Mathematics A Brief Guide for Engineers and Technologists Dział. Drugi Chapter 2. Second. Dystrybucje wolnorosnące.. Przestrzeń funkcji testowych S S = S (IR n ) to wszystkie funkcje klasy C (IR n ) malejące przy x wraz ze wszystkimi pochodnymi malejącymi szybciej niż dowolna potęga x. Definicja (zbieżność w S ) Niech φ,, φ 2,... S. Mówimy, że φ k φ, φ S, k jeśli dla dowolnych α i β: Właściwości x β D α φ k (x) x IRn = x β D α φ(x), k x β = x β xβ2 2... xβn n S jest przestrzenią liniową D S ze zbieżności w D wynika zbieżność w S D jest gęsta w S Uwaga Przykład, że S D: e x 2 S, ale / D (oczywiste, bo nośnik nie jest ograniczny) oraz D jest gęsta w S. Operacje różniczkowania D β φ(x) i liniowej zamiany zmiennych φ(ay +b) są ciągłe z S w S. Uwaga Operacja mnożenia przez a(x) C może wyrzucać poza S, np: e x 2 e x 2 = / S Operacja mnożenia przez a(x) Θ M jest ciągła z S w S, gdzie Θ M = {a(x) C (IR n ) : α C α, m α D α a(x) C α ( + x ) mα }. Distributions of slow growth.. The space of test functions S S = S (IR n ) are all functions of the class C (IR n ) which, as x, together with all their derivatives decrease faster than any power of x. Definition (convergence in S ) Let φ,, φ 2,... S. We say that φ k φ, φ S, k if for any α and β: Properties Note x β D α φ k (x) x IRn = x β D α φ(x), k x β = x β xβ2 2... xβn n S is a vector space D S from the convergence in D follows the convergence in S D is dense in S An example for S D: e x 2 S, but / D (obvious, because the support is not bounded) and D is dense in S. The operations of differentiation D β φ(x) and of a linear change of variables φ(ay + b) are continuous from S to S. Note Multiplication by a(x) C is, in general, not closed in S, e.g.: e x 2 e x 2 = / S Multiplication by a(x) Θ M is continuous from S to S, where Θ M = {a(x) C (IR n ) : α C α, m α D α a(x) C α ( + x ) mα }
Drugi 2 Second Wniosek Θ M - zbiór funkcji C (IR n ), które rosną w nieskończoności nie szybciej niż wielomiany. Conclusion.2. Dystrybucje powolnego wzrostu (temperowane).2. Tempered distributions Θ M - a set of functions C (IR n ) which increase no faster than polynomials as x tends to infinity Definicja Dystrybucją powolnego wzrostu (temperowaną) nazywamy funkcjonał liniowy i ciągły na S. Zbiór wszystkich dystrybucji temperowanych oznaczamy S = S (IR n ). Jest on przestrzenią liniową. Definicja (Zbieżność w S - tzw. słaba) Mówimy, że ciąg f, f 2,... S jest zbieżny do f S, jeśli: φ S f k, φ k f, φ. Definicja (Przestrzeń dystrybucji temperowanych) Przestrzeń liniową S (IR n ) wraz ze zdefiniowaną zbieżnością nazywamy przestrzenią dystrybucji temperowanych. Wnioski (z definicji). S D 2. ze zbieżności w S wynika zbieżność w D. Schwartza Na to, aby dowolny funkcjonał liniowy f na S należał do S potrzeba i wystarcza, aby istniały liczby C > 0 i p 0 (p - całkowite) takie, że φ S zachodzi f, φ C φ p, gdzie φ p = sup ( + x ) p D α φ(x), a supremum wzięto po α < p, x IR n. Definition A tempered distribution is a functional that is linear and continuous on S. A set of all tempered distributions is denoted S = S (IR n ). It is a linear space. Definition (Convergence in S - the so-called weak convergence) We say that a sequence f, f 2,... S is convergent to f S, if: φ S f k, φ k f, φ. Definition (Space of tempered distributions) A linear space S (IR n ), together with a defined convergence is termed the space of tempered distributions. Conclusions (from the definition). S D 2. from the convergence in S follows the convergence in D. Schwartz theorem For any linear functional f on S to belong to S it is necessary and sufficent that there exist numbers C > 0 and integers p 0 such that φ S the following inequality holds f, φ C φ p, where φ p = sup ( + x ) p D α φ(x) and the supremum was taken over α < p, x IR n.
