x y x k + układ zamknięty x k k y = m k k Rys. 9. x W kaŝdym schemacie k moŝe być złoŝone z dowolnej struktury w postaci połączeń szeregowych, równoległych czy ze sprzęŝeniem zwrotnym. Przedstawione tu róŝne rodzaje struktur przyrządu pomiarowego zostaną wykorzystane równieŝ do przetworzenia dynamicznego. Trzeba tylko znaleźć równanie przetworzenia elementarnego stopnia dla przetworzenia dynamicznego. MoŜna stwierdzić, Ŝe w przetworzeniu dynamicznym zmiany wielkości wejściowych (wielkości mierzonych) powodują zmianę stanu energetycznego przyrządu. Dlatego zmiany stopni energetycznych opisują równania róŝniczkowe. Przy załoŝeniach przedstawionych w rozdziale., są to równania róŝniczkowe zwyczajne o stałych współczynnikach. Dla przyrządu złoŝonego z n elementarnych stopni przetworzenia otrzymuje się n róŝnych równaniach róŝniczkowych, struktura całego przyrządu daje równanie: f = f ( f, f,... f ), y x x x n gdzie f to funkcjonał, jego postać moŝe wynikać ze struktury przyrządu. 5
Dla przyrządu i przetwarzania dynamicznego będziemy rozwaŝać następujące przypadki (dla trzech dziedzin). na wejściu wielkością mierzoną jest sygnał zdeterminowany. Wtedy stosuje się transformatę Laplace a i uzyskujemy równanie: gdzie s y( s) = k( s) x( s) d = - operator Laplace a, k(s) - transmitancja operatorowa elementarnego dt stopnia przetwarzania. Mając strukturę przyrządu moŝna korzystając z podanych powyŝej zaleŝności znaleźć zaleŝność między wejściem i wyjściem z przyrządu. NaleŜy dać odpowiedź, jakie będą zaleŝności w dziedzinie częstotliwości; wprowadźmy operator Fouriera s jω. Otrzymamy wtedy zaleŝność następującą: y( jω) = k( jω) x( jω) W tym równaniu k( jω) jest to widmowa transmitancja elementarnego stopnia przetwarzania. To równanie moŝna równieŝ wykorzystać dla wyznaczenia opisu dla całego przyrządu (posiadając jego strukturę). Oddzielnym zagadnieniem jest szukanie zaleŝności między wejściem a wyjściem, gdy na wejściu do przyrządu pojawia się sygnał losowy. Omówimy to w następnym punkcie. 6
8. WYZNACZENIE FUNKCJI CHARAKTERYZUJĄCYCH SYGNAŁ LOSOWY W DWÓCH DZIEDZINACH rys. 0. RozwaŜać będziemy dwie dziedziny - czasu i częstotliwości. Dla dziedziny amplitudy analizę przeprowadzimy w dalszej części pracy. Wyznaczenie funkcji w dziedzinie częstotliwości jest konieczne ze względu na zdefiniowanie zaleŝności między wejściem a wyjściem w elementarnym stopniu przetworzenia, gdy na wejściu jest sygnał losowy. Jedną z funkcji charakteryzujących sygnał losowy w dziedzinie częstotliwości jest gęstość widmowa mocy. PokaŜemy metodą analogową wyznaczenie tej funkcji. Metoda ta często nazywa się metodą filtracji. Zasadę tej metody przedstawia rys. 0. y y y 3 t T ωt t y y y y F K UC 3 Rys. 0 gdzie: F - filtr pasmowy, K kwadrator, UC - układ całujący, T - czas trwania analizy rys.. Charakterystykę filtru pasmowego przedstawia rys.. A [db] 3dB f 0 f f Rys. gdzie: f - szerokość pasma przetwarzania (90 0) db wielkość tłumienia filtru na zewnątrz pasma przenoszenia, 3 db - zakres dopuszczalnych wahań sygnału wewnątrz pasma przenoszenia. 7
Objaśnijmy kolejne elementy tego układu. Nachylenie charakterystyk dla filtrów profesjonalnych wynosi od 90 0 db. Pierwsze filtry pasmowe były filtrami tercjowo-oktawowymi. W filtrach tercjowo-oktawowych szerokość pasmowa jest stałą funkcją częstotliwości środkowej filtru. Tak więc w miarę wzrostu częstotliwości rośnie szerokość pasma przetwarzania. Obecnie stosuje się filtry pasmowe o stałej szerokości. W typowych przyrządach do wyznaczania funkcji gęstości mocy, zakres częstotliwości dzieli się na 400 równych pasm przenoszenia. Korzystając z układu rys. 0. wzór na gęstość widmową jest następujący: rys.. S y ( ω) = ω T T 0 y dt Wyjście y 3 jest w postaci napięcia rejestrowanego na woltomierzu cyfrowym. Otrzymujemy wykres w postaci jak na rys.. Na tym wykresie przyjęto, Ŝe wykorzystujemy filtry o stałej szerokości. S(ω) ω ω ω 3 ω Rys.. Przedstawiona procedura jest przykładem i prezentowana jest dla wyjaśnienia istoty funkcji gęstości widmowej. Przeprowadźmy analizę w gęstości widma, aby odpowiedzieć, co moŝe ona obrazować dla róŝnych sygnałów. I tak jeśli y jest przemieszczeniem to kwadrat amplitudy dla danej częstotliwości, jeśli jest lokalnie maksymalny, to moŝna przyjąć, Ŝe dla tej częstotliwości moŝe wystąpić zjawisko rezonansu, gdy będzie to drgający układ mechaniczny czy elektryczny. Zgodnie z rys. moŝna przypuszczać, Ŝe w układzie, którego gęstość widmową przemieszczenia wyznaczono, będzie miał trzy częstotliwości rezonansowe. 8
