METODA MONTE CARLO DLA PROBLEMU HARMONOGRAMOWANIA PROJEKTU Z MAKSYMALIZACJĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI 1

METODA MONTE CARLO DLA PROBLEMU HARMONOGRAMOWANIA PROJEKTU Z MAKSYMALIZACJĄ PRZEPŁYWÓW PIENIĘŻNYCH W WARUNKACH NIEPEWNOŚCI 1 Marcn KLIMEK, Potr ŁEBKOWSKI Streszczene: W artykule przedstawone jest zagadnene optyalzacj przepływów gotówkowych dla probleu haronograowana projektu z ogranczony zasoba ze stochastyczny czasa trwana zadań. Stosowany jest odel optyalzacyjny z etapowy rozlczane przedsęwzęca, dla którego rozpatrywane jest podejśce proaktywne, w który szukane jest rozwązane odporne, odpowedne dla przyjętych, znanych rozkładów czasów realzacj zadań. W celu wyjaśnena proponowanego podejśca odelu zaprezentowany jest przykład lustracyjny. Słowa kluczowe: haronograowane projektu z ogranczony zasoba, optyalzacja przepływów penężnych, odporne, proaktywne haronograowane, etoda Monte Carlo 1. Wprowadzene Wele przedsęborstw w raach swojej dzałalnośc realzuje projekty (przedsęwzęca), które ają na celu wykonane nepowtarzalnego wyrobu lub usług. Jako projekty wykonywane są.n. zlecena w sektorze prac publcznych, budowlany, w przeyśle lotnczy, stocznowy, w IT tp. Przy planowanu prac projektowych przydatne są etody haronograowana projektu z ogranczony zasoba RCPSP (ang. Resource-Constraned Project Schedulng Proble). Przy rozwązywanu probleu RCPSP coraz częścej uwzględnane są praktyczne aspekty realzacj przedsęwzęć. Analzowane jest. n. haronograowane zadań w warunkach nepewnośc, której źródłe są. n. trudnośc z oszacowane unkalnych, nepowtarzalnych zadań, neprzewdywalne zdarzena (np. aware aszyn, nekorzystne warunk atosferyczne) tp. Zakłócena występujące podczas wykonywana rzeczywstych przedsęwzęć, sprawają, że, haronogray uzyskane za poocą tradycyjnych etod planowana projektu z ogranczony zasoba znaczne odbegają od faktyczne zrealzowanych uszeregowań. Brak uwzględnana nepewnośc przy haronograowanu prowadz. n. do obnżena skuulowanych przepływów penężnych zwązanych z przedsęwzęce. Przy rozwązywanu probleu RCPSP w warunkach nepewnośc stosowane są różne podejśca. Jedny ze skutecznych podejść jest haronograowane proaktywne (ang. proactve schedulng), w który szukany jest haronogra odporny (ang. robust schedule) charakteryzujący sę ożlwe najnejszą podatnoścą na zakłócena pojawające sę w trakce jego realzacj. Analza podatnośc na zakłócena sprowadza sę.n. do badana wpływu na dane uszeregowane wahań czasów realzacj czynnośc. Rozpatrywane są probley, w których występują.n. rozyte lub stochastyczne czasy trwana zadań. W tej 1 Praca fnansowana przez Narodowe Centru Nauk (nr projektu: N N519 645940) 579

pracy zakłada sę, że podczas haronograowana proaktywnego szukane jest rozwązane, które aksyalzuje funkcję celu przy uwzględnenu różnych scenaruszy czasów trwana zadań, generowanych etodą Monte Carlo. Jako funkcje celu dla RCPSP najczęścej stosowane są nalzacja czasu trwana projektu (czasowe kryteru optyalzacj) oraz aksyalzacja suy zdyskontowanych przepływów penężnych (ekonoczne kryteru optyalzacj). W dzałalnośc przedsęborstw szczególne stotne są odele uwzględnające ekonoczne aspekty przedsęwzęć. W zwązku z ty powstaje wele prac z zakresu optyalzacj przepływów penężnych (przegląd ożna znaleźć w pracach [1-2]). W tej pracy optyalzowane są przepływy penężne (wydatk zwązane z wykonywane zadań, wpływy za wykonane uownych etapów) zwązane z przedsęwzęce z punktu wdzena wykonawcy, dla projektu realzowanego w warunkach nepewnośc, przy zdefnowanych kosztach nestablnego wykonywana haronograu. Cele pracy jest przedstawene podejśca proaktywnego dla probleu RCPSP z aksyalzacją przepływów penężnych przy założenu stochastycznych czasów trwana zadań. Na początku sforułowany jest analzowany proble. Następne opsany jest sposób jego rozwązana. Na końcu przedstawony jest przykład lustrujący zagadnene. 