Drugi 3 Second Przykłady dystrybucji temperowanych. Jeśli f(x) lokalnie całkowalna i powolnego wzrostu w nieskończoności ( lokalnie całkowalna i temperowana) tzn. m 0 takie, że: f(x) ( + x ) m dx <, to wyznacza ona regularną dystrybucję temperowaną z S według wzoru: f, φ = f(x)φ(x)dx, φ S Oczywiście nie każda funkcja lokalnie całkowalna wyznacza dystrybucję temperowaną, np e x / S (IR ). Uwaga: istnieją dystrybucje temperowane z S nieregularne np.: f = e x sin e x = (cos e x ) nie jest temperowana, ale generuje dystrybucję temperowaną z S według wzoru: (cos φ x ), φ = cos e x φ (x)dx,, φ S 2. Jeśli f D i ma zwarty nośnik, to f S 3. Jeśli f S, to dowolna pochodna D α f też należy do S 4. Jeśli f S i det A 0, to f(ay + b) S 5. Jeśli f S i a Θ M, to af S o strukturze dystrybucji o nośniku punktowym Jeśli suppf = {0}, f D, to wyrażają się one jednoznacznie jako: f(x) = C α D α δ(x) pomijamy. Examples of tempered distributions. If f(x) is locally integrable and tempered at infinity ( locally integrable and tempered) i.e. m 0 such that: f(x) ( + x ) m dx <, then it determines a regular distribution tempered from S according to the formula: f, φ = f(x)φ(x)dx, φ S Of course, not all locally integrable functions determine a tempered distribution, e.g. e x / S (IR ). Note: there exist tempered distributions from S that are irregular e.g.: f = e x sin e x = (cos e x ) is not tempered, but it generates a distribution from S according to the formula: (cos φ x ), φ = cos e x φ (x)dx,, φ S 2. If f D and has compact support, then f S 3. If f S, then any derivative D α f also belongs to S 4. If f S and det A 0, then f(ay + b) S 5. If f S and a Θ M, then af S on the structure of the distribution with point support If suppf = {0}, f D, then they can be uniquely expressed as: f(x) = C α D α δ(x) We omit the proof.
Drugi 4 Second.3. Iloczyn tensorowy dystrybucji temperowanych Niech f(x) S (IR n ), g(y) S (IR m ). Ponieważ S D, to f g D (IR n+m ) (oczywiste). Zachodzi więcej: pomijamy. f g S (IR n+m ) Iloczyn f g jest liniowy i ciągły względem f S (IR n ) (z S (IR n ) w S (IR n+m ) i względem g S (IR m ) (z S (IR m ) w S (IR n+m ) ).4. Splot dystrybucji temperowanych Niech f S, a g o nośniku zwartym. Wtedy f g istnieje w S (istnienie w D jest oczywiste). Niech S + = D + S, gdzie D + zdefiniowana wcześniej algebra splotowa. Wówczas S + jest podalgebrą D +. 2. Transformacja Fouriera dystrybucji temperowanych 2.. Transformacja Fouriera funkcji szybkomalejących S (IR n ) F [φ() = df φ(x)e ix dx, φ S. istnieje, bo φ S jest absolutnie całkowalna 2. można różniczkować nieskończoną ilość razy D α F [φ() = (ix) α φ(x)e ix dx = F [(ix) α φ(x) () czyli F [φ C (IR n ) 3. F [D α φ() = D α φ(x)e ix dx = ( ) α φ(x)d α e ix dx = ( i) α F [φ() 4. z dwóch ostatnich punktów wynika, że:.3. Tensor product of tempered distributions Let f(x) S (IR n ), g(y) S (IR m ). Since S D, then f g D (IR n+m ) (obviously). Moreover, the following holds: We omit the proof. f g S (IR n+m ) The product f g is linear and continuous with respect to f S (IR n ) (from S (IR n ) to S (IR n+m ) and with respect to g S (IR m ) (from S (IR m ) in S (IR n+m ) ).4. Convolution of tempered distributions Let f S, and g have a compact support. Then f g exists in S (the existence in D is obvious). Let S + = D + S, where D + a convolution algebra defined earlier. Then S + is a subalgebra of D +. 2. Fourier Transform of tempered distributions 2.. Fourier transform of rapidly decreasing functions S (IR n ) F [φ() = df φ(x)e ix dx, φ S. exists, since φ S is absolutely integrable 2. can be differentiated infinitely many times D α F [φ() = (ix) α φ(x)e ix dx = F [(ix) α φ(x) () therefore F [φ C (IR n ) 3. F [D α φ() = D α φ(x)e ix dx = ( ) α φ(x)d α e ix dx = ( i) α F [φ() 4. from the two points discussed above, it follows that: β D α F [φ() = β F [(ix) α φ () = i α β F [x α φ () = i α i β i β β F [x α φ = i α + β F [ D β (x α φ) ()
Drugi 5 Second 5. F [φ : S S w sposób ciągły 6. φ(x) = F [F [φ = F [F [φ, gdzie F [ψ(x) = (2π) n ψ()e ix d = 7. F i F są wzajemnie odwrotne = (2π) n F [ψ( x) = = (2π) n ψ( )e ix d = (2π) n F [ψ( ) 8. F odwzorowuje S na S w sposób wzajemnie jednoznaczny i ciągły 2.2. Transformacja Fouriera funkcji temperowanych Niech f(x) absolutnie całkowalne na IR n. Wtedy jej transformata Fouriera wyznacza dystrybucję regularną z S według wzoru: F [f, φ = F [f()φ()d, φ S. 5. F [φ : S S continuously 6. φ(x) = F [F [φ = F [F [φ, where F [ψ(x) = (2π) n ψ()e ix d = 7. F and F are mutually inverse = (2π) n F [ψ( x) = = (2π) n ψ( )e ix d = (2π) n F [ψ( ) 8. F is a continuous bijection (one-to-one correspondence) from S to S 2.2. Fourier transform of tempered functions Let f(x) absolutely integrable on IR n. Then its Fourier transform determines a regular distribution from S according to the formula: F [f, φ = F [f()φ()d, φ S. Z twierdzenia Fubiniego F [f()φ()d = [ d From Fubini theorem: f(x)e ix dx φ() = f(x)dx φ()e ix d = f(x)f [φ(x)dx, a stąd wynika: from this it follows that: F [f, φ = f, F [φ, φ S, co sugeruje definicję transformaty Fouriera dla dowolnej dystrybucji temperowanej f S : F [f, φ = f, F [φ, φ S. F zdefiniowane powyżej określa funkcjonał liniowy i ciągły na S. Wprowadźmy: F [f = (2π) n F [f( x), f S jest to transformacja odwrotna dystrybucji temperowanej. F [f, φ = f, F [φ, φ S, which suggests a definition of the Fourier transform for any tempered distribution f S : F [f, φ = f, F [φ, φ S. F defined above determines a linear functional continuous on S. Let us introduce: F [f = (2π) n F [f( x), f S this is a reverse transform of a tempered distribution.
