WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ METODĄ GRAFICZNĄ I ANALITYCZNĄ

WYZNACZANIE OGNISKOWEJ SOCZEWKI CIENKIEJ METODĄ GRAFICZNĄ I ANALITYCZNĄ I. Cel ćwiczenia: wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej i rozpraszającej, zapoznanie z metodą graiczną i analityczną wyznaczania wielkości izycznyc. II. Przyrządy: ława optyczna z podziałką milimetrową, przedmiot świecący w postaci strzałki, soczewki, ekran. III. Literatura:. H. Homokl, A. Zawadzki, Laboratorium izyczne.. S. Szczeniowski, Fizyka doświadczalna t.iv, Optyka IV. Wprowadzenie Soczewką nazywamy ciało przezroczyste ograniczone dwiema powierzcniami zakrzywionymi lub jedną powierzcnią płaską i jedną zakrzywioną. Najczęściej powierzcnie soczewek są powierzcniami kulistymi. Przyjmując kształt soczewki jako kryterium klasyikacji, dzielimy je na dwuwypukłe, dwuwklęsłe, płaskowklęsłe, płaskowypukłe, płaskowklęsłe, wypukłowklęsłe. Soczewkę nazywamy cienką, kiedy odległość powierzcni ograniczającyc ją jest bardzo mała w porównaniu z promieniem krzywizny tyc powierzcni. Promieniem krzywizny nazywamy promień kuli, której wycinkiem jest powierzcnia ograniczająca soczewkę. Środek tej kuli jest środkiem krzywizny. Soczewka posiada dwa środki krzywizny O i O. Linię łączącą środki krzywizny nazywamy główną osią optyczną soczewki. Środkiem optycznym soczewki nazywamy punkt połoŝony na jej osi optycznej i mający tę własność, Ŝe promienie przecodzące przez niego mają ten sam kierunek przed wejściem do soczewki i po wyjściu z niej. Środek optyczny soczewki cienkiej leŝy w przybliŝeniu w środku geometrycznym soczewki. Ogniskiem głównym nazywamy punkt, w którym soczewka skupia promienie równoległe do głównej osi optycznej biegnące ku niej. Dwa ogniska główne F znajdują się w równyc odległościac po obu stronac soczewki. F O F O r r Rys. Bieg promieni równoległyc do głównej osi soczewki, promienie krzywizn r i r, środki krzywizn O i O, ogniska soczewki F, ogniskowa Ogniskową soczewki nazywamy odległość od ogniska do środka optycznego soczewki. Wierzcołkami soczewki nazywamy punkty przecięcia powierzcni łamiącyc soczewki z jej osią optyczną. Promienie padające pod niewielkimi kątami (prawie prostopadle) na powierzcnię soczewki w pobli- Ŝu soczewki nazywamy promieniami przyosiowymi. Z wyjątkiem promieni biegnącyc wzdłuŝ głównej osi optycznej, kaŝdy promień przecodzący przez soczewkę ulega dwukrotnie załamaniu na obu powierzcniac soczewki. Bieg dowolnego promienia moŝemy wykreślić korzystając z prawa zała-

mania światła. JeŜeli promienie równoległe do głównej osi optycznej po przejściu przez soczewkę odcylają się ku osi, soczewka nosi nazwę skupiającej; jeśli odcylają się od osi, soczewka nosi nazwę rozpraszającej. Gdy względny współczynnik załamania n jest większy od jedności, to soczewki dwuwypukłe, płaskowypukłe i wklęsłowypukłe (ogólnie te któryc środek jest grubszy od brzegów) są soczewkami skupiającymi, a soczewki dwuwklęsłe, płaskowklęsłe, wypukłowklęsłe soczewkami rozpraszającymi. Gdy współczynnik n jest mniejszy od jedności sytuacja jest odwrotna. Względny