Ćwiczenie 53. Soczewki Małgorzata Nowina-Konopka, Andrzej Zięba Cel ćwiczenia Pomiar ogniskowych soczewki skupiającej i układu soczewek (skupiająca i rozpraszająca), obliczenie ogniskowej soczewki rozpraszającej. Obserwacja i pomiar wad odwzorowań optycznych. Wprowadzenie Światło widzialne stanowi małą część rozległego widma fal elektromagnetycznych różniących się między sobą długością fali. W przybliżeniu zwanym optyką geometryczną zakłada się, że długości fal są bardzo małe w porównaniu z rozmiarami urządzeń służących do ich badania, a więc można zaniedbać efekty dyfrakcyjne. W optyce geometrycznej zakłada się, że w ośrodkach jednorodnych światło rozchodzi się po liniach prostych. Promienie wychodzące z dowolnego punktu przedmiotu tworzą wiązkę rozbieżną. Przekształcenia tej wiązki na zbieżną, równoległą lub bardziej (mniej) rozbieżną można dokonać za pomocą soczewki. Soczewką nazywamy zwykle bryłę z przeźroczystego materiału, ograniczoną dwiema powierzchniami sferycznymi o promieniach R i R 2 (rys. ). Rys.. Soczewka: wymiary geometryczne, parametry optyczne Ogniskowa soczewki f jest określona wzorem f = ( n ) ( ) + R R 2 (53.) Przyjmujemy dodatnią wartość promienia krzywizny dla powierzchni wypukłych, a ujemną dla wklęsłych. Wobec tego ogniskowe soczewek skupiających są dodatnie, a rozpraszających ujemne (niektóre podręczniki podają inne konwencje). 53-
Pomiar ogniskowej soczewek Zależność między odległością przedmiotu x, odległością obrazu y i ogniskową soczewki f wyraża wzór f = x + y. (53.2) Związek ten zwany równaniem soczewki wykorzystuje się w bezpośrednim pomiarze ogniskowej soczewek skupiających. W przypadku układu soczewek należałoby precyzyjniej określić odległości x i y; nie jest bowiem oczywiste położenie środka optycznego. Nie zawsze pokrywa się on ze środkiem geometrycznym. Sposób na ominięcie tej trudności podał Bessel (rys. 2). Rys. 2. Zasada metody Bessela Niech l oznacza ustaloną odległość ekranu (z obrazem) od przedmiotu świecącego. Spróbujmy określić dla jakich położeń x soczewki na ekranie wytworzy się ostry obraz. Mamy wtedy x + y = l, x + = y f. (53.3) Rozwiązując układ równań (53.3) ze względu na szukaną odległość x dostajemy równanie kwadratowe x 2 xl + lf = 0, (53.4) którego rozwiązania zależą od wyróżnika = l(l 4f). Jeżeli l > 4f, tj. odległość przedmiot ekran przewyższa czterokrotnie ogniskową, istnieją dwa rozwiązania: x = ( ) l l(l 4f), x = 2 2 ( l + l(l 4f) ). (53.5) Jednemu odpowiada obraz powiększony, drugiemu pomniejszony. Odległość między tymi dwoma położeniami wynosi d = x 2 x = l(l 4f). Metoda Bessela polega na pomiarze odległości d, przy zadanym l, i wyliczeniu ogniskowej ( f = l d2 4 l ). (53.6) 53-2
Soczewki rozpraszające nie wytwarzają obrazów rzeczywistych na ekranie. Dla doświadczalnego wyznaczenia ich ogniskowych zestawia się je z soczewką skupiającą tak, by uzyskany układ optyczny wykazywał własności skupiające. Ogniskowa f układu soczewek jest dana równaniem gdzie: f ogniskowa soczewki skupiającej, f 2 ogniskowa soczewki rozpraszającej, δ odległość między soczewkami. f = + δ, (53.7) f f 2 f f 2 Z równania (53.7) otrzymuje się wielkość ogniskowej soczewki rozpraszającej f 2 na podstawie zmierzonych poprzednio wartości f, f i δ. Wady odwzorowań optycznych Przy wyprowadzeniu wzorów (53.) i (53.2) zakładano, że promienie są równoległe do osi optycznej lub tworzą z nią niewielkie kąty, że ich odległość od osi jest mała oraz, że soczewki są cienkie. Dzięki tym założeniom, teoretycznym obrazem punktu świecącego jest punkt. Spełnienie tych założeń oznacza jednak, że stosunek średnicy soczewki do ogniskowej musi być mały a taka soczewka daje małą jasność obrazu. Przy konstrukcji układów optycznych posługujemy się często soczewkami grubymi, o dużej wartości stosunku średnicy do ogniskowej. Pojawiające się przy tym odstępstwa od idealnego obrazu nazywamy wadami odwzorowań optycznych (lub krótko wadami soczewek, chociaż ich występowanie nie jest konsekwencją złej jakości wykonania soczewek, lecz fizyki zjawiska). Obraz świecącego punktu leżącego na osi optycznej podlega dwu wadom, aberracji sferycznej i aberracji chromatycznej.. Aberracja sferyczna polega na tym, że punkt skupienia promieni położonych blisko osi soczewki (oznaczony jako F na rysunku 3a) znajduje się dalej od soczewki niż punkt skupienia promieni padających na zewnętrzne strony soczewki (punkt F 2 na rysunku 3a). Miarą aberracji sferycznej jest różnica ogniskowych f = f f 2. 2. Aberracja chromatyczna wywołana jest zjawiskiem dyspersji, czyli rozszczepienia światła. Zgodnie z wzorem (53.) długość ogniskowej zależy od współczynnika załamania n, który jest różny dla każdej barwy światła. Promienie światła czerwonego skupiają się dalej (punkt F c na rysunku 3b) niż promienie fioletowe (punkt F f ). Miarą aberracji chromatycznej jest różnica ogniskowych f = f c f f. 53-3