2. Sforułowane probleu Rozważany jest proble (sngle-ode, nonpreeptve RCPSP), w który szukane są terny rozpoczęca czynnośc (nepodzelnych, z jedny sposobe ch realzacj) realzowanych z wykorzystane ogranczonych, odnawalnych zasobów (pracownków, aszyn). Proponowaną przez autorów analzowaną we wcześnejszych pracach autorów [3-4], funkcją celu jest aksyalzacja suy zdyskontowanych przepływów penężnych z punktu wdzena realzującego projekt (patrz: wzór 1) przy uwzględnenu ogranczeń zasobowych (patrz: wzór 2) kolejnoścowych (patrz: wzór 3) oraz zdefnowanych uownych etapów projektu (patrz: wzory 4-5). Maksyalzacja F: F CFA CFM N M ST MT 1 (1 α) 1 (1 α) (1) Przy następujących ogranczenach: Rk Ak, t 1,..., STN 1, k 1,..., K (2) J ( t) ST D ST (, j) E (3) Przy uwzględnenu uownych etapów projektu ( =1,.., M): CFM gdze: N lczba zadań projektowych, M lczba uownych etapów projektu, j PM CM ax( MT MD,0) (4) MT ax( FT ) (5) MA 580

CFA koszty (płatnośc) wykonawcy zwązane z realzacją zadana (wydatk z punktu wdzena wykonawcy), CFM płatnośc klenta na rzecz wykonawcy za wykonane -tego etapu projektu (wpływy z punktu wdzena wykonawcy), α stopa dyskontowa, ST planowany (w aktualny haronograe) czas rozpoczęca zadana, MT planowany (w aktualny haronograe) tern realzacj -tego etapu projektu, J(t) zbór zadań wykonywanych w okrese [t-1, t], K lczba typów zasobów, R k zapotrzebowane zadana na zasób typu k, A k dostępność zasobów typu k, FT planowany (w aktualny haronograe) czas zakończena zadana, D planowany czas trwana czynnośc, MD uowny tern realzacj -tego etapu projektu, MA zbór zadań realzowanych w -ty etape o uowny terne ch zakończena MD, PM płatność klenta na rzecz wykonawcy za realzację -tego etapu projektu, CM jednostkowy koszt opóźneń, zwązany z neternową realzacją -tego etapu projektu. Przy defnowanu probleu przyjęto następujące założena: kaene lowe to grupy czynnośc, które należy zakończyć w dany etape rozlczenowy przedsęwzęca, ają określony uowny tern ch ukończena, którego przekroczene przez wykonawcę powoduje znejszene transferów penężnych klenta za realzację danego etapu (stosowane są kary uowne), płatnośc klenta (wpływy dla wykonawcy) występują po zrealzowanu etapów projektu (kaen lowych), dokładne w rzeczywsty terne ch ukończena (ne jest rozważany proble opóźneń w płatnoścach klenta założono, że są one wykonywane ternowo lub neternowość jest rekopensowana odpowedn uowny odsetka), wszystke wydatk realzującego ożna powązać z wykonywany czynnośca, w celu rozpoczęca zadana koneczne jest uruchoene środków fnansowych na zakup, transport aterałów, wykorzystane zasobów tp. nezbędnych do realzacj zadana, dla uproszczena przyjęto, że wydatk te są ponoszone w oence, w który planowane jest rozpoczęce czynnośc w haronograe bazowy. W proponowany odelu optyalzacyjny stosowane jest etapowe rozlczane realzowanych prac ędzy klente a zlecenoborcą, które oże być przydatne w rzeczywstych przedsęwzęcach. Określane są płatnośc klenta na rzecz wykonawcy za wykonane określonych grup zadań (kaen lowych). Dla wykonawcy są to środk penężne, które oże przeznaczyć np. na realzację kolejnych zadań. Z kole klenta nteresy są zabezpeczone przez ożlwość etapowej kontrol realzacj projektu oraz wprowadzene kar uownych za opóźnena w pracach. Etapowy syste rozlczeń określa przepływy gotówkowe CFM (patrz: wzór 4), czyl uowne płatnośc klenta PM za -ty etap przedsęwzęca ponejszone o koszt ewentualnych opóźneń w pracach (koszt opóźneń wynka z przyjętych kar uownych wylczanych przy ustalony koszce jednostkowy neternowośc CM ), wykonywane w oence jego ukończena RMT, 581