JeŜeli y jest prędkością (w układzie mechanicznym), to gęstość widmowa prędkości obrazuje jaki w danej częstości jest poziom energii kinetycznej; kwadrat prędkości dla danego układu mechanicznego obrazuje poziom energii kinetycznej układu. JeŜeli y jest przyspieszeniem, to moŝna ocenić, dla których częstości będą występowały maksymalne siły. Jak widać, moŝna na podstawie gęstości widmowej mocy moŝna przeprowadzić róŝne rodzaje analiz. MoŜna równieŝ, posiadając gęstość widmową przemieszczeń, wyznaczyć gęstość widmową prędkości i przyspieszeń. Przedstawione poniŝej zaleŝności pokazują, Ŝe gęstość widmowa prędkości i przyspieszeń jest jawną funkcją częstości. JeŜeli y = Asin( ω it + ρ ) i jest to sygnał po wyjściu z filtra, to y& = Aω cos( ω t + ρ ) i i i oraz & y = Aω sin( ω t + ρ ). i i i Dla danej częstotliwości: S S S y y& ( ω ) = f [ A ;sin ( ω t + ρ )] i i i ( ω ) = f [ A ; ω ;cos ( ω t + ρ )] i 4 & y ( ω i ) = f [ A ; ωi ;sin ( ωit + ρi )]. i i i i Z tych zaleŝności moŝna wyznaczać wszystkie trzy funkcje w dowolnej kolejności. Kolejną funkcją charakteryzującą sygnał losowy w dziedzinie częstotliwości, jest funkcja koherencji. Korzystając z oznaczeń jak na rys. 5., moŝna wyznaczyć funkcję koherencji. Oznaczmy funkcję koherencji γ xy S ( ) xy ω k γ xy ( ω k ) =, S ( ω ) S ( ω ) x k y k to funkcja ta przybiera wartości z przedziału [0,]. W zaleŝności od wartości z przedziału [0,], jakie moŝe przybierać funkcja koherencji (wartość mniejsza od ), moŝemy mieć do czynienia z jednym z trzech moŝliwych przypadków: 9
Rys. 3. wyniki pomiaru są obarczone błędem wynikającym z obecności szumów zewnętrznych, układ wiąŝący sygnały x(t) i y(t) jest nieliniowy, sygnał y(t) jest wynikiem nie tylko oddziaływania na wejściu x(t), ale równieŝ innych sygnałów pojawiających się na wejściu. Często nazywamy te sygnały sygnałami dodatkowymi, będącymi tego samego rodzaju, co wielkość mierzona. W praktyce analizy w dziedzinie częstotliwości moŝna znaleźć wiele innych funkcji, jednak wymienione są podstawowymi, pokazującymi podstawowe własności sygnałów losowych w dziedzinie częstotliwości. Przedstawmy pozostałe funkcje charakteryzujące sygnał losowy w dziedzinie czasu. Realizacja, tj. sygnał będący funkcją czasu jest podstawowym charakteryzującym sygnał losowy. Trzeba pamiętać, Ŝe sygnał przedstawiony przez jedną realizację musi posiadać własności stacjonarności w szerszym sensie i być globalnie ergodyczny. Drugą funkcją charakteryzującą sygnał losowy w dziedzinie czasu jest funkcja autokorelacji. Funkcję tę wyznaczamy zakładając, Ŝe moment zwykły rzędu I, tj. wartość średnia jest równa zero. Dla sygnałów, które są np. w polu potencjalnym grawitacji ziemskiej te własności zawsze moŝna przyjąć. Funkcję autokorelacji wyznacza się zgodnie z zaleŝnością: T k ( τ ) = y( t) y( t + τ ) dt. y T 0 Obraz graficzny przedstawia rys.3. τ t i y(t i ) y(t I + τ) t T t zmienia się od 0 do T czas analizy Rys. 3. T Dla τ = 0, k y (τ ) = y ( t) dt - jest to funkcja średniokwadratowa. JeŜeli wartość T 0 średnia jest róŝna od zera, to wyznaczona funkcja nosi nazwę funkcji 0
autokowariancji, a dla τ = 0 wartość funkcji autokowariancji jest równa wariancji. W dziedzinie amplitudy funkcją charakteryzującą sygnał losowy jest gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy. To zadanie zostanie omówione w następnych rozdziałach.
