39 Prae Instytutu Mehaniki Górotworu PAN Tom, nr -4, (009), s. 39-46 Instytut Mehaniki Górotworu PAN Dynamika omiaru temeratury termoarą WŁADYSŁAW CIERNIAK Instytut Mehaniki Górotworu PAN, ul. Reymonta 7; 30-059 Kraków Streszzenie Termoary składają się z dwóh rzewodów o różnyh gęstośiah. rzewodnośiah ielnyh i iełah właśiwyh. Powoduje to znazną komlikaję oisu temeratury złąza odzas szybkozmiennyh omiarów temeratury. W artykule rozatrzono model wymiany ieła rzez nieskońzenie długie rzewody. Wyznazono transmitanję temeratura naięie termoary. Dokonano rzelizeń transmitanji dla trzeh różnyh termoar (Rys. ). Aroksymowano uzyskane transmitanje złonami ineryjnymi ierwszego rzędu uzyskują bardzo dobre rezultaty z wyjątkiem termoary hromel-konstantan, które mają dużą różnię ojemnośi ielnyh. Słowa kluzowe: omiary temeratury, termoara Wstę Termoarą nazywa się dwa rzewody, któryh jedno złąze jest umieszzane w miejsu omiaru temeratury. Drugie końe znajdująe się w innej temeraturze o znanej wartośi i w tej temeraturze ołązone są z dwoma rzewodnikami wykonanymi z jednakowego materiału. Pomiędzy złązem i końami rzewodów termoary wystęuje mała różnia naięć (zjawisko Sebeka) []. Jeśli brak rzeływu rądu w rzewodnikah termoary to różnia naięć jest funkją różniy temeratury. Gdy rzez rzewody rzeływa rąd nastęuje w nih sadek naięia (rawo Ohma), wydziela się w nih ieło Joule a-lenza roorjonalnie do kwadratu rądu. Przy wystęowaniu gradientu temeratury w rzewodnikah wydzielane jest ieło roorjonalne do łynąego rądu (zjawisko Thomsona) []. Gdy rąd łynie w kierunku gradientu temeratury ieło jest wydzielane a gdy rąd łynie w kierunku rzeiwnym ieło jest ohłaniane. Przy rzeływie rądu rzez złąze termoarowe nastęuje wydzielanie lub ohłanianie ieła (zjawisko Peltiera) []. W stanie ustalonym gdy rzez rzewody termoary nie łynie rąd zjawiska Peltiera i Thomsona nie odgrywają żadnej roli odzas omiaru temeratury. W stanie nieustalonym gdy w orzek rzewodów wystęują gradienty temeratury w rzewodah w otozeniu złąza termoary będą łynąć rądy o imlikuje wystęowanie wszystkih wymienionyh zjawisk. Dokładne rozatrzenie wszystkih wymienionyh zjawisk jest bardzo trudne. Wymaga rozwiązania równań mehaniki łynów do oisu wymiany ieła z owierzhnią rzewodników termoary oraz równań oisująyh trójwymiarowo zjawiska rzeływu rądu i ieła w tozeniu złąza termoary z uwzględnieniem wszystkih wsomnianyh zjawisk. W niniejszej ray zostanie rozatrzony najrostszy rzyadek gdy wymianę ieła z otozeniem można oisać ząstkowym równaniem różnizkowym, zawierająym jeden wymiar rzestrzenny z ominięiem wszystkih wymienionyh zjawisk z wyjątkiem zjawiska Sebeka. Termizny model złąza Jak już wsomniano termoara jest zbudowana z dwóh rzewodników o różnyh właśiwośiah. Istotnymi właśiwośiami dla badania dynamiki złąza termoar są: rzewodnośi ielne, gęstośi i ieła właśiwe obu metali. Metale stosowane na termoary różnią się tymi właśiwośiami. Z tego wzglądu rzy zmianie temeratury łynu w otozeniu złąza, temeratury obu metali muszą się różnić.
