Wyznaczanie ogniskowych soczewek i badanie ich wad.

Transkrypt

1 O. Wyznaczanie ogniskowych soczewek i badanie ich wad. I. Wstęp teoretyczny. Soczewki Przyjmiemy, Ŝe powierzchnie soczewek są ragmentami ser. Powierzchnie te mogą być wklęsłe lub wypukłe (w szczególności płaskie), co daje wiele moŝliwości kształtowania soczewek: jako dwuwypukłe (Rys. a), dwuwklęsłe (Rys. b.), ale teŝ wklęsło-wypukłe, płasko-wypukłe itd.). Ze względu na właściwości optyczne wygodniej jest podzielić soczewki na dwie klasy: skupiające (to takie, które są grubsze na środku, niŝ przy brzegach) i rozpraszające (na odwrót). Na rysunku pokazano przykłady soczewek: skupiającej (a) i rozpraszającej (b). a) b) F F - Rys. Podstawowym parametrem charakteryzującym soczewkę jest jej ogniskowa. Zacznijmy od soczewki skupiającej. Jak pamiętamy ze szkoły, wiązka równoległych promieni świetlnych, równoległa do osi symetrii soczewki skupiającej (zwanej jej osią optyczną), po przejściu przez soczewkę, spotyka się w przybliŝeniu w jednym punkcie F zwanym ogniskiem soczewki. Odległość tego punktu od soczewki nazywamy ogniskową soczewki. MoŜna udowodnić Ŝe ognisko leŝące po drugiej stronie soczewki, jest w tej samej odległości od soczewki (choćby nawet soczewka nie była symetryczna). MoŜna teŝ wykazać, Ŝe światło wybiegające z ogniska, po przejściu przez soczewkę, biegnie równolegle do osi optycznej. W przypadku soczewki rozpraszającej przecinają się tylko wsteczne przedłuŝenia promieni, które tym razem po przejściu przez soczewkę są rozbieŝne. Ogniskową takiej soczewki uwaŝamy za ujemną, a więc odległość miedzy ogniskiem i soczewką, pokazana na rysunku b, wynosi w tym przypadku.

2 JeŜeli złoŝymy dwie soczewki o róŝnych ogniskowych i (soczewki muszą być bezpośrednio jedna przy drugiej), to taki zestaw działa jak soczewka o ogniskowej spełniającej związek = +, czyli ogniskowa zestawu wynosi + =. ().. Obrazy tworzone przez soczewki skupiające y A B () () F F (3) S O S Rys. B' A' RozwaŜmy układ przedstawiony na rysunku. Podwójna strzałka na środku jest symbolem soczewki skupiającej, świeczka po lewej posłuŝy jako świecący przedmiot. Świecą wszystkie punkty świeczki: płomień świeci światłem własnym, pozostałe punkty - światłem odbitym (rozproszonym). Tak wiec kaŝdy punkt przedmiotu wysyła rozbieŝną wiązkę światła o barwie i natęŝeniu odpowiadających barwie i jasności danego punktu. Cześć tego światła pada na soczewkę. Prześledzimy, co dzieje się ze światłem opuszczającym dany punkt przedmiotu (wybraliśmy płomień) i padającym na soczewkę. MoŜna udowodnić, Ŝe taka rozbieŝna wiązka, nadlatująca z jednego punktu, po przejściu przez soczewkę skupiającą, przetnie się za nią w przybliŝeniu w jednym punkcie. Wyznaczymy go graicznie, jak na rysunku. W tym celu wybierzemy trzy szczególne promienie: () równoległy do osi optycznej () padający na środek soczewki (3) - przechodzący przez ognisko F. Promień (), po przejściu przez soczewkę, przejdzie przez jej prawe ognisko F. Dla promienia () soczewka zachowa się jak zwykła szyba i nie zmieni jego kierunku. Te dwa promienie przecinają się w punkcie, gdzie utworzy się obraz płomienia. JuŜ tylko dla kontroli sprawdzamy bieg promienia (3), który, jako przechodzący przez ognisko F, po przejściu przez soczewkę pobiegnie równolegle do osi optycznej i dobiegnie do wyznaczonego juŝ punktu przecięcia. Podobną konstrukcję naleŝałoby wykonać dla wiązek promieni opuszczających pozostałe punkty przedmiotu: kaŝda z tych wiązek przetnie się w kolejnych