współczynnik załamania n jest to współczynnik załamania materiału soczewki względem otaczającego ją ośrodka n n = n gdzie n - bezwzględny współczynnik załamania materiału soczewki względem próŝni, n - bezwzględny współczynnik załamania otaczającego ośrodka względem próŝni. Odległość przedmiotu od soczewki, odległość y obrazu od soczewki oraz ogniskowa są związane równaniem soczewkowym (wyprowadzenie w Uzupełnieniu): = + () y Jak juŝ wspomniano wyŝej dla soczewek skupiającyc promienie równoległe do głównej osi optycznej skupiają się po przejściu przez soczewkę w jej ognisku. Soczewka skupiająca wytwarza rzeczywiste obrazy przedmiotów połoŝonyc w odległości > na głównej osi optycznej i pozorne obrazy przedmiotów połoŝonyc w odległości <. W soczewce rozpraszającej promienie równoległe do głównej osi optycznej odcylają się po przejściu przez soczewkę tak, Ŝe ic przedłuŝenia przecinają się w ognisku pozornym - punkcie połoŝonym na głównej osi optycznej przed soczewką. Ogniskowej soczewki rozpraszającej przypisujemy umowną wartość ujemną, ujemna jest równieŝ wartość odległości y obrazu od soczewki. Soczewka rozpraszająca wytwarza obraz pozorny przedmiotów na głównej osi optycznej. Odległość przedmiotu oraz obrazu y od soczewki spełnia równieŝ równanie (). a) p A A' F O F ' +, B' B o b) F B A B' A' O F ' c) A A' F B B' O F ' Rys. Konstrukcja obrazów w soczewkac: a) soczewka skupiająca, obraz rzeczywisty pomniejszony; b) soczewka skupiająca, obraz pozorny, powiększony; c) soczewka rozpraszająca, obraz pozorny, pomniejszony. Powiększenie liniowe obrazu deiniujemy jako stosunek rozmiarów liniowyc obrazu do rozmiarów liniowyc przedmiotu

o M l = () p Wysokości przedmiotu p i obrazu o, mierzone prostopadle do osi optycznej są zawsze dodatnie, więc i wartość powiększenia M l jest zawsze dodatnia (tak dla obrazów prostyc jak i dla obrazów odwróconyc). Z podobieństwa trójkątów OAA' i OBB' na rys. wynika, Ŝe wartość powiększenia M l obrazów rzeczywistyc i pozornyc wynosi o p OB y = = OA y M l = (3) gdzie jest wartością bezwzględną odległości przedmiotu od soczewki, a y wartością bezwzględną odległości obrazu od soczewki (patrz Umowa znaków w Uzupełnieniu). Ogniskowa układu optycznego złoŝonego z dwu soczewek cienkic o ogniskowyc i wynosi l = + (4) gdzie l oznacza odległość wzajemną tyc soczewek. JeŜeli dwie soczewki połoŝone są bardzo blisko siebie, tzn. gdy l 0, równanie (4) przyjmie postać = + (4a) Odwrotność ogniskowej nosi nazwę zdolności skupiającej soczewki i oznaczamy ją przez Φ. Zdolność skupiającą soczewki mierzymy w dioptriac (oznaczamy skrótem D). Wymiarem dioptrii jest m -. Zdolność skupiająca układu soczewek jest równa sumie zdolności skupiającyc poszczególnyc soczewek układu (z równania (4a)): Φ = Φ + Φ. V. Metoda pomiarów V. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej Metoda I - Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej za pomocą wykresu zaleŝności między powiększeniem a odległością obrazu od soczewki. Z równania () otrzymujemy y y = Wstawiając (5) do (3) otrzymamy (5) y M l = (6) M l Dla obrazów rzeczywistyc i dla y > (patrz tabela 4 w Uzupełnieniu), równanie to przedstawia prostą o nacyleniu przecinającą oś Oy w punkcie y = Wartość moŝna wyznaczyć przez ekstrapolację do przecięcia wykresu z osią Oy (odciętyc) lub znajdując wartość na osi odciętyc y dla powiększenia M l = : = ½OB O A B y Rys. 3 Wykres zaleŝności wartości powiększenia M l od odległości y obrazu od soczewki. 3