9. ZALEśNOŚCI MIĘDZY TRZEMA DZIEDZINAMI SYGNAŁU BĘDĄCEGO PROCESEM STOCHASTYCZNYM τ = 0 gen. y(t) k(τ) cov(τ) F - t czas ω - częstotliwość A - amplituda F FFT y, δ y, y P(A) S y (ω) Rys. 4. gdzie: P(A) gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy, k(τ) funkcja autokorelacji y(t) realizacja sygnału będącego procesem stochastycznym cov(τ) funkcja autokowariancji S y (ω) gęstość widma mocy y - wartość średnia moment zwykły I rzędu δ - wariancja y wartość średniokwadratowa Rys. 4. Na rys. 4. pokazano relację między trzema dziedzinami charakteryzującymi sygnał losowy. Przekształcenie funkcji z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości odbywa się wykorzystując transformatę Fouriera. Opracowanie algorytmu i implementacja dla wyznaczenia bezpośrednio z realizacji S ), wykorzystano do y (ω tego celu szybką transformatę Fouriera. Często uŝywa się angielskiego skrótu FFT. MoŜna równieŝ, wykorzystujące odwrotną transformatę Fouriera F wyznaczyć z gęstości widmowej funkcję autokorelacji lub autokowariancji. Dla wyznaczenia funkcji charakteryzujących gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy naleŝy wyznaczyć zazwyczaj momenty zwykłe I i II rzędu, tj. wartości średnie i
wartości średniokwadratowe lub wariancją. Z gęstości widmowej moŝna moment II rzędu wyznaczyć (nie będzie to dokładne wyznaczenie), wyznaczając pole pod krzywą S y ( jω), a następnie uśredniając po zbiorze częstotliwości. Bezpośrednie wyznaczenie z P (A) gęstości widmowej mocy jest trudne. NaleŜy wygenerować y (t) na podstawie (A) informatyczne istnieją. P i generatora liczb losowych. Takie aplikacje 3
0. ZALEśNOŚCI MIĘDZY WEJŚCIEM A WYJŚCIEM ELEMENTARNEGO STOPNIA PRZETWARZANIA Przedstawimy dla róŝnych sposobów przetwarzania i dla róŝnych sygnałów wejściowych zaleŝności między wejściem a wyjściem dla elementarnego stopnia przetwarzania. Przetwarzanie statyczne y = kx Wielkości wyznaczone tworzą ciąg losowych zdarzeń. Przetwarzanie dynamiczne na wejściu sygnał zdeterminowany w dziedzinie amplitudy mocy y ( s) = k( s) x( s) w dziedzinie częstotliwości y ( jω) = k( jω) x( jω) na wejściu sygnał losowy S ( jω) y = k( jω) S ( jω) x Otrzymaliśmy zaleŝności dla elementarnego stopnia przetwarzania. Dla przyrządu lub systemu pomiarowego otrzymamy zaleŝności wynikające ze struktury przyrządu czy systemu pomiarowego. Struktura moŝe być kompilacją struktur szeregowych, równoległych bądź ze sprzęŝeniem zwrotnym. NaleŜy dodać, Ŝe w praktyce pomiarowej najczęściej stosowaną strukturą jest połączenie szeregowe przyrządu i w zaleŝności od rodzaju przetwarzania i rodzaju sygnału będzie odpowiednia postać wyraŝenia analitycznego. 4
. WYZNACZENIE CECH PROBABILISTYCZNYCH W DZIEDZINIE AMPLITUDY DLA SYGNAŁU LOSOWEGO Rys. 5 Zgodnie z załoŝeniami przyjętymi w rozdziale Materiałów sygnał pomiarowy traktujemy jako zmienną losową. Ze względu, Ŝe w tym sygnale zmienną niezaleŝną jest czas, to zmienną losową traktujemy jako proces stochastyczny. Dla procesów stochastycznych przyjęto, Ŝe posiadają one własności stacjonarności w szerszym sensie i są globalnie ergodyczne, co stwarza moŝliwość przeprowadzenia analizy jednej realizacji. Kilka uwag o procesach stochastycznych. W zastosowaniach bardzo często napotykamy procesy stochastyczne przebiegające w czasie, w przybliŝeniu w sposób jednorodny, i mające postać drgań losowych wokół pewnej wartości średniej, przy czym ani średnia amplituda, ani charakter tych fluktuacji nie wykazują istotnych zaleŝności od konkretnej chwili czasu. Takie procesy nazywają się stacjonarnymi. MoŜna podać wiele przykładów realnych procesów fizycznych, których charakterystyki probabilistyczne nie zmieniają się przy translacji osi czasu (lub zmieniają się bardzo wolno) i które wobec tego mogą być opisywane przez stacjonarne procesy stochastyczne. Tutaj przyjmiemy stacjonarność w szerszym sensie. Takimi procesami są np.: napięcie w elektrycznej sieci oświetleniowej, szumy losowe w radiotechnice, proces kołysania się statku na falującej powierzchni morza, proces drgań dowolnego punktu pojazdu szynowego poruszającego się ze stałą prędkością po torze prostym i in. Klasyfikację sygnałów losowych przedstawiono na rys. 5. sygnały stochastyczne sygnały stacjonarne w szerszym sensie sygnały niestacjonarne sygnały ergodyczne sygnały nieergodyczne specjalne odmiany niestacjonarności Rys. 5. Klasyfikacja sygnałów losowych 5
