1. Bryły Tradycyjna futbolówka jest zszyta z 3232 kawałków. Gdybyśmy ją rozcięli, ujrzelibyśmy siatkę dwudziestościanu ściętego. Kulisty kształt piłka otrzymuje dzięki wypełnieniu sprężonym powietrzem. Dwudziestościan ścięty powstaje z dwudziestościanu foremnego przez odcięcie naroży i jest jednym z wielościanów archimedesowych (półforemnych). W każdym z wierzchołków wielościanu archimedesowego spotyka się taka sama liczba ścian, które są wielokątami foremnymi, ale ściany te nie muszą być jednakowe. Jeśli ściany są takie same, to wielościan nazywamy platońskim (foremnym). Z jakich wielokątów foremnych jest zbudowana piłka nożna? Ile wielokątów foremnych spotyka się w jednym wierzchołku piłki? Z jakich wielokątów foremnych składa się każda z przedstawionych brył platońskich? Ile wielokątów zbiega się w jednym wierzchołku każdej z przedstawionych brył platońskich? Czy można zbudować bryłę z samych sześciokątów foremnych?
Czy pamiętasz? Zadanie 1. Rozpoznaj wśród poniższych brył ostrosłupy i graniastosłupy. Zadanie 2. Narysuj w zeszycie: 1. ostrosłup prawidłowy trójkątny oraz jego siatkę, 2. ostrosłup prawidłowy czworokątny oraz jego siatkę, 3. graniastosłup prawidłowy sześciokątny oraz jego siatkę. Zadanie 3. Jak nazywa się: 1. graniastosłup, który ma 9 ścian; 2. graniastosłup, który ma 12 wierzchołków; 3. ostrosłup, który ma 16 krawędzi? Zadanie 4. Wyraź: 1. 180 dm 3 w cm 3, litrach, 2. 0,5 cm 3 w m 3, dm 3, m 3, 3. 2 m 3 w cm 3, dm 3, litrach, 4. 0,03 dm 3 w mm 3, cm 3, m 3. Zadanie 5. Oblicz długość krawędzi sześcianu o objętości równej 27 cm 3.
Zadanie 6. Oblicz długość krawędzi sześcianu o polu powierzchni całkowitej równym 25 cm 2. Zadanie 7. Do akwarium o polu podstawy 650 cm 2 wlano 13 litrów wody. Oblicz, na jaką wysokość sięga woda. Zadanie 8. Oblicz długości odcinków oznaczonych literami. Zadanie 9. Oblicz pole wycinka kołowego o promieniu, wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze. Zadanie 10. Wyznacz promień okręgu, w którym kąt środkowy o mierze jest oparty na łuku długości π.
1.1. Graniastosłupy W tym temacie dowiesz się: jak obliczać długości odcinków zawartych w graniastosłupach, co to jest przekątna graniastosłupa, jakie są charakterystyczne kąty w graniastosłupach. Na poniższych rysunkach zaznaczona jest przekątna ściany bocznej oraz przekątna podstawy w dwóch graniastosłupach. Przekątna ściany bocznej (lub podstawy) to odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa i należący do jego ściany (lub podstawy), ale niebędący krawędzią. Graniastosłup prosty to graniastosłup, którego wszystkie ściany boczne są prostopadłe do płaszczyzny podstawy. PRZYKŁAD 1. Obliczmy długość zaznaczonej przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prostego przedstawionego na rysunku.
ROZWIĄZANIE Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Każda ściana boczna graniastosłupa prostego jest prostokątem, zatem trójkąt ABC jest trójkątem prostokątnym. Wobec tego (z twierdzenia Pitagorasa): Odpowiedź: Długość zaznaczonej przekątnej wynosi. ĆWICZENIE 1 Oblicz długość zaznaczonej przekątnej ściany bocznej graniastosłupa prostego przedstawionego na rysunku.
Przekątną graniastosłupa nazywamy odcinek łączący dwa wierzchołki graniastosłupa, który nie należy do żadnej ze ścian graniastosłupa. Graniastosłup trójkątny nie ma przekątnych. PRZYKŁAD 2. Obliczmy długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach 3 4 6. ROZWIĄZANIE Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że trójkąt ABCABC jest prostokątny. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i zapisujemy równanie:
Trójkąt ACG również jest trójkątem prostokątnym, stąd: Odpowiedź: Przekątna tego prostopadłościanu ma długość. ĆWICZENIE 2 Oblicz długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach. Graniastosłup prawidłowy to graniastosłup prosty, który ma w podstawie wielokąt foremny. PRZYKŁAD 3. Obliczmy długość zaznaczonej na rysunku przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy 4 i wysokości 6.