40 Władysław Cierniak Aby otrzymać rosty wynik rzyjmuje się, że oba rzewody mają nieskońzoną długość oraz że rzeływ łynu jest do nih orzezny, a temeratura otazająego je łynu na ałej ih długośi jest jednakowa. Zakłada się również, że rzejmowanie ieła rzez oba rzewody jest identyzne. Przyjęie założenia o nieskońzonej długośi jest uzasadnione tym, że zwykle stosunek średniy rzewodów termoar do ih długośi jest bardzo mały i rzyjęte uroszzenie sowoduje nieduże błędy. Ponad to rzyjmuje się, że rzewodnośi ielne, gęstośi i ieła właśiwe dla bu rzewodów są niezależne od temeratury. Podobne założenia rzyjmuje się dla łynu otazająego rzewody. Równanie oisująe wymianę ieła rzez rosty drut jest zęsto sotykane w odowiedniej literaturze nie ma otrzeby go wrowadzać []. Ma ono ostać: d D 4 T ( ) d w x, t T t) T ( x t) T ( t) m w, x 4 t ieło właśiwe, J/kgK d średnia rzewodu, m lizba sselta, - T temeratura łynu, K T w temeratura rzewodu, K λ D wsółzynnik rzewodnośi ielnej rzewodu, W/Km λ m wsółzynnik rzewodnośi ielnej łynu, W/Km ρ gęstość rzewodu, kg/m 3. () Wrowadzają oznazenia: 4 m M () d D n (3) D Równanie () można rzedstawić w ostai: Tw t) Tw ( x t) M [ Tw t) T ( t) ] n, x t (4) Ponieważ rzewodniki termoary mają różne arametry to w miejsu wstąienia soiny wystęuje skokowa zmiana wsółzynników M i n. Z tego względu wygodnie jest umieśić soinę w zerze układu wsółrzędnyh oraz rozatrywać rozwiązanie zagadnienia oddzielnie dla dodatnih i ujemnyh wsółrzędnyh. Do rozwiązania zagadnienia otrzebne są warunki brzegowe i ozątkowe. W ozątku układu wsółrzędnyh gdzie jest umieszzona soina rzyjmuje się, że o jej obu stronah temeratura termoary ma tę samą wartość. W dużej odległośi od soiny wzdłuż rzewodów temeratura ulega tylko bardzo niewielkim zmianom. Wobe tego formalnie warunki brzegowe można rzyjąć w nieskońzonośi. Zais ma ostać: Dla x 0 T ( 0, t) T ( t) (5) w w0 Dla Dla T, x w ( x t) 0 x T, x w ( x t) 0 x (6) (7) Warunek ozątkowy rzyjmuje się w ostai: T ( x 0) T ( 0) (8) w,
Dynamika omiaru temeratury termoarą 4 Przedstawione warunki brzegowe nie ozwalają wyznazyć temeratury złąza. Do wyznazenia temeratury złąza zostanie wykorzystana równość strumieni ieła o jego dwu stronah. Zgodnie z rawem Fouriera można naisać: d D 4 Tw 0, t) d D Tw 0, t) x 4 x λ D i λ D oznazają wsółzynniki rzewodnośi ielnej odowiednio ierwszego i drugiego rzewodnika, W/Km Poddają rzekształeniu Lalae a równanie (4) dla warunków brzegowyh (5) do (8), o rzekształeniah otrzymuje się równanie: (9) Tw s) ( M ns) T (, ) ( ) (,0) ( ) ( 0) w x s MT s ntw x MT s nt x Jego ogólne rozwiązanie jest ostai: MT () s nt () 0 Tw s) M ns b sinh M ns [ osh( x M ns ) ] a osh( x M ns) ( x M ns ) Pohodna tego rozwiązania o zmiennej x wyraża się wzorem: T ( ) MT () s nt () w x, s 0 x M ns a MT () s nt () 0 b a M ns ( M ns ) b ex( x M ns ) ( M ns ) ex( x M ns ) (0) () () Dla lewej zęśi termoary x < 0, dla której: M = M, n = n, a = a, b = b dla x = z warunku (7) i wzoru () wnika, że musi zahodzić: MT () s nt ( 0) b a M ns ( M n s ) 0 (3) Dla rawej zęśi termoary x > 0, dla której:m = M, n = n, a = a, b = b dla x = z warunku (6) i wzoru () wnika, że musi zahodzić: MT() s nt () 0 b a M n s ( M n s) 0 (4) Z warunku (5) wzoru i wzoru () ( 0 s) a a (5) T w 0, Rozwiązanie układu równań (3) i (4) oraz (5) daje nastęująy wynik: MT () s nt () 0 b T ( s) M n s w0 0, (6) M n s b MT s nt 0 T M ns w0, ( 0 s)( M n s ) (7)