3 punktach obrazu. Obraz jak widać jest odwrócony. MoŜemy go zobaczyć na dwa sposoby: albo ustawimy ekran, na którym skupią się wszystkie wiązki tworząc zestaw świecących punktów składających się na obraz, albo moŝemy spojrzeć z prawej strony (w lewo, wzdłuŝ osi optycznej oczywiście bez ekranu) wpuszczając do oka wiązki promieni, które, po przecięciu się, biegną juŝ jako rozbieŝne, czyli tak, jakby na miejscu obrazu stał świecący przedmiot. NaleŜy zastanowić się, dlaczego nie widać wtedy obrazu całego przedmiotu, tylko tę jego część, która wypada na tle soczewki (odpowiedź na to pytanie naleŝy umieścić w sprawozdaniu). Znajdźmy połoŝenie płaszczyzny, w której utworzy się obraz. Odległość przedmiotu od soczewki niech wynosi. Gdyby zachodziło =, to rozbieŝne wiązki światła padającego na soczewkę z przedmiotu, po przejściu przez soczewkę byłyby wiązkami równoległymi, czyli przecinałyby się w nieskończoności. Dlatego dla uzyskania obrazu musimy przedmiot ustawić w odległości większej od (bo wtedy wiązki promieni docierających do soczewki są mniej rozbieŝne i soczewka juŝ moŝe je skupić). Z podobieństwa pary trójkątów S OF i A ' B' F, przy uwzględnieniu równości S O = AB oraz F B' = y mamy: AB = A' B' y, a z podobieństwa trójkątów ABF i S OF podobnie otrzymujemy: AB = A' B'. Dzieląc te związki stronami dostajemy =, co po krótkim rachunku ( y )( ) prowadzi do związku + =, () y 3

4 zwanego równaniem soczewki. ZauwaŜmy, Ŝe gdy przedmiot stoi bardzo daleko (duŝa wartość odległości ), to zachodzi w przybliŝeniu y = (obraz w pobliŝu y ogniska)..3. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej bezpośrednio na podstawie równania soczewki Dla uzyskania obrazu odległość l ekranu od przedmiotu musi być większa od czterokrotnej ogniskowej soczewki. Takie ustawienie daje gwarancję, Ŝe między przedmiotem i ekranem znajdziemy takie połoŝenie soczewki, przy którym na ekranie powstanie ostry obraz przedmiotu. Z równania soczewki wynika bowiem zaleŝność y ( ) =. (3) Rys. 3. Ustaliliśmy juŝ, Ŝe soczewka skupiająca utworzy obraz na odpowiednio ustawionym ekranie, gdy >. Z wykresu unkcji y ( ) widać, Ŝe gdy rośnie od wartości, to y maleje od nieskończoności. Przyglądając się uwaŝnie wykresowi moŝna zauwaŝyć, Ŝe suma + y, będąca odległością przedmiotu od obrazu, początkowo maleje, osiągając najmniejszą wartość, gdy = y, a potem znowu rośnie. Ta najmniejsza wartość wynosi 4, co moŝna łatwo sprawdzić wstawiając do wzoru (3) warunek = y: = czyli = co daje razem + y = + = 4. czyli =, przedmiot źródło światła l y soczewka ekran Rys. 4. 4

5 Pomiar będzie polegał na wyznaczeniu odległości i y a następnie obliczeniu ogniskowej: ( l ) y = =. + y l.4. Wyznaczanie ogniskowej soczewki skupiającej metodą Bessela Wykonując poprzedni pomiar być moŝe zauwaŝyliśmy, Ŝe przy ustalonej odległości l moŝna znaleźć dwa połoŝenia soczewki, dające ostry obraz. Przyczynę zrozumiemy rozwiązując równanie słuŝące wyznaczeniu tego połoŝenia. Dla ustalonej odległości l mamy bowiem z równania soczewki: = + l czyli l + l = 0 a więc są dwa rozwiązania: ( l l 4 l ) =, oraz ( l l 4 l ) = + (pamiętamy, Ŝe l > 4, więc zawartość pierwiastka jest na pewno dodatnia). l d Rys. 5 Pomiar będzie tym razem polegał na wyznaczeniu odległości d obydwu połoŝeń. Znając tę odległość, równą wg teorii d = = l 4 l, wyznaczymy ogniskową (po przekształceniach): l = d 4l 5