Drugi 6 Second F [F [f()(x), φ(x) df = F [F [f( )(x), φ(x) = (2π) n = F [f( ), F [φ() = (2π) n = F [f(), F [φ( ) = (2π) n = F [f(), F [φ() = = f(x), F [F [φ(x) = = f(x), φ(x) = f, F [F [φ = = F [f, F [φ = F [ F [f, φ 2.3. Właściwości transformaty Fouriera dystrybucji temperowanych. Różniczkowanie D α F [f() = F [(ix) α f() f S 2.3. Properties of the Fourier transform of a tempered distribution. Differentiation D α F [f() = F [(ix) α f() f S D α F [f(), φ() = ( ) α F [f(), D α φ() = = ( ) α f(x), F [D α φ (x) = = ( ) α f(x), ( ix) α F [φ(x) = = (ix) α f(x), F [φ(x) = F [(ix) α f (), φ() 2. Obraz fourierowski pochodnej F [D α f() = (ix) α F [f() f S 2. Fourier image of a derivative F [D α f() = (ix) α F [f() f S F [D α f(), φ() = D α f(x), F [φ(x) = = ( ) α f(x), D α F [φ(x) = = ( ) α f(x), F [(i) α φ(x) = = ( ) α F [f(), (i) α φ() = ( i) α F [f(), φ()
Drugi 7 Second 3. Obraz fourierowski przesunięcia F [f(x x 0 )() = e ix0 F [f() 4. Przesunięcie obrazu fourierowskiego F [f( + 0 ) = F [ e i0x f () 3. Fourier image of translation F [f(x x 0 )(), φ() = f(x x 0 ), F [φ = = f(x), F [φ(x + x 0 ) = = f(x), F [φ() e ix0 (x) = = F [f, e ix0 φ = = e ix0 F [f, φ 4. Translation of a Fourier image F [f( + 0 ), φ() = F [f, φ( 0 ) = = f(x), F [φ( 0 )(x) = = f(x), e i0x F [φ(x) = = e i0x f, F [φ = F [e i0x f, φ F [f(x x 0 )() = e ix0 F [f() F [f( + 0 ) = F [ e i0x f () 5. Obraz fourierowski podobieństwa (wraz z odbiciem) F [f(cx)() = ( ) c n F [f, c 0 c F [f(cx), φ = f(cx), F [φ = = c n f(x), F [φ f(x), = c n c = = f(x), 5. Fourier image of similarity (with reflection) F [f(cx)() = ( ) c n F [f, c 0 c ( x c ) = φ()e i c x d = f(x), F [φ(c)(x) = c = φ(c )e ix d = = F [f(s), φ(c) = c n F [f = ( ), φ() c
Drugi 8 Second 6. Obraz fourierowski iloczynu tensorowego Niech f S (IR n ), g S (IR m ), to: F [f(x) g(y) = F x [f(x) F [g(η) = F y [F [f() g(y) = F [f() F [g(η) 6. Fourier image of a tensor product Let f S (IR n ), g S (IR m ), then: F [f(x) g(y) = F x [f(x) F [g(η) = F y [F [f() g(y) = F [f() F [g(η) F [f(x) g(y) (, η), φ(, η) = f(x) g(y), F [φ(x, y) = = f(x) g(y), F η F [φ(, η)(x, y) = = f(x), g(y), F η F [φ(x, y) = = f(x), F η [g(y), F [φ(x, η) =. = f(x) F [g, F [φ = = F x [f(x) F [g(y)(η), φ = = F [g(η), f(x), F [φ(x, y) = = F [g(η), F [f(, η), φ = F [f() F [g(η), φ(, η) Obraz fourierowski dystrybucji o zwartym nośniku Niech f będzie dystrybucją o zwartym nośniku. Jej obraz fourierowski istnieje, jest klasy Θ M i wyraża się wzorem: F [f() = f(x), η(x)e ix, gdzie η(x) dowolna funkcja z D równa w pewnym otoczeniu suppf. Obraz fourierowski splotu dystrybucji temperowanych Jeśli f S, a g dystrybucja o zwartym nośniku, wtedy: F [f g = F [g F [f f g S i f g, φ = f(x), g(y), η(y)φ(x + y), gdzie η D i η w otoczeniu nośnika g, czyli: Fourier image of a distribution with compact support Let f be a distribution with compact support. Its Fourier image exists, belongs to class Θ M and is given by the forumula: F [f() = f(x), η(x)e ix, where η(x) any function from D equal to in some neighborhood of suppf. Fourier image of a convolution If f S, and g is distribution with compact support, then F [f g = F [g F [f f g S and f g, φ = f(x), g(y), η(y)φ(x + y), where η D and η in the neighborhood of support g, therefore:
