CIAGI- przykłady i zadania klasa II 208/9 Adam Stachura
2 Zadania. Ciagi Zadanie. Napisać cztery poczatkowe wyrazy ci agu (a n ), n N, gdzie a n = n+5 2n+. Zadanie2. Danyjestci ag(a n ),n N,gdziea n =5 n.obliczyća 2n,a n+ oraz a k,gdziek N. Zadanie. Napisać cztery poczatkowewyrazyci agu(a n ),n N,gdzie a =, a n+ =+ a n. Zadanie4. Napisaćpięćpocz atkowych wyrazów ciagu(a n ),n N 0,gdzie a 0 =0, a =, a n+2 =a n+ +a n. Zadanie 5. Zbadać monotoniczność ciagu(a n ),n N,gdziea n = 2n+ n+. Zadanie 6. Zbadać ograniczoność ciagu(a n ),n N,gdziea n = 2n+ n+. Zadanie 7. Zbadać ograniczoność ciagu(a n ),n N,gdziea n =2+n n 2. Zadanie8. Którewyrazyci agu(a n ),n N,s adodatnie,gdziea n = n+5 n? 2 Zadanie9. Którewyrazyci agu(a n ),n N,s aujemne,gdziea n =n 2 0? Zadanie0. Zbadaćmonotonicznośćci agu(a n ),n N,gdziea n = Zadanie. Zbadaćograniczonośćci agu(a n ),n N,gdziea n = n n. n n+. Zadanie 2. Ile wyrazów ciagu (a n ), n N, gdzie a n = n+26, to liczby n+2 naturalne?
Zadanie. Napisaćpięćpocz atkowych wyrazów ciagu(a n ),n N 0,gdzie ) a n =( ( + ) n ( ) ( 5 ) n 5 5 2 5 2 (porównać z zadaniem 4).
4 Zadania2. Ci ag arytmetyczny Zadanie. Wci aguarytmetycznym(a n )danes awyrazy: a = 5,a 7 = 2. Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 0. Zadanie 2. Oci aguarytmetycznym(a n )wiadomo,żea +a 4 = 6,a +a 8 = 0.Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 9. Zadanie. Liczby, a+6, 9 w podanej kolejności s a pierwszym, drugim i pi atym wyrazem ci agu arytmetycznego. Zapisać wzór ogólny na n-ty wyraz tego ci aguiobliczyća. Zadanie 4. Obliczyć sumę A wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przydzieleniuprzez4daj aresztę.
5 Zadania2. Ci ag arytmetyczny. Rozwiazania Zadanie. Wci aguarytmetycznym(a n )danes awyrazy: a = 5,a 7 = 2. Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 0. Rozwiazanie. Zewzorunan-tywyrazci agu arytmetycznego: a n =a +(n )r (*) wynika, że a = a +2r, a 7 = a +6r (gdzie r oznacza różnicę ci agu). Skoro zaś a = 5,a 7 = 2,tomamyukładrównań: { a +2r= 5, a +6r= 2. Zpierwszegorównaniawynika,żea = 5 2r,agdytopodstawimydodrugiego równania, otrzymujemy równość: zktórejwynika,żer= 4,noi 5 2r+6r= 2, a = 5 2 ( 4)=. Wobectegoa n = 4(n )(wstawiamya irdowzoru(*))imamy: a 0 = 4 (0 )=. Odpowiedź: a n = 4(n ),a 0 =. (Możnajeszczewykonaćsprawdzenie,oileczaspozwoli. Skoroa =ir= 4, kolejnywyrazci agu otrzymujemy odejmujacodpoprzedniego4,także (a n )=(,, 5, 9,, 7, 2, 25, 29,,...) Wytłuszczonym drukiem wyróżniono trzeci, siódmy i dziesiatywyrazci agu.) Zadanie 2. Oci aguarytmetycznym(a n )wiadomo,żea +a 4 = 6,a +a 8 = 0.Zapisaćwzórogólnynan-tywyraztegoci aguiobliczyća 9.
6 Rozwiazanie. Zewzorunan-tywyrazci agu arytmetycznego: a n =a +(n )r (*) wynika,żea 4 =a +r,a =a +2r,a 8 =a +7r(gdzieroznaczaróżnicęci agu). Skorozaśa +a 4 = 6,a +a 8 = 0,tomamyukładrównań: { a +a +r= 6, a +2r+a +7r= 0, lubpouproszczeniu: { 2a +r= 6, 2a +9r= 0. Odejmujac (stronami) od drugiego równania pierwsze otrzymujemy: 6r = 24, zatemr= 4.Podstawiaj ac to do np. pierwszego równania otrzymujemy równość: 2a + ( 4)= 6, zktórejwynika,żea =. Wobectegoa n = 4(n )(wstawiamya irdowzoru(*))imamy: a 9 = 4 (9 )= 29. Odpowiedź: a n = 4(n ),a 9 = 29. (Możnajeszczewykonaćsprawdzenie,oileczaspozwoli. Skoroa =ir= 4, kolejnywyrazci agu otrzymujemy odejmujacodpoprzedniego4,także (a n )=(,, 5, 9,, 7, 2, 25, 29,...) Tym razem wytłuszczonym drukiem wyróżniono pierwszy, czwarty, trzeci, ósmy i dziewiatywyrazci agu.) Zadanie. Liczby, a+6, 9 w podanej kolejności s a pierwszym, drugim i pi atym wyrazem ci agu arytmetycznego. Zapisać wzór ogólny na n-ty wyraz tego ci aguiobliczyća. Rozwiazanie. Niech(a n )będzietymci agiem arytmetycznym, o który chodzi w zadaniu. Ogólny wzór na jego n-ty wyraz ma postać: a n =a +(n )r, (*)
