LISTA 1 ZADANIE 1 a) 41 x =5 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 41 x =5 x 5 x przechodzimy na system dziesiętny: 4x 1 1=25 4x =24 x=6 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 6. b) 22 x =4 podnosimy obustronnie do kwadratu i otrzymujemy: 22 x =4 x 4 x przechodzimy na system dziesiętny: 2x 1 2=16 2x =14 x=7 ODP: Podstawą (bazą), w której spełniona jest ta zależność jest 7. c) a 2 =1 x Zauważmy, że: x ponieważ użyto cyfry co oznacza, ze system musi posiadać przynajmniej cztery cyfry (, 1, 2,...), a jest dwucyfrowe (gdyby było jednocyfrowe to podniesione do kwadratu mogłoby mieć co najwyżej 2 cyfry, gdyby miało cyfry, po podniesieniu do kwadratu na pewno miałoby ich co najmniej 5), a jest liczbą całkowitą. Przejdźmy na zapis dziesiętny: a 2 =x 2 1 a 2 1=x 2 a 2 1 =x 2 x= a 2 1 Używając naszych początkowych spostrzeżeń możemy zauważyć, że: x a 2 2 1 a 2 28 a 28 a 6 oraz x Z x= a 2 1 sprawdźmy kolejne liczby a: a=6 a=7 x= 6 1 = 5over Z x= 49 1 = 48 = 16=4 Z ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 4. 1
d) b 2 =562 x Zauważmy, że: x>5, b jest dwucyfrowe, pierwszą cyfrą b musi być 2. Przejdźmy na system dziesiętny: b 2 =5x 2 6x 2 2x a 2 =5x 2 6x 2 4x 2 4xa a 2 =5x 2 6x 2 x 2 6x 4xa 2 a 2 = x 2 6 4a x 2 a 2 = a jest cyfrą jedności liczby b, więc a<x, a>1 ponieważ cyfrą jedności liczby z prawej strony nie jest 1 ani. Po skorzystaniu z wzorów Viete'y, otrzymamy: x 1 x 2 =4a 6 x 1 x 2 =2 a 2 Sprawdźmy kolejne a: a=2 a= x 1 x 2 =2 x 1 x 2 =6 x 1 x 2 = 2 x 1 x 2 = 7 x=2 6 x=7 Wykonajmy sprawdzenie: L : 2 7 2 =17 2 =289 P:5 7 2 6 7 2 =289 L=P ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 7. ZADANIE 2 5 x 2 5 x 125 = x 1 =5, x 2 =8 Ze wzorów Viete'y: 5 8 = 5 5 5 8 =1 5 8= =1 ODP: Podstawą systemu naturalnego spełniającego podaną zależność jest 1. ZADANIE 4 Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie x Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w systemie naturalnym o podstawie ) x 1 jest stałe (niezależne od x): x 1 = x x = x x = x 1 x Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie, w której: x 1 jest pierwszą cyfrą, x jest drugą cyfrą. Suma cyfr tej liczby to oczywiście: 2
x 1 x = x 1 x = 1 a więc jest niezależne od x, co kończy dowód. TABLICZKI: Aby ułatwić sobie obliczenia korzystamy z kilku własności: suma cyfr iloczynu największej cyfry i dowolnej innej jest stała i równa największej cyfrze (np. w systemie dziesiętnym 9*4=6 suma cyfr wyniku to 9) kwadrat dowolnej liczby x wynosi (x-1)(x+1)+1 (np. w systemie dziesiętnym 4 2 =*5+1=15+1=16) aby uzyskać kolejną liczbę w rzędzie/kolumnie wystarczy dodać stałą różnicę w tym rzędzie równą mnożnikowi 1 2 1 1 2 2 2 11 5 1 2 4 1 1 2 4 2 2 4 11 1 11 14 22 4 4 1 22 1 7 1 2 4 5 6 1 1 2 4 5 6 2 2 4 6 11 1 15 6 12 15 21 24 4 4 11 15 22 26 5 5 1 21 26 4 42 9 1 2 4 5 6 7 8 1 1 2 4 5 6 7 8 2 2 4 6 8 11 1 15 17 6 1 1 16 2 2 26 4 4 8 1 17 22 26 1 5 5 5 11 16 22 27 8 44 6 6 15 24 42 51 6 6 1 2 26 4 46 5 7 7 15 2 1 8 46 54 62 8 8 17 26 5 44 5 62 71 11 1 2 4 5 6 7 8 9 A 1 1 2 4 5 6 7 8 9 A 2 2 4 6 8 A 11 1 15 17 19 6 9 11 14 17 1A 22 25 28 4 4 8 11 15 19 22 26 2A 7 5 5 A 14 19 2 28 2 7 41 46 6 6 11 17 22 28 9 44 4A 55 7 7 1 1A 26 2 9 45 51 58 64 8 8 15 22 2A 7 44 51 