czyl po zakończenu wszystkch czynnośc ze zboru MA. W odelu optyalzacyjny określony wzora 1-5 stosowane jest podejśce deternstyczne. W tej pracy rozważane jest podejśce, w który występują nepewne, zenne czasy trwana zadań. Dodatkowo uwzględnone jest założene, że neternowe rozpoczęce zadana (opóźnone w porównanu do bazowego haronograu) oże powodować dodatkowe obcążena fnansowe (koszty nestablnośc) dla wykonawcy zwązane np. z konecznoścą agazynowana aterałów. Funkcja celu proponowana przy nepewnych czasach trwana zadań przy określonych kosztach nestablnej realzacj haronograu określona jest następująco (dla uproszczena założono, że rzeczywsta stopa dyskontowa ne różn sę od przyjętej podczas planowana wynos α): Maksyalzacja RF: RF CFA CFM CFS N M N ST RMT RST 1 (1 α) 1 (1 α) 1 (1 α) (6) Przy następujących ogranczenach: Rk Ak, t 1,..., RSTN 1, k 1,..., K (7) J ( t) RST RD RST (, j) E (8) Przy uwzględnenu uownych etapów projektu ( =1,.., M): CFM j PM CM ax( RMT MD,0) (9) RMT ax( RFT ) (10) MA Przy uwzględnenu kosztów nestablnośc ( =1,.., N): gdze: CFS CL ax( RST ST,0) (11) RST rzeczywsty (lub ustalony dla czasów trwana zadań wygenerowanych etodą Monte Carlo) czas rozpoczęca zadana, RFT rzeczywsty (lub ustalony dla czasów trwana zadań wygenerowanych etodą Monte Carlo) czas zakończena zadana, RD rzeczywsty (lub wygenerowany etodą Monte Carlo) czas trwana czynnośc, RMT rzeczywsty (lub ustalony dla czasów trwana zadań wygenerowanych etodą Monte Carlo) tern realzacj -tego etapu projektu, CL koszt zwązany z jednostkowy opóźnene rozpoczęce zadana, zwązany z dodatkowy koszta organzacyjny, z koszta agazynowana aterałów tp.; założono, że koszt ten jest ponoszony w oence rzeczywstego czasu rozpoczęca czynnośc. W faze planowana, podczas haronograowana ne są znane rzeczywste czasy rozpoczęca zakończena zadań etapów projektu. Możlwe jest jedyne ch 582

przewdywane lub ustalane na podstawe rozkładów statystycznych (jeśl są take znane) w drodze syulacj. Dla zagadnena haronograowana projektu w warunkach nepewnośc, optyalzowane są oczekwane wartośc funkcj celu RF dla rozpatrywanych scenaruszy przebegu realzacj projektu (w naszy przypadku dla czasów trwana zadań wygenerowanych etodą Monte Carlo). Planowane haronograu przebega etapowo. W perwszy etape tworzony jest haronogra, bez przesunęć prawostronnych czynnośc, przy założenu funkcj celu F (patrz: wzór 1) wykorzystywanej dla probleu deternstycznego (bez uwzględnana nepewnośc). W drug etape szukane jest rozwązane z przesunęca prawostronny czynnośc dla eksperyentalne wyznaczanej funkcj celu RF (patrz: wzór 6) zależnej od paraetrów syulacyjnych czasów trwana zadań przy założenu, że znane są ch rozkłady statystyczne. 3. Haronograowane projektu w warunkach nepewnośc Realzacja praktycznych przedsęwzęć odbywa sę przy zenających sę wyaganach klentów, przy neprzewdywalnych zdarzenach, zakłócenach tj. aware aszyn, przy trudnych do oszacowana czasach trwana czynnośc tp. W zwązku z praktyczny zapotrzebowane rośne lczba badań z haronograowana projektu w warunkach nepewnośc. Ich przegląd ożna znaleźć w pracach [5-7]. W haronograowanu projektów najczęścej analzowane jest zagadnene nepewnośc zwązanej z czasa trwana zadań [5-10]. Wynka to z faktu, że wele nnych zakłóceń (np. nekorzystne warunk atosferyczne, nedostępność zasobów, aware, opóźnena w dostawach aterałów tp.) wpływa na zenność w czasach trwana. W pracach badawczych podejowane są próby antycypacj ożlwych zan w czasach realzacj zadań, które ogą być spowodowane przez nekontrolowane czynnk, bez analzy źródła zan tych czasów. Przy określanu nepewnych czasów trwana czynnośc projektowych najczęścej stosowane są podejśca: rozyte (ang. fuzzy schedulng) oraz stochastyczne (ang. stochastc schedulng). W rzeczywstych przedsęwzęcach, w których uwzględnane nepewnych paraetrów jest bardzo stotne, zabezpeczane uszeregowana skupa sę na ochrone ternowośc wykonana całego projektu. W welu projektach stosowana jest etoda łańcucha krytycznego CCPM (ang. Crtcal Chan Project Manageent) [11], w której zaast buforów czasowych, zasobowych dla poszczególnych czynnośc (w CCPM ternowość rozpoczynana poszczególnych czynnośc ne jest ważna, chronone są zadana z łańcucha krytycznego), tworzone są wspólne bufory, w