7 iwiemy,żea =.Wiemyteż,żea 5 =9,azdrugiejstronyzewzoru(*)mamy: a 5 =a +(5 )r=+4r. Otrzymujemywięcrówność: +4r=9,ast adr= 2. Wobectegoa n =+ 2 (n )(wstawiamya irdowzoru(*))imamy: a 2 =+ 2 (2 )=9 2, azdrugiejstronypodanowzadaniu,żea 2 =a+6.zatema+6= 9 2,więca= 2. Odpowiedź: a n =+ 2 (n ),a= 2. (Możnajeszczewykonaćsprawdzenie, oileczaspozwoli. Skoroa =ir= 2, kolejnywyrazci agu otrzymujemy dodajacdopoprzedniego 2,także (a n )= (, 92 ),6,52,9,... ioczywiście 2 +6=9 2.) Zadanie 4. Obliczyć sumę A wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, które przydzieleniuprzez4daj aresztę. Rozwiazanie. Pierwszatak aliczb ajest=4 +,zaśostatni a97=4 24+. Jeżeliliczbanaturalnaxprzydzieleniuprzez4dajeresztę,todasięj azapisać wpostaci: x=4k+(gdziekjestliczb anaturaln a). Wtedy mamy: x = 4k+, x+ = 4k+2, x+2 = 4k+, x+ = 4(k+)+0, x+4 = 4(k+)+ i tak dalej. Zatem kolejne reszty z dzielenia tych liczb przez 4(zapisane wytłuszczona czcionka) sa równe,2,,0,,.... Skoro więc liczba x daje przy dzieleniu przez 4
8 resztę, to następn a tak a liczb a jest x+4, następn a - x+8 itd. Liczby, o które chodzi, tworzawięcci agarytmetyczny(skończony)opierwszymwyraziea =io różnicyr=4: (a n )=(,7,...,97) iposzukiwanaliczbaajestpoprostusum awszystkichwyrazówtegoci agu. Chcemyterazskorzystaćzewzorunasumęnkolejnychwyrazówci agu arytmetycznego: ( ) a +a n S n = n. (**) 2 Aby zeń skorzystać, musimy znać liczbę wyrazów w rozważanym ciagu, czyli liczbę n.jesttołatwezadanie,bowiemy,żea n =97.Zogólnegowzorunan-tywyrazci agu arytmetycznego: a n =a +(n )r (*) wynika równość: 97=+(n ) 4, azniejotrzymujemy: n=22. Teraz wystarczy wstawić wszystkie dane do wzoru(**) i mamy: ( ) +97 A=S 22 = 22=0 =20. 2 Odpowiedź: A = 20.
9 Zadania. Ci ag geometryczny Zadanie. W ci agu geometrycznym (a n ) dane s a wyrazy: a 2 = 2, a 6 = 2 8. Obliczyćilorazqtegoci agu. Zadanie2. Sumapięciupocz atkowych wyrazów ciagu geometrycznego o ilorazie równajest 6.Obliczyćpierwszywyraza tegoci agu. Zadanie. Liczby2,x+2, xwpodanejkolejnościs a pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu geometrycznego. Obliczyć x.
0 Zadania. Ci ag geometryczny. Rozwiazania Zadanie. W ci agu geometrycznym (a n ) dane s a wyrazy: a 2 = 2, a 6 = 2 8. Obliczyćilorazqtegoci agu. Rozwiazanie. Zewzorunan-tywyrazci agu geometrycznego: a n =a q n (***) wynika, że a 2 = a q, a 6 = a q 5 (gdzie q oznacza iloraz ci agu). Skoro zaś a 2 = 2, a 6 = 2 8,tomamyukładrównań: { a q=2, a q 5 = 2 8. Pisz acdrugierównaniewpostaci:a q q 4 = 2 8 ikorzystaj aczpierwszegorównania otrzymujemy kolejno równości 2q 4 = 2 tak więc q 4 = 6 8 = ( 2 8, ) 4 =( 2 4, ) q= 2 lubq= 2. Odpowiedź: Warunki podane w zadaniu spełniaja dwa ci agi geometryczne o ilorazach,odpowiednio,q = 2 orazq = 2. (W celu sprawdzenia, o ile czas pozwoli, możemy wypisać obydwa ciagi. Dla q = 2 mamya =,bo 2 =2ici agmapostać zaśdlaq = 2 mamyodpowiednio ( (a n )=,2, 4 ),8 9,6 27,2 8,..., (a n )= (,2, 4 ),8 9, 6 27,2 8,....