59 66 7 9 9 17 25 41 4A 58 66 74 82 A A 19 28 7 46 55 64 7 82 91 1 1 2 4 5 6 7 8 9 A B C 1 1 2 4 5 6 7 8 9 A B C 2 2 4 6 8 A C 11 1 15 17 19 1B 6 9 C 12 15 18 1B 21 24 27 2A 4 4 8 C 1 17 1B 22 26 2A 1 5 9 5 5 A 12 17 1C 24 29 1 6 B 4 48 6 6 C 15 1B 24 2A 9 42 48 51 57 7 7 11 18 22 29 A 44 4B 55 5C 66 8 8 1 1B 26 1 9 44 4C 57 62 6A 75 9 9 15 21 2A 6 42 4B 57 6 6C 78 84 A A 17 24 1 B 48 55 62 6C 79 86 9 B B 19 27 5 4 51 5C 6A 78 86 94 A2 C C 1B 2A 9 48 57 66 75 84 9 A2 B1 ZADANIE 5 Weźmy liczbę x jednocyfrową w systemie o podstawie x Mamy wykazać, że suma cyfr liczby (w systemie naturalnym o podstawie ) x 1 k 1 k 1.. 1 1 (czyli inaczej liczby złożonej z samych najwyższych cyfr w danym systemie) jest stałe (niezależne od x): x 1 k 1 k 1.. 1 1 = =x k 1 k k k 1 k 1 k 2.. 2 2 1 = =x k 1 1 =x k 1 x= x 1 k 1 1 k 1 k 1... x Sprowadziliśmy iloczyn do postaci liczby w systemie o podstawie, w której: x 1 jest pierwszą cyfrą, x jest ostatnią cyfrą, pomiędzy nimi jest k-1 największych cyfr w danym systemie 1
Suma cyfr tej liczby to oczywiście: x 1 x k 1 1 = x 1 x k k 1 = k k a więc jest niezależne od x, co kończy dowód. ZADANIE 6 mnożenie: β=5, 2 4 β=7, 2 4 β=9, 2 4 β=11, 2 4 β=1, 2 4 2 4 2 4 1 1 1 2 4 1 6 2 6 5 1 2 4 1 4 7 6 4 8 2 4 1 1 9 5 6 4 8 2 4 C 9 6 4 8 2, 1 2 4 1, 1 5 4 4, 7 8 4, 7 6 9 7 4, 7 4 7 5 4 dzielenie: β=5 1, 2 β=7 1, 2 4 β=9 1, 2 β=11 1, 9 β=1 1, 4 6 4, 4 : 2 2 4, 4 : 2 2 4, 4 : 2 2 4, 4 : 2 2 4, 4 : 2 2 6 4 1 6 9 6 C 8 2 1 6 1 7 6 4 2 9 2 6 7 1 9 1 5 C 6 5 2 4 1 Druga część zadania jest dla mnie niestety niezrozumiała. ZADANIE 7 a) 674,581 1= 2A2,94BC 16 2A2,94BC 16= 1 11 1,11 2 /16 reszta: 674 2 42 A 2 2 cyfra *16, 581 9 296 4 76 B 776 C 416 cyfra *2, 94BC 1 2978 52F A5E 1 4BC 4
b) CD,12 16 = 11 111,1 2 = 1 + 4 + 8 + 64 + 128 + 1/16 = 25,625 1 cyfra *2, 12 24 48 9 1 2 c),12 8=11, 2= 16 cyfra *2, 12 24 5 12 24 d) 4,56 1 * 2-5 = 11 2 *2-5 = 1,1 2 = 2,1 16 /2 reszta: cyfra *16 4, 1 17 1 1 8 4 2 1 1 e) 12,21 *5-2 =21,14 5 :1 5=,211 5 /12 reszta: 12 1 2 2 cyfra *12, 21 1 1 12 4 11 2 5
f) (alternatywnym sposobem): BACA 16*5 - =47818 1*5 - =82,544 1 /A reszta: BACA 8 12AD 1 1DE 8 2F 7 4 4 g) 6745,81c245,621 7 = 2 7 4 7 2 4 7 5 6 7 2 7 2 1 7 = 4982 1 9 4 = 4982,98 1 /7 reszta: 6745 5 87 4 122 15 2 2 cyfra *7, 81 6 27 2 14 1 11 77 h) AA,12 11 = 1 11 1 1 11 1 121 = 12 1 1 121 = 12,174 1 = 14,862 9 /9 reszta: 12 1 4 1 1 cyfra *9, 174 9666 8 6994 6 2946 2 6514 6
i) 12,21 15 2 =12,21 2 5 2 =1,221 5 2 = 1,4 5 5 2 =,1 5 cyfra *12, 221 222 1 2111 1 212 11 1 j) 4 7 56 7 = 111 2 111 2 =,11 2 licznik /2 reszta: 4 1 15 6 1 1 1 mianownik /2 reszta: 56 1 26 1 5 1 2 1 1, 1 1 1 1 1 2 : 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 k) 24, 56 9 = 2456 9 24 9 88 9 = 2222 9 88 9 = 611 7 14 7 =511,4552 7 licznik /7 reszta: 2222 28 1 81 1 5 6 6 mianownik /7 reszta: 88 12 4 1 1 5 1 1, 4 5 5 2 6 1 1 7 : 1 4 7 6 1 1 2 1 1 4 2 5 1 4 1 5 6 5 1 1 2 1 1 1 1 6 1 1 1 4 6 1 6 1 4 1 7