kluczowych ejscach przedsęwzęca, których dodane a na celu skrócene wykonana całego projektu. Korzystane z etody łańcucha krytycznego CCPM ne jest wskazane przy przedsęwzęcach, w których poza dotrzyane ternu realzacj całego projektu ważna jest stablna realzacja haronograu. Przy stablny wykonywanu planowanego uszeregowana łatwejsza jest organzacja prac projektowych tj. koordynowane wewnętrznych zasobów przedsęborstwa (przezbrojena aszyn, przygotowane pracownków, transfery zasobów ędzy projekta), realzacja dostaw (aterałów, podzespołów tp.) dokładne na czas (ang. JIT Just-In-Te). W celu znejszena negatywnego wpływu zakłóceń na stablność realzacj projektu stosowane jest haronograowane proaktywne, zwane też odporny, w który planuje sę haronogra cechujący sę jak najnejszą podatnoścą na zakłócena, aby znejszyć nekorzystne skutk wahań czasów trwana zadań. 583

Planowane prac projektowych w warunkach nepewnośc odbywa sę w dwóch lub węcej etapach. Na początku tworzony jest haronogra nonalny, w który uwzględnone są krytera optyalzacyjne przy założenu deternstycznych paraetrów (w ty przypadku czasów trwana zadań). Następne haronogra nonalny przekształcany jest w haronogra proaktywny (odporny), uwzględnający nepewność paraetrów (zenność czasów trwana zadań). Uszeregowane odporne tworzy sę przy wykorzystanu różnych technk [6] tj.: technk redundancj (ang. redundancy-based technques) wstawane buforów czasowych /lub zasobowych w ejscach uszeregowana najbardzej narażonych na zakłócena, haronograowane warunkowe, warantowe (ang. contngent schedulng) tworzene różnych warantów haronograu, które są realzowane w przypadku pojawena sę konkretnych zakłóceń, tworzene częścowo uporządkowanych, elastycznych haronograów zadań [12] (ang. POS Partal Order Schedules), tworzene uszeregowań na podstawe analzy ch wrażlwośc (ang. senstvty analyss) badane wpływu zan nepewnych paraetrów na jakość planowanego haronograu w celu ustalana uszeregowań najnej wrażlwych na zakłócena występujące przy ch realzacj. Zastosowane technk proaktywnych wpływa na zwększene stablnośc realzowanego haronograu, ne pogarszając znacząco jego jakośc erzonej np. czase realzacj całego przedsęwzęca [5]. Najczęścej stosowane są technk redundancj, stosowane także w tej pracy. Bufory czasowe /lub zasobowe w celu uodpornena uszeregowana dodawane są. n. w etodze łańcuchów krytycznych CCPM. W pracach badawczych z proaktywny podejśce rozważane jest zagadnene zabezpeczena ternowośc wykonana całego przedsęwzęca lub jego etapów [7] oraz proble nalzacj ważonego kosztu nestablnośc realzacj czynnośc [8-10]. W tej pracy analzowany jest nowy proble, w który szukane jest rozwązane odporne przy uwzględnenu nepewnych czasów trwana zadań dla zagadnena optyalzacj przepływów penężnych dla projektu rozlczanego etapowo, ze zdefnowany koszta nestablnośc rozpoczynana poszczególnych zadań. 4. Metody rozwązana probleu Dla probleu haronograowana projektu z ogranczony zasoba rozwązane (reprezentacją bezpośredną) jest z reguły wektor czasów rozpoczęca czynnośc. Algoryty rozwązujące proble RCPSP wykorzystują kodowana rozwązań w postac lsty czynnośc, prorytetów lub wektora opóźneń, dla których znane są skuteczne technk przeszukwana otoczena [13]. W tej pracy wykorzystana jest najefektywnejsza dla RCPSP reprezentacja lsty czynnośc (perutacyjna), w której rozwązana to cąg nuerów kolejnych czynnośc uwzględnające relacje kolejnoścowe. Lsty czynnośc zaenane są w reprezentację bezpośredną (wektor czasów rozpoczęca czynnośc) przy użycu procedur dekodujących tzw. scheatów generowana haronograu SGS (ang. Schedule Generaton Schee) tj. równoległy szeregowy SGS [14]. W wykorzystany w tej pracy szeregowy SGS w kolejnych krokach rozpoczynane jest perwsze neuszeregowane zadane z lsty czynnośc w najwcześnejszy ożlwy terne, przy 584