Rys. 3. Aberracje układów optycznych: a) aberracja sferyczna; b) aberracja chromatyczna Jeśli przedmiot punktowy leży poza osią optyczną występuje kilka dodatkowych wad odwzorowania, których nie będziemy omawiać. Wady odwzorowań optycznych można zmniejszać przez stosowanie układów soczewek o odpowiednio dobranych krzywiznach i rodzajach szkła. Współczesne obiektywy mikroskopów, aparatów fotograficznych czy kamer wideo są układami kilku lub kilkunastu soczewek. Ograniczeniem zdolności rozdzielczej nawet najdoskonalszego obiektywu jest zjawisko dyfrakcji światła na jego otworze, które ogranicza kątową zdolność rozdzielczą do wartości rzędu λ/d, będącej stosunkiem długości fali λ do średnicy obiektywu D. Literatura. Szczeniowski S.: Fizyka doświadczalna. T. IV. Warszawa, PWN 983 Na oprawie obiektywu aparatu fotograficznego znajdujemy symbol typu,8/50. Pierwsza liczba oznacza stosunek ogniskowej do średnicy, określający jasność obiektywu. Druga cyfra to ogniskowa wyrażona w milimetrach. 53-4
Aparatura Do pomiarów używa się tzw. ławy optycznej. Jest to pozioma szyna metalowa zaopatrzona w podziałkę milimetrową o długości 50 200 cm. Na kresce zerowej ławy ustawia się odtwarzany przez soczewkę przedmiot świecący (np. otworek w osłonie żarówki przykryty szkłem matowym). Badana soczewka w odpowiedniej oprawce powinna znajdować się między przedmiotem a ekranem. Zarówno źródło światła, soczewkę, jak i ekran można przesuwać wzdłuż ławy optycznej, a ich położenie na skali określa specjalny wskaźnik u podstawy. Do pomiarów aberracji sferycznej stosujemy przesłony z otworami przepuszczającymi albo peryferyjne, albo środkowe części wiązki światła. Soczewka stosowana w tej części ćwiczenia powinna mieć średnicę 7 0 cm. Aberrację chromatyczną mierzy się przy użyciu filtrów barwnych, które zakłada się na szczelinę oświetlacza. Wykonanie ćwiczenia A. Wyznaczenie ogniskowej soczewki skupiającej i układu soczewek.. Metoda bezpośrednia. (a) Ustawić przedmiot świecący, soczewkę i ekran tak, aby otrzymać ostry obraz. (b) Zmierzyć na skali ławy optycznej odległości x i y. (c) Pomiar powtórzyć 6 0 razy zmieniając każdorazowo odległość przedmiot ekran; pomiar wykonać dla dwóch soczewek skupiających. l [cm] x [cm] y = l x [cm] f [cm] f r [cm] 2. Metoda Bessela. (a) Dla 6 0 różnych wartości l, (l > 4f) znaleźć dwa położenia x i x 2, dla których obserwuje się ostry obraz pomniejszony i powiększony. (b) Pomiar wykonać dla pojedynczej soczewki skupiającej i dla układu złożonego z soczewki skupiającej i rozpraszającej. Rodzaj l [cm] x [cm] x 2 [cm] d = x x 2 [cm] f [cm] f r [cm] soczewki skupiająca układ soczewek rozpraszająca obraz urojony 53-5
Opracowanie wyników. Dla każdego pojedynczego pomiaru obliczyć ogniskową soczewki (soczewek). 2. Obliczyć wartość średnią i niepewność standardową dla każdej z czterech serii pomiarów. 3. Porównać wartości otrzymane metodą bezpośrednią i Bessela dla soczewki skupiającej. Czy wartości ogniskowej są sobie równe w granicach niepewności rozszerzonej (patrz podrozdz..6)? Która metoda wydaje się dokładniejsza? 4. Na podstawie wartości ogniskowej układu soczewek i soczewki skupiającej obliczyć ogniskową soczewki rozpraszającej. Niepewność obliczyć z prawa przenoszenia niepewności. B. Badanie aberracji soczewek.. Aberracja sferyczna: metodą Bessela wyznaczyć ogniskową dla promieni brzegowych, następnie dla promieni środkowych, przynajmniej pięciokrotnie. 2. Aberracja chromatyczna. Promienie brzegowe Promienie środkowe Światło czerwone Światło fioletowe (a) Nałożyć filtr czerwony na oświetlacz, wyznaczyć ogniskową soczewki dla pięciu wartości l. (b) Powtórzyć czynności 2a) dla światła fioletowego. l [cm] x [cm] x 2 [cm] d = x x 2 [cm] f [cm] Opracowanie wyników f = f f 2 [cm] f = f c f f [cm]. Dla każdej z czterech serii pomiarowych obliczyć średnią wartość ogniskowej i jej niepewność u(f). 2. Obliczyć miary aberracji jako różnice ogniskowych f dla promieni skrajnych i przyosiowych (aberracja sferyczna) oraz czerwonych i fioletowych (aberracja chromatyczna). 3. Porównać otrzymane wartości f i odpowiadające niepewności rozszerzone U( f) (patrz podrozdz..6). Czy pomiary są wystarczająco dokładne dla wykrycia aberracji? 53-6