6 .5. Wady soczewek Wszystkie powyŝsze wywody teoretyczne naleŝy traktować jako przybliŝone modele. W szczególności nie jest prawdą, Ŝe rozwaŝane wiązki promieni, po przejściu przez soczewkę, skupiają się dokładnie w jednym punkcie. Skutkuje to oczywiście nieostrością obrazów uzyskiwanych za pomocą prostych, pojedynczych soczewek. Mechanizmy powstawania tych niedokładności są róŝne tu omówimy podstawowe trzy z nich: aberrację seryczną, aberrację chromatyczną i astygmatyzm. Aberracja seryczna Okazuje się, Ŝe w przypadku soczewek o powierzchniach serycznych, promienie przechodzące przez ich skraj skupiają się nieco bliŝej soczewki, niŝ te przechodzące przez okolicę środka. Tak więc gdyby występowała tylko ta wada optyczna, to ognisko, zamiast być punktem, byłoby krótkim odcinkiem leŝącym na osi optycznej. W rzeczywistości jednak na aberrację seryczną nakładają się inne niedoskonałości soczewki, o czym niŝej. Aberracja chromatyczna Znając rozszczepiające działanie pryzmatu mamy świadomość zaleŝności współczynnika załamania światła od długości ali świetlnej. Światło białe jest mieszanką al o róŝnych długościach, tak więc spodziewamy się, Ŝe ognisko (nawet to idealne, punktowe) dla kaŝdej długości ali, czyli dla kaŝdej barwy, będzie w innym miejscu. Najsilniej załamuje się światło ioletowe, więc ognisko ioletowe będzie leŝało najbliŝej soczewki. Ogniskowe odpowiadające kolejnym barwom (niebieskiej, zielonej, Ŝółtej i czerwonej) będą coraz dłuŝsze. Astygmatyzm Astygmatyzm jest wadą, która ujawnia się, gdy promienie padają na soczewkę pod kątem innym, niŝ kąt prosty (a prawie zawsze tak jest). JeŜeli na skręconą względem osi ławy soczewkę (na rysunku 6 mamy widok z góry) skierujemy wiązkę równoległą, to okaŝe się Ŝe ogniskowa dla promieni leŝących w płaszczyźnie napiętej na pionie i osi ławy jest nieco dłuŝsza od ogniskowej dla promieni leŝących w płaszczyźnie poziomej. o o 5 0 Rys. 6. 6

7 Zjawisko to zaobserwujemy stosując specjalnie przygotowany przedmiot złoŝony z linii poziomych i pionowych - obrazy tych zespołów linii będą powstawały w róŝnych płaszczyznach: obrazy linii pionowych bliŝej soczewki, obrazy poziomych dalej. II. Przebieg pomiarów.. Ogniskowa wyznaczana bezpośrednio z równania soczewki Orientacyjną i bardzo przybliŝoną wartość ogniskowej soczewki ustalamy rzutując na dłoń obraz odległego przedmiotu (lampa na korytarzu, okno odległe o kilka metrów). Wracamy na stanowisko i na ławie optycznej ustawiamy świecący przedmiot i ekran we wzajemnej odległości wyraźnie większej, niŝ czterokrotność ogniskowej, ustalonej wcześniej w przybliŝeniu. Po wybraniu i ustaleniu pozycji przedmiotu i ekranu na ławie optycznej (od razu zapisujemy te dane, wraz z szacowanymi błędami odczytu) ustawiamy na ławie soczewkę w uchwycie i szukamy takiego jej połoŝenia, aby na ekranie powstał ostry obraz przedmiotu. Zapisujemy połoŝenie soczewki. Czynność powtarzamy 0-krotnie, czyli, nie patrząc na wskaźnik połoŝenia i nie sugerując się poprzednimi odczytami, dziesięciokrotnie szukamy właściwego połoŝenia soczewki, zapisując wszystkie wyniki. Obracamy soczewkę w uchwycie o 80 stopni i powtarzamy całą procedurę. Takie postępowanie posłuŝy sprawdzeniu, czy płaszczyzna soczewki przechodzi dokładnie przez oś jej uchwytu i wskaźnik połoŝenia na ławie. Sprawa wyjaśni się dopiero przy opracowywaniu wyników, kiedy porównamy obydwa wyliczone średnie połoŝenia. MoŜe się okazać, Ŝe te średnie połoŝenia będą się od siebie róŝniły o wielkość porównywalną ze standardowymi odchyleniami średnich S, obliczonymi w zwykły sposób dla kaŝdej z serii dziesięciu pomiarów. Gdybyśmy wtedy do dalszych rachunków przyjęli średnie połoŝenie soczewki z jednej tylko z dwóch serii pomiarów, to do wyliczonego dla tej serii odchylenia standardowego S średniej naleŝałoby dodać połowę wspomnianej róŝnicy jako błąd systematyczny, obciąŝający tę serię. Postąpimy jednak inaczej: obliczymy średnią arytmetyczną dla wszystkich dwudziestu pomiarów i policzymy odchylenie standardowe dla tej łącznej serii, co uwolni nas w tym przypadku od obowiązku uwzględnienia błędu systematycznego wynikającego z wadliwej konstrukcji uchwytu. Nie oznacza to oczywiście, Ŝe mamy zapomnieć o błędach systematycznych (zapisanych juŝ wcześniej) wynikających z wadliwego odczytu połoŝeń przedmiotu i ekranu... Ogniskowa metodą Bessela Metoda Bessela uchodzi za bardziej precyzyjną od tej poprzedniej, a to z tej przyczyny, Ŝe automatycznie uwalnia nas od wyŝej opisanych niedogodności płynących z moŝliwego nieprecyzyjnego wykonania uchwytu soczewki. Tak więc dziesięciokrotnie znajdujemy obydwa połoŝenia soczewki dające ostre obrazy, zapisując wyniki na bieŝąco. 7