Sygnały stochastyczne mogą być zbiorem nieprzeliczalnym lub przeliczalnym i będziemy mieli do czynienia z sygnałem ciągłym lub dyskretnym. Sygnał ciągły moŝna zawsze zamienić na dyskretny, natomiast odwrotny proces posiada szereg ograniczeń. Dla porządku podajmy definicję procesu stacjonarności w węŝszym i szerszym sensie (definicje te są podawane dla przedstawienia róŝnicy tych dwóch rodzajów procesów stacjonarnych). Powiemy, Ŝe proces stochastyczny x(t) jest stacjonarny w węŝszym sensie, jeŝeli dla dowolnego n, dowolnego układu wartości t,..., t n parametru t T i dowolnego h takiego, Ŝe (t i + h) T (i =,...,n) jest spełniona nierówność: F ( x,..., xn ) = Ft + h,..., t h ( x,..., x ) t,..., tn n + n gdzie: F ( x,..., x ) - dystrybuanta rozkładu wielowymiarowego n t,..., t n F ( x ) F ( x ) F 0( x ) F t = t t = ( x, x) = F0, t t ( x, ) t, t x Oznacza to, Ŝe rozkład jednowymiarowy procesu stacjonarnego w węŝszym sensie jest jednakowy dla kaŝdej chwili, natomiast rozkład dwuwymiarowy zaleŝy tylko od róŝnicy chwil, dla których przyjęto wartości procesu. Proces stochastyczny X(t), dla którego istnieje wartość przeciętna E x (t) i funkcja korelacyjna K x (t, t ) jest stacjonarny w szerszym sensie, jeŝeli: E x ( t) = const, K x ( t, t) = K x ( t t) = K x ( τ ) ; τ = t t tzn. wartości funkcji autokorelacji zaleŝą tylko od róŝnicy τ = t t. Przyjęło się nazywać procesy stacjonarne w szerszym sensie procesami stacjonarnymi. Właściwości procesów losowych moŝna kreślić dwiema metodami: metodą uśredniania w czasie poszczególnych funkcji losowych zbioru, metodą uśredniania w zbiorze poszczególnych chwilach czasu. Rozpatrzmy na przykład i-tą realizację x i (t) procesu stochastycznego. JeŜeli proces stochastyczny x(t) jest stacjonarny i wartości E x (i) i K x (τ,i) określone są zaleŝnościami: 6
Ex ( i) = lim xi ( t) dt, T T T 0 Rys. 6. T K x ( τ, i) = lim xi ( t) xi ( t + τ ) dt, T T 0 są jednakowe dla róŝnych realizacji, to taki proces losowy nazywa się ergodyczny. Ta definicja jest skrótowym opisem i rozróŝnia się ją jako ergodyczność globalna (szersze rozwaŝania na ten temat moŝna znaleźć np. w pracy J. Szabatin). Powszechnie przyjmuje się, Ŝe proces stochastyczny jest ergodyczny, rozumiejąc, Ŝe mówimy o ergodyczności globalnej. Dla ergodycznego procesu losowego, wartość średnia i funkcja korelacji (jak i inne momenty uzyskane przy wyznaczaniu w czasie) równają się odpowiednim średnim w zbiorze, a więc E x (i)=e x i K x (τ,i)=k x (τ). NaleŜy zauwaŝyć, Ŝe tylko procesy stacjonarne mogą wykazywać cechę ergodyczności. Ergodyczne procesy losowe stanowią waŝną klasę procesów losowych, poniewaŝ wszystkie właściwości procesów ergodycznych mogą być wyznaczone z jednej realizacji. Na szczęście w praktyce procesy stochastyczne odpowiadające stacjonarnym zjawiskom fizycznym są na ogół ergodyczne. Dlatego w większości przypadków moŝna prawidłowo wyznaczyć charakterystyki stacjonarnego procesu losowego na podstawie jednej realizacji, która posiada dostatecznie długi czas trwania (pomiaru). Czas trwania pomiaru zazwyczaj oznaczamy jako T i wyznaczenie jego wartości jest związane z analizą w dziedzinie częstotliwości. Jeśli ustalimy charakter badanego zjawiska, którego parametry i funkcje mierzymy, to waŝnym zadaniem jest określenie zakresu pomiaru w trzech dziedzinach. Zakres pomiaru w dziedzinie częstotliwości ustalimy wyznaczając dolny zakres częstotliwości (będziemy posługiwać się częstotliwością f) oraz górny zakres częstotliwości. Na jakie wielkości w innych dziedzinach ma zakres częstotliwości wpływ? Dolna częstotliwość wpływa na czas pomiaru T. Zobaczmy to na rys. 6. f maleje T rośnie 0 f Rys. 6. 7
Rys. 7. JeŜeli f maleje do 0, to T rośnie do. Przy częstotliwości 0 mamy pomiar statyczny, dla f róŝnego od 0 pomiar dynamiczny. MoŜna przyjąć, Ŝe czas trwania pomiaru musi być większy lub równy okresowi najmniejszej częstotliwości. Górny zakres częstotliwości ma wpływ na częstotliwość próbkowaną w procesie zamiany sygnału ciągłego w dyskretny. Częstość próbkowania najczęściej nazywana t, aby moŝna było mówić o górnym zakresie częstotliwości w analizie sygnału dyskretnego, to t musi spełniać warunek Nyugvista, tj. t musi być tak małe, aby moŝna było zrobić co najmniej dwa odczyty w okresie najwyŝszej częstotliwości Te dwa elementy są niezwykle waŝne w praktycznej analizie sygnałów będących realizacją procesu stochastycznego. Trzeba pamiętać, Ŝe wszelkie obliczenia analizy są wykonywane z wykorzystaniem komputera, czyli są to zbiory przeliczalne ograniczone. RozwaŜmy teraz realizację procesu stochastycznego i wyznaczmy częstości występowania amplitudy o określonej wartości (rys. 7). x(t) = T t x i i i t t t 3 t 4 t5 t 6 t 7 t 8 x i + x x i t Rys. 7. Zadanie to będziemy rozwiązywać na trzy sposoby. Pierwszy sposób to wyznaczenie częstości w postaci czasu przebywania realizacji w wielkości x i + x, gdzie x i to wartość sygnału, x wartość przedziału, w którym znajduje się 8
