Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Podobne dokumenty
N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

01. dla x 0; 1 2 wynosi:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadanie 1. Ilość szkód N ma rozkład o prawdopodobieństwach spełniających zależność rekurencyjną:

z przedziału 0,1 liczb dodatnich. Rozważmy dwie zmienne losowe:... ma złożony rozkład dwumianowy o parametrach 1,q i, gdzie X, wszystkie składniki X

dla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.

Zadanie 1. Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają taki sam rozkład z atomami:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadanie 1. są niezależne i mają rozkład z atomami: ( ),

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Zadanie 1. O rozkładzie pewnego ryzyka X posiadamy następujące informacje: znamy oczekiwaną wartość nadwyżki ponad 20:

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r. Część III

Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )

Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

Matematyka ubezpieczeń majątkowych r.

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r. Część III

XXXX Egzamin dla Aktuariuszy z 9 października 2006 r.

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

MUMIO Lab 6 (składki, kontrakt stop-loss)

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

f(x)dx gdy a, b (0, 100), f(x) = exp( 1

= µ. Niech ponadto. M( s) oznacza funkcję tworzącą momenty. zmiennej T( x), dla pewnego wieku x, w populacji A. Wówczas e x wyraża się wzorem: 1

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

XLVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 15 grudnia 2008 r.

Matematyka ubezpieczeń życiowych r.

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

1. Niech g(t) oznacza gęstość wymierania, od momentu narodzin, pewnej populacji mężczyzn. Demografowie zauważyli, że po drobnej modyfikacji: =

LIX Egzamin dla Aktuariuszy z 12 marca 2012 r.

XXXVI Egzamin dla Aktuariuszy z 10 października 2005 r.

LVII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 czerwca 2011 r.

XLIV Egzamin dla Aktuariuszy z 3 grudnia 2007 r.

LXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2016 r.

LXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 25 marca 2013 r.

XXXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 20 marca 2006 r.

LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudnia 2005 r.

LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r.

Statystyka aktuarialna i teoria ryzyka, model indywidualny i zespołowy, rozkłady złożone

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

Zadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:

Prawdopodobieństwo i statystyka

Egzamin z matematyki ubezpieczeniowej (MUMIO), semestr zimowy 2013/14

XXXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 5 grudniaa 2005 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

LXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 8 grudnia 2014 r.

Rozkłady prawdopodobieństwa

Przegląd ważniejszych rozkładów

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Kwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.

Rok akademicki: 2013/2014 Kod: AMA MN-s Punkty ECTS: 6. Kierunek: Matematyka Specjalność: Matematyka w naukach technicznych i przyrodniczych

LVI Egzamin dla Aktuariuszy z 4 kwietnia 2011 r.

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy - 11 października 2004 r.

1. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że noworodek wybrany z populacji, w której śmiertelnością rządzi prawo Gompertza

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

1. Pięciu osobników pochodzi z populacji, w której pojedyncze życie podlega ryzyku śmierci

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

XXXIII Egzamin dla Aktuariuszy z 17 stycznia 2005 r.

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

LXVIII Egzamin dla Aktuariuszy z 29 września 2014 r.

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r.

LXII Egzamin dla Aktuariuszy z 10 grudnia 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. L Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 2009 r.

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLI Egzamin dla Aktuariuszy z 8 stycznia 2007 r. Część I

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXI Egzamin dla Aktuariuszy z 1 października 2012 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LXVII Egzamin dla Aktuariuszy z 26 maja 2014 r. Część I

LXXIV Egzamin dla Aktuariuszy z 23 maja 2016 r.

Matematyka finansowa r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LV Egzamin dla Aktuariuszy z 13 grudnia 2010 