l) 12, 45 7 = 1245 7 12 7 66 7 = 12222 7 = 74 2 7 2 7 2 2 7 2 66 7 6 7 2 6 7 = 21 6 =9,5267 1 9,5267 1 =9,588 11 cyfra *11, 5267 5 797 8 77 8 77 4147 ZADANIE 9 a), 27 1 = 27 1 = 1 =, 99 1 11 11 1 ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 11. b), 11 2 = 11 2 = 5 1 =,5 111 2 7 7 1 ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 7. c) 1, 56 9 =, 8 9, 56 9 =, 2 9 = 2 9 = 29 1 =, X 88 9 8 8 gdzie X to 29-ta cyfra w systemie o podstawie 8 1 ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 8. d), 11 2 = 11 2 = 1 = 1 1 =,1 1111 2 1 1 1 1 ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 1. e), 5 11, 2 11 =, 1 11 = 1 11 = 14 AA 11 12 7 6 =,7 6 ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 6. f),1 2 7 = 122 7 = 65 66 7 6 =, X gdzie X to 65-ta cyfra w systemie o podstawie 6 ODP: Najmniejszą podstawą systemu w której ten ułamek jest skończony jest 6. ZADANIE A Mamy pokazać, że w systemie naturalnym przeniesienie lub pożyczka w dodawaniu juz zawsze równe lub 1. Dodawanie i odejmowanie liczb w systemie naturalnym polega na dodawaniu lub odejmowaniu cyfr stojacych przy odpowiadających sobie wagach. Rozważmy najpierw dodawanie (a więc występujące w nim przeniesienie). W najgorszym wypadku będziemy dodwawać dwie największe cyfry: 1 1 = 1 1=2 2= 2=1 2 Jeśli więc dodamy dwie największe cyfry, otrzymamy największy wynik będący liczbą dwucyfrową, której pierwsza cyfra (przeniesienie) wynosi 1 a druga β-2. Oznacza to, że największą cyfrą przeniesienia może być 1. Najmniejszą cyfrą przeniesienia jest, która jest sumą najmniejszych cyfr czyli zer. 8
W przypadku odejmowania jest podobnie. Jako,że w systemie naturalnym nie ma ujemnych cyfr, wynik odejmowania musi być zawsze dodatni. Aby uzyskać największą cyfrę pożyczki musimy odjąć od cyfry najmniejszej cyfrę największą: 1 = 1 wynik musi być jednak dodatni więc musimy pożyczyć jeden : 1 =1 Widać stąd, że zawsze wystarczy pożyczyć 1. Pożyczka będzie równa gdy będziemy odejmować od dowolnej cyfry, cyfrę od niej większą. ZADANIE B Liczby zakodowane w systemie znak-moduł (SM) składają się ze znaku (standardowo to minus a 1 to plus) i modułu (czyli wartości bezwzględnej) liczby. Inaczej mówiąc polega to na zamianie znaków + i - na cyfry odpowiednio 1 i. Dodawanie i odejmowanie w systemach SM nie różni się więc niczym od tego znanego z podstawówki. Same działania wykonujemy na modułach, w zależności od cyfr znaku: jeśli dodajemy dwie liczby dodatnie (obie mają pierwszą cyfrę ) to dodajemy moduły i jako znak ustawiamy również cyfrę, jeśli dodajemy liczbę ujemną (pierwsza cyfra 1 ) i liczbę dodatnią to wykonujemy odejmowanie na modułach (od większego odejmujemy mniejszy) a jako znak ustawiamy znak większego z modułów dodawanych liczb, jeśli odejmujemy dwie liczby ujemne to postępujemy jak w przypadku dodawania ale znak ustawiamy na 1, jeśli odejmujemy liczbę ujemną i dodatnią to postępujemy jak w przypadku dodawania liczby ujemnej i dodatniej. ZADANIE D a) system naturalny: najmniejsza liczba całkowita: największa liczba całkowita: β k -1 b) system negabazowy najmniejsza liczba całkowita: dla k parzystego: 1 k 1 1 k... 1 = k k 1 k 2 k... 2 = 1 i 1 i dla k nieparzystego: 1 k 2 1 k 4... 1 = k 1 k 2 k k 4... 2 = 1 i i największa liczba całkowita: dla k parzystego: 1 k 2 1 k 4... 1 2 1 = k 1 k 2 k k 4... 2 1= 1 i 1 i dla k nieparzystego: 1 k 1 k 1... 1 2 1 = k 1 k k 1 k 4... 1= 1 i 1 i c) system z cyframi znakowanymi: najmniejsza liczba całkowita: -β k -1 największa liczba całkowita: β k -1 k i=1 k 1 i=1 k 1 i= k 1 i= 9