realizacja. Oznaczmy czas przebywania wielkości x i w przedziale x i + x jako W x = it T x T i T. xi JeŜeli T dąŝy do nieskończoności a x dąŝy do zera, to częstość dąŝy do prawdopodobieństwa. Drugi sposób wyznaczania częstości zdarzeń wiąŝe się z liczbą przekroczeń realizacji przez poziom x i. Zakres od minimalnego do maksymalnego wartości realizacji podzielmy przez x; otrzymamy k przedziałów. Wszystkie przekroczenia wszystkich k przedziałów zsumujemy i otrzymamy liczność N, traktujemy to jako sumę wszystkich zdarzeń, przekroczenia k poziomów. Częstość zdarzeń wynosi w i-tym przedziale: W x = i n x i N Wyznaczamy częstotliwość dla wszystkich przedziałów. Trzeci sposób to jako zdarzenie w i-tym przedziale potraktujemy takie, w którym nastąpi zmiana znaku pochodnej (moŝna nazwać to jako lokalne maksimum). Liczbę tych zdarzeń w i-tym przedziale oznaczmy punktów realizacji oznaczmy N, wtedy częstość zdarzenia wyniesie: W ' xi ' n x = i. ' N ' n x i, a liczbę wszystkich takich Oczywiście wszystkie te częstości wyznaczamy dla wszystkich k przedziałów. Ostatnia metoda ma duŝe znaczenie np. w badaniach wytrzymałościowych; istotnym jest maksymalne napręŝenie a nie wielkość uśredniona. Otrzymane w ten sposób częstości moŝemy odłoŝyć w układzie współrzędnych W(x). Otrzymamy histogram (rys. 8) lub krzywą schodkową (rys. 9). Odpowiadają te krzywe słupkowe krzywym ciągłym tj. gęstości prawdopodobieństwa i dystrybuancie. 9
W(x) P(x) 0 x x + x x + x... x W(x)- częstość zdarzeń danej amplitudy histogram P(x) funkcja gęstości prawdopodobieństwa Rys. 8. W (x) F(x) 0 x x + x x + x... x W (x) krzywa schodkowa, F(x) dystrybuanta ciągła Rys. 9 30
.. WYZNACZENIE ZAKRESU MINIMALNEJ I MAKSYMALNEJ AMPLITUDY REALIZACJI PROCESU STOCHASTYCZNEGO. Rys. 0 Wiadomo z zasad rachunku prawdopodobieństwa, Ŝe zdarzenie pewne (prawdopodobieństwo równe ) wystąpi, jeśli wielkość zmiany x będzie w zakresie od - do +. Takie zdarzenie w praktyce jest nierealizowalne NaleŜy wyznaczyć wartość, która będzie w zakresie realnie występujących dla danego sygnału, czyli wyznaczyć wielkości minimalną i maksymalną sygnału, które będziemy traktowali jako poprawne pozostałe wielkości odrzucimy (mniejsze od minimalnej i większe od maksymalnej). Zgodnie z zasadami dotyczącymi błędów wielkości odrzucone traktujemy jako obarczone błędem grubym. Zgodnie z definicją gruby to taki, którego wartości przekraczają pewną wartość zwaną graniczną. MoŜna przyjąć, Ŝe jeśli przyrząd ma dokładność a, to jeśli błąd jest większy o rząd od a, to traktujemy, Ŝe błąd jest gruby i odczyt pomiaru odrzucamy. Przedstawiona definicja moŝe być sformułowana inaczej i dotyczy ona pomiarów, w których wyniki traktujemy jako zdarzenia losowe, np. w przetwarzaniu statycznym. NaleŜy pamiętać, Ŝe powodów powstania błędów grubych nie jesteśmy w stanie ustalić. Błędy, ze względu na charakter będziemy dzielili na: grube, systematyczne i przypadkowe. Błędy systematyczne to takie, w których znamy źródła ich powstawania. Są one co do znaku i wartości stałe. MoŜna w wyniku pomiaru je uwzględnić. Błędy przypadkowe omówimy w dalszej części wykładu. Przejdźmy do wyznaczenia maksymalnej i minimalnej wartości realizacji procesu stochastycznego. Zadanie moŝna przedstawić dwojako; po pierwsze, mamy histogram a następnie funkcję gęstości prawdopodobieństwa, wielkości maksymalne i minimalne i znajdujemy odpowiedź, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia tych maksymalnych i minimalnych. Po drugie, mamy histogram a następnie funkcję gęstości prawdopodobieństw; przyjmujemy, Ŝe interesuje nas, aby wartości maksymalne i minimalne wystąpiły z prawdopodobieństwa α, zakładamy wielkość α, jeśli te wielkości są poza tą granicą, to obliczamy je i powtarzamy procedurę. Przedstawiamy to na rys. 0. Dla tego rozkładu wyznaczyliśmy pierwsze dwa momenty E( x) x oraz σ i σ na podstawie wyników pomiarów i procedur, o których powiemy w dalszej części pracy. 3