8 .3. Wyznaczanie ogniskowej soczewki rozpraszającej Tworzymy zestaw złoŝony z dwóch stykających się soczewek: jednej skupiającej, której ogniskową znajdziemy później na podstawie poprzednich pomiarów, i drugiej, rozpraszającej, a więc o ujemnej, nieznanej ogniskowej. Soczewki trzeba tak dobrać, aby zestaw skupiał światło. Metodą Bessela mierzymy ogniskową zestawu i na podstawie wzoru () wyliczamy ogniskową =. Zestaw ma mniejszą zdolność skupiającą, niŝ sama soczewka o ogniskowej (bo ta druga rozprasza), więc > (ujemny mianownik), czyli < 0, czego oczekiwaliśmy..4. Obserwacja wad soczewek Zgromadzone oprzyrządowanie (przesłony, iltry barwne itd.) umoŝliwia: usuwanie z wiązki równoległej promieni przyosiowych albo peryeryjnych (dla zaobserwowania aberracji serycznej); przepuszczanie przez soczewkę światła o określonej barwie (ujawni się aberracja chromatyczna); odwzorowywanie przez skręconą soczewkę obiektów liniowych poziomych lub pionowych (zobaczymy skutki astygmatyzmu). Wykorzystamy tu zestaw linii poziomych i pionowych naniesionych na podświetloną płytkę, wykorzystywaną jako przedmiot. Przy ustalonym połoŝeniu skręconej soczewki obrazy linii pionowych powstaną bliŝej soczewki, niŝ tych poziomych, co stwierdzimy, manewrując odpowiednio ekranem. W sprawozdaniu naleŝy zamieścić szczegółowy opis czynności, które pozwoliły zaobserwować wymienione wyŝej trzy eekty. III. Opracowanie wyników 3.. Pomiar ogniskowej bezpośrednio z równania Opracowanie wyników dla tego pomiaru będzie polegało na wyliczeniu odległości obrazu od przedmiotu (będzie to róŝnica l dwóch połoŝeń ustalonych na początku, obarczona niepewnością systematyczną l, którą oszacujemy, oglądając zestaw pomiarowy) i średniej sys wartości odległości soczewki od przedmiotu (z dwudziestu pomiarów rachunki naleŝy wykonać za pomocą programu Origin dostępnego w Pracowni wraz z instrukcją). Z tych danych obliczamy wartość ogniskowej: 8

9 y ( l ) = =. + y l Niepewność zupełnej: wyznaczonej w ten sposób ogniskowej obliczymy metodą róŝniczki = + l = + l l l l Źródłem niepewności jest oszacowany przez nas błąd systematyczny odczytu połoŝenia przedmiotu (początek odcinka ) i niepewność średniego połoŝenia soczewki (koniec odcinka ). NaleŜy pamiętać o tym, Ŝe niepewność jest sumą (nie róŝnicą!) tych dwóch niepewności. Wspomnianą niepewność średniej z dwudziestu pomiarów obliczamy wykorzystując program Origin. Niepewność l z kolei jest sumą oszacowanych wcześniej niepewności systematycznych dla odczytu połoŝenia przedmiotu (początek odcinka l) i obrazu (koniec odcinka l). 3.. Pomiar ogniskowej metodą Bessela. Obliczamy niepewność d d = d + l = d + d l l + 4 l wyznaczonej tą metodą ogniskowej l. l d = : 4l Odchylenie d jest sumą odchyleń standardowych dla obydwu średnich połoŝeń soczewki (czyli połoŝeń końców odcinka d), i tu ponownie korzystamy z programu Origin. Niepewność l była omówiona wcześniej. NaleŜy porównać ze sobą niepewności metodami. dla ogniskowej wyznaczonej obydwoma 3.3. Pomiar ogniskowej soczewki rozpraszającej Obliczamy niepewność ogniskowej : = = + = + ( ) ( ) Niepewność ogniskowej zestawu wyliczymy w opisany wyŝej sposób, właściwy dla metody Bessela. Niepewność ogniskowej soczewki skupiającej obliczyliśmy juŝ wcześniej. Literatura uzupełniająca:. 9

10 [] T. Dryński, Ćwiczenia laboratoryjne z izyki, PWN, Warszawa 980. [] H. Szydłowski, Pracownia izyczna, PWN, Warszawa 999. [3] Sz. Szczenowski, Fizyka doświadczalna, tom IV Optyka, PWN, Warszawa983. 0