4 Władysław Cierniak Warunek równośi strumieni ieła łynąego rzez złąze ma ostać: Tw ( 0, t) ) Tw ( 0, t ) D ) (8) D x x Wykorzystanie wzorów (), (6), (7) i (8) rzy zerowym warunku ozątkowym w równaniu (8) o rzekształeniah daje wynik: Tw 0 ( 0, s) DM T () s ( M n s) M M ( M n M n ) s n n s D D D D M M M ( M n M n ) s n n s ( M n s) D (0) Powyższy wzór ma ostać uniemożliwiająą łatwe oszaowanie właśiwośi dynamiznyh termoar. Po wykorzystaniu odstawień (), (3) i wrowadzeniu oznazeń 4 d m 4 () d m oraz zamiany rzekształenia Lalaea na rzekształenie Fouriera można go rzedstawić w ostai (). T r Tw0 ( 0, j) T ( j) j j D D D D [ ( ) j] [ ( ) j] () Jak okazują wzory () i () na szybkość działania termoar ma wływ odbiór ieła roorjonalny do wyrażenia 4λ m oraz ilozyny d ρ. Mniejsze znazenie mają rzewodnośi ielne metali. Właśiwośi metali i ih stoów stosowanyh na termoary zostały zebrane w tabeli (). Szybkość działania termoar szybko rośnie z odwrotnośią kwadratu ih średniy. Zwykle rzewody stosowane na termoary mają średnie nie mniejsze niż 0. mm. Dostęne są bardzo ienkie rzewody z metali o dużej lastyznośi. Takimi metalami są: miedź, molibden, nikiel, latyna, ren i złoto. Bardzo ienkie (rzędu mikrometrów) rzewody są również wykonywane ze stoów latyny i rodu. Dostęne są druty o grubośi kilkudziesięiu mikrometrów z konstantanu. Szybkośi termoar można zwiększyć owiększają stosunek ih owierzhni do objętośi. Proedura olega na wykonaniu złąza z dosyć grubyh rzewodów a nastęnie ih słaszzenia rzez kolejno owtarzane roesy kuia i wygrzewania [9]. Lizbę sselta dla ienkih drutów umieszzonyh w owietrzu dobrze jest oblizać ze wzoru Collinsa-Williama [] zweryfikowanego rzez różnyh badazy, stanowiąego aroksymaję wyniku omiarów w owietrzu rzy iśnieniu atmosferyznym, dla 38 < T < 98 C,.4 < T w /T <, 070 < l/d < 8660, 0.5 < V < 4.7 m/s, 0.00 < Kn < 0.03. T m średnia wartość temeratury owietrza i drutu, K T temeratura owietrza, K której wsółzynniki są zawarte w tabeli (). 0.7 n Tm [ A B Re ] (3) T
Dynamika omiaru temeratury termoarą 43 Dla bardzo ienkih rzewodów należy uwzględnić stosunek średniy drutu do średniej odległośi rzebywanej rzez ząstezki gazu omiędzy zderzeniami nazywanym lizbą Knudsena z zastosowaniem wzoru []: Kn (4) L. nazwa metalu lub stou Tab.. Termizne właśiwośi metali stosowanyh na termoary naięie względem latyny gęstość ρ rzewodność ielna λ W/kgK ieło właśiwe temeratura tonienia wytrzymałość na rozrywanie MPa ρ. 0 6 źródło danyh μv/k kg/m 3 J/kgK K J/m 3 K 890 40 380 357.6 3.39 [] miedź 7.6 8900 389 38 386 3.39 [5] 8930 395 383 356 3.4 [0] molibden 4.5 [] 080 38 50 896.57 [] 3 nikiel 4.8 [5] 8900 93 446 78 3.97 [0] 090 7.6 30 04.74 [] 500 70 30 350.80 [] 4 latyna 450 70 33.85 [7] 400 74 34.87 [3] 0.00 400 79.4 34 04.87 [5] 5 ren 00 47.9 37 3459.88 [] 6 wolfram. [5] 950 74 30 3695.50 [] 7 złoto 7.8 9300 37 8 337.47 [] 990 30.5 9 366.49 [0] 7874 80. 440 808 3.46 [] 8 żelazo 7860 73.3 45 803 3.55 [0] 9.8 7800 75.3 46.0 809 3.60 [5] 9 Ni 95% Al % Mn % Si % 8700 58.6 544 673 4.73 [5] 0 alumel Ni 95% Mn % Al %.9 8600 33.8 44.8 673.5 [5] Ni 85% Cr % 8. 