POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 76 Electrical Engineering 2013 Piotr FRĄCZAK* SYMULACJA ZAKŁÓCEŃ W UKŁADACH AUTOMATYKI UTWORZONYCH ZA POMOCĄ OBWODÓW ELEKTRYCZNYCH W PROGRAMACH MATHCAD I PSPICE Praca zawiera opis analityczny metodą zmiennych stanu (zapis macierzowy) obwodu elektrycznego. Jako zmienne stanu przyjęto prądy w cewkach i napięcie na kondensatorze. Zmienne stanu opisują określony układ automatyki. Wybrane układy automatyki wielowymiarowe poddane działaniu sygnałów zakłócających ujęto analitycznie układami równań różniczkowych pierwszego rzędu (zapis macierzowy). Sygnały zakłócające utworzono z funkcji trygonometrycznych i procedury rnd(x) programu Mathcad generującej liczby pseudolosowe o rozkładzie naturalnym. Obliczenia symulacyjne sygnałów wyjściowe wybranych układów automatyki z zakłóceniami wyznaczono w oparciu o ich opisy analityczne (układ równań różniczkowych pierwszego rzędu). Układ równań różniczkowych pierwszego rzędu rozwiązano numerycznie metodą równań różnicowych w programie Mathcad. Uzyskane wyniki obliczeń symulacyjnych sygnałów wyjściowych wybranego układu automatyki zweryfikowano w programie PSpice. Weryfikacja w programie PSpice polegała na stworzeniu schematu zastępczego danego obwodu elektrycznego stanowiącego układ automatyki i zadeklarowania odpowiedniej analizy. 1. WSTĘP Obwody elektryczne opisuje się między innymi układami n równań różniczkowych pierwszego rzędu (metoda zmiennych stanu) z czasem ciągłym. Układ n równań różniczkowych w zapisie wektorowo - macierzowym ma postać: x 1(t) a11 a12 L a1n x 1(t) b11 b12 L b1m u 1(t) x 2(t) a 21 a22 a 2n x 2(t) d b21 b22 b 2m u 2(t) L L = + (1) dt L L L L L L L L L L L x n (t) a n1 an2 L a nn x n (t) b n1 bn2 L bnm u m (t) Stąd w ujęciu uproszczonym d x (t) = A x (t) + B u (t) (2) dt * Uniwersytet Szczeciński.
242 Piotr Frączak gdzie A jest macierzą podstawową obwodu elektrycznego (macierz stanu układ automatyki), B jest macierzą wymuszeń obwodu elektrycznego (macierz wejść układ automatyki), x jest wektorem stanu (wektor stanu układ automatyki). Równanie (2) ujmujące opis obwodu elektrycznego w postaci macierzowej odpowiada określonej strukturze schematu blokowego (rys.1). Schemat blokowy zamieszczony na rys.1 stanowi układ automatyki. W układach automatyki x& (t) oznacz pochodną wektora stanu. Rys. 1. Struktura układu opisanego równaniem (2) 2. OPIS ANALITYCZNY WYBRANYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI Z SYGNAŁAMI ZAKŁÓCAJĄCYMI Klasyczne badanie układów automatyki w relacji: wejście sterujące wyjście lub wejście zakłócające wyjście nie ujmują bezpośrednio w całości obrazu dynamiki danego układu. Aby uzyskać całościowe ujęcie dynamiki danego układu, opisuje się go metodą zmiennych stanu. Metoda ta pozwala opisać stan układu automatyki w każdej chwili [4].Poniżej zamieszczono wybrane układy automatyki z uwzględnieniem sygnałów zakłócających i odpowiednio je opisano. 2.1. Działanie sygnału zakłócającego na wejście układy automatyki Dynamikę układu liniowego ciągłego stacjonarnego wielowymiarowego (rys. 2), w którym występuje oddziaływanie sygnałów zakłócenia na wejście układu ujmują równanie stanu (3) i równanie wyjścia układu (4). x& (t) = A x(t) + B u(t) + E z(t) (3) y(t) = C x (t) (4) n przy czym: x (t) - wektor stanu; u (t) - wektor wymuszeń; y (t) - m wektor odpowiedzi; z (t) -wektor sygnałów zakłócających; A - macierz stanu o wymiarze n n; B - macierz wejść o wymiarze n m;c - macierz wyjść o wymiarze l n ; E - macierz wejść sygnałów zakłócających o wymiarze n m. m l