Metoda II - Wyznaczanie ogniskowej soczewki cienkiej za pomocą wykresu zaleŝności między odległością przedmiotu od obrazu a odległością przedmiotu od soczewki. Z równania () otrzymamy y =. Zatem suma + y jest równa (po przekształceniac) z 4 O A = B Rys. 4 Wykres odległości z przedmiotu od obrazu w unkcji odległości przedmiotu od soczewki. Metoda III - Wyznaczanie ogniskowej soczewki cienkiej metodą Bessela. + y = Jeśli oznaczymy + y = z otrzymamy ostatecznie: z = (7) Dziedziną unkcji z = () jest zbiór D (- ; ) (; + ). Nie rozpatrujemy przypadku <, tak więc nie zajmujemy się zbiorem wartości w przedziale (- ; ). Funkcja (7) przedstawia iperbolę i posiada asymptoty: pionową = i ukośną z = +. Posiada teŝ minimum w punkcie =. Wartość unkcji w minimum wynosi z = 4 (więcej na temat przebiegu unkcji z w Uzupełnieniu strona ). Z wykresu na rys 4 znajdujemy = ½ OB lub = ¼ OA. Przy stałej odległości przedmiotu od ekranu istnieją połoŝenia soczewki, w któryc na ekranie pojawiają się wyraźne obrazy. W połoŝeniu pierwszym obraz jest powiększony, w drugim zmniejszony (rys.5). PoniewaŜ + y = d oraz y - = a, d a d + a = y a y = otrzymujemy = i y =. Podstawiając otrzymane wartości do wzoru (), otrzymamy = (8) d a 4d a lub 4 = d (9) d Wynika więc z tego, Ŝe odległość d musi być większa od 4. = y d z = + y = Rys. 5 Metoda Bessela wyznaczania ogniskowej soczewki cienkiej. V. Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej Wykorzystujemy relację podaną wzorem (4) lub (4a). Metodami I, II, III opisanymi wyŝej moŝemy wyznaczyć wyłącznie ogniskową soczewki skupiającej lub zbierającego układu soczewek. Wobec tego, Ŝe ogniskowa soczewki rozpraszającej jest ujemna, musi być spełniony warunek <, aby ogniskowa układu była dodatnia ( jest ogniskową soczewki skupiającej, - ogniskową układu złoŝonego z soczewki skupiającej i rozpraszającej). 4

Z równania (4) otrzymujemy: = Jeśli l 0, wzór (0) przyjmie postać = ( l ) (0) (0a) VI. Układ pomiarowy Zestaw do ćwiczenia składa się z przedmiotu świecącego (źródła światła ze szczeliną w postaci strzałki, ekranu, soczewki na statywie, ławy optycznej z podziałką milimetrową. Koniki przedmiotu, przedmiot świecący soczewka lub układ soczewek koniki ekran soczewki i ekranu posiadają prostopadłe wskaźniki ułatwiające odczyt połoŝenia na ławie optycznej. Rys. 6 Scemat układu pomiarowego. VII. Sposób przeprowadzenia pomiarów Zadanie Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą I. Ustaw na ławie optycznej przedmiot świecący w odległości ok. 00 cm od ekranu (patrz rys.6).. Między przedmiotem świecącym i ekranem umieść soczewkę. 