Kogruece Lczby ogruete (przyta ą ce) modulo w N (w moduł przytawaa) w zborze lczb aturalych N (NM N): N Mmodw N: N Mw M Nw w zborze lczb całowtych Z (NM Z): N Mmodw Z: N Mw Kogrueca relaca rówowaŝ oś c: zwrota (refleve): N Nmodw ymetrycza (ymmetrc): N Mmodw M Nmodw przechoda (tratve): N Mmodw&M Pmodw N Pmodw. zachowawcza (dfferet) wobec dodawaa odemowaa mo ea N Mmodw Q Pmodw (N±Q) (M±P)modw N Mmodw Q Pmodw N Q M Pmodw. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Klay ogruec Klay ogruec (rówowaŝ oś c wzglę dem relac przytawaa) w zborze lczb aturalych N N w:r {N N:N rmodw; r<w} w zborze lczb całowtych Z w U r Z w:r {Z Z:Z rmodw; w/ r< w/ } N N w : r w U r Z Z r rezta z dzelea (redue) lczby całowte (aturale) przez moduł w w : r Zauwa my e w N : Nw : r Zw : r Nw : r Zw : r w N 7:5 {596 } Z 7: { 9 596 } N 7: {85 } Z 7: { 685 } Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS
Podzel lczby perwze Podzel lczby w N Nmodw w N Nawę zy wpóly (po)dzel NWD (greatet commo dvor GCD) (XY)a N (a X a Y) b N: (b>a) (b X b Y) Lczby wzglę de perwze (relatvely prme): (XY). Algorytm Euldea Je l X>Y oraz w X w Y to w (X Y) w c w (XmodY). St d wya e w (Ymod(XmodY)) td. dopó rezta e et rówa. Wtedy otat podzel et NWD(XY). Xdvw loraz całowty X/w Xmodw rezta z dzelea całowtego X/w Xw Xdvw+Xmodw (X Xmodw) modw Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Sto Eratoteea Je l z c gu oleych lczb aturalych uuemy podzele przez (parzyte) at pe podzele przez (co trzec ) at pe podzele przez 5 (co p t po ród wzytch) etc. to w c gu pozota tylo lczby perwze. Je l a N oraz a>n/a to w c gu N oleych lczb aturalych e ma u lczb podzelych przez a (zotały wcze e wyre loe) Wzyte lczby perwze (oprócz ) eparzyte Algorytm:. Utwórz c g oleych lczb eparzytych <N. Zad w c gu perwz lczb A ró od (et a pozyc A (A+)/). W mece a de lczby c gu umezczoe a pozyc A +A wpz 4. Je el A <N powró do w przecwym raze zao cz Nameza wpóla welorotoś ć NWW (leat commo multply LCM) [X X X m ]W N : X W Z N: (Z<W) : X Z Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 4
Fuca Eulera (ϕ(n)) lczba lczb aturalych <N wzglę de perwzych z lczb ą N tuca: co druga lczba aturala et podzela przez po ród epodzelych przez co trzeca et podzela przez po ród epodzelych przez co p ta et podzela przez 5 etc. TWIERDZENIE Je l podzelam N lczby p p p m czyl e e e p p... p m p N m to ϕ ( N ) p p pm N... p p p m DOWÓD: (przez ducę lub wyprowadzee a podtawe wyŝ e podaego woowaa tucyego) p Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 5 Małe twerdzee Fermata Nech p bę dze lczbą perwzą zaś a e et podzela przez p ((pa)). Wówcza a p modp oraz a p amodp. DOWÓD. Soro p e dzel a to a da lczba c gu a a a (p ) a ale y do e lay reztowe Z p:r ( p : a amodp). A zatem ( a)( a)( a) ((p ) a)a p (p )! (p )! modp Poewa ((p )!p) oraz (pa) w c ((a p ) (p )!p)p a zatem a p modp oraz a a p amodp. Twerdzee Eulera Woe: a p a modp Jeś l ϕ(n) et lczb lczb mezych od N wzgl de perwzych z N to oraz ( ) a ϕ N ϕ ( a N ) a mod N mod N Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 6