8550.5 48.7 703 3.58 [5] kantal P 8. 8680 3.8 8.0 703 Ni 90% Cr 0%. [5] kantal N 3 Ni 98 97% Si 3% 8690 33.3 39.0 683. [5] 4 konstantan Cu 55% Ni 45% 35. 8850 4.8 48.7 543 3.7 [5] 5 hromel Ni 90% Cr 0% 8. 8730.9 4.5 703.09 [5] 6 Pt 90% Rh 0% 6.47 9900 40 50 700.99 [5] 7 Pt 80% Ir 0% 6.45 600 7 30 400.8 [5] Dla małyh rędkośi, w orównaniu z rędkośią dźwięku, lizbę Knudsena wyraża według [4] zależność: Ma RiTm Kn (5) Re d ieło właśiwe gazu rzy stałym iśnieniu, J/kgK v ieło właśiwe gazu rzy stałej objętośi, J/kg/K (6) v
44 Władysław Cierniak iśnienie gazu, Pa R i indywidualna stała gazowa, J/kilomolK η wsółzynnik lekośi dynamiznej gazu, Pas. Tab.. Zestawienie arametrów do wzoru (3) L. 3 wsółzynnik 0.0 < Re < 44 44 < Re < 40 n 0.45 0.5 3 A 0.4 0 Dla oeny właśiwośi dynamiznyh złąz termarowyh rzelizono harakterystyki zęstotliwośiowe dla trzeh termoar z drutów o grubośi 50 μm. Jedna z termoar składa się z drutu złotego i latynowego a druga z drutu hromelowego i konstantanowego natomiast trzeia z drutów z alumelu i kantalu P. Termoary latyna złoto są obenie intensywnie badane gdyż mają doskonałe właśiwośi metrologizne. Do oblizeń została wybrana ta termoara również ze względu na duże różnie w rzewodnośiah ielnyh obu metali. Dla drugiej termoary różnie rzewodnośi są mniejsze a większe są różnie w ojemnośiah ielnyh. Przewody trzeiej termoary wykazują najmniejsze różnie zarówno dla rzewodnośi i ojemnośi ielnej. Oblizenia rzerowadzono dla suhego owietrza o rędkośi 0 m/s. Dane owietrza rzyjęte do oblizeń zostały umieszzone w tabeli (3). A wyniki zostały zamieszzone w tabeli (4). Tab. 3. Parametry owietrza rzyjęte do oblizeń L. 3 4 Parametr Wartość jednostka Źródło informaji temeratura 93.5 K iśnienie 035 Pa 3 gęstość.04 kg/m 3 4 indywidualna stała gazowa 87.056 J/kgK [8] 5 rzewodność ielna 0.0059 W/Km [0] 6 wsółzynnik lekośi dynamiznej 8. 0 6 Ns/m [0] Charakterystyki zęstotliwośiowe termoar (transmitanje) można aroksymować modelem ierwszego rzędu oisanego oniższym równaniem: Tw 0 ( 0, j) a Tr (3) T ( j) j a ω a = πf a f a zęstotliwość granizna, Hz. Moduł owyższego wyrażenia ma ostać: T r Tw0 ( 0, j) T ( ) j a (4)
Dynamika omiaru temeratury termoarą 45 Tab. 4. Zestawienie danyh do oblizeń i wyniki 3 4 5 6 7 8 L. Rodzaj rzewodu Parametr Jednostka Złoto Platyna Chromel Konstantan Alumel Kantal P średnia rzewodu μm 50 rędkość owietrza m/s 0 3 lizba Reynoldsa 7.6 4 lizba Knudsena 0.003 5 lizba sselta.43 6 rzewodność ielna rzewodów W/Km 33.75 73.9 4.8 33.8 3.8 7 ilozyn ieła właśiwego i gęstośi J/Km 3.48E6.83E6.09E6 3.7E6.5E6.E6 8 zęstotliwość granizna ojedynzego rzewodu Hz 0.5965 0.59.357 0.3987.835.337 9 średnia wartość zęstotliwośi graniznyh obu rzewodów termoary Hz 0.5578 0.8757.58 0 zęstotliwość granizna termoary aroksymowanej modelem ierwszego rzędu z inerją Hz 0.579 0.885.55 naięie termoary na jeden Kelwin μ/k 7.8 63. 4.0 Charakterystyki zęstotliwośiowe wybranyh termoar oisanyh w tabeli (4) są okazane na rysunku. Wykresy i 3 okazują termoarę hromel konstantan. Wykres narysowany linią iągłą rzedstawia ełny model według wzoru (). Wykres narysowany linią rzerywaną okazuje model ierwszego rzędu oisanego wzorem (4). Przewody termoary hromel konstantan mają największe różnie ojemność ielnyh. Tr 4 3 0. 0.0 0. 0 Rys.. Wykresy transmitanji (harakterystyk zęstotliwośiowej) wybranyh termoar o średniy 50 μm umieszzonyh w suhym owietrzu, którego rędkość wynosi 0 m.s.. termoara alumel-kantal, według wzorów () i (4);. termoara hromel konstantan, według wzoru (); 3. termoara hromel konstantan, według wzoru (4); 4. termoara złoto- latyna wzorów () i (4) f,hz Wykresy oraz 4 okazują właśiwośi termoar złoto-latyna oraz alumel-kantal. Aroksymaja ih harakterystyk wzorem (4) jest tak dokładna, że różnie w skali tego rysunku są niewidozne. Porównanie wiersza 9-tego i wiersza 0-ego ozwala wysnuć wniosek, że zęstotliwość granizna według aroksymaji wzorem (4) we wszystkih rzyadkah jest nieo większa od średniej wartośi zęstotliwośi graniznyh obu ar rzewodów.
46 Władysław Cierniak Wnioski Z rostej analizy wykresów z rysunku () wynika możliwość stosowania dynamiznego modelu termoary w ostai złonu ineryjnego ierwszego rzędu. Częstotliwość granizna takiej termoary (jak to wynika z tabeli (4), wiersze 8 i 9) jest z dosyć dobrym rzybliżeniem równa średniej wartość zęstotliwośi graniznyh rzewodów termoary. Praa została wykonana w roku 009 w ramah ra statutowyh realizowanyh w IMG PAN w Krakowie, finansowanyh rzez Ministerstwo Nauki i Szkolnitwa Wyższego. Literatura. Bruun H.H.: Hot-wire anemometry, riniles and signal analysis, Oxford University Pres, New York 995.. Collis,D.C. Williams, M.J.: Twu-dimensional onvetion from heated wires at low Reynolds numbers, J. Fluid Meh. 6, 357-384 959. 3. Lizyński J., Sokołowiz M., Olzak S., Rybka E.; Tablie Matematyzne, Fizyzne i Astronomizne, Wydawnitwa Szkolne i Pedagogizne, Warszawa 984. 4. Lomas Ch.G.: Fundamentals of hot wire anemometry, Cambridge University Press. 5. Mihalski Mihalski L., Ekersdorf K.: Pomiary temeratury, Wydawnitwa Naukowo-Tehnizne, Warszawa 986. 6. Oleśkiewiz-Poiel C., Wojtkowiak J.: Ekserymenty w wymianie ieła. Wydawnitwo Politehniki Poznańskiej, Poznań 007. 7. Strikert H.;Hitzdrat-und Hitzfilmanemometrie, VEB Verlag Tehnk Berlin 974. 8. Rażnijewić K.: Tablie Cielne z Wykresami, Tłumazenie z Rażnijewić, Tolinskie Tablie i Dijagramy, 964 Tehnićka Kniga, Zgreb. 9. Rysz J. Informaja rywatna. 0. Wiśniewski S.; Wymiana ieła, Państwowe Wydawnitwo Naukowe, warszawa 979.. Wróblewski A.K., Zakrzewski J.A.: Wstę do fi zyki, T., Wydawnitwo Naukowe PWN Warszawa 99.. Wikiedia Dynamis of temerature measurements using a thermooule Abstrat Thermooules omrise two ondutors differing in their density, thermal ondutane and seifi heat, whih omliates the desrition of the ontat temerature during fast-hanging temerature measurements. The study investigates the model of heat transfer through onduits of infinite length. The transmittane (transmission funtion) is found between the temerature of the medium and thermooule voltage. Transmittane is alulated for three different tyes of thermooules (Fig ). Thus obtained transmittane funtions are aroximated by inertial elements of the first order, whih gives exellent results aart from the latinum-gold thermooule in whih the differenes in thermal ondutivity are most signifiant. Keywords: temerature measurements, thermooule