Model Dixita Stiglitza: ove of variety mgr eszek Wincenciak 9 lutego 2005 r. 1 Strona podażowa Zakłada się, że rynek charakteryzue monopolistyczna konkurenca pomiędzy N firmami, które dostarczaą różne odmiany dobra, będące niedoskonałymi substytutami. Pozwala to na pewną siłę monopolistyczną każde z firm, która może prowadzić własną strategię cenową. Każda z firm ustala cenę tak, by maksymalizować zysk, biorąc ceny pozostałych firm ako dane. Po drugie, każda firma ustalaąc własną cenę przymue założenie, że nie wpływa to na ogólny poziom cen na rynku (wpływ ten est pomialnie mały, eśli N est dostatecznie duże). Każda z firma ma dostęp do identyczne technologii (funkci produkci), która dana est następuąco: l i = f + mx i, (1) gdzie: l i oznacza ilość pracy potrzebną do wytworzenia x i ednostek i te odmiany, f stały nakład pracy (niezależny od wielkości produkci, np. ochrona, obsługa biurowa, itp.) oraz m zmienny nakład pracy. Zakłada się, że edynym czynnikiem produkci est homogeniczna, doskonale mobilna praca. Niech w oznacza wynagrodzenie siły robocze. Patrząc na postać funkci produkci, można się przekonać, że przeciętne koszty produkci maleą wraz ze wzrostem skali produkci. Każda z firm działaących na rynku maksymalizue swó zysk. max x i {Π i = p i i w(f + mx i )} (2) dπ i dp i = p i + x i wm = 0 dx i dx i ( p i 1 + x ) i dp i = wm p i dx i Zdefiniumy ε dx i p i dp i x i ako cenową elastyczność popytu. Wtedy warunek maksymalizaci zysku przybiera następuącą postać: ( p i 1 1 ) = wm (3) ε Każda firma posiadaąc pewną siłę monopolistyczną ustala pewną marżę powyże kosztów krańcowych (mark-up pricing). Jednak przy założeniu, że nie ma barier weścia i wyścia z rynku, istnienie dodatnich zysków przyciągnie nowych producentów. Ich weście na rynek będzie się odbywać aż do momentu, gdy zyski spadną do zera. Warunek ten wyznacza liczbę firm na Wersa uproszczona opracowana na podstawie: Charles van Marrewik, International Trade and the World Economy, Oxford University Press 2002
rynku w długim okresie. Policzmy aka est wielkość podaży każde z firm działaących na rynku w długookresowe równowadze. Π i = 0 p i i = w(f + mx i ) Podstawiaąc cenę wyliczoną z warunku (3), otrzymuemy: f(ε 1) x i = (4) m W równowadze długookresowe wielkość podaży każde odmiany dobra (wielkość produkci każde firmy) est ustalona i taka sama dla wszystkich firm!!! Wynik ten oznacza, że zmiany rozmiarów rynku odbywaą się przez poawianie się, bądź zanikanie pewnych odmian dóbr, nie oznacza to ednak zmiany podaży żadne z firm. Załóżmy, że est całkowitym zasobem pracy, akim dysponue gospodarka kraowa. Możemy policzyć akie est zatrudnienie w każde firmie oraz ile firm (N) utrzymue się na rynku w równowadze. f(ε 1) l i = f + m m = fε Ilość odmian produkowanych w równowadze wynosi zatem: N = l i = fε Wzrost zasobów pracy w gospodarce (np. przez połączenie się dwóch rynków) powodue, że liczba dostępnych odmian powiększa się. 2 Strona popytowa Zakłada się, że preference konsumentów odzwierciedlaą ich zamiłowanie do różnorodności (love of variety). Oznacza to, że nie tylko sama ilość konsumowanych ednostek poszczególnych dóbr ma znaczenia, ale przede wszystkich