Drugi 9 Second F [f g(), φ() = (f g)(x), F [φ()(x) = = f(x), g(y), η(y) φ()e i(x+y) d = g, = f(x), η(y)e iy e ix φ()d = = f, F [g()φ()e ix d = = f, F [F [gφ = F [f, F [gφ = F [g F [f, φ Ważne wzory F [δ(x x 0 ) = e ix0 Important formulas F [δ(x x 0 ) = e ix0 F [δ(x) = δ = F [ = (2π) n F [ F [ = (2π) n δ() F [δ(x) = δ = F [ = (2π) n F [ F [ = (2π) n δ() Przykłady obliczania transformaty Fouriera (n = ) Przykład Calculating the Fourier transform examples (n = ) Example R F [Θ(R x ) () = e ix dx = [ e ir e ir = R i i R (cos R + i sin R cos R + i sin R) = 2sin, lub bardziej formalnie: or formally: F [Θ(), φ() = Θ(R x, F [φ(x) = = R R R F [φ(x)dx = dx = de ix φ() = R = dφ() 2i sin R = sinr 2 φ()d = 2 sinr, φ()
Drugi 0 Second Przykład 2 Example 2 [ F e α2 x 2 () = e α2 x 2 e ix dx = = e σ2 + i α σ dσ = α = i (σ+ e 2α )2 2 4α α 2 dσ = = [ ( 2 e 4α α 2 exp σ + i ) 2 ( ) π 2 dσ = 2α α exp 4α 2 Na funkcjach próbnych: On test functions: [ F e α2 x 2, φ = e α2 x 2, F [φ(x) = = e α2 x 2 dx dφ()e ix = ( ) = d e α2 x 2 π e ix 2 φ() = α exp 4α 2, φ() Przykład 3 Example 3 [ F e ix2 = e ix2 +ix dx = = e i(x+ 2 )2 i 4 2 dx = + = e i 4 2 2 + 2 e ix2 dx = πe i 4 (2 π), gdzie wykorzystano eiφ2 dy = πe iπ 4. Przykład 4 F [Θ() = ( e ix dx = 0 i e i ) - nie istnieje. ax a +0 Wykorzystajmy: Θ(x)e Θ(x), a > 0 F [Θ(x)e ax = 0 e ix ax dx = i a (0 ) = podobnie: F [Θ( x)() = πδ() ip i ia = i a +0 πδ()+ip + ia where we used eiφ2 dy = πe iπ 4. Example 4 F [Θ() = ( e ix dx = 0 i e i ) - does not exist. ax a +0 Let us use: Θ(x)e Θ(x), a > 0 F [Θ(x)e ax = 0 e ix ax dx = i a (0 ) = similarly: F [Θ( x)() = πδ() ip i ia = i a +0 πδ()+ip + ia
Drugi Second Przykład 5 [ F P x () = 2C 2 ln, gdzie C stała Eulera i P x P x, φ C = 0 df = cos u u x < du φ(x) φ(0) x cos u u du, + x > są zdefiniowane jako: φ(x) x dx. Example 5 [ F P x () = 2C 2 ln, where C Euler s constant and P x are defined as: P x, φ C = 0 df = cos u u x < du φ(x) φ(0) x cos u u du, + x > φ(x) x dx. [ F P, φ = P x x, F [φ F [φ(x) F [φ(0) F [φ(x) = dx + dx = x x > x = φ()(e ix )ddx + φ()e ix ddx = x x > x 0 = φ()(e ix )ddx + φ()(e ix )ddx+ 0 x x + φ()e ix ddx + φ()e ix ddx = x x 0 = φ()(e ix )ddx + φ()(e ix )d( dx)+ 0 x x + φ()e ix ddx + φ()e ix d( dx) = x x = φ()(e ix e ix )ddx+ 0 x cos x cos x + 2 φ() ddx + 2 φ() ddx = x x 0 = 2 φ() = 2 = 2 = 2 0 cos x ddx 2 x cos u φ() dud 2 φ () 0 u [ cos u φ() du + 0 u ( φ()cd + 2 φ() u φ sin x () x 2 ddx = sin x x 2 dx ) du = 2 sin x x 2 dxd = d = φ() [C + ln d
Drugi 2 Second Przykład 6 Pokazaliśmy już, że δ(x 2πk) = 2π k= F [δ(x x 0 )() = e ix0. e ikx, Example 6 We have already shown that: δ(x 2πk) = 2π k= F [δ(x x 0 )() = e ix0. e ikx, Wykażemy, że (wzór Poissona): 2π φ(2πk) = F [φ(k) Let us show that (Poisson formula): 2π φ(2πk) = F [φ(k). 2π δ(x 2πk) = F [δ( k)(x) 2π δ(x 2πk), φ(x) = 2π φ(2πk) F [δ(x k), φ = δ(x k), F [φ = F [φ(k) Przykłady obliczania trasformaty Fouriera (n 2) Calculating the Fourier transform examples (n 2) Przykład δ SR warstwa prosta na sferze S R IR 3. Example F [δ SR (x) (), φ() = δ SR (x), F [φ(x) = = F [φ(x)ds x = S R = R 2 S e irs φ(s)ds = = R 2 π 0 2π 0 δ SR simple layer on a sphere S R IR 3. dθdφe ir cos θ sin θφ(r)d = 2 sin R = 4πR φ(r)d(r)/r = sin R = 4πR φ(r)
Drugi 3 Second 3. Rozwiązania podstawowe. Problem Cauchy ego 3.. Rozwiązania podstawowe Niech: m a α (x) D α u = f (x) f D, czyli mamy równanie liniowe cząstkowe, rzędu m ze współczynnikami a α C (IR n ) Przykład a 000 (x) D (000) u + a 00 (x) D (00) u + a (x) D () u + a 003 (x) D (003) u = f (x) 3. Fundamental solutions. Cauchy problem 3.. Fundamental solutions Let: m a α (x) D α u = f (x) f D. We thus have a linear partial differential equation of the order m with coefficients a α C (IR n ) Example a 000 (x) D (000) u + a 00 (x) D (00) u + a (x) D () u + a 003 (x) D (003) u = f (x) Zatem: a 000 (x) = x x 2 x 3 a 00 (x) = x 2 + x 3 3 a (x) = x 3 + x 7 2 a 003 (x) = x 2 + x 3 + x Skróćmy zapis operatora: wtedy otrzymujemy: Therefore: a 000 (x) = x x 2 x 3 a 00 (x) = x 2 + x 3 3 a (x) = x 3 + x 7 2 a 003 (x) = x 2 + x 3 + x x x 2 x 3 u (x, x 2, x 3 ) + ( x 2 + x 3 ) 3 u (x, x 2, x 3 ) + ( x 3 + x 7 ) 3 2 u (x, x 2, x 3 ) + (x 2 + x 3 + x ) 3 x x x 2 x 3 x 3 u (x, x 2, x 3 ) = sin x + cos x 2 x 3 3 L (x, D) = a α (x) D α u = f (x), L (x, D) u = f (x) w D (IR n ). ( ) Let us shorten the notation used for the operator: L (x, D) = a α (x) D α u = f (x), obtaining: L (x, D) u = f (x) in D (IR n ). ( )
Drugi 4 Second Definicja Rozwiązaniem uogólniającym (dystrybucyjnym) równania ( ) w obszarze G nazywamy każdą dystrybucję u D, która w obszarze G spełnia równanie ( ), tzn.: L (x, D) u, φ = f, φ. ( ) φ D Równanie ( ) jest równoważne równaniu: gdzie φ D u, L (x, D) φ = f, φ, L (x, D) φ = ( ) ( ) α D α (a α φ) Definition A generalized (distributional) solution of an equation ( ) in G is any distribution u D, which satisfies the equation ( ) in G, i.e.: φ D L (x, D) u, φ = f, φ. ( ) Equation ( ) is equivalent to the equation: where φ D u, L (x, D) φ = f, φ, L (x, D) φ = ( ) ( ) α D α (a α φ) m L (x, D) u, φ = a α D α u, φ = D α u, a α φ = u, D α (a α φ) ( ) α = u, ( ) α D α df. (a α φ) = u, L (x, D) φ Jeśli f C (G) i rozwiązanie dystrybucyjne u (x) równania ( ) w obszarze G jest klasy C m (G), to jest ono rozwiązaniem klasycznym ( ). Niech L będzie operatorem o stałych współczynnikach a α (x) = a α = const L (D) = a α D α, L (D) = L ( D) ( ) Definicja Rozwiązaniem fundamentalnym (funkcją Greena, funkcją wpływu) operatora L danego wzorem ( ) nazywamy dowolną dystrybucję E D (IR n ) spełniającą to znaczy L (D) E = δ (x) φ D (IR n ) L (D) E, φ = φ (0) If f C (G) and the distributional solution u (x) of equation ( ) in G belongs to the class C m (G), then it is a classical solution of ( ). Let L be an operator with constant coefficients a α (x) = a α = const L (D) = a α D α, L (D) = L ( D) ( ) Definition A fundamental solution (Green s function), of an operator L given by the formula ( ) is any distribution E D (IR n ) that satisfies that is L (D) E = δ (x) φ D (IR n ) L (D) E, φ = φ (0)
Drugi 5 Second Uwaga E (x) nie jest wyznaczane jednoznacznie. Niech E 0 (x) spełnia równanie jednorodne LE 0 = 0, wtedy E (x) + E 0 (x) jest też rozwiązaniem podstawowym dla operatora L (D) L (D) (E + E 0 ) = L (D) E + L (D) E 0 = δ (x) + 0 = δ (x) E ρ jest rozwiązaniem podstawowym dla operatora L (D) (o stałych współczynnikach) gdy F [E spełnia w ρ równanie: gdzie L ( i) F [E =, L () = a α α Niech E ρ i spełnia równanie L (D) E = δ (x), wtedy obrazy fourierowskie obu stron też są sobie równe: F [L (D) E = F [δ ( ) F a α D α E = a α F [D α E = a α ( i) α F [E = } {{ } L( i) L ( i) F [E = Niech E ρ spełnia ( ), wtedy spełnia również F [L (D) E =, stosując do obu stron F otrzymujemy: L (D) E = δ (x) C.N.O. Note E (x) cannot be determined uniquely. Let E 0 (x) satisfy the homogeneous equation LE 0 = 0, then E (x) + E 0 (x) is also a fundamental solution for the operator L (D) L (D) (E + E 0 ) = L (D) E + L (D) E 0 = δ (x) + 0 = δ (x) E ρ is a fundamental solution for the operator L (D) (with constant coefficients) when F [E satisfies the equation: in ρ, where L ( i) F [E = ( ) L () = a α α Let E ρ and let it satisfy the equation L (D) E = δ (x), then the Fourier images of both sides are also equal: F [L (D) E = F [δ F a α D α E = a α F [D α E = a α ( i) α F [E = } {{ } L( i) L ( i) F [E = Let E ρ satisfy ( ), then it also satisfies F [L (D) E =, operating F on both sides, we obtain: L (D) E = δ (x) Q.E.D.
Drugi 6 Second Wnioski Powyższe twierdzenie sprowadza problem znalezienia E z klasy ρ równania liniowego o stałych współczynnikach do rozwiązania równania algebraicznego: P () X = czyli transformatą każdego rozwiązania z E (jeśli istnieje) jest dystrybucja regularna P () poza zbiorem N p zer wielomianu P (): N p = {, P () = 0} jeśli N p =, to rozwiązanie jest jednoznaczne jeśli N p, to rozwiązanie jest niejednoznaczne (z dokładnością do dystrybucji o nośniku N p Przykład Jeśli X =, to F [E może być:, + i0 }{{} P iπδ, P i0 }{{} P +iπδ (czyli różniące się między sobą o δ () ) Jeśli nośniekiem dystrybucji f jest zbiór jednopunktowy {0}, to wyraża się ona jednoznacznie jako: f (x) = C α D α δ (x). Hörmandera Równanie P () X = jest zawsze rozwiązywalne w ρ (w sensie dystrybucyjnym tzn. P () X (), φ () =, φ ()). W naszym przypadku mamy P () = L ( i) - wielomian, a X () = F [E () - transformata rozwiązania. Conclusions The above theorem reduces the problem of finding E from the class ρ for a linear equation with constant coefficients to solving the following algebraic equation: P () X = therefore the transform of each solution from E (if it exists) is a regular distribution P () except for the set N p of the zeros of the polynomial P (): N p = {, P () = 0} if N p =, then the solution is unique if N p, then the solution is not unique (modulo a distribution with a support N p ). Example If X =, then F [E can be:, + i0 }{{} P iπδ, P i0 }{{} P +iπδ (they differ by δ () ) If the support of a distribution f is the single-point set {0}, then it is uniquely determined as: f (x) = C α D α δ (x). Hörmander s theorem The equation P () X = is always solvable in ρ (in the distribution sense, i.e. P () X (), φ () =, φ ()). In this case, we have P () = L ( i) - a polynomial, and X () = F [E () - a transform of the solution.
Drugi 7 Second Oznaczmy przez reg P () jakiekolwiek rozwiązanie P () X = w ρ. Transformatą rozwiązania E (podstawowego dla operatora L (D) o stałych współczynnikach jest więc: F = reg L ( i) Wniosek Każdy operator liniowy różniczkowy o stałych współczynnikach ma rozwiązanie podstawowe powolnego wzrostu (temperowane) dane wzorem: [ E = F reg = [ L ( i) (2π) n F reg L (i) Równania niejednorodne Rozważmy równanie niejednorodne postaci: L (D) u = f (x) Niech f D (IR) n będą takie, że splot E f istnieje w D (IR) n. Wtedy rozwiązanie równania L (D) u = f istnieje w D i wyraża się wzorem: u = E f Jest ono jednoznacze w klasie tych funkcji uogólnionych z D, dla których istnieje w D splot z E (z rozwiązaniami podstawowymi). L (D) (E f) = a α D α (E f) = a α D α E f = L (D) E f = δ f = f czyli E F jest rozwiązaniem L (D) u = f C.N.O Jednoznaczność: Niech L (D) u = f i L (D) u 2 = f u u 2, wtedy u u 2 spełnia L (D) (u u 2 ) = 0. Pokażemy, że rozwiązaniem L (D) u = 0 jest tylko u = 0, czyli u = u 2 wbrew założeniu. u = u δ = u L (D) E = L (D) u E = 0 u = 0 u = u 2 w D Let s denote by reg P (), any solution P () X = in ρ. The transform of the solution E (fundamental for the operator L (D) with constant coefficients is therefore: F = reg L ( i) Conclusion Every linear differential operator with constant coefficients has a fundamental tempered solution given by the formula: [ E = F reg = [ L ( i) (2π) n F reg L (i) Non-homogeneous equations Let us consider the following non-homogeneous equation: L (D) u = f (x) Let f D (IR) n be such that the convolution E f exists in D (IR) n. Then a solution of the equation L (D) u = f exists in D and is given by the formula: u = E f It is unique in the class of those generalized functions from D, for which a convolution from E (along with fundamental solutions) exists in D. L (D) (E f) = a α D α (E f) = a α D α E f = L (D) E f = δ f = f therefore E F is the solution of L (D) u = f Q.E.D Uniqueness: Let L (D) u = f and L (D) u 2 = f u u 2, then u u 2 satisfies L (D) (u u 2 ) = 0. We will demonstrate that u = 0 is the only solution of L (D) u = 0, therefore u = u 2, which contradicts the assumption. u = u δ = u L (D) E = L (D) u E = 0 u = 0 u = u 2 in D
Drugi 8 Second 3.2. Rozwiązania podstawowe ważniejszych operatorów. czyli d n L = dn dt n + a dt n +... + a n LE = E (n) + a E (n ) +... + a n E + a n E = δ (t) Sprawdziliśmy, że E (t) = Θ (t) Z (t), gdzie Z (t) spełnia LZ = 0 W szczególności: Z (0) = Z (0) =... = Z (n 2) = 0, Z (n ) (0) = L = d + a, wtedy E (t) = Θ (t) e at dt L = d2 dt 2 + sin at a2, wtedy E (t) = Θ (t) a 2. operator przewodnictwa cieplnego E t a2 E = δ (x, t) E (x, t) = ( Θ (t) ) 4 e x 2 4a 2 t 2a πt Rozważmy transformatę równania podstawowego względem x-ów: [ F x E a 2 F x [ E = F x [δ (x, t, ) t Mamy: [ E F x = t t F x [E F x [ = }{{} 2 F x [E ( i) 6 = 2 = 2 + 2 2 + 2 3 3.2. Fundamental solutions of important operators. therefore d n L = dn dt n + a dt n +... + a n LE = E (n) + a E (n ) +... + a n E + a n E = δ (t) We verified that E (t) = Θ (t) Z (t), where Z (t) satisfies LZ = 0 In particular: 2. thermal conductivity operator Z (0) = Z (0) =... = Z (n 2) = 0, Z (n ) (0) = L = d + a, then E (t) = Θ (t) e at dt L = d2 dt 2 + sin at a2, then E (t) = Θ (t) a E t a2 E = δ (x, t) E (x, t) = ( Θ (t) ) 4 e x 2 4a 2 t 2a πt Let us consider a transform of the fundamental equation with respect to x-s: [ F x E a 2 F x [ E = F x [δ (x, t, ) t We have: F x [ E t = t F x [E F x [ = }{{} 2 F x [E ( i) 6 = 2 = 2 + 2 2 + 2 3 F x [δ (x, t) = F x [δ (x) δ (t) = δ (t) = δ (t) F x [δ (x, t) = F x [δ (x) δ (t) = δ (t) = δ (t)