Ch e twerdzee o reztach Nech W{w w...w m : : (w w )}oraz W m w. Dla X <W reprezetaca X m : X modw w W et uatowa. DOWÓD. Załó my e Y<W Z<W Y Z: m:y Zmodw. Zatem m:w (Y Z) a poewa W[[w w w m ]] to W (Y Z). Soro eda Y Z to Y Z W co przeczy zało eu w c YZ Sytem RNS(w w w m ) Reprezetaca X modw modw m modw m : w W w baze W {...w } dla ogruec w zborze N { w /... w / } dla ogruec w zborze Z WNIOSEK: W yteme RNS(w w w m ) N m: m ± w ± w m ± m w m modw Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 7 Ie wła cwo c reprezetac reztowych JeŜ el rezty z dzelea lczby przez moduły wzglę de perwze ą obe rówe to ą oe rówe rezce z dzelea przez loczy tych modułów ( w w ) & X mod w X mod w q X mod( ww ) q. DOWÓD (pro ce) Je l Xmodw q oraz Xmodw q to (X q)modw oraz (X q)modw zatem X q w X q w d wya e X q w w zatem (X q)mod(w w ) w c Xmod(w w )q. WŁASNOŚ Ć : Je l a X oraz a w to (ax)mod(aw)a(xmodw) (ax)mod(aw)ax aw ax/aw a(x w X/w )a(x modw) Odwrotoś ć multyplatywa (multplcatve vere) w yteme RNS z mod w z mod w. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 8
Podzelo lczb () ale β mod w ( mod w)( β mod w) mod w w c poewa β mamy β mod( β ± ) m β mod( β ± ) ( m) β mod ( β ) β mod ( β + ) mod ( β ) ( ) mod ( β + ) reguły podzelo c przez 9 w yteme dze tym 785 mod 9 (7+8+5) mod 9 785 mod (7 8+5) mod 4 Je l βa ± to β mod a ± oraz β mod a ( ± ) reguły podzelo c przez a w yteme o baze βa ± 785 mod (7+8+5) mod mod Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 9 Podzelo lczb () β / / + β )( β ) X ( β gdze β + l X warto cam cyfr po ower (β β ). Ale et β mod( β m mod( ± ) ± ) β β ( m) zatem: β mod ( β ) / X mod ( β ) β mod ( β + ) / ( ) X mod ( β + ) 45 mod 45 mod ( +) ( 45) mod ( +) 5 6 mod FF 6 5 6 mod ( ) 6 (+5) 6 mod ( ) 6 8 6 mod 77 8 56 8 mod ( ) 8 (+56) 8 mod ( ) 8 8 Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS
Oreowo rezt a mod w ± a mod w ( ± ) ore ogruec β mod w & < : β mod w półore ogruec β mod w & < : β mod w rezty pot g baz β wzgl dem modułów β ± powtarza oreowo m mod( ± ) β mod( β ± ) β β ( m) rezty pot g baz + β mod( β ± ) ( m ) β mod( β ± ) β wzgl dem modułów ( β ± β + β mod( β ± β + ) β ) powtarza oreowo: β mod( β ± β + ) m β β mod( β ± β + ) [ β ( m β )]mod( β ± β + ) ± Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Ch e twerdzee o reztach owera odwrota Nech W{w w...w : : (w w )} W ww... w oraz Ww. Jeś l X <W to reprezetaca X : X modw w W et uatowa przy tym gdze X X ( mod w ) modw Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS ˆ mod w odwrotoś ć multyplatywa w ŵ wzglę dem modułu DOWÓD (eformaly). Je l mod w et odwroto c multyplatyw ŵ to et reprezetac reztow ( mod w ) w yteme RNS(w w w m ) bo lczba ta et podzela przez wzyte w z wy tem w. Poewa rezta z umy et rówa ume rezt w c w. X + + + et reprezetac reztow lczby X o warto c dae wyra eem w awae oraz a de lczby przyta ce do e modulo W.