Symulacja zakłóceń w układach automatyki utworzonych za pomocą... 243 Rys. 2. Schemat zastępczy układu automatyki z sygnałami zakłócającymi na wejściu 2.2. Działanie sygnału zakłócającego na wyjście układy automatyki Układ automatyki liniowy ciągły stacjonarny wielowymiarowy (rys. 3), w którym występuje oddziaływanie sygnałów zakłócenia na wejście układu ujmują równanie stanu (5) i równanie wyjścia układu (6). x& (t) = A x(t) + B u(t) (5) y(t) = C x(t) + H z (t) (6) przy czym: x (t), u (t), y (t), z(t) - wektory określone wzorami (3) i (4); A, B, C - macierze określone równaniami (3) i (4); H - macierz wyjść sygnałów zakłócających o wymiarze l m. Rys. 3. Schemat zastępczy układu automatyki z sygnałami zakłócającymi na wyjściu 2.3. Działanie sygnałów zakłócających na wejście i wyjście układu automatyki Dynamikę układu liniowego ciągłego stacjonarnego wielowymiarowego (rys. 4), w którym występuje oddziaływanie sygnałów zakłócenia na wejście i wyjście układu ujmują równanie stanu (7) i równanie wyjścia układu (8). x& (t) = A x(t) + B u(t) + E z(t) (7) y(t) = C x(t) + H z (t) (8)
244 Piotr Frączak przy czym: x (t), u (t), y (t), z(t) - wektory określone wzorami (3) i (4); A, B, C, E, H - macierze określone równaniami (3), (4), (6). Rys. 4. Schemat zastępczy (blokowy) układu automatyki z sygnałami zakłócającymi na wejściu i wyjściu 3. OBLICZENIA SYMULACYJNE UKŁADÓW AUTOMATYKI 3.1. Symulacja sygnałów wyjściowych układu automatyki utworzonego za pomocą obwodu elektrycznego w programie Mathcad Do obliczeń symulacyjnych sygnałów wyjściowych w układach automatyki utworzonych za pomocą obwodów elektrycznych wykorzystano obwód elektryczny, którego schemat zastępczy przedstawiono w programie PSpice i zamieszczono na rys. 5. Zamieszczony na rys. 5 obwód elektryczny opisano za pomocą praw Kirchhoffa stosownie do metody zmiennych stanu. Prawa Kirchhoffa dla oczek i węzłów mają postać: di 1(t) E R1 i 3(t) R2 i 1(t) L1 u c(t) = 0, i 3(t)= i 1(t)+i 2(t) dt (9) di 2(t) di 1(t) du c(t) 1 R i (t) L + u (t) + L + R i (t) = 0, = i (t) 3 2 2 c 1 2 1 1 dt dt dt C i (t)) w cewkach indukcyjnych i Jako zmienne stanu przyjęto prądy ( i 1 (t), 2 napięcie u c (t) na kondensatorze. W celu ujednolicenia oznaczeń podczas obliczeń numerycznych obwodów elektrycznych i układów automatyki zmienne stanu oznaczono następująco: x1(t) = i 1(t), x2(t) = i 2(t) oraz x3(t) = u c (t). Wprowadzając wymienione oznaczenia prądów i napięcia w rozpatrywanym obwodzie elektrycznym otrzymano układ trzech równań różniczkowych pierwszego rzędu w postaci macierzowej (10).
Symulacja zakłóceń w układach automatyki utworzonych za pomocą... 245 dx1(t) (R 1 + R 2 ) R1 1 dt L1 L1 L 1 1 0 x1(t) dx2(t) E R (R + R ) L 1 1 1 3 1 = A x2(t), 0, dt + B E A= B= L2 L2 0 L2 x3(t) dx3(t) 1 0 0 0 0 dt C (10) Rys. 5. Schemat zastępczy obwodu elektrycznego w programie PSpice dx(t) xn+ 1 xn Przyjmując oraz dokonując dyskretyzacji czasu z krokiem t dt t ( t= T / N; n= 0, 1,..., N; t = n t ) otrzymano równania różnicowe (11). end n dx1(t) dt dx2(t) 1 x1n+ 1 x1n x1n+ 1 x1n x1n E x2 x2 n 1 n, x2 x2 x2 t t + n+ 1 n n dt t = + A + B E (11) x3n 1 x3n x3n 1 x3n x3 dx3(t) + + n dt Obliczenia symulacyjne oparte o równania różnicowe (11) przeprowadzono w programie Mathcad.