P(x) -(α + α ) α α α α -(α + α ) x min x min x max x max x Rys. 0. x min i x max z pomiarów α pole pod krzywą na lewo od x min do - α pole pod krzywą na prawo od x max do + Prawdopodobieństwo wystąpienia x min i x max wynosi ( α + ), jest to postępowanie pierwsze. ' ' ' Postępowanie drugie przyjmujemy α = α + α oraz α = ' α α - rozkład symetryczny. Jak widać, po przyjęciu α, wyznaczymy ' x max i ' xmin mniejsze i większe od x min i x max, dla naszego załoŝenia odrzucimy x max i x min, poniewaŝ prawdopodobieństwo ich wystąpienia jest większe od Ŝądanego, dlatego odrzucimy wyniki x max i x min, czyli postępujemy tak, jak z błędem grubym. Następnie wyznaczmy nowe x oraz σ i σ i powtarzamy całe rozumowanie. Powtarzamy postępowanie tyle razy, aŝ Ŝądane warunki zostaną spełnione. Omówimy tok postępowania stosując test Romanowskiego (inny tok postępowania moŝe wynikać z testu Grubtsa). Tok postępowania w tym przypadku jest następujący: z danych eksperymentalnych wyznaczamy x i (t) (i-tej realizacji procesu x i ) wartość średnią x i oraz x, imin imax x, przyjmujemy poziom istnienia α oraz dla danej N (liczby zdarzeń) odczytujemy z tablic t α (tablica jest wprowadzona do pamięci komputera), 3
x jeśli są spełnione nierówności: x i i min > tα σ oraz xi x min i > t, to naleŝy σ α odrzucić wyniki x i imin imax x jako obarczone błędem grubym na poziomie istotności α. Po odrzuceniu wyników x i min i x powtarzamy obliczenie x i i oraz max σ i σ i powtarzamy procedurę tak długo, aŝ ilorazy będą mniejsze od t. W α ten sposób uzyskaliśmy wyniki, które mogą być dalej podmiotem analizy. NaleŜy dodać jeszcze jeden element, a mianowicie, ile ma wynosić K, tj. ile przedziałów dla danej realizacji powinniśmy przyjąć. ZaleŜy to od liczby zdarzeń N lub N. Orientacyjne zaleŝności między ilością K przedziałów a ilością N zdarzeń podaje poniŝej zamieszczona tablica. N 00 400 600 800 000 K 0 0 4 7 30 Jak widać z przedstawionej tablicy w miarę wzrostu K maleje x (dla tej samej realizacji) i rośnie ilość zdarzeń N, prawdziwa jest zaleŝność, Ŝe jeśli x 0, to N i histogram moŝna zastąpić krzywą ciągłą przedstawiającą gęstość prawdopodobieństwa. Dla sygnałów pomiarowych i ich dalszej analizy w dziedzinie amplitud te własności mają zasadnicze znaczenie. 33
Rys.... WYZNACZANIE GĘSTOŚCI PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYSTĄPIENIA AMPLITUDY DLA SYGNAŁÓW BĘDĄCYCH REALIZACJĄ PROCESU STOCHASTYCZNEGO Proces wyznaczania gęstości prawdopodobieństwa występowania amplitudy jest wieloelementowy. W trakcie ćwiczeń laboratoryjnych to zadanie jest w pełni skomputeryzowane. Podane poniŝej zostaną poszczególne elementy tych działań bez ich szczegółowego omówienia. Zakres tych działań jest następujący: wyznaczenie funkcji największej wiarygodności a następnie wyznaczenie parametrów, które występują w zaleŝnościach analitycznych, opisujących gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy. Są to następujące rozkłady: normalny, logarytmo-normalny, Rayleigna, gamma, wybór tekstu zgodności; wyboru dokonano z dwóch testów χ i λ. Wybrano test λ - Smirnowa-Kołmogorowa jako dogodniejszy dla badania sygnału będącego realizacją procesu stochastycznego, gdy sygnał ma znaczenie inŝynierskie (siła, prędkość, przyspieszenie, napręŝenie, itp.), przyjęcie poziomu istotności α, dla którego jest prowadzony test zgodności. Powszechnie rozumie się rozkład empiryczny jako krzywą schodkową a rozkład teoretyczny jako funkcję ciągłą opisującą gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy. MoŜna obrazowo wielkość α przedstawić na wykresie rys.. F(x) W (x) α 0 x x + x x x x + x x 3 Rys.. 34
Następnie dokonuje się weryfikacji hipotezy 0 H, która mówi, Ŝe dwa rozkłady teoretyczny i praktyczny nie mogą być opisane tą samą zaleŝnością matematyczną. W naszym przypadku odrzucenie hipotezy przedziału x i zgodność tych dwóch krzywych to 0 H. Otrzymujemy rezultaty hipotezy 0 H dla kaŝdego + x. MoŜe okazać się, Ŝe dla róŝnych przedziałów mogą być róŝne rezultaty, raz odrzucimy hipotezę więc dokonać testowania hipotezy 0 H, raz tę hipotezą przyjmiemy. MoŜna 0 H w kaŝdym przedziale. Następnym elementem w procesie stochastycznej oceny wyniku procesów jest znajdowanie ocen (wartości przybliŝonych) dla momentów otrzymanych z pomiaru. Takie wartości będziemy nazywać estymatorami i będziemy je oznaczać daszkiem xˆ czy ˆ σ,... Tutaj trzeba pamiętać, Ŝe przy wzroście liczebności N, wartość x estymatora dąŝy do ocenianego parametru. MoŜna przypomnieć podstawowe wzory na poszczególne parametry, momenty; i tak: wartość średnia z N doświadczeń N xˆ = N i= x i ten estymator jest nieobciąŝony (nieobciąŝenie oznacza, Ŝe nie popełniono błędu, równieŝ statystycznego) NieobciąŜonym estymatorem wariancji jest zaleŝność: ˆ σ N = ( x N n= i xˆ) Jeśli badana zmienna losowa (proces stochastyczny) jest normalna (rozumiemy, Ŝe gęstość prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy w realizacji procesu stochastycznego jest opisana funkcją Gaussa), to oceną nieobciąŝoną estymatora odchylenia standardowego jest zaleŝność: N ˆ σ = K N ( xi ), n i= a x gdzie: gdzie N Γ[ ( N )] K N, Γ ( N) Γ x t ( x) = t e dt 0 - to funkcja Gamma-Eulera 35