ich różnorodność. Użyteczność można przedstawić przy pomocy następuące funkci (funkca typu CES Constant Elasticity of Substitution): U = c ρ i oraz ρ (0, 1) (5) Wielkość konsumpci każde odmiany oznaczono przez c i. Parametr ρ określa zamiłowanie do różnorodności, czyli wagę, aką konsumenci przywiązuą do różnorodności odmian dostępnych na rynku. Można zauważyć, że gdy ρ = 1, konsumentom est oboętne, czy konsumuą 100 ednostek edne odmiany, czy po ednostce stu odmian. Funkca użyteczności może być wtedy zapisana ako N c i. Zakłada się zatem, że ρ < 1, aby dobra nie były doskonałymi substytutami. Z drugie strony ρ > 0, aby dobra nie były komplementarne. Cały dochód konsumenci wydaą na różne odmiany dobra (ograniczenie budżetowe): N p i c i = I (6) Zmaksymalizumy zatem użyteczność konsumentów przy powyższym ograniczeniu budżetowym. W tym celu buduemy funkcę agrange a: = c ρ i + λ [ I ] N p i c i 2
Warunki pierwszego rzędu: ) d 1 ρ dla = 1... N = c ρ i c ρ 1 = λp dc Podzielmy stronami ty warunek przez warunek dla = 1. c ρ 1 c ρ 1 = p 1 c = p1 p 1 c 1 (7) p 1 1 Zdefiniumy µ 1 i podstawmy wyrażenie (7) do ograniczenia budżetowego (6). Otrzymuemy popyt na pierwszą odmianę dobra (i każdą inną analogicznie): c 1 = p µ 1 P µ 1 I oraz P p 1 µ i ) 1 1 µ P określa indeks cenowy (exact price index). Można sprawdzić (choć wymaga to kilku żmudnych przekształceń), że U P = I. Dość łatwo można natomiast policzyć, ile wynosi cenowa elastyczność popytu: 1 dc dp p c = µp µ 1 P µ 1 I p µ P µ 1 I p = µ 1 Stąd wniosek, że cenowa elastyczność popytu wynosi, co est równe ε. Od czego zależy popyt na daną odmianę dobra? c = p ε P ε 1 I Na podstawie powyższego wzoru można wnioskować, że zależy on od następuących czynników: ceny -te odmiany uemnie; im wyższa cena dane odmiany, tym popyt na nią mnieszy; dochodu dodatnio; im wyższy dochód, tym popyt na daną odmianę większy; ceny pozostałych odmian dodatnio; im wyższa (mierzona indeksem) cena odmian substytucynych, tym większy popyt na -tą odmianę; parametru ε dodatnio; im większą wagę konsumenci przywiązuą do różnorodności (ρ i ε mniesze), tym niższy popyt na poedynczą odmianę. Ponieważ w długookresowe równowadze wszystkie firmy dostarczaą taką samą wielkość produkci oraz ustalaą takie same ceny, to konsumenci chcą w równowadze konsumować takie same ilości wszystkich odmian dobra. Co się dziee z użytecznością konsumentów, gdy rośnie liczba odmian dostępna na rynku? U = (Nc ρ = N 1 ρ c = N 1 ρ }{{ 1 } }{{} Nc love for claim on variety resources Ponieważ z przyętych założeń wynika, że ρ (0, 1) oznacza to, że wzrost liczby odmian dostępnych na rynku powodue wzrost użyteczności konsumentów. Możemy tu eszcze wyróżnić dwa efekty. Po pierwsze, użyteczność rośnie, ponieważ rosną dostępne zasoby (N c), a po drugie, użyteczność rośnie także dlatego, że konsumenci przywiązuą dużą wagę do faktu zróżnicowania dóbr: (N 1 ρ 1 ) est to akby efekt zewnętrzny funkconowania dużego rynku. 1 Oczywiście est tu ukryte założenie, że zmiana ceny poedyncze odmiany nie wpływa na indeks cenowy. Przy założeniu, że firm działaących na rynku est dostatecznie dużo, wydae się to dość realistyczne. (8) 3
3 Korzyści z handlu Przymimy, że mamy do czynienia z dwoma kraami, które charakteryzuą się takimi samymi technologiami, takimi samymi preferencami konsumentów i że edynym czynnikiem produkci est praca, które zasoby w obu kraach mogą być różne ( dla krau i dla zagranicy). Czy istnieą akieś powody, dla których wymiana handlowa między tymi kraami może przynieść korzyść obu kraom? Istnieą! Przyrzymy się równowagom autarkicznym krau i zagranicy. Kra produkue N odmian po x ednostek każde, zagranica zaś N odmian po x ednostek. Połączenie się rynków powodue, że konsumenci w obu kraach zyskuą dostęp do liczby odmian równe N + N, choć oczywiście konsumuą teraz mnie ednostek każde odmiany. Jakie strumienie handlu się tworzą? Ponieważ + popyt est proporconalny do rozmiarów rynku, kra eksportue do zagranicy część produkci każde odmiany, natomiast zagranica eksportue do krau + część produkci każde ze swoich odmian. Dzięki temu wzrasta użyteczność konsumentów i w krau i zagranicą. Dowód: U T = +N U T oznacza użyteczność osiąganą przez kra w warunkach handlu. Ponieważ w warunkach handlu konsumpca kraowa każde odmiany wynosi x T i = x +, i wszystkich odmian konsumuemy po tyle samo ednostek, możemy podstawić (i od razu dokonać pewnych przekształceń): Użyteczność w warunkach autarkii wynosi: Pozostae nam zatem wykazać, że U T > U. x ρ T i U T = (N + N ) 1 ρ + U = N 1 ρ (N + N ) 1 ρ + > N 1 ρ Skorzystamy z faktu, że N = fε : [( ) ρ + 1] + > 0 Przymimy, że = α. Możemy zatem nasz warunek zapisać ako: ( > 1 α 1 + α Warunek ten dla α > 0 oraz ρ (0, 1) można łatwo udowodnić korzystaąc z twierdzenia agrange a (o wartości średnie). Podobnie można pokazać wzrost użyteczności zagranicy. 4
Rysunek 1: Wymiana handlowa w modelu Dixita Stiglitza Rynek kraowy Produkca N odmian Konsumpca x ednostek ka de Autarkia Rynek zagraniczny Produkca N* odmian Konsumpca x* ednostek ka de Rynek kraowy Produkca N odmian Konsumpca N+N* odmian x/(+*) ednostek ka de Handel Eksport N odmian po x*/(+*) ednostek Eksport N* odmian po x*/(+*) ednostek Rynek zagraniczny Produkca N* odmian Konsumpca N+N* odmian x**/(+*) ednostek ka de 4 Podsumowanie 1. Parametr ρ opisuący zamiłowanie konsumentów do różnorodności est wprost powiązany z elastycznością popytu. Zachodzi następuąca zależność: { lim ε 1 } = + ρ 1 1 ρ Oznacza to, że im mnieszą wagę konsumenci przywiązuą do różnorodności (lub równoważnie im bardzie doskonałymi substytutami są dobra), tym większa est elastyczność cenowa popytu i tym samym mniesza siła monopolistyczna firm (coraz mniesze marże). W krańcowym przypadku mamy sytuacę doskonale konkurencynego rynku z homogenicznym dobrem i zerowymi marżami (p = mc). 2. Wzrost liczby dostępnych odmian (niedoskonałych substytutów) na rynku cechuącym się konkurencą monopolistyczną (oraz maleącym przeciętnym kosztem produkci) powodue wzrost użyteczności konsumentów. 3. Handel wewnątrzgałęziowy przyczynia się do zwiększenia ilości dostępnych odmian, co w myśl modelu Dixita Stiglitza przyczynia się do zwiększenia użyteczności konsumentów. Wynik ten pokazue, że dobrobyt społeczny w wyniku handlu wzrasta nawet w sytuaci, gdy krae handluące ze sobą nie różnią się praktycznie niczym. 5