Ch e twerdzee o reztach owera odwrota Nech W{w w...w : : (w w )} W ww... w oraz Ww. Jeś l X <W to reprezetaca X : X modw w W et uatowa przy tym ˆ X X ( mod w ) modw gdze w mod w odwrotoś ć multyplatywa ŵ wzglę dem modułu w. D O W Ó D. Nech p mod w. Poewa X mod w oraz W w zatem ( ( mod w ) ) modw ( p ( X mod w )) modw ( p ( X w X / w ) ) modw ( X p ) modw a podtawe zachowawczo c ogruec () X p modw ( X modw ) Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS p modw X p modw. Aby dowe prawdzwo c tezy wytarczy w c wyaza e ( p ) modw. Poewa z udowodoego wcze e lematu (.49) wya e (y) amodyd amodd amodyd za W w w... w w et loczyem lczb wzgl de perwzych w c wytarczy wyaza prawdzwo poprzeda mplac Ale. () w : ( p )mod w ( p )modw w : w / zatem w () ( p )mod w ( p )mod w ( ( mod w ))mod w. St d wya prawdzwo at pa mplac () co dowodz tezy. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 4
Wybór ytemu reztowego Dobór modułów argumety zare reprezetowaych lczb loczy wzytch modułów łatwo zybo wyoaa dzała modulo łatwo ower ower odwrote moduły β β β + dobrze peła wymagaa (β β ) (β β +) oraz (β β +) (gdy β parzyte) w yteme dwóowym e l (m) to ( m ) (lczby Meree a) przy pezee dodawaa ~ proporcoale do log z lczby modułów m w ce modułów tym trudeza owera odwrota opce W{ + } W{ + } W{ <...<< ( )} Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 5 Kowera z ytemu tałobazowego a ytem RNS(β + β β ) A X { β RNS : ( a mod w )( β mod w )} mod w reguły podzelo c reguły ower z ytemu aturalego a RNS dla modułów o potac β β β +. β l a + l l A a β ( a β ) β A β l gdze A warto cam cyfr lczby A w yteme o baze β. Poewa A β zatem A mod β A mod β oraz + l l A mod( β ) { A β }mod( β ) { A }mod( β ) A mod( β + ) { A β }mod( β + ) { ( ) A }mod( β + ) Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 6
Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy (CRT) z edy reztowe (wag) z mod z mod w w Warto c lczby X<WΠw o reprezetac... et zatem (CRT) X ( z ) modw W celu wyzaczea -te edy z wytarczy wyoa w oblcze. Mamy...... w w W mod w w Oblczae edye reztowych z ( mod w ): Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 7 ( ( mod w ))mod w mod w ))mod w [( mod w )( rozw zae rówaa ( ( mod w )] mod w odwrócoy algorytm Euldea zapuemy ao um weloroto c ( mod ) ( mod ) [ dv + mod ]... małe twerdzee Fermata ((pa) a p modp Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy Sytem reztowy RNS(a+aa ) (ap mu by parzyte) Mamy W(a+) a (a ). Oblczymy lczby ŵ ww ( a + ) a mod w ww ( a + )( a ) mod w ( ) w w w a( a ) w mod w ( ) ( ) ˆ ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe ( mod w ) mod w mod( a ) mod( a ) a / mod w mod a mod a mod w mod( a + ) mod( a + ) a / + St d z ( a + ) a ( / ) z ( a + ) ( a ) z a ( a ) ( a / ) a zatem warto c lczby X o reprezetac r r r et X (r z + r z + r z ) mod (a+) a (a ). + Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 8
Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () Sytem reztowy ( + ). Mamy W( +) ( ). Oblczymy lczby ŵ ˆ ww ( + ) mod w ˆ ww ( + )( ) mod w ( ) ˆ ww ( ) mod w ( ) ( ) w w w oraz ch odwroto c multyplatywe mod w mod( ) mod( ) mod w mod mod mod w mod( + ) mod( + ) St d z + a ( + ) a z ( + ) ( ) z ( ) ( ) zatem warto c lczby X o reprezetac r r r et X (r z + r z + r z ) mod ( ). + Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 9 Kowera z ytemu reztowego a ytem tałobazowy przyłady () W yteme reztowym (7) mamy X (7). Wyzaczmy X. Mamy W 74. Oblczymy lczby ŵ W / w 6 mod w 6mod7 W / w 4 mod w mod w W / w w mod w ˆ ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe mod w mod w mod w mod w mod w mod w w mod w ± mod w mod w ˆ ± St d z 6 6mod4 z 4 8mod4 z mod4 zatem X (( ) 6 +( ) 4 + ) mod 4 5 mod 4 7. Rzeczyw ce X (7) 7 mod 7 7 mod 7 mod. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS
Oblczae odwroto c multyplatywych () Odwrócoy algorytm Euldea (... p ( A mod ) ( mod B ) + ( C mod D ) mod ) [ dv + mod ]... p + Jedy w yteme RNS(7) mamy W 74. Oblczymy lczby W / w 6 mod w 6mod7 W / w 4 mod w mod w W / w w mod w ˆ ˆ mod w ) t w 6 7t 6 ( 6 + ) t 6 ( t) t zatem t oraz t czyl t w 4 t ( 5 ) t (5 t) ˆ zatem oraz t 5 t w t ( + ) t ( t) + ˆ zatem oraz t oraz ch odwroto c multyplatywe ( w w Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS ŵ Oblczae odwroto c multyplatywych () Jedy w yteme RNS(7) małe twerdzee Fermata ( w ) mod w ( mod w ) ( ) Mamy W 74. Oblczymy lczby ŵ W / w 6 mod w 6mod7 W / w 4 mod w mod w W / w w mod w ˆ oraz ch odwroto c multyplatywe ( 7 ˆ 7 Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS w mod w ) ( ) mod7 (6 mod7)(6 mod7) 6 mod7 zatem 6 mod7 mod w ( ) mod (4 mod)(4 mod) 4 mod zatem 4 mod ( ) mod ( mod )( mod ) mod zatem mod St d z 6 6mod4 z 4 8mod4 z mod4
Sytem wadratowo-reztowy QRNS arytmetya lczb zepoloych (oblczae traformaty Fourera). reprezetaca reztowa edot urooe. q mod w q mod w. problem: zalezee zboru modułów dla tórych et rozw zae rówaa q mod w. DEFINICJA Lczb r perwz wzgl dem w N ta e rówae mod w r ma rozw zae azywa rezt ą wadratow ą (quadratc redue) wzgl dem w. Je el atomat rówae mod w r e ma rozw zaa to r azywa e-rezt ą wadratow ą (quadratc oredue) wzgl dem w. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS Rezty wadratowe Poewa et dołade (w) rezt ezerowych modulo w a a de rówae mod w r ma albo dwa rozw zaa eprzyta ce oraz (lub w bo mod w ( w ) mod w) albo e ma rozw zaa w c przy eparzytym w tee dołade (w)/ rezt oraz (w)/ e-rezt wadratowych. Rezty wadratowe wzgl dem w wyzaczymy rozw zu c rówae mod r metod oleych prób dla... 6 (. (w ) mod w) Zaduemy odpowedo: mod 4 mod 4 mod 4 mod 5 mod 6 mod. Zatem reztam wadratowym wzgl dem (w arytmetyce uzupełeowe): 4 4. Jauz Berat '4 6 gruda 4 RNS 4