3. Ustaw soczewkę tak, aby obraz na ekranie był ostry i pomniejszony. Zanotuj w tabeli pomiarów połoŝenia wskaźników przedmiotu, soczewki i ekranu na podziałce ławy optycznej. Przykład tabeli pomiarów poniŝej ( l p - połoŝenie wskaźnika przedmiotu, l s - połoŝenie wskaźnika soczewki, l e - połoŝenie wskaźnika ekranu). Tabela Lp l p l s l e = l s - l p y = l e - l s M l = y/ 4. Przesuń soczewkę o 0 cm w stronę przedmiotu* (jeśli pomiary rozpoczęto od obrazów pomniejszonyc) a następnie przesuwając ekran uzyskaj ostry obraz świecącej strzałki. Wyniki zapisz w tabeli (jak w punkcie 3). 5. Zmieniając połoŝenie soczewki powtórz kilkakrotnie punkt 4. * MoŜna zmieniać połoŝenie przedmiotu przy stałej pozycji soczewki. Zadanie Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą II. Wyznacz w przybliŝeniu ogniskową soczewki przez znalezienie punktu przecięcia promieni równoległyc światła słonecznego lub światła odległej Ŝarówki na kartce papieru lub maksymalnie oddalając przedmiot świecący od soczewki poszukaj punktu przecięcia promieni równoległyc na ekranie.. Ustaw przedmiot za ogniskiem soczewki w odległości bliskiej, ekran maksymalnie oddalony od soczewki. Jeśli nie jest moŝliwe uzyskanie na ekranie ostrego obrazu naleŝy nieznacznie zwiększyć odległość między soczewką a przedmiotem. 3. Zanotuj w tabeli pomiarów połoŝenia wskaźników przedmiotu, soczewki i ekranu na podziałce ławy optycznej (l p, l s, l e ). Przykład tabeli pomiarów poniŝej, oznaczenia jak wyŝej. 5

4. Odsuwaj soczewkę od przedmiotu początkowo co cm (5 6 punktów pomiarowyc), potem co cm (0 punktów pomiarowyc) a następnie co 5 cm (6 lub więcej punktów pomiarowyc). Przesuwając ekranem, uzyskaj za kaŝdym razem ostry obraz strzałki. Uwaga: Inormacje dotyczące ilości punktów pomiarowyc dotyczą soczewki o ogniskowej rzędu dwudziestu kilku cm. Tabela Lp l s l p l e = l s - l p z = + y = l e - l p Zadanie 3 Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą III (Bessela). Ustaw przedmiot i ekran w odległości rzędu jednego metra. Wyznacz tę odległość d, odczytując połoŝenia l e i l p wskaźników ekranu i soczewki (d = l e - l p ).. Między ekranem i przedmiotem świecącym ustaw soczewkę. Przesuń ją w połoŝenie, w którym ' obraz na ekranie jest powiększony i najwyraźniejszy. Wyznacz połoŝenie l s wskaźnika soczewki na podziałce ławy optycznej kilka razy. 3. Przesuń soczewkę w połoŝenie, w którym otrzymany na ekranie obraz zmniejszony jest najwyraźniejszy. Wyznacz połoŝenie l wskaźnika soczewki na podziałce ławy optycznej kilka razy. '' s Wszystkie wyniki zapisz w tabeli pomiarów 3. 4. Pomiary z punktów - 3 wykonaj dla kilku np. pięciu róŝnyc odległości d. Lp l p l e d = l e - l ' p l s '' l s Tabela 3 '' ' a = l s l s a Zadanie 4 Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej. Dokonaj pomiaru ogniskowej soczewki skupiającej jedną z opisanyc metod np. metodą Bessela (pomiary jak w zadaniu 3).. Ustaw na ławie optycznej układ złoŝony z soczewki skupiającej o ogniskowej i soczewki rozpraszającej o ogniskowej. 3. Wyznacz ogniskową tego układu soczewek metodą zastosowaną w punkcie. VIII. Opracowanie wyników Dla zadania y. Wyznacz powiększenie liniowe M l = dla wszystkic punktów pomiarowyc. Wykonaj wykres powiększenia M l w unkcji odległości y obrazu od soczewki: M l = (y). Punkty doświadczalne powinny ułoŝyć się w przybliŝeniu na linii prostej.. Ekstrapolując prostą M l = (y) aŝ do przecięcia z osią odciętyc, wyznacz punkt A (rys. 3). 6