Dla dowolnego rozkładu opisującego prawdopodobieństwo wystąpienia amplitudy realizacji x(t)_ przy znanej wartości x oceną nieobciąŝoną wariancji jest: N N σ = ( x xˆ). x i i= Wprowadźmy pojęcie m - moment zwykły rzędu s, s rzędu s. Przykładem momentu zwykłego rzędu jest centralnego rzędu : µ σ. ˆ µ - moment centralny s m x, a momentu Badamy hipotezę H, która mówi o tym, Ŝe m ˆ = m i dlatego przyjmiemy hipotezę albo ją odrzucimy. Jest to relacja bezpośrednia (nie taka, jak hipoteza 0 H ). Testowanie tej hipotezy wykonuje się w oparciu o program matematyczny będący implementacją matematyczną tego postępowania. Przedstawiony tok postępowania jest wystarczający dla zakresu studiów zaocznych. 36
. ELEMENTY TEORII BŁĘDÓW Zgodnie z przyjętymi w rozdziale zasadami ze względu na sposób powstawania błędu będziemy mówili o błędach grubych, systematycznych i przypadkowych. W poprzednim rozdziale omówiono błędy grube i systematyczne. Obecnie omówimy zasady wyznaczania błędów przypadkowych. Ze względu na sposób wyznaczania błędów będziemy rozróŝniać błędy bezwzględne i względne... BŁĘDY PRZYPADKOWE P (x) P( ) σ σ 0 0 x x Rys.. Rys.. Jeśli zgodnie z rys.. wyniki pomiaru moŝna przedstawić jako rozkład gęstości prawdopodobieństwa wystąpienia amplitudy, zgodnie z definicją błędu bezwzględnego otrzymamy: = x x p, gdzie: x - wielkość pomierzona, x - wielkość poprawna. p Przyjęto traktować, Ŝe wielkość poprawna to moment zwykły I rzędu, a estymator wyznaczany z doświadczeń to wartość średnia x p = xˆ. JeŜeli przesuniemy oś P(x) o wartość xˆ, to nastąpi zamiana znanych; x będzie równowaŝne x, a zamiast P(x) otrzymamy P( x). Tak więc na skutek 37
przekształcenia liniowego nie zmieni się charakter krzywej obrazującej gęstość prawdopodobieństwa. Obydwie krzywe P(x) i P( ) są co do kształtu identyczne. Przy wyznaczaniu błędu będziemy rozwaŝać dwa przypadki; pierwszy, gdy ilość zdarzeń N > 30 i drugi, gdy N < 5. Drugi przypadek wynika z faktu moŝliwości podziału 30 pomiarów na dwie serie lub moŝliwości wykonania mniejszej liczby pomiarów. Z przedstawionego na rys.. wykresu P(x) naleŝy odpowiedzieć na pytanie, jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia błędu o zakresie,. W pomiarach np. wielkości elementów maszyn przyjęto traktować za pewien standardowy błąd wielkości ± 3σ. NaleŜy pamiętać, Ŝe krzywa na rys.. jest opisana zaleŝnością (jest to rozkład normalny). P ( ) = exp σ Π σ Jak widać w wyŝej podanym wzorze parametrem określającym kształt krzywej jest wielkośćσ. Z rys.. wynika, iŝ σ > σ. NaleŜy dodać, Ŝe dla malejącej wartości σ max P ( ) rośnie, gdy σ dąŝy do 0, to rzędna P( ) maksymalnie dąŝy do. Jak więc widać są spełnione warunki, aby moŝna było zdefiniować δ - Direca, wykorzystując gęstość prawdopodobieństwa. Dla błędu ± 3σ prawdopodobieństwo jego wystąpienia wynosi 0,9973. Błąd trzysigmy traktuje się jako błąd standardowy i najczęściej się go wyznacza. Jak widać ze wzoru na P ( ) wielkość prawdopodobieństwa wystąpienia błędu nie zaleŝy od ilości pomiarów. Przyjęto traktować, Ŝe liczba pomiarów przy wyznaczaniu błędu z wykorzystaniem krzywej Gaussa powinna być dostatecznie duŝa i przyjęto jako granicę liczbę 30 pomiarów. Korzystając z przedstawionych rozwaŝań moŝna wyznaczyć błąd trzysigmowy według następującej procedury: wyznaczyć wartość średnią xˆ, obliczyćσ odchylenie średniokwadratowe, jeśli mamy kilka serii pomiarów, wyznaczyć σ ', wynik pomiaru wyniesie x ˆ ± 3σ. MoŜna, korzystając z zaleŝności na P ( ) wyznaczyć błąd dla dowolnego prawdopodobieństwa jego wystąpienia, np. α = 0, 95, gdzie α = 0, 05 poziomu 38
istotności. Przygotowane ćwiczenia laboratoryjne pozwalają wyznaczyć tego typu błędy bezwzględne. RozwaŜmy teraz przypadek drugi, gdy liczba pomiarów jest mniejsza niŝ 5. Dla tak małej ilości pomiarów postać krzywej gęstości prawdopodobieństwa powinna zaleŝeć od liczby pomiarów, a właściwie uŝywa się pojęcia liczby stopni swobody K = N, czyli moŝna otrzymać błąd juŝ dla dwóch pomiarów. Dla tego rys. 3. celu uŝywa się rozkładu t studenta (rys. 3.). T ( t, K) α α α t 0 t x Rys. 3. t Przy załoŝeniach, Ŝe wyniki pomiarów mają układ normalny, moŝna dowieźć, Ŝe zmienna losowa unormowana. ( x x) n t = σ podlega rozkładowi t studenta, T ( t, K), gdzie K = N - liczba stopni swobody. Ze względu na dość skomplikowaną postać funkcji T ( t, K) będziemy posługiwać się tylko jej symbolem. Pominiemy szczegółowe rozwaŝania, przyjmiemy prawdopodobieństwo α i moŝemy korzystając z tablic znaleźć t (rozkład jest symetryczny) t = t, wtedy mierzona wartość będzie zawarta w granicach: xˆ t σ x xˆ + t n σ n przy czym: α - poziom ufności α - poziom istotności. 39