uwzględnenu ogranczeń kolejnoścowych zasobowych. Haronogra znalezony przy wykorzystanu szeregowego SGS spełna ogranczena zasobowe kolejnoścowe, ne uwzględna jednak etapów projektu specyfk zagadnena optyalzacj zdyskontowanych przepływów penężnych, w który korzystne jest planowane jak najwcześnej czynnośc z określony dodatn przepływa penężny a jak najpóźnej czynnośc, z który zwązane są wydatk. Dla deternstycznego probleu aksyalzacj zdyskontowanych przepływów penężnych rozwązana tworzone przez procedury SGS ogą być poprawane: przez przesuwane w prawo (późnejsze rozpoczynane) zadań z ujeny przepływa penężny /lub w lewo (wcześnejsze rozpoczynane) zadań z dodatn przepływa penężnych. Opracowywane są różne algoryty przesuwana zadań (przegląd w pracy [15]), jednak te procedury ne są dostosowane do probleu z etapowy rozlczane projektu. Dedykowane procedury dla deternstycznego probleu aksyalzacj funkcj celu F (z aksyalzacją zdyskontowanych przepływów penężnych projektu rozlczanego etapowo) proponowane są w pracy autorów [4]. Procedury te wyagają odyfkacj dla probleu aksyalzacj funkcj celu RF w celu uwzględnena zakłóceń (zennych czasów trwana zadań). Należy jednak zauważyć, że etody przesuwana w prawo zadań stosowane dla deternstycznego probleu aksyalzacj przepływów penężnych są zblżone do technk proaktywnej, redundancj wstawana buforów czasowych w celu wygenerowana haronograu odpornego. Podczas haronograowana proaktywnego ( przesuwana w prawo czynnośc dla deternstycznego probleu aksyalzacj przepływów penężnych) stosuje sę dwa etapy optyalzacyjne: alokację, przydzał zasobów do zadań (ang. resource allocaton) oraz alokację buforów (ang. buffer allocaton) [6,9]. W tej pracy cele haronograowana proaktywnego jest aksyalzacja wartośc skuulowanych przepływów penężnych przy założenu nepewnośc zwązanej ze zennoścą czasów trwana poszczególnych zadań. Proble alokacj zasobów jest rozwązywany.n. jako zagadnene nalzacj lczby dodatkowych zależnośc kolejnoścowych ędzy zadana powstających podczas tej alokacj dla aktualnego haronograu [9,16-17]. Nowe ogranczena kolejnoścowe powstałe w wynku przydzału zasobów znejszają odporność haronograu [16-17] oraz znejszają ożlwośc przesuwana w prawo zadań w celu zwększena skuulowanych przepływów penężnych [4]. W procedurach alokacj zasobów stosowane są zasady tj.: przydzelane czynnośc połączonych relacja kolejnoścowe lub łuka neunknony (tzn. tak, które uszą powstać dla aktualnego haronograu [7,16-17]), do wykonywana przez te sae zasoby, aksyalzacja suy przepływów ędzy poszczególny zadana tp. W kolejny etape tj. alokacj buforów odbywającej sę przy ustalonej alokacj zasobów wstawane są bufory czasowe przed zadana (przesuwane jest ch rozpoczęce w prawo na wykrese Gantt a) lub po zadanach w celu uodparnana haronograu przed zennoścą czasów trwana czynnośc lub czasowej nedostępnośc zasobów w celu znejszena kosztów realzacj przedsęwzęca. Bufory czasowe ają zapobegać wahano (lub wzrosto) czasów trwana zadań. Wstawane buforów często zwększa czas trwana projektu oraz jego etapów. W przypadku probleu RCPSP z optyalzacją przepływów penężnych opóźnane w czase rozpoczynana zadań (opóźnane wydatków) oże zwększać wartość funkcj celu zdyskontowanej suy wpływów wydatków. 585

Szukane rozwązań proaktywnych jest klkuetapowe: na początku szukany jest haronogra nonalny, następne dla tego haronograu szukana jest alokacja zasobów na konec wstawane są bufory czasowe. Podobne dzała proponowany proaktywny algoryt dla rozpatrywanego probleu aksyalzacj przepływów penężnych w warunkach nepewnośc z funkcją celu RF (patrz: wzór 5), którego scheat dzałana przedstawony jest na rysunku 1. Znajdź haronogra S dla probleu aksyalzacj F; Znajdź alokację zasobów RA dla haronograu S; Utwórz lstę SL; S* := S; Wygeneruj zbór scenaruszy czasów trwana zadań Π; Repeat zenono := false; For (dla każdej kolejnej czynnośc z lsty SL) Begn RF* := wyznaczrf(s*, Π); Repeat S := przesun(s*, ); RF := wyznaczrf(s, Π); If (RF > RF*) Then Begn S* := S ; F* := RF ; zenono := true; End Untl (RF* < RF ) End Untl (zenono = true) Zwróć S* Rys. 1. Scheat dzałana proponowanego algorytu gdze: S haronogra dla deternstycznego probleu aksyalzacj funkcj celu F (patrz: wzór 1), bez przesunęć prawostronnych czynnośc, wyznaczrf(s, Π) średna wartość funkcj celu RF (patrz: wzór 5), wyznaczona dla haronograu S zboru scenaruszy czasów trwana zadań Π, S* haronogra o najwększej aktualne średnej wartośc funkcj celu RF równej RF*, S aktualne analzowany haronogra, RF najwyższa w danej teracj wartość funkcj celu RF dla haronograów z różny przesunęca prawostronny, nuer aktualne analzowanego zadana, przesun(s, ) etoda tworząca haronogra z S po przesunęcu o 1 w prawo zadana, SL lsta czynnośc w kolejnośc alejących czasów zakończena w S. Na początku dzałana proponowanego algorytu ustalany jest haronogra nonalny S dla probleu aksyalzacj funkcj celu F (patrz: wzór 1), bez przesunęć prawostronnych zadań. Haronograowane projektu z ogranczony zasoba RCPSP jest zagadnene NP-trudny [18] dla dużych projektów haronogray generowane są przy wykorzystanu algorytów przyblżonych tj. etaheurystyk syulowanego wyżarzana, algoryty genetyczne tp. Przegląd porównane efektywnośc heurystyk ożna znaleźć w pracach [13,19]. Po wygenerowanu haronograu nonalnego S szukana jest alokacja zasobów do zadań. Dla haronograu z ustaloną alokacją zasobów, w prosty sposób przeprowadza sę operacje przesunęć prawostronnych zadań [4] (uwzględnone są ogranczena zasobowe). Jednoznaczne ( przy newelk czase oblczeń) ożna ustalć, jake zany w uszeregowanu spowoduje przesunęte w prawo rozpoczęce każdej z czynnośc. 586

Szczegółowy ops probleu procedur przydzału zasobów przedstawony jest w pracach [7,9,16-17]. Dla haronograu nonalnego S z określoną alokacją zasobów wykonywana jest alokacja buforów, czyl wykonywane są przesunęca prawostronne czynnośc przy wykorzystanu etody przesun(s, ). Dla różnych alokacj zasobów operacja przesun(s, ) oże prowadzć do nnych zan w czasach rozpoczęca czynnośc rozpoczynanych po zakończenu czynnośc. Przesuwane zadań odbywa sę do oentu braku poprawy rozwązań. W kolejnych teracjach sprawdzane jest przesuwane w prawo zadań analzowanych w kolejnośc alejących czasów ch rozpoczęca w haronograe nonalny S. Dane zadane przesuwane jest o 1 aż do oentu, w który opóźnone rozpoczęce tej czynnośc ne zwększa średnej wartośc RF. Dla zagadnena haronograowana projektu w warunkach nepewnośc, optyalzowane są oczekwane wartośc funkcj celu RF dla rozpatrywanych scenaruszy przebegu realzacj projektu w naszy przypadku dla czasów trwana zadań wygenerowanych etodą Monte Carlo. W syulacjach Monte Carlo występują zany w czasach trwana zadań w porównanu do planu, stąd koneczna jest odyfkacja realzowanego haronograu przy użycu procedur haronograowana reaktywnego (ang. reactve schedulng) [5-7], reharonograowana. W tej pracy założono, że rozpoczynane zadań przed planowany terne ne jest ożlwe (ang. ralway schedulng), ze względu na koneczność np. dostarczena aterałów nezbędnych do ch realzacj. Dodatkowo przyjęto, że naprawa uszeregowana ne pownna zenać ustalonej alokacj zasobów, której wykorzystane usprawna zarządzane projekte. W tej sytuacj przydatne jest proste reharonograowane z przesuwane prawostronny zadań [6-7] (ang. rght-shft reschedulng), które sprowadza sę do przesuwana w prawo zakłóconych czynnośc bez zany alokacj zasobów. 5. Przykład lustracyjny Przykładowy projekt przedstawony jest jako seć czynnośc na węźle AON (ang. Actvty On Node) na rysunku 1a. Projekt ten składa sę z 8 czynnośc (węzły 0 9 to czynnośc pozorne, przedstawające początek konec grafu) wykonywanych za poocą jednego typu zasobu o dostępnośc równej 10 (a = 10). Dla czynnośc zdefnowane są najbardzej prawdopodobne czasy ch realzacj, zapotrzebowane na zasoby oraz przepływy fnansowe zwązane z zadana. Dodatkowo określone są trzy etapy projektu z terna realzacj 4, 9, 12 z ustalony uowny rozlczena fnansowy. W oblczenach analzowane są dwe wartośc stopy dyskontowej α = 0 α = 0.2. W celu rozwązana probleu na początku szukany jest haronogra nonalny S, bez przesunęć prawostronnych zadań, o najwyższej wartośc funkcj celu F (patrz: wzór 1). Tak haronogra, znalezony dla α = 0 α = 0.2, znajduje sę na rysunku 1b (dla α = 0 funkcja celu F = 129, dla α = 0.2 funkcja celu F = 105.19). Następny etape jest ustalene dla haronograu S alokacj zasobów do czynnośc. W tej pracy użyto proste procedury przydzału ISH [12] (ang. Iteratve Saplng Heurstc) oraz ISH-UA [7] (ang. ISH Unavodable Arcs). W ISH zadana o zapotrzebowanu na dany zasób wększy od 1 są przydzelane tak, aby zaksyalzować lczbę wspólnych łańcuchów z ostatn zadana w dostępnych łańcuchach. Procedura ISH ne uwzględna stnejących relacj kolejnoścowych. W algoryte ISH-UA każda, analzowana czynność 587

w perwszej kolejnośc przydzelana jest do łańcuchów, w których ostatna czynność jest bezpośredn poprzednke czynnośc lub tworzy z czynnoścą tzw. łuk neunknony. Rys. 1. a) Seć czynnośc AON przykładowego projektu, b) Haronogra nonalny S znalezony dla lsty czynnośc {1,2,5,3,4,6,7,8,9} przy wykorzystanu szeregowego SGS Dla haronograu S z określoną alokacją zasobów wykonywane są przesunęca prawostronne czynnośc w celu zwększena oczekwanej wartośc funkcj celu RF (patrz: wzór 6) dla różnych scenaruszy trwana zadań. Przy generowanu scenaruszy, danych etodą Monte Carlo wykorzystany jest skuulowany rozkład β, który jest używany do opsywana zennośc czasów trwana zadań [5-10]. Dla każdej czynnośc ( = 1,.., N) czas jej realzacj w syulacj losowany jest ze zdyskretyzowanego, prawoskośnego rozkładu β o paraetrach 2 5, ze średną równą planowaneu czasow trwana D przy założenu wartośc nalnej równej 0.75 D a wartośc aksyalnej 1.625 D. Rys. 2. Haronogray proaktywne (α = 0) 2a alokacja ustalona procedurą ISH, 2b alokacja znalezona procedurą ISH-UA 588

Wylosowano 2000 scenaruszy czasów trwana zadań. Dla tych scenaruszy średna wartość RF wylczona dla haronograu S bez przesunęć prawostronnych wynos: 128.09 (α = 0, alokacja procedurą ISH), 128.36 (α = 0, ISH-UA), 103.52 (α = 0.2, ISH) lub 103.96 (α = 0.2, ISH-UA). Poprawone rozwązana z przesunęca zadań w prawo ustalone przy α = 0 znajdują sę na rysunku 2, natoast przy α = 0.2 na rysunku 3. Rys. 3. Haronogray proaktywne (α = 0.2) 3a alokacja ustalona procedurą ISH, 3b alokacja znalezona procedurą ISH-UA Zastosowane przesunęć prawostronnych poprawa średne wartośc skuulowanych przepływów penężnych RF. Przy α = 0 wzrost oczekwanej funkcj celu przynos przesunęce w prawo kolejno zadań 8, 6 (o 2 jednostk), 4 5. Przy alokacj zasobów etodą ISH średna wartość funkcj celu rośne z 128.09 do 128.51 a dla ISH-UA z 128.36 do 128.74. Przy α = 0.2 poprawę RF przynos przesunęce jednostkowe zadań 6, 4 5. Przy alokacj zasobów etodą ISH średna wartość funkcj celu rośne z 103.52 do 104.07 a dla ISH-UA z 103.96 do 104.51. Alokacja zasobów wygenerowana ISH-UA jest bardzej korzystna. Przydzał utworzony procedurą ISH zawera dodatkowe ogranczene kolejnoścowe ędzy zadana 2 3. Każde wydłużene czasu trwana zadana 2 powoduje koszty nestablnośc zwązane z opóźnane rozpoczęca zadana 3 ( jego następnków, ewentualne etapów przedsęwzęca). 6. Podsuowane W artykule przeanalzowano proble aksyalzacj przepływów gotówkowych dla projektu rozlczanego etapowo, realzowanego w warunkach nepewnośc, przy zennych czasach trwana zadań. Zaproponowano sposób rozwązana tego probleu z wykorzystane podejśca proaktywnego, w który wykorzystano procedury odpornej alokacj zasobów algoryt jednostkowych przesunęć prawostronnych. Optyalzację przepływów penężnych wykonywano dla czasów trwana zadań wygenerowanych etodą 589