3. Odczytaj z wykresu wartość. Ogniskowa jest równa wartości odcinków OA lub ½ OB, gdzie OB - odcięta punktu prostej o rzędnej M l = (patrz rys. 3). 4. Oceń niepewności pomiarowe l s, l p, l e. Zaznacz na wykresie niepewności pomiarowe M l i y; y y = ± l s + l e, = ± l s + l p, M l = ± M l +. Oceń niepewność wyznaczenia ogniskowej soczewki; y Przy wyznaczaniu ogniskowej najlepiej posłuŝyć się metodą analityczną:. Przedstaw zaleŝność powiększenia liniowego M l w unkcji odległości y obrazu od soczewki. Korzystając z metody najmniejszyc kwadratów wyznacz parametry prostej M l = ay + b, gdzie a = i b są parametrami prostej. Prostą o wyznaczonyc parametrac narysuj na wykresie.. Wyznacz ogniskową soczewki: =. a a 3. Oblicz niepewność pomiarową ogniskowej : = ±, gdzie a - niepewność wyznaczenia a parametru a w metodzie najmniejszyc kwadratów. Dla zadania. Wykonaj wykres zaleŝności odległości z przedmiotu od jego obrazu w unkcji odległości przedmiotu od soczewki: z = (), gdzie z = + y.. Zaznacz na wykresie asymptotę pionową i ukośną. 3. Wyznacz z wykresu ogniskową soczewki. 4. Wyznacz niepewności pomiarowe i z. Niepewności pomiarowe i z związane są z niepewnościami połoŝenia l p, l s, l e, które nale- p p Ŝy ocenić; = ± ( l ) ( ) s + l oraz z = ± ( l ) ( ) e + l Zaznacz niepewności i z na wykresie (jeśli pozwala na to przyjęta skala wykresu). 5. Oszacuj niepewność korzystając z zaznaczonyc na wykresie niepewności i z. Wykorzystując metodę analityczną:. Przekształć wzór (7) do postaci Z = -, gdzie Z =. Wyznacz metodą najmniejszyc kwadratów parametry a i b = - prostej Z = a + b. z. Korzystając z obliczonego parametru b wyznacz ogniskową soczewki = - b. b 3. Oblicz niepewność pomiarową : = ±, gdzie b jest niepewnością wyznaczenia parametru b b prostej. Dla zadania 3. Oblicz odległości d przedmiotu od ekranu oraz średnie przesunięcie a soczewki dla danej odległości d.. Oblicz wartość ogniskowej ze wzoru (8 ) dla kaŝdej serii pomiarowej. Przy pięciu seriac, tj. gdy n = 5, będzie to 5 wartości. 3. Oblicz wartość średnią. 4. Oblicz niepewność korzystając z relacji = S t( α, k), gdzie S - średni błąd kwadratowy średniej ogniskowej (wzór poniŝej), t(α,k) - współczynnik rozkładu Studenta-Fisera (szukaj w tablicac tego rozkładu np. w Uzupełnieniu I pracownia izyczna J Kacperski, K Niedźwiedziuk), k - ilość stopni swobody, k = n -, α - współczynnik uności (przyjąć α = 0,95). 7

n ( i ) i= S = n( n ) (patrz Racunek błędu podręcznik I pracownia izyczna J Kacperski, K Niedźwiedziuk). Dla zadania 4. Oblicz ogniskową soczewki skupiającej oraz ogniskową układu soczewek tak jak opisano to dla zadania 3.. Oblicz korzystając ze wzoru (0) lub (0a) wartość ogniskowej soczewki rozpraszającej. 3. Oblicz, (jak dla zadania 3) oraz = ± +. UWAGA: NaleŜy uzgodnić z prowadzącym zajęcia laboratoryjne, które z przedstawionyc zadań ( 4) naleŝy wykonać. 8