ROZWIĄZANIE Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Zauważmy, że A, B, C to trzy wierzchołki prostokąta, w którym jeden z boków jest wysokością (krawędzią boczną) graniastosłupa, a drugi bok jest przekątną podstawy tego graniastosłupa. Krótsza przekątna sześciokąta foremnego składa się z dwóch wysokości trójkąta równobocznego. Trójkąt ABC jest prostokątny, stąd:
Odpowiedź: Przekątna tego graniastosłupa ma długość. ĆWICZENIE 3 Oblicz długość przekątnej dd graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego przedstawionego na rysunku. Kąty w graniastosłupach Na poniższych rysunkach zostały zaznaczone charakterystyczne kąty w prostopadłościanie. Takie kąty możemy też znaleźć w innych graniastosłupach. Wzór na objętość graniastosłupa: V=Pp H V objętość Pp pole podstawy H wysokość Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa: Pc=2Pp+Pb Pc pole powierzchni całkowitej Pp pole podstawy Pb pole powierzchni bocznej
PRZYKŁAD 4. Obliczmy objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na rysunku. ROZWIĄZANIE ĆWICZENIE 4 Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego przedstawionego na rysunku.
Zadania
7. Zosia i Bartek obliczali długość przekątnej prostopadłościanu o wymiarach 1 2 3. Każde z nich wykonało inny rysunek i zapisało inne równanie. Jaką długość ma przekątna tego prostopadłościanu? Dokończ obliczenia Zosi i Bartka. 8. Niektóre ściany prostopadłościanu mają wymiary 6 cm 8 cm, a inne 4 cm 6 cm. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego prostopadłościanu. 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej i długość przekątnej sześcianu, którego objętość wynosi 125. 10. Oblicz objętość i długość przekątnej sześcianu, którego pole powierzchni całkowitej wynosi 12. 11. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 4 cm, jeśli długość jego przekątnej wynosi 12 cm. 12. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość podanego graniastosłupa prostego.
13. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego: a) czworokątnego o krawędzi podstawy 3 i wysokości 5, b) trójkątnego podstawy 2 i wysokości 4, c) sześciokątnego o krawędzi podstawy o krawędzi 4 i wysokości 5. 14. Na środku prostokątnego balkonu leży okruszek chleba. Na balustradzie balkonu usiadły dwa ptaki, gołąb na rogu, a wróbel w połowie krótszej krawędzi balustrady. Oblicz, jak daleko od okruszka chleba jest gołąb, a jak daleko wróbel. 15. W pomieszczeniu o kształcie sześcianu znajdują się mucha oraz kanarek, który na nią poluje. Jaką najkrótszą drogę musi przebyć kanarek, aby złapać muchę? 16. W narożach placu o kształcie kwadratu i wymiarach 30 m 30 m stoją dwie latarnie o wysokościach 6 m i 13 m. Oblicz odległość między czubkami tych latarni. 17. Objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o wysokości 12 wynosi. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa. 18. Stosunek długości krawędzi podstawy do wysokości pewnego graniastosłupa prawidłowego jest równy 1:3, a pole jednej ściany bocznej wynosi 21. Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.
19. Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 6 cm jest nachylona do krawędzi podstawy pod kątem. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. 20. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa, którego siatkę przedstawiono na rysunku. 21. Oblicz długości przekątnych graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, którego krawędź podstawy jest równa 3, a wysokość 8. 22. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona pod kątem do przekątnej podstawy. Wiadomo, że krawędź podstawy ma długość 5. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa oraz jego objętość. 23. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest nachylona pod kątem do przekątnej podstawy. Wysokość graniastosłupa ma długość. Oblicz długość przekątnej tego graniastosłupa oraz jego pole powierzchni całkowitej. 24. Zapisz wzór na długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości x. 25. Oblicz objętość sześcianu o przekątnej długości 6. 26. Zapisz wzór na długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach długości x, y, z.
Czy już potrafisz?