Wytłuszczonym drukiem wyróżniono drugi i szósty wyraz ciagu.) Zadanie2. Sumapięciupocz atkowych wyrazów ciagu geometrycznego o ilorazie równajest 6.Obliczyćpierwszywyraza tegoci agu. Rozwiazanie. Zewzorunasumęnkolejnychwyrazówci agu geometrycznego: ( ) q n S n =a (****) q (prawdziwegowprzypadku,gdyq,atakwłaśniejestwtymzadaniu)izdanych zadania wynika, że [ ] ( ) 5 S 5 =a. ( ) SkorozaśS 5 = 6,tomamyrównanie: [ ] ( ) 5 a = 6, ( ) czyli 244 a 4 = 6, zatema =. Odpowiedż: a =. (Wcelusprawdzenia,oileczaspozwoli,możnawypisaćnaszci ag. Skoroa = iq=,kolejnywyrazci agu otrzymujemy mnożacpoprzedniprzez,także (a n )=(,, 9,27, 8,...). Dodajemy pierwsze pięć wyrazów i stwierdzamy, że suma rzeczywiście jest równa 6.) Zadanie. Liczby2,x+2, xwpodanejkolejnościs a pierwszym, drugim i trzecim wyrazem ciagu geometrycznego. Obliczyć x. Rozwiazanie. Po pierwsze zauważamy, że rozważany ciagmailorazq różnyod zera(gdybybyłoq=0,toci agmiałbypostać: (2,0,0),anieistniejetakaliczbax, żex+2=0i x=0). Dlatakiegoci agu można skorzystać ze znanego faktu, że
2 kwadrat każdego wyrazu ciagu(poza pierwszym i, ewentualnie, ostatnim) jest równy iloczynowi wyrazów z nim s asiadujacych. Korzystajac z tego faktu otrzymujemy równanie (x+2) 2 = 2x, które przekształcamy do postaci x 2 +26x+44=0 idalej, (x+) 2 69+44=0, więc ostatecznie (x+) 2 =25=5 2. Zatem x+=5lubx+= 5, i odpowiednio x= 8lubx= 8. Odpowiedż: x= 8lubx= 8. (Wcelusprawdzenia,oileczaspozwoli,możnawypisaćobydwaci agi. Dlax= 8 otrzymujemy ciag (2,4,8), zaś dla x = 8 otrzymujemy ci ag (2, 6,8). Widać, żeobydwaci agis ageometryczne-pierwszymailorazrówny2,zaśdrugimailoraz równy.takwięczadaniemadwarozwi azania.) Uwaga: Wsytuacjitakiejjakpowyższazapełnerozwi azanie uznaje się takie, w którympodanes a wszystkie istniejacerozwi azania.
Zadania4. Ci ag arytmetyczny i geometryczny Zadanie. Wyrazypierwszyitrzecirosn acegoci agu arytmetycznego saodpowied- niopierwszymitrzecimwyrazemci agu geometrycznego. Ich wspólny pierwszy wyraz jest równy 5, a drugi wyraz ci agu arytmetycznego jest o 0 większy od drugiego wyrazuci agu geometrycznego. Wyznaczyć te ciagi.
4 Zadania4. Ci ag arytmetyczny i geometryczny. Rozwiazania Zadanie. Wyrazypierwszyitrzecirosn acegoci agu arytmetycznego saodpowied- niopierwszymitrzecimwyrazemci agu geometrycznego. Ich wspólny pierwszy wyraz jest równy 5, a drugi wyraz ci agu arytmetycznego jest o 0 większy od drugiego wyrazuci agu geometrycznego. Wyznaczyć te ciagi. Rozwiazanie. W zadaniu chodzi o skończone, trójwyrazowe ciagi o pierwszym wyrazie 5. Oznaczmy więc drugi i trzeci wyraz ci agu arytmetycznego symbolami x iy, odpowiednio. Zzadaniawynika, żetrzeciwyrazci agu geometrycznego też jest równyy.drugiwyraztegoci agu oznaczymy przez z. Mamy więc następujac asytuację: (5,x,y)-toci agarytmetyczny,zaś(5,z,y)-toci ag geometryczny i z zadania wiemy, żex=z+0.zatemz=x 0. Ci ag arytmetyczny wygladawięctakoto: aci ag geometryczny ma postać: (5,x,y), (5,x 0,y). Upewniamysięteraz,żeilorazqci agu geometrycznego jest różny od zera. Gdyby bowiembyłonrównyzeru,toci agmiałbypostać: (5,0,0)ibyłoby: x=0,y=0.ale zkoleici ag(5,0,0)niejestwogóleci agiem arytmetycznym. Zatem q 0. Można więc skorzystać ze znanego faktu, że kwadrat każdego wyrazu ciagu geometrycznego (poza pierwszym i, ewentualnie, ostatnim) jest równy iloczynowi wyrazów z nim s asiadujacych. Korzystajac z tego faktu otrzymujemy równanie (x 0) 2 =5y. Zkoleidlaci agu arytmetycznego można skorzystać z faktu, że każdy wyraz dowolnego ci agu arytmetycznego (poza pierwszym i, ewentualnie, ostatnim) jest równy średniej arytmetycznej wyrazów z nim sasiaduj acych. Korzystajacztegofaktuotrzy- mujemy równanie x= 5+y 2. Ostatecznie mamy więc układ równań: { (x 0) 2 =5y, x= 5+y 2.
5 Drugierównanieprzekształcamydopostaci: 2x=5+y,st ad y=2x 5. (*****) Wstawiajac to do pierwszego równania otrzymujemy, kolejno, równości: i, ostatecznie, (x 0) 2 =0x 25, x 2 20x+00=0x 25, x 2 0x+25=0, (x 5) 2 225+25=0, (x 5) 2 =00, x 5=0lubx 5= 0 x=25lubx=5. Mamy więc dwa rozwi azania: x = 25, x 2 = 5. Ze wzoru na y (wzór (*****) otrzymujemy, odpowiednio, y = 45, y 2 = 5. Ale ci ag (5,x 2,y 2 ) = (5,5,5) jest co prawdaci agiem arytmetycznym, ale nie jest ciagiemrosn acym. Musimy zatem odrzucićdrugierozwi azanieipozostaćprzypierwszym: (5,x,y )=(5,25,45).Pozostaje jeszcze wyznaczyć z z równości z=x 0=25 0=5. Odpowiedź: Ciagiem arytmetycznym jest ciag (5,25,45), a ci agiem geometrycznymjestci ag(5,5,45). (Sprawdzenie polega na zauważeniu, że pierwszy ciagjestrosn acymci agiem arytmetycznym o różnicy r = 20, a drugi ci ag jest ci agiem geometrycznym o ilorazie q=,idrugiwyrazci agu arytmetycznego rzeczywiście jest o 0 większy od drugiego wyrazuci agu geometrycznego).