246 Piotr Frączak Rys. 6. Symulacja sygnałów wyjściowych układu automatyki utworzonego za pomocą obwodu elektrycznego 3.2. Weryfikacja obliczeń zmiennych stanu obwodu elektrycznego stanowiącego sygnały wyjściowe układu automatyki w programie PSpice W celu sprawdzenia wyników obliczeń numerycznych zmiennych stanu (x1, x2, x3) obwodu elektrycznego (rys. 5) w programie Mathcad przeprowadzono dodatkowe obliczenia symulacyjne w programie PSpice. Obliczenia symulacyjne
Symulacja zakłóceń w układach automatyki utworzonych za pomocą... 247 w programie PSpice polegały na dołączeniu w chwili t = 0 (Sw tclose - wyłącznnik) napięcia stałego E = 10 V do rozpatrywanego obwodu elektrycznego oraz zadeklarowania odpowiedniej analizy. Wskutek dołączenia napięcia do obwodu elektrycznego w czasie t = 0 wystąpił w nim stan nieustalony. Stany nieustalone prądów i napięcia w obwodzie elektrycznym odpowiadają zmiennym stanu (x1, x2, x3). Stan nieustalony obwodu elektrycznego w programie PSpice ujmuje procedura Transient Analysis oraz parametry wyłącznika (Sw tclose).transient Analysis - Print Step = 7 us; Final Time = 0.7 us; No Print Deley = 0; Step Celling = 7 us. Sw tclose - tclose = 0; ttran = 0.01ns; Rclosed = 0.0001; Ropen = 1Meg. Obliczenia symulacyjne w programie PSpice prądów i napięcia będących odpowiednio zmiennymi stanu zamieszczono na rys. 7. W obu programach numerycznych Mathcad (rys.6) i PSpice (rys.7) uzyskano takie same wartości zmiennych stanu. Rys. 7. Symulacja sygnałów wyjściowych układu automatyki utworzonego za pomocą obwodu elektrycznego w programie PSpice 3.3. Symulacja obliczeń sygnałów wyjściowych układu automatyki z oddziaływaniem sygnałów zakłócających W celu dokonania obliczeń symulacyjnych sygnałów wyjściowych układu automatyki, który został utworzony z obwodu elektrycznego i podany działaniu sygnałów zakłócających na wejściu i wyjściu wykorzystano odpowiednio równania (7) i (8). Utworzono sygnały zakłócające z funkcji trygonometrycznych i liczb pseudolosowych o rozkładzie naturalnym. Równania (7) i (8) w zapisie numerycznym zaimplementowano w środowisko programu Mathcad.
248 Piotr Frączak Rys. 8. Symulacja sygnałów wyjściowych układu automatyki utworzonego za pomocą obwodu elektrycznego z oddziaływaniem sygnałów zakłócających na jego wejściu i wyjściu w programie Mathcad
Symulacja zakłóceń w układach automatyki utworzonych za pomocą... 249 PODSUMOWANIE Za pomocą obwodów elektrycznych można modelować układy automatyki. Układy automatyki opisane równaniami różniczkowym pierwszego rzędu można analizować metodą równań różnicowych w ujęciu procedur obliczeniowych programu Mathcad. Za pomocą procedur obliczeniowych programu Mathcad można dokonywać wizualizacji dynamiki układów automatyki z uwzględnieniem sygnałów zakłócających. LITERATURA [1] Frączak P.: Obliczenia numeryczne obwodów elektrycznych i układów cyfrowych, Szczecin, Wydawnictwo PPH,,Zapol Dmochowski, Sobczyk Sp.j. 2012, 173 s., ISBN 978-83-7518-432-7. [2] Król A., Moczko J.: PSpice Symulacja i optymalizacja układów elektronicznych, Wydawnictwo Nakom, Poznań 1999, ISBN 83-86969-28-8. [3] Palczewski W.: Mathcad 12,11, 2001i, 2000 w algorytmach, Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 2005, ISBN 83-87674-81-8. [4] Pełczewski W.: Teoria sterowania, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1980, ISBN 83-204-0187-9. SIMULATION OF INTERFERENCE AUTOMATION SYSTEM CREATED BY ELECTRICAL CIRCUIT PROGRAM MATHCAD I PSPICE The paper contains a description of the analytical method for the state variables (matrix notation) of circuit. As the state variables currents in the coils and the voltage across the capacitor has been adopted. State variables describe the specific automation system. Some automation systems which were subjected to multi-dimensional interference signals have been recognized analytically by systems of first-order differential equations (matrix notation). Spurious signals have been created with trigonometric functions and procedures rnd (x) in Mathcad program. These functions were generating pseudo-random numbers on a natural distribution. Output signals simulations of selected automation systems with the interference has been based on its analytical descriptions (first-order differential equations system). System of first-order differential equations has been solved numerically using the differential equations method in the Mathcad program. The results of simulation calculations of the output signals from the selected automation system have been verified in PSpice program. Verification in the PSpice program was to create equivalent circuit diagram constituting automation system and declare the appropriate analysis.