Monte Carlo. Dzałane algorytu zlustrowano dla przykładowego projektu. Podjęte zagadnene jest aktualne. Proponowany odel ne był, w tej postac, rozważany w badanach, a oże być przydatny praktyczne. Przedote dalszych prac autorów będze.n. opracowane probleów testowych, eksperyentalna analza proponowanych rozwązań, pleentacja bardzej zaawansowanych, dostosowanych do zagadnena, procedur alokacj zasobów. Praca fnansowana przez Narodowe Centru Nauk (nr projektu: N N519 645940, nuer uowy: 6459/B/T02/2011/40 Lteratura 1. Hartann S., Brskorn D.: A Survey of Varants and Extensons of the Resource- Constraned Project Schedulng Proble. European Journal of Operatonal Research, 207(1), 2012, 1-14. 2. Józefowska J., Mka M., Różyck R., Walgóra G., Węglarz J.: Maksyalzacja zaktualzowanej wartośc netto w probleach rozdzału zasobów przegląd odel algorytów. Zeszyty Naukowe Pol. Śl., sera: Autoatyka, z. 134, 2002, 243-254. 3. Klek M., Łebkowsk P.: Robustness of schedules for project schedulng proble wth cash flow optsaton. Bulletn of the Polsh Acadey of Scences Techncal Scences, Vol. 61, No. 4, 2013, 1005-1015. 4. Klek M., Łebkowsk P.: A Two-Phase Algorth for Resource Constraned Project Schedulng Proble wth Dscounted Cash Flows. Decson Makng n Manufacturng and Servces, Vol. 7, No. 1-2, 2013, p. 49-66. 5. Herroelen W., Leus R.: Robust and reactve project schedulng: a revew and classfcaton of procedures. Internatonal Journal of Producton Research 42(8), 2004, 1599-1620. 6. Herroelen, W., Leus, R.: Project schedulng under uncertanty: Survey and research potentals. European Journal of Operatonal Research, 165, s. 289-306, 2005. 7. Klek M.: Predyktywno-reaktywne haronograowane produkcj z ogranczoną dostępnoścą zasobów. Praca doktorska, AGH Kraków, 2010. 8. Deblaere F., Deeuleeester E.L., Herroelen W.S.: Proactve polces for the stochastc resource-constraned project schedulng proble. European Journal of Operatonal Research, 214(2), 2011, 308-316. 9. Leus R, Herroelen W.: Stablty and resource allocaton n project plannng. IIE Transactons, 36(7), 2004, 667 682. 10. Van de Vonder, S., Deeuleeester, E., Herroelen, W., Leus, R., The use of buffers n project anageent: The trade-off between stablty and akespan. Internatonal Journal of Producton Econocs 97, 2005, 227-240. 11. Goldratt E. M.: Crtcal chan. Great Barrngton: The North Rver Press, 1997. 12. Polcella N., Odd A., Sth S., Cesta A.: Generatng robust partal order schedules. In Proceedngs of CP2004, Toronto, Canada, 2004. 13. Kolsch R., Padan R.: An ntegrated survey of deternstc project schedulng, OMEGA The Internatonal Journal of Manageent Scence, 29, 2001, 249-272. 14. Kolsch R.: Seral and parallel resource-constraned project schedulng ethods revsted: Theory and coputaton, European Journal of Operatonal Research, 90, 1996, 320-333. 590

15. Vanhoucke M.: A scatter search procedure for axzng the net present value of a resource-constraned project wth fxed actvty cash flows, Gent, Workng Paper 2006/417, 1-23. 16. Klek M., Łebkowsk P.: Resource allocaton for robust project schedulng. Bulletn of the Polsh Acadey of Scences Techncal Scences, Vol. 59, No. 1, 2011, 51-55. 17. Deblaere F., Deeuleeester E.L., Herroelen W.S., Van De Vonder S.: Proactve resource allocaton heurstcs for robust project schedulng. Raport badawczy KBI_0608, K.U.Leuven, 2006. 18. Błażewcz J., Lenstra J., Kan A. R.: Schedulng subject to resource constrants - classfcaton and coplexty. Dscrete Appled Matheatcs, 5, 1983, 11-24. 19. Hartann S., Kolsch R., Experental evaluaton of state-of-the-art heurstcs for the resource-constraned project schedulng proble. European Journal of Operatonal Re-search, 127, 2000, 394-407. Dr nż. Marcn KLIMEK Zakład Inforatyk, Katedra Nauk Techncznych, Wydzał Nauk Ekonocznych Techncznych, Państwowa Szkoła Wyższa. Papeża Jana Pawła II 21-500 Bała Podlaska, ul. Sdorska 95/97, e-al: arcn_kl@ntera.pl Dr hab. nż. Potr ŁEBKOWSKI, prof. AGH AGH, Wydzał Zarządzana, Katedra Badań Operacyjnych Technolog Inforacyjnych, 30-067 Kraków, al. Mckewcza 30, e-al: plebkows@zarz.agh.edu.pl 591