6 Zadania 5. Lokaty i kredyty ZADANIE. Pan X wpłacił 20000 zł do banku na czteroletni a lokatę oprocentowana w wysokości 8% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego półrocza(procent składany). W takim razie po czterech latach(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) miał na koncie kwotę(w zaokragleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 277 zł. (C) 287 zł. (D) 297 zł. ZADANIE 2. Pan Y wplacił 0000 zł do banku na trzyletni a lokatę oprocentowana w wysokości 0% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego roku(procent składany). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. WtakimraziepotrzechlatachpanYmiałnakonciekwotę(wzaokr agleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 2667 zł. (C) 2967 zł. (D) 67 zł. ZADANIE. Pan N ulokował na trzydziestomiesięcznej lokacie bankowej kwotę 8400 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 7% w skali roku(procent prosty). Wobec tego (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) po trzydziestu miesiacach pannotrzymazlokaty (A)9870zł. (B)9890zł. (C)990zł. ZADANIE 4. Pani M ulokowała na pięcioletniej lokacie bankowej kwotę 7500 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 6% w skali roku(procent prosty). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. Wobec tego po pięciu latach na koncie pani M znajdzie się kwota (A)925zł. (B)95zł. (C)945zł. ZADANIE 5. Niejaki X wplacił pewn a kwotę do banku na dwuletni a lokatę oprocentowana w wysokości 6% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w
7 końcu każdego półrocza(procent składany). Jeżeli po dwóch latach miał na koncie kwotę 5757, 2 zł (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych), to to oznacza, że wpłacił (A) 000 zł. (B) 500 zł. (C) 4000 zł. (D) 4500 zł. ZADANIE 6. Jaś i Małgosia otrzymali po 500 zł rocznego stypendium dla zdolnej młodzieży. Oboje postanowili pieniadze zdeponować w banku na lokacie rocznej. Jaś wybrał bank, który oferował oprocentowanie w wysokości 4, 2% w stosunku rocznym i kapitalizację odsetek po zakończeniu każdego półrocza. Małgosia wybrała bank, w którym oprocentowanie wynosi 4% w stosunku rocznym, a kapitalizacja odsetek następuje po zakończeniu każdego kwartału. Które stwierdzenie jest prawdziwe(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych): (A) Korzystniejszego wyboru dokonał Jaś. (B) Korzystniejszego wyboru dokonała Małgosia. (C) Wybór obojga był równie korzystny. ZADANIE7. FirmaFwzięławbankukredytwwysokości200000zł. Kredytma być spłacony w sześciu równych, kwartalnych ratach, a jego oprocentowanie wynosi 20%wstosunkurocznym. Zatemwysokośćraty(wzaokr agleniu do całych złotówek) wynosi (A) 880 zł. (B) 900 zł. (C) 920 zł. (D) 940 zł. ZADANIE8. PaniYwzięławbankukredytwwysokości2000zł. Kredytma być spłacony w ci agu dwóch lat w kwartalnych ratach malej acych, a jego oprocentowanie wynosi 6% w skali roku. Zatem wysokość ostatniej raty wynosi (A)440zł. (B)460zł. (C)480zł. (D)4200zł.
8 Zadania5. Lokatyikredyty. Rozwi azania ZADANIE. Pan X wpłacił 20000 zł do banku na czteroletni a lokatę oprocentowana w wysokości 8% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego półrocza(procent składany). W takim razie po czterech latach(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) miał na koncie kwotę(w zaokragleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 277 zł. (C) 287 zł. (D) 297 zł. czyli Rozwiazanie. Stosujemywzór()ztekstuTeoria4. Danes anastępuj ace: K=20000, p=8, l=4, m=2(wrokumieszcz a się dwa półrocza), n=8(bon=ml). SzukamykapitałukońcowegoK n.wzór()przyjmujepostać: K n =20000 ( + 8 ) 8, 00 2 K n =20000 (,04) 8, iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n 277. Odpowiedź: Wybieram(B). ZADANIE 2. Pan Y wplacił 0000 zł do banku na trzyletni a lokatę oprocentowana w wysokości 0% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego roku(procent składany). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. WtakimraziepotrzechlatachpanYmiałnakonciekwotę(wzaokr agleniu do pełnych złotówek) (A) 267 zł. (B) 2667 zł. (C) 2967 zł.
9 (D) 67 zł. Rozwiazanie. Mamy następujace dane: K=0000, p=0, l=, m=(wrokumieścisięjedenrok), n=(bon=ml). SzukamykapitałukońcowegoK n.należyzastosowaćwzór()ztekstuteoria4, ale ponieważ uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych, więc zgodnieztym,conapisanowtekścieteoria4,wzór(5),należyzast apićpprzez czyli przez p =p 8 00 p, p =0 8 00 0=8,2. Wzór() przyjmuje teraz postać: czyli K n =0000 ( + 8,2 ), 00 K n =0000 (,082), iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n 2667. Odpowiedź: Wybieram(B). ZADANIE. Pan N ulokował na trzydziestomiesięcznej lokacie bankowej kwotę 8400 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 7% w skali roku(procent prosty). Wobec tego (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych) po trzydziestu miesiacach pannotrzymazlokaty (A)9870zł. (B)9890zł. (C)990zł. Rozwiazanie. Stosujemywzór(2)ztekstuTeoria4. Danes anastępuj ace: K=8400, p=7,
20 czyli l=2,5(trzydzieścimiesięcytodwaipółroku). SzukamykapitałukońcowegoK n.wzór(2)przyjmujepostać: K n =8400+ 8400 7 2,5, 00 K n =8400+84 7 2,5 iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n =9870. Odpowiedź: Wybieram(A). ZADANIE 4. Pani M ulokowała na pięcioletniej lokacie bankowej kwotę 7500 zł. Oprocentowanie lokaty wynosi 6% w skali roku(procent prosty). Uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych. Wobec tego po pięciu latach na koncie pani M znajdzie się kwota (A)925zł. (B)95zł. (C)945zł. Rozwiazanie. Mamy następujace dane: K=7500, p=6, l=5. SzukamykapitałukońcowegoK n.należyzastosowaćwzór(2)ztekstuteoria4, ale ponieważ uwzględniamy 8%-wy podatek od dochodów kapitałowych, więc zgodnieztym,conapisanowtekścieteoria4,wzór(5),należyzast apićpprzez czyli przez p =p 8 00 p, p =6 8 00 6=4,92. Wzór(2) przyjmuje teraz postać: czyli K n =7500+ 7500 4,92 5, 00 K n =7500+75 4.92 5
2 iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: K n =945. Odpowiedź: Wybieram(C). ZADANIE 5. Niejaki X wplacił pewn a kwotę do banku na dwuletni a lokatę oprocentowana w wysokości 6% rocznie. Odsetki dopisywane były do kapitału w końcu każdego półrocza(procent składany). Jeżeli po dwóch latach miał na koncie kwotę 5757, 2 zł (nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych), to to oznacza, że wpłacił (A) 000 zł. (B) 500 zł. (C) 4000 zł. (D) 4500 zł. czyli Rozwiazanie. Stosujemywzór()ztekstuTeoria4. Danes anastępuj ace: p=6, l=2, m=2(wrokumieszcz a się dwa półrocza), n=4(bon=ml), K n =5757,2. Szukamy kapitału poczatkowego K. Wzór() przyjmuje postać: ( 5757,2=K + 6 ) 4, 00 2 zatem 5757,2=K (,0) 4, K= 5757,2 (,0) 4 iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: K 4000(dokładniej: K = 999, 997025, co oczywiście spowodowane jest błędem zaokragleń popełnionych przy wyznaczaniu kwotyk n ). Możemyśmiałoprzyj ać,żek=4000. Odpowiedź: Wybieram(C). ZADANIE 6. Jaś i Małgosia otrzymali po 500 zł rocznego stypendium dla zdolnej młodzieży. Oboje postanowili pieniadze zdeponować w banku na lokacie
22 rocznej. Jaś wybrał bank, który oferował oprocentowanie w wysokości 4, 2% w stosunku rocznym i kapitalizację odsetek po zakończeniu każdego półrocza. Małgosia wybrała bank, w którym oprocentowanie wynosi 4% w stosunku rocznym, a kapitalizacja odsetek następuje po zakończeniu każdego kwartału. Które stwierdzenie jest prawdziwe(nie uwzględniamy podatku od dochodów kapitałowych): (A) Korzystniejszego wyboru dokonał Jaś. (B) Korzystniejszego wyboru dokonała Małgosia. (C) Wybór obojga był równie korzystny. Rozwiazanie. WceluwyznaczeniakapitałukońcowegoK nj nalokaciejasiastosujemywzór()ztekstuteoria4znastępuj acymi danymi: K=500, p=4,2, l=, m=2(wrokumieszcz a się dwa półrocza), n=2(bon=ml). Wzór() przyjmuje postać: czyli K nj =500 ( + 4,2 ) 2, 00 2 K nj =500 (,02) 2, iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: K nj =56,665, zatemnakonciejasiaporokuznajdziesiękwota56zł66gr(wzaokr agleniu). WceluwyznaczeniakapitałukońcowegoK nm nalokaciemałgosistosujemywzór ()ztekstuteoria4znastępuj acymi danymi: K=500, p=4, l=, m=4(wrokumieszcz a się cztery kwartały), n=4(bon=ml). Wzór() przyjmuje postać: K nm =500 ( + 4 ) 4, 00 4 czyli K nm =500 (,0) 4,
2 iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: K nm =560,90605, zatemnakonciemałgosiporokuznajdziesiękwota560zł9gr(wzaokr agleniu). St ad Odpowiedź: Wybieram(A). ZADANIE7. FirmaFwzięławbankukredytwwysokości200000zł. Kredytma być spłacony w sześciu równych, kwartalnych ratach, a jego oprocentowanie wynosi 20%wstosunkurocznym. Zatemwysokośćraty(wzaokr agleniu do całych złotówek) wynosi (A) 880 zł. (B) 900 zł. (C) 920 zł. (D) 940 zł. Rozwiazanie. Stosujemywzór()ztekstuTeoria5Danes anastępuj ace: K=200000, p=20, l=,5(sześćkwartałówtojedenipółroku), m=4(rokliczyczterykwartały), n=6(jestsześćratdospłacenia). Szukamy wysokości R raty. Wzór() przyjmuje postać: R= ( + 20 00 4 ) ( + + 20 00 4 ) 2+ ( + 20 00 4 200000 ) + ( + 20 00 4 ) 4+ ( + 20 00 4 czyli 200000 R= ( 20 ) ( 2 + 20 ) 2+ ( 20 ) + ( 20 ) 4+ ( 20 ) 5+ ( 20 ) 6, 2 2 2 2 2 iwykonuj ac wskazane obliczenia znajdujemy: R 940. Odpowiedź: Wybieram(D). ) 5+ ( + 20 00 4 ) 6, ZADANIE8. PaniYwzięławbankukredytwwysokości2000zł. Kredytma być spłacony w ci agu dwóch lat w kwartalnych ratach malej acych, a jego oprocentowanie wynosi 6% w skali roku. Zatem wysokość ostatniej raty wynosi
24 (A)440zł. (B)460zł. (C)480zł. (D)4200zł. Rozwiazanie. Stosujemywzór(2)ztekstuTeoria5. Danes anastępuj ace: K=2000, p=6, l=2, m=4(rokliczyczterykwartały), n=8(bon=ml). SzukamywysokościR 8 ostatniej,awięcósmejraty. Wzór(2)przyjmujepostać: (2000 78 2000 ), R 8 = 2000 8 + 6 00 4 iwykonuj acwskazaneobliczeniaznajdujemy: R 8 =460. Odpowiedź: Wybieram(B).
25 Zadania6. Graniceci agów ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2n 2 +5 2 n +4n 2 +n. ZADANIE 2. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = ( n )( n+) (2 n+) 2. ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = (5+ n )( 2+ ). 2 n ZADANIE 4. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n n+4 4n2 ++5n. ZADANIE 5. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = (2 n ) 2 ( n +2 n ) 2. ZADANIE 6. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 5 n +4 2 n +7. ZADANIE 7. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +. ZADANIE 8. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +2n+n. ZADANIE 9. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N 2,gdzie a n = n 2 2n.
26 ZADANIE 0. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n4 2n 5 n 6 n 4 +n 5n 2. ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = 2n +6 5 n 2 n 2 n.
27 Zadania6. Graniceci agów. Rozwiazania ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2n 2 +5 2 n +4n 2 +n. () Rozwiazanie. Dzielac licznik i mianownik we wzorze () przez n w potędze o najwyższym wykładniku spośród występujacych w mianowniku, czyli przez n, i korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ( ) ( ) n 2n 2 +5 n 2n2 + 5 ( n lim = lim n n 2 n 2 n +4n 2 = lim + 5 ) n +n 2 n + 4n2 + n + 4+ = n n n 2 n n 2 = 0+0 +0+0=2, 2 ponieważ 2 n 0, 5 n 0, 4 n 0, n 0. 2 Odpowiedź: lim a n =2. ZADANIE 2. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie Rozwiazanie. Mamy: a n = ( n )( n+) (2 n+) 2. a n = n 4n+2 n+9. (2) Dzielac licznik i mianownik we wzorze (2) przez n w potędze o najwyższym wykładniku spośród występujacych w mianowniku, czyli przez n, i korzystaj ac z twierdzenia o działaniach na ciagach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ( ) ( n n lim 4n+2 = lim ) ( ) n n n n+9 4n n + = lim 2 n + 9 4+ 2 n n n + 9 = n
28 ponieważ = 0 4+0+0 = 4, n 0, 2 0, n 9 n 0. Odpowiedź: lim a n = 4. ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = (5+ n )( 2+ ). 2 n Rozwiazanie. Korzystajacztwierdzeniaodziałaniachnaci agach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: [(5+ n )( 2+ )]=5 2=0, 2 n ponieważ lim Odpowiedź: lim a n =0. n 0, n 0. 2 ZADANIE 4. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n n+4 4n2 ++5n. () Rozwiazanie. Dzielaclicznikimianownikwewzorze()przeznikorzystaj ac ztwierdzeniaodziałaniachnaci agach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) oraz z reguły wł aczania pod pierwiastek otrzymujemy: ( ) ( n n+4 n n lim = lim n n + ) 4 n = lim n + 4 n = 4n2 +n+5n 4n 2 +n+ 5n 4n n n 2 +n+5 n 2 = lim n + 4 n = 0+0 = 4+ +5 4+0+5 7, n
29 ponieważ n 0, 4 n 0, n 0. Odpowiedź: lim a n = 7. ZADANIE 5. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie Rozwiazanie. Mamy: a n = (2 n ) 2 ( n +2 n ) 2. a n = 4 9n 4 n + 9 n +2 6 n +4 n. (4) Dzielaclicznikimianownikwewzorze(4)przezpotęgęliczbynonajwiększejpod- stawie spośród występujacychwmianowniku,czyliprzez9 n,ikorzystaj ac z twierdzenia odziałaniachnaci agach zbieżnych(zob. tekst Teoria6) otrzymujemy: ( ) ( 4 9 n 4 n + 4 9n 4 n + ) ( ( 9 lim = lim n 9 n 9 4 4 ) n+ ( n n 9 n +2 6 n +4 n 9 = lim 9) n + 2 6n + 4n 9 n 9 n 9 +2 ( 2 n+ ( 4 ) n )= ) n 9 = 4 0+0 +0+0 =4, ponieważ ( ) n 0, Odpowiedź: lim a n =4. ( ) n 0, 9 ( ) n 2 0, ( ) n 4 0. 9 ZADANIE 6. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 5 n +4 2 n +7. Rozwiazanie. Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n N zachodz a nierówności: 5 n 5 n +4 2 n +7 5 n +4 5 n +7 5 n, (5)
0 ponieważ2 n 5 n i 5 n. Z nierówności(5) otrzymujemy kolejno nierówności: a ponieważ lim n 2=,więc 5 n 5 n +4 2 n +7 2 5 n, n 5n n 5 n +4 2 n +7 n 2 5 n, 5 n 5 n +4 2 n +7 n 2 5, ( ) n lim 2 5 = 5=5. Na mocy twierdzenia (zob. tekst Teoria7) otrzymujemy: co oznacza, że Odpowiedź: lim a n =5. 5 lim n 5 n +4 2 n +7 5, lim n 5n +4 2 n +7=5. ZADANIE 7. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +. Rozwiazanie. Oczywiście mamy nierówność: awtakimrazietakże n 2 <n 2 + (n N ), n= n 2 < n 2 +, czylin<a n dlakażdejliczbyn N. Ponieważ wiemy, że lim n=+,więckorzystaj acztwierdzenia2(zob. tekst Teoria7) stwierdzamy, że lim a n=+. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa).
ZADANIE 8. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n 2 +2n+n. Rozwiazanie. Oczywiście mamy nierówność: awtakimrazietakże idalej, n 2 <n 2 +2n (n N ), n= n 2 < n 2 +2n n+n< n 2 +2n+n, czyli2n<a n dlakażdejliczbyn N. Ponieważ wiemy, że lim 2n=+,więckorzystaj acztwierdzenia2(zob. tekst Teoria7) stwierdzamy, że lim a n=+. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa). ZADANIE 9. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N 2,gdzie a n = n 2 2n. Rozwiazanie. Wzórnan-tywyrazci agu przekształcimy w następujacy sposób: a n = ( n 2 2n= n 2 2 ) =n 2 n n. Korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeniaodziałaniachnaci agach rozbieżnych(zob. tekst Teoria8) otrzymujemy: ( ) lim n 2 n =+, ponieważ natomiast lim ( lim n=+, 2 n ) = 0=,
2 gdyż 2 n 0. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa). ZADANIE 0. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = n4 2n 5 n 6 n 4 +n 5n 2. (6) Rozwiazanie. Dzielac licznikimianownik we wzorze (6) przez n w potędze o najwyższym wykładniku sposród występujacychwmianowniku,czyliprzezn 4,otrzymujemy: n 4 2n 5 n 6 n4 n 4 +n 5n 2 = 2n5 n6 n 4 n 4 n 4 = 2n n2 n 4 + n 5n2 + n 4 n 4 n 4 n 4 n 5 = n 2 n 4 = n2( n 2 2 n ) + n 5 n 2 n 4 =n 2 ( n 2 2 n + n 5 n 2 n 4 Korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeniaodziałaniachnaci agach rozbieżnych(zob. tekst Teoria8) otrzymujemy: [ lim n 2 ( 2 )] n 2 n + 5 =, n n 2 n 4 ponieważ lim n2 =+, natomiast ( 2 n lim 2 n ) + 5 = =, n n 2 n 4 gdyż n 0, 2 2 n 0, n 0, 5 n 0, 2 n 0. 4 Odpowiedź: lim a n = (granicaniewłaściwa). ). ZADANIE. Obliczyć granicę ciagu(a n ),n N,gdzie a n = 2n +6 5 n 2 n 2 n. (7)
Rozwiazanie. Dziel ac licznik i mianownik we wzorze (7) przez potęgę liczby n o największej podstawie spośród występujacych w mianowniku, czyli przez n, otrzymujemy: ( 2 ) n+6 ( 5 n ) 2 n +6 5 n 2 n 2 n = = ( 5 ) n [ ( 2 5) n +6 ] 2 n + 6 5n n n 2 n 2n n 2 ( ) 2 n = n = ( ) 5 n 2 ( ) 2 n = ) n ) +6 ) n ( ( 2 5 2 ( 2 Korzystajac z twierdzenia o działaniach na ci agach zbieżnych (zob. tekst Teoria6)orazztwierdzeniaodziałaniachnaci agach rozbieżnych(zob. tekst Teoria8) otrzymujemy: [ (5 ) ( ( 2 ) n +6 lim n 5 2 ( ) 2 n )]=+, ponieważ natomiast lim lim ( ( 2 ) n ) +6 5 2 ( ) 2 n gdyż ( ) n 2 0, 5 ( ) n 5 =+, = 0+6 2 0 =, ( ) n 2 0. Odpowiedź: lim a n =+ (granicaniewłaściwa)..
4 Zadania 7. Szereg geometryczny zbieżny ZADANIE. Zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych ułamek x=0,2666...=0,2(6). ZADANIE 2. Wyznaczyć dziedzinę D funkcji określonej wzorem f(x)= x+2 + x+ (x+2) 2+(x+)2 (x+2) +... ZADANIE. Rozwi azać równanie x 2 2 + (x 2 2) 2 (x 2 2) +...=2, wktórymlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego. ZADANIE4. Rozwi azać nierówność x+2 + 2x+ (x+2) 2+(2x+)2 (x+2) +(2x+) (x+2) 4 +..., wktórejlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego.
5 Zadania 7. Szereg geometryczny zbieżny. Rozwiazania ZADANIE. Zapisać w postaci ilorazu dwóch liczb całkowitych ułamek x=0,2666...=0,2(6). Rozwiazanie. Mamy: x=0,2+0,0666... Drugi składnik po prawej stronie powyższej równości jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego 6 000 + 6 00000 + 6 0000000 +... o pierwszymwyrazie a = 6 oraz ilorazie q =. Wcelu obliczeniatej sumy 000 00 stosujemy wzór z tekstu Teoria9: Wobec tego Odpowiedź: x= 07 495. 6 000 + 6 00000 + 6 0000000 +...= 6 000 00 x= 2 0 + 6 990 =24 990 = 07 495. = 6 990. ZADANIE 2. Wyznaczyć dziedzinę D funkcji określonej wzorem f(x)= x+2 + x+ (x+2) 2+(x+)2 (x+2) +... Rozwiazanie. Prawa strona powyższej równości jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego x+2 + x+ (x+2) 2+(x+)2 (x+2) +...
opierwszymwyraziea = x+2 orazilorazieq=x+ x+2.musibyćspełnionywarunek zbieżności tego szeregu(patrz tekst Teoria9): q <, należy więc rozwiazać nierówność x+ x+2 <, któr a zamieniamy na układ dwóch nierówności: x+ x+2 <, x+ x+2 >. Oczywiściemusibyćteżspełnionywarunek: x+2 0(wmianownikużadnego ułamka nie może pojawić się zero). Ostatecznie zbiór D znajdujemy rozwiazuj ac układtrzechnierówności: x+2 0, x+ x+2 <, x+ x+2 >. Rozwiazujemy je kolejno. I.x+2 0.Oczywiścierozwi azaniemapostać: x (, 2) ( 2,+ ). II. x+ x+2 <.Mamykolejno: x+ x+2 <, czylix ( 2,+ ). x+ x+2 <0, x+2 <0, x+2>0, III. x+ x+2 >.Mamykolejno: x+ x+2 >, 6
x+ x+2 +>0, 2x+ x+2 >0. Mnoż acobiestronytejnierównościprzezdodatniewyrażenie(x+2) 2 otrzymujemy: (2x+)(x+2)>0, istosuj ac wiadomości z teorii trójmianów kwadratowych otrzymujemy: x (, 2) ( 2 ),+. Zbiór D jest iloczynem otrzymanych trzech zbiorów: D=[(, 2) ( 2,+ )] ( 2,+ ) Odpowiedź: D = D= ( 2,+ ). ( 2,+ ). [ (, 2) ( 2,+ )], 7 ZADANIE. Rozwi azać równanie x 2 2 + (x 2 2) 2 (x 2 2) +...=2, (*) wktórymlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego. Rozwiazanie. Znajdujemy najpierw dziedzinę D równania. Lewa strona powyższej równości jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego x 2 2 + (x 2 2) 2 (x 2 2) +... opierwszymwyraziea =orazilorazieq= x 2 2.Musibyćspełnionywarunek zbieżności tego szeregu(patrz tekst Teoria9): q <, należy więc rozwiazać nierówność x 2 2 <,
8 czyli nierówność x 2 2 <, równoważnanierówności x 2 2 >. Oczywiściemusibyćteżspełnionywarunek: x 2 2 0(wmianownikużadnego ułamka nie może pojawić się zero). Ostatecznie zbiór D znajdujemy rozwiazuj ac układdwóchnierówności: { x 2 2 0, x 2 2 >. Rozwiazujemy je kolejno. I. x 2 2 0. Mamy: x 2 2, więc rozwi azanie mapostać: x (, 2 ) ( ) ( ) 2, 2 2,+. czyli II. x 2 2 >.Tanierównośćjestrównoważnaalternatywienierówności: x 2 2> lub x 2 2<, x 2 > lub x 2 <. Rozwiazaniempierwszejnierównościjestzbiór (, ) (,+ ),zaśdrugiej - przedział(, ). Ostatecznie więc x (, ) (,) (,+ ). Dziedzina D równania jest częściawspóln azbiorówotrzymanychwpunktachii II: [( D=, ) ( 2 2, ) ( )] 2 2,+ [(, ) ( )] (,),+, wkońcuwięc D= (, ) ( ) (,),+. Możemy teraz przystapićdorozwi azywania równania(*). Lewa stronę obliczamy stosujac wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego(patrz rekst Teoria9). Równanie przybiera postać: ( )=2, x 2 2
9 czyli czyli ast adotrzymujemy: x 2 =0,czylix=0. Odpowiedź: x=0. x 2 2 x 2 =2, x 2 2=2x 2 2, ZADANIE4. Rozwi azać nierówność x+2 + 2x+ (x+2) 2+(2x+)2 (x+2) +(2x+) 4 +..., (**) (x+2) wktórejlewastronajestsum a nieskończonego szeregu geometrycznego zbieżnego. Rozwiazanie. Znajdujemy najpierw dziedzinę D nierówności. Lewa strona powyższej nierówności jest suma nieskończonego szeregu geometrycznego x+2 + 2x+ (x+2) 2+(2x+)2 (x+2) +(2x+) (x+2) 4 +... 2x+ o pierwszym wyrazie a = oraz ilorazie q =. Musi być spełniony x+2 x+2 warunek zbieżności tego szeregu(patrz tekst Teoria9): q <, należy więc rozwiazać nierówność 2x+ x+2 <, która jest równoważna układowi nierówności: 2x+ x+2 >, 2x+ x+2 <. Rozwiazujemy je kolejno. I. 2x+ x+2 >.Mamykolejno: 2x+ x+2 >,
2x+ x+2 +>0, x+ x+2 >0, x+ x+2 >0. Licznik lewej strony tej nierówności równy jest zeru, gdy x =, zaś mianownik równy jest zeru, gdy x = 2. Układamy tabelkę( siatkę znaków ): Z tabelki widać, że wyrażenie x+ x+2 (, 2) (,+ ). x 2 x+ 0 + x+2 0 + + + x+ x+2 + 0 + II. 2x+ x+2 <.Mamykolejno: 2x+ x+2 <, 40 jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy x 2x+ x+2 <0, x x+2 <0. Liczniklewejstronytej nierównościrównyjestzeru, gdyx=, zaś mianownik równy jest zeru, gdy x = 2. Układamy tabelkę( siatkę znaków ): x 2 x 0 + x+2 0 + + + x x+2 + 0 + Ztabelkiwidać,żewyrażenie x x+2 jestujemnewtedyitylkowtedy,gdyx ( 2,). Dziedzina D nierówności jest częściawspóln a zbiorów otrzymanych w punktach IiII: D=[(, 2) (,+ )] ( 2,),
4 wkońcuwięc D=(,). Możemy teraz przystapićdorozwi azywania nierówności(**). Lewa stronę obliczamy stosujac wzór na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego(patrz rekst Teoria9). Nierówność przybiera postać: ( x+2 ), 2x+ x+2 czyli czyli czyli czyli x+2 x+ x+2, x 0, +x x x 2 x 0, Liczniklewejstronytejnierównościrównyjestzeru,gdyx= 2,zaśmianownikrówny jest zeru, gdy x =. Układamy tabelkę( siatkę znaków ): 2 x x 2 0 + + + x + + + 0 0 + x 2 x Z tabelki widać, że wyrażenie x 2 ) x 2,. jest nieujemne wtedyitylkowtedy, gdyx
42 Należy teraz znaleźć część wspólna wyznaczonego zbioru oraz wyznaczonej wcześniej dziedziny D nierówności: ) ) ) 2 2 2 D, =(,), =,. Odpowiedź: x ) 2,.