MoŜna dowieźć, Ŝe obliczenie wartości błędu, korzystając z rozkładu normalnego dla małej ilości pomiarów będzie róŝniło się od wyznaczonego błędu metodą wykorzystującą rozkładu t studenta, zwłaszcza dla N < 5. W miarę wzrostu N więcej niŝ 30 obydwie metody są zbieŝne. Wyznaczanie błędu na poziomie istotności α odbywa się według następującej procedury: wyznaczamy xˆ, obliczamyσ, przyjmujemy α, mając α, K = N z tablic odczytujemy t, podajemy wyniki pomiaru xˆ ± t σ. n Otrzymane wyniki pomiarów odpowiadają na pytanie, jaka jest wartość błędu dla danej serii pomiarów w zaleŝności czy N > 30, czy N < 5... BŁĘDY W POMIARACH DYNAMICZNYCH (REALIZACJI PROCESU STOCHASTYCZNEGO) Wyznaczymy błąd powstający w pomiarach będących realizacją procesu stochastycznego. Poprzednio wyznaczyliśmy błędy będące wielkością, o jaką róŝni się wartość poprawna, a właściwie w jakim zakresie wartość poprawną moŝna uznać za pomiar obarczony błędem przypadkowym. Obecnie wyznaczymy moŝliwości wyznaczenia błędu będącego funkcją czasu. Błąd dynamiczny jest to róŝnica między wielkością y(t) - wartość wyjściowa z przetwornika dynamicznego a wielkością poprawną, tj. y ( ). JeŜeli przyjmiemy, 0 t Ŝe wielkość poprawna y ( ) to estymator wartości średniej y ˆ( t) a wiadomo, Ŝe 0 t wartość średnia dla pomiaru stochastycznego stacjonarnego w szerszym sensie i globalnie ergodycznego jest stała w funkcji czasu i moŝna napisać, Ŝe yˆ( t) y 0 ( t), wtedy błąd dynamiczny bezwzględny będzie wynosił: ( t ) = y ( t ) y ( t ). 0 dyn Miarą błędu dynamicznego przyjęto przyjmować średni błąd kwadratowy, który 40
' dyn T ( t) = 0 dyn ( t) dt Rys. 4. moŝna policzyć błąd średni u uśredniony jako: ' dyn T ( t) = T 0 dyn ( t) dt Interpretacją błędu dynamicznego średniokwadratowego przyjmuje się jak na rys. 4. a. y y(t) y 0 ( t) t T b. [ y( t) y ( t)] 0 T t Rys. 4 gdzie: T - czas pomiaru, błąd średniokwadratowy to pole pod krzywą na rys. 4.b. Błąd ten został zdefiniowany w dziedzinie czasu. Zdefiniujmy go w dziedzinie częstotliwości. Skorzystamy tu z twierdzenia Porsevala, które podaje zaleŝność między kwadratem funkcji w dziedzinie czasu a kwadratem funkcji w dziedzinie częstotliwości, tj.: 0 + f ( t) dt = f ( jω ) dt Π Oczywiście dla pomiarów będących funkcjami ograniczonymi w czasie do czasu trwania reakcji 0 ; T moŝna wyprowadzić inne granice cząstkowe. 4
Wykorzystując to twierdzenie do naszych zaleŝności na błąd średniokwadratowy otrzymamy: 0 dyn + + ( t) dt = ( jω ) dw = y( jω) y ( jω) dyn 0 Π Π Tak więc istnieje równość między błędem średniokwadratowym w dziedzinie czasu i częstotliwości. Jeśli zgodnie z zaleŝnością między wejściem a wyjściem z przetwornika w dziedzinie częstotliwości zapiszemy: y ( jω) = k( jω) x( jω) to otrzymamy: Π +ℵ ' ( jω ) = S ( jω) dyn x Błąd względny wynosi: [ k( jω) k ( jω) ] 0 dw dw S dyn = 0 0 dyn ( t) dt y ( t) dt 0 = t= 0 [ k( jω) k ( jω) ] k + 0 0 S x ( jω) dw. S ( jω) dw x 4
.3. KLASYFIKACJA ŹRÓDEŁ BŁĘDÓW Błędy powstają na skutek wielu przyczyn. Postaramy się te przyczyny wymienić i scharakteryzować. MoŜna węc mówić o źródłach błędów. RozróŜnimy trzy grupy źródeł błędów; tj. od metody pomiarowej, od przetworzenia oraz od czynności metrologicznych. Na rys. 5.a. pokazano źródła pochodzące od dla metody pomiarowej, na rys. 5.b. źródła pochodzące od przetwarzania i na rys. 5.c. pokazano źródła pochodzące od czynności metrologicznych. Klasyfikację źródeł błędów podaje się za pracą J. Piotrowskiego []. ] pobrani e wi el kosci reprezent at ywnosc pomi aru zakl óceni a wkanal e wejsci owy m oddzi alywani a przyrzadu zródl a pochodzeni a bl edów od met ody pomi arowej przyrzad ni eselektywnosc przyrzadu próbkowani e, kwant owani e odczyt paral aksa dl a przyrzadów wskazówkowych opracowani e wyni ków przyblizeni a, uproszczeni a Rys. 5.a 43
zjawiska molekularne niestałość właściwości przyrządu tarcie (przyrządy wychyłowe) histereza starzenie i zuŝycie niezauwaŝalna zmiana warunków pomiaru źródła pochodzenia błędów od przetworzeń zmiana warunków pomiaru temperatura zasilanie połoŝenie inne wielkości wpływające do przyrządu cechy dynamiczne przyrządu transport energii (czas martwy) magazynowanie energii Rys. 5.b. 44