Powtórzenie
Graniastosłupy zadania o podwyższonej trudności Zad.01 Oblicz objętość i pole powierzchni graniastosłupa, którego podstawą jest romb o przekątnych długości 6 cm i 8 cm, którego przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy kąt o mierze. Zad.02 Z czterech ołowianych sześcianów o przekątnej długości wykonano graniastosłup prawidłowy czworokątny o krawędzi podstawy długości 8. Oblicz długość przekątnej otrzymanego graniastosłupa. Zad.03 W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym powierzchnia boczna po rozwinięciu jest kwadratem o polu. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły. Zad.04 Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest 6 razy większe, od jego pola podstawy, a objętość tego graniastosłupa jest równa 12. Oblicz długość krawędzi podstawy oraz długość przekątnej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia. Zad.05 Graniastosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 cm i wysokości 10 cm przecięto płaszczyzną zawierającą wysokość podstawy i jedną z krawędzi bocznych. Jakie pole ma ten przekrój? Zad.06 Pole powierzchni bocznej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe, a pole jego powierzchni całkowitej wynosi. Oblicz długość krawędzi podstawy i długość przekątnej ściany bocznej tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia. Zad.07 Bryła przedstawiona na poniższym rysunku powstała przez wycięcie z graniastosłupa prostego trójkątnego innego graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryły. Zad.08 Na rysunku przedstawiono graniastosłup prosty o podstawie trójkąta prostokątnego i jego siatkę. Dwie dłuższe krawędzie podstawy graniastosłupa mają 12 cm i 13 cm długości, a pole zacieniowanej części siatki graniastosłupa jest równe. Oblicz objętość tego graniastosłupa. Zapisz obliczenia.
Rozwiązania Zad.01 Zaczynamy od rysunku. Ponieważ przekątne rombu są prostopadłe i dzielą się na połowy, jego bok jest równy Trójkąt jest prostokątny i jeden z jego kątów jest równy, zatem jest równoramienny. Czyli. Zatem objętość graniastosłupa jest równa (korzystamy ze wzoru na pole rombu). Obliczmy jeszcze pole powierzchni całkowitej. Odpowiedź: Zad.02 Przekątna sześcianu o krawędzi długości ma długość (można to łatwo wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa). Mamy zatem równanie Tak więc dane sześciany mają krawędź długości 4 i opisany graniastosłup powstaje przez sklejenie wszystkich czterech sześcianów tak, aby miały wspólną krawędź. Długość przekątnej tego prostopadłościanu możemy obliczyć z trójkąta prostokątnego Odpowiedź: 12 Zad.03 Zacznijmy od szkicowego rysunku.
Z rysunku powinno być jasne, że wysokość graniastosłupa jest 4 razy większa od krawędzi podstawy i wynosi. Zatem. Teraz bez problemu liczymy objętość i pole powierzchni. Odpowiedź: Objętość:, pole powierzchni: Zad.04 Niech będzie długością krawędzi podstawy, a długością krawędzi bocznej graniastosłupa. Z podanych informacji mamy zatem Z pierwszego równania mamy. Wstawiamy to wyrażenie do drugiego równania. Stąd. Długość przekątnej graniastosłupa obliczamy korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Odpowiedź: Krawędź podstawy: 2, przekątna:. Zad.05 Zaczynamy od schematycznego rysunku. Widać, że otrzymany przekrój jest prostokątem o jednym boku długości 10, a drugim długości wysokości trójkąta równobocznego o boku 4, czyli Zatem pole przekroju jest równe Odpowiedź:
Zad.06 Szkicujemy graniastosłup. Skoro znamy pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej, to możemy obliczyć pole podstawy Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt foremny jest to figura składająca się z 6 trójkątów równobocznych, więc jeżeli przez oznaczymy długość jego boku, to korzystając ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy Obliczmy teraz z podanego pola powierzchni bocznej długość wysokości graniastosłupa. Długość przekątnej ściany bocznej obliczamy z trójkąta prostokątnego. Odpowiedź: Krawędź podstawy: 4, przekątna ściany bocznej:. Zad.07 Bryła przedstawiona na poniższym rysunku powstała przez wycięcie z graniastosłupa prostego trójkątnego innego graniastosłupa prostego. Oblicz pole powierzchni i objętość tej bryły. Policzmy najpierw objętość dużego graniastosłupa. Zanim policzymy pole powierzchni, obliczmy długość przeciwprostokątnej trójkąta w podstawie. Zatem pole powierzchni jest równe Obliczmy objętość wyciętej bryły
Zatem objętość bryły po wycięciu jest równa Pole powierzchni uległo następującej zmianie: wycięto dwa prostokąty o bokach 2 i 3 oraz trójkąt prostokątny, a dodano prostokąt o bokach 3 i oraz taki sam trójkąt jak wycięty. Zatem pole powierzchni zmienia się o Zatem jest równe: Odpowiedź: Objętość: 54, pole powierzchni: Zad.08 W podstawie graniastosłupa jest trójkąt prostokątny, więc trzecia krawędź podstawy graniastosłupa jest równa Wysokość graniastosłupa obliczymy z podanego pola zacieniowanego trapezu. Wysokość tego trapezu to długość dłuższej przyprostokątnej trójkąta w podstawie graniastosłupa, a jego podstawy mają długości i. Mamy zatem Objętość graniastosłupa jest więc równa Odpowiedź: