WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej Agata Boratyńska Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 1 / 8
ZADANIE z rachunku prawdopodobieństwa Rzucamy niezależnie 100 razy symetryczną monetą. Oblicz: 1. prawdopodobieństwo wyrzucenia 60 orłów 2. wartość oczekiwaną liczby wyrzuconych orłów Rozwiązanie: Model probabilistyczny: X - liczba wyrzuconych orłów, zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym bin(100, 1/2) Odpowiedzi: 1. P(X = 60) = ( 100) ( 100 1 60 2) = 0.01084387 2. EX = nθ = 50 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 2 / 8
ZADANIE ze statystyki matematycznej Rzucono niezależnie 100 razy pewna monetą uzyskując 60 orłów. Polecenia: 1. oszacuj prawdopodobieństwo uzyskania orła w pojedynczym rzucie; 2. czy moneta jest symetryczna Co znamy? Model probabilistyczny z dokładnością do parametru X - liczba wyrzuconych orłów, obserwowana zmienna losowa o rozkładzie dwumianowym, znamy n = 100 (liczba prób), nieznamy θ prawdopodobieństwa sukcesu w pojedynczej próbie ( ) 100 P θ (X = x) = (θ) x (1 θ) 100 x x θ (0, 1) - nieznany parametr Wynik obserwacji x = 60, na jego podstawie chcemy wnioskować o nieznanym parametrze θ. Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 3 / 8
Wnioskowanie statystyczne Zagadnienie estymacji - szacowanie nieznanego parametru lub funkcji na podstawie wyniku obserwacji; - estymacja punktowa - podanie oszacowania w postaci liczbowej; - estymacja przedziałowa - podanie oszacowania w postaci przedziału nazywanego przedziałem ufności Testowanie hipotez statystycznych - weryfikacja hipotezy dotyczącej nieznanej wielkości rozkładu obserwowanej zmiennej losowej na podstawie wyniku obserwacji predykcja (przewidywanie) - przewidywanie wartości zmiennej losowej nieobserwowanej Y za pomocą obserwowanej zmiennej X, rozkłady zmiennej Y i X zależą od tego samego parametru. Polecenia w zadaniu z monetą: 1. wyznacz estymator lub przedział ufności parametru θ 2. zweryfikuj hipotezę H : θ = 1 2 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 4 / 8
MODEL STATYSTYCZNY (X, F X, P) X - przestrzeń wartości obserwowanej zmiennej losowej X F X - σ-ciało podzbiorów P - rodzina rozkładów prawdopodobieństwa indeksowanych pewnym parametrem θ P = {P θ : θ Θ} PRZYKŁAD (zadanie z monetą): model ( ) X = {0, 1, 2,..., 100}, 2 X, P = {P θ : θ (0, 1)} gdzie P θ (X = x) = ( 100) x (θ) x (1 θ) 100 x Statystyką nazywamy zmienną losową T będącą funkcją obserwowanej zmiennej losowej X. Rozkład statystyki zależy od rozkładu zmiennej X Wnioskowanie statystyczne przeprowadza się na podstawie wybranych w modelu statystyk i ich wartości Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 5 / 8
Przykłady modeli statystycznych Kontrola jakości i model dwumianowy, wnioskowanie o prawdopodobieństwie pojawienia się braku Sondaż opinii publicznej i model hipergeometryczny, wnioskowanie o popularności Pomiary i model normalny, wnioskowanie o wartości oczekiwanej i dokładności pomiarów Wypadki samochodowe i model Poissona, wnioskowanie o średniej liczbie wypadków Czas życia i model z rozkładem wykładniczym, wniskowanie o średnim czasie życia i prawdopodobieństwie przeżycia Porównania np skuteczności diet Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 6 / 8
Rozkłady pewnych statystyk w modelu normalnym Model: X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(µ, σ 2 ), µ R, σ > 0 Statystyki: X = 1 ni=1 n X i S 2 = 1 ni=1 n 1 (X i X ) 2 Własności X i S 2 są niezależne; X N(µ, σ2 n ) E X = 1 n E ( n i=1 X i ) = 1 n nex 1 = µ Var X = 1 n Var ( n i=1 X i ) = 1 nvarx n 2 1 = σ2 n Zmienna n (X i µ) 2 i=1 ma rozkład χ 2 σ 2 n (n 1)S 2 = n (X i X ) 2 σ 2 i=1 χ 2 σ 2 n 1 E (n 1)S2 σ 2 = n 1 i Var (n 1)S2 σ 2 = 2(n 1) stąd ES 2 = σ 2 i VarS 2 = 2σ4 n 1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 7 / 8
Rozkłady pewnych statystyk w modelu normalnym cd. X µ σ n N(0, 1) i (n 1)S 2 σ 2 χ 2 n 1 zatem T = n X µ σ (n 1)S 2 σ 2 (n 1) = X µ n tn 1 S Niech X 1, X 2,..., X n i.i.d. N(µ 1, σ 2 ) i Y 1, Y 2,..., Y m i.i.d. N(µ 2, σ 2 ) Niech SX 2 = 1 ni=1 n 1 (X i X ) 2 i SY 2 = 1 mi=1 m 1 (Y i Ȳ ) 2 Wtedy (n 1)SX 2 σ 2 χ 2 (m 1)SY 2 n 1 σ 2 χ 2 m 1 i zmienne sa niezależne, stąd (n 1)SX 2 σ 2 (m 1)SY 2 σ 2 = S 2 X S 2 Y F n 1,m 1 Agata Boratyńska Statystyka matematyczna, wykład 3 8 / 8