UZUPEŁNIENIE Niec P i P będą punktami, w któryc pewien wybrany promień przecina obie powierzcnie soczewki (rys.7 ). Punkty O i O są środkami krzywizn powierzcni soczewki, punkt P jest punktem przecięcia się odcinków O P i O P. Kąt odcylenia promienia jest równy kątowi o jaki odcyliłby się promień, gdyby soczewkę zastąpić pryzmatem, którego powierzcnie byłyby styczne do powierzcni soczewki w punktac P i P. Kąt łamiący ϕ takiego pryzmatu zaleŝy od połoŝenia punktów P i P. Dla soczewki cienkiej i promieni przyosiowyc punkty P, P i P są praktycznie równoodległe od głównej osi optycznej. Kąt ϕ jest równy kątowi zewnętrznemu trójkąta O O P i wynosi: ϕ = PO O + PO O Odległość punktu P od głównej osi optycznej jest równa tak więc mamy : sin( PO O ) = r sin ( PO O ) = r ϕ P P ϕ P ϑ r r O S S S S F O Rys.7 Bieg promienia równoległego do osi optycznej w soczewce i po przejściu przez nią. Dla soczewki cienkiej i promieni przyosiowyc kąty PO O i PO O są bardzo małe. W takim razie: sin( PO O ) PO O i sin( PO O ) PO O. Otrzymujemy ostatecznie wzór na kąt łamiący pryzmatu zastępczego dla promienia padającego na soczewkę w punkcie odległym o od głównej osi optycznej: ϕ = + r r ( ) Ten sam wzór obowiązuje dla soczewki płaskowypukłej i wklęsłowypukłej. Dla promieni przecodzącyc przez środek soczewki = 0, a więc kąt ϕ jest równy zero. Promienie te przecodzą przez soczewkę bez załamania, tak jak przez cienką płytkę płaskorównoległą. Umowa znaków a). Wszystkie odległości mierzymy od (lub do) wierzcołka powierzcni łamiącej soczewki. Dla soczewek cienkic odległości mierzone od powierzcni ograniczającyc soczewkę moŝemy utoŝsamiać z odległościami od środka optycznego soczewki, poniewaŝ odległości te są w przybliŝeniu równe. b). Odległości mierzone wzdłuŝ biegu promieni rzeczywistyc są oznaczone znakiem (+). Odległości mierzone wzdłuŝ przedłuŝeń promieni rzeczywistyc (tzn. wzdłuŝ promieni pozornyc) oznacza się znakiem ( - ). 9

c). Promień krzywizny danej powierzcni ograniczającej soczewkę jest dodatni, jeŝeli powierzcnia ta jest wypukła na zewnątrz; ujemny, jeśli ta powierzcnia jest wklęsła na zewnątrz. Wzór na ogniskową soczewki Kąt odcylenia ϑ promienia padającego na soczewkę w odległości od środka soczewki ze wzoru () i wzoru na kąt odcylenia promieni w pryzmacie jest równy: = ( n ) ϕ = ( n ) + r r ϑ ( ) gdzie n jest to względny współczynnik załamania materiału soczewki względem otaczającego ją n ośrodka : n =. n Bezwzględny współczynnik załamania materiału soczewki względem próŝni jest równy n = c/v, bezwzględny współczynnik załamania otaczającego ośrodka względem próŝni równa się n = c/v (c - prędkość światła w próŝni, v - prędkość światła w materiale soczewki, v - prędkość światła w otaczającym soczewkę środowisku). Z drugiej strony, kąt ten moŝna powiązać z odległością, w jakiej promień równoległy do głównej osi optycznej przecina tę oś po przejściu przez soczewkę ϑ tg ϑ = ( 3 ) Korzystając, Ŝe mamy do czynienia z małymi kątami dla któryc () i (3) otrzymujemy zaleŝność = ( n ) + r r ϑ sinϑ tgϑ i porównując wzory ( 4 ) We wzorze tym nie występuje w ogóle odległość promienia od głównej osi optycznej, a więc wszystkie równoległe do osi optycznej promienie przyosiowe przecinają oś optyczną w tej samej odległości. Równanie soczewki. P ϑ A O S O B Rys. 8 Powstawanie obrazu punktu świecącego Kąt odcylenia ϑ promienia wysłanego przez punkt A, połoŝony na osi optycznej, jako kąt zewnętrzny trójkąta APB, równy jest ϑ = PAB + PBA Kąty PAB i PBA moŝemy przybliŝyć przez ic tangensy; otrzymujemy wtedy ϑ = + y Porównując ten wzór ze wzorem ( 3 ) otrzymujemy tzw. równanie soczewkowe + = (5) y 0

We wzorze tym nie występuje. Dowodzi to, Ŝe wszystkie promienie przyosiowe rozcodzące się z punktu A po przejściu przez soczewkę przetną oś optyczną w tym samym punkcie B, a więc Ŝe punkt B jest rzeczywistym obrazem punktu A. W tabeli 4 i 5 zestawiono własności obrazów otrzymywanyc w soczewkac skupiającej i rozpraszającej. Tabela 4 y M l Soczewki skupiające = y = M l = 0 Wiązka promieni równoległyc do osi optycznej soczewki skupia się w ognisku. > < y < M l < Obraz rzeczywisty, zmniejszony, odwrócony = y = M l = Obraz rzeczywisty, wielkości przedmiotu, odwrócony < < y > M l > Obraz rzeczywisty, powiększony, odwrócony = y = M l = Promienie wycodzące z ogniska po przejściu przez soczewkę są równoległe 0 < < y < 0 M l > Obraz, pozorny, powiększony, prosty < 0 0 < y < M l < Obraz rzeczywisty przedmiotu pozornego, zmniejszony prosty Tabela 5 y M l Soczewki rozpraszające Obraz pozorny przedmiotu rzeczywistego, zmniejszony prosty > 0 - < y < 0 M l < - < < 0 y > 0 M l > Obraz rzeczywisty przedmiotu pozornego, powiększony prosty Wiązka promieni zbieŝnyc do ogniska po przejściu = - y = M l = przez soczewkę staje się równoległa - < <- y < - M l > Obraz pozorny przedmiotu pozornego, powiększony, odwrócony Obraz pozorny przedmiotu pozornego, odwrócony, = - y = - M l = wielkości przedmiotu pozornego < - - < y < - M l < Obraz pozorny przedmiotu, zmniejszony, odwrócony = y = - M l = 0 Wiązka promieni równoległyc staje się rozbieŝna po przejściu przez soczewkę Przebieg zmienności unkcji z =, gdzie z = + y (6) Dziedziną unkcji z = () (rys 9) jest zbiór D (- ; ) ( ; + ). Nie rozpatrujemy przypadku < tak, więc nie zajmujemy się zbiorem wartości w przedziale (- ; ). lim ( ) = lim = + + + Stąd wynika, Ŝe prosta = jest asymptotą pionową wykresu danej unkcji (). Ponadto ( ) lim = lim = i lim [ ( ) ] = lim = + + ( ) + + Tak więc prosta z = + jest asymptotą ukośną wykresu unkcji. Funkcja (6) jest równaniem iperboli i posiada asymptoty = i z = + (patrz rys 9).

Ekstremum unkcji (6) znajduje się w punkcie, w którym jej pierwsza pocodna przybiera wartość zero dz ( ) ( ) = = = 0 d ( ) ( ) z Przy 0 i - 0 zacodzi to dla = 0, stąd =. PoniewaŜ z > 0 dla ( ; + ) i z < 0 dla ( ; ), więc dana unkcja jest malejąca 4 A w przedziale ( ; ), rosnąca w przedziale (, + ) Z powyŝszego rozumowania wynika, Ŝe unkcja (6) ma minimum w punkcie =. Z równania (5) wynika, Ŝe gdy =, to równieŝ y =, więc B + y = 4 O Z wykresu znajdujemy = OB lub Rys. 9 Wykres unkcji z = = OA. 4 = z = +