Drugi 9 Second czyli: Ẽ (, t) + a 2 2 Ẽ (, t) = δ (t), Ẽ (, t) = F x [E (, t) t Ẽ (, t) = Θ (t) e a2 2 t therefore: Ẽ (, t) + a 2 2 Ẽ (, t) = δ (t), Ẽ (, t) = F x [E (, t) t Ẽ (, t) = Θ (t) e a2 2 t E (x, t) = F [Ẽ (, t) = Θ (t) (2π) 4 e a2 2 t i(,x) d = ( Θ (t) ) ) 4 exp ( x 2 2a πt 4a 2 t E (x, t) = F [Ẽ (, t) = Θ (t) (2π) 4 e a2 2 t i(,x) d = ( Θ (t) ) ) 4 exp ( x 2 2a πt 4a 2 t 3. równanie falowe (d Alemberta) 2 E t 2 a2 E = δ (x, t) E (x, t) = 2aΘ (at x ) E 2 (t) = Θ(at x ) 2πa a 2 t 2 x 2 E 3 (t) = Θ(t) 2πa δ ( a 2 t 2 x 2) Rozważmy transformatę Fouriera równania d Alemberta: n = 3: oraz Jak działa E 3? 2 Ẽ n (, t) t 2 + a 2 2 Ẽ n (, t) = δ (t) Ẽn (, t) = Θ (t) sin a t a E n (x, t) = F [Ẽn (, t) = Θ (t) F E 3, φ = 4πa 2 [ sin a t F = 4πat δ S at (x) [ sin a t a E 3 (x, t) = Θ (t) 4πa 2 t δ S at Θ (t) 2πa δ ( a 2 t 2 x 2) 0 δ at, φ dt t = 4πa 2 φ (x, t) ds x dt 0 t S at 3. wave (d Alembert s) equation 2 E t 2 a2 E = δ (x, t) E (x, t) = 2aΘ (at x ) E 2 (t) = Θ(at x ) 2πa a 2 t 2 x 2 E 3 (t) = Θ(t) 2πa δ ( a 2 t 2 x 2) Let us consider the Fourier transform of d Alembert s equation: n = 3: and 2 Ẽ n (, t) t 2 + a 2 2 Ẽ n (, t) = δ (t) Ẽn (, t) = Θ (t) sin a t a E n (x, t) = F [Ẽn (, t) = Θ (t) F How does E 3 act? E 3, φ = 4πa 2 [ sin a t F = 4πat δ S at (x) [ sin a t a E 3 (x, t) = Θ (t) 4πa 2 t δ S at Θ (t) 2πa δ ( a 2 t 2 x 2) 0 δ at, φ dt t = 4πa 2 φ (x, t) ds x dt 0 t S at
Drugi 20 Second Było sin R F [δ Sk = 4πR W naszym przypadku mamy R = at, zatem: sin at 4πat = F [δ at ( a sin at 4πat = 4πa a) 2 sin at t a F [ 4πa 2 t F [ sin at a sin at a = δ at = 4πa 2 t δ at n = 2 mieliśmy (bez dowodu), że: [ Θ (R x ) sin R F = 2π R2 x 2 We established that In our case R = at, therefore: sin R F [δ Sk = 4πR sin at 4πat = F [δ at ( a sin at 4πat = 4πa a) 2 sin at t a F [ 4πa 2 t F [ sin at a sin at a = δ at = 4πa 2 t δ at For n = 2 we established (without proof) that: [ Θ (R x ) sin R F = 2π R2 x 2 Mamy R = at, zatem: F [ Θ (at x ) sin at = 2π a2 t 2 x 2 We have R = at, therefore: [ F Θ (at x ) = 2π a2 t 2 x 2 sin at Trzeba odwrócić (n = 2) F [ sin at a We need to invert (n = 2) F [ sin at a czyli therefore E 2 (x, t) = Θ (at x ) a2 t 2 x 2 E 2 (x, t) = Θ (at x ) a2 t 2 x 2 n = było: For n = we had: sin R F [Θ (R x ) = 2 sin R F [Θ (R x ) = 2 Tu R = at, zatem: Here R = at, therefore: sin at F = [Θ (at x ) = 2 sin at F = [Θ (at x ) = 2 E (x, t) = Θ (at x ) 2a E (x, t) = Θ (at x ) 2a
Drugi 2 Second W D (IR n ) mamy: In D (IR n ) we have: E n (x, t) t 0+ 0 E n t t 0 + δ (x) 2 E n t 2 + t 0 0 E n (x, t) t 0+ 0 E n t t 0 + δ (x) 2 E n t 2 + t 0 0 Dla n = 3: E 3 (x, t), φ (x) = u (t) 4πa 2 t E3 (x, t) t φ (x) ds = u (t) t S ats 4π, φ (x) = d [ t φ (ats) ds dt 4π S I φ (ats) ds t 0 + 0 S I bo t 0 + ale t > 0 = Iφ (ats) ds + t d φ (ats) ds = 4πφ (0+ ) = δ, φ 4π S 4π dt S I 4π 2 E 3 (x, t) t 2, φ (x) = 2π 4. operator Laplace a Sprawdziliśmy, że: d φ (ats) ds + t dt S I 4π E n = δ (x) E 2 (x) = ln (x) 2π E 3 (x) = 4π x d 2 dt 2 5. operator Helmholtza ( + k 2 ) E 3 = δ (x) n = 3 + φ (ats) ds t 0 0 S I For n = 3: E 3 (x, t), φ (x) = u (t) 4πa 2 t E3 (x, t) t φ (x) ds = u (t) t S ats 4π, φ (x) = d [ t φ (ats) ds dt 4π S I φ (ats) ds t 0 + 0 S I since t 0 + but t > 0 = Iφ (ats) ds + t d φ (ats) ds = 4πφ (0+ ) = δ, φ 4π S 4π dt S I 4π 2 E 3 (x, t) t 2, φ (x) = 2π 4. the Laplace operator We verified that: d φ (ats) ds + t dt S I 4π E n = δ (x) E 2 (x) = ln (x) 2π E 3 (x) = 4π x d 2 dt 2 5. Helmholtz operator ( + k 2 ) E 3 = δ (x) n = 3 + φ (ats) ds t 0 0 S I Sprawdziliśmy, że: E 3 (x) = e± ik x 4π x We verified that: E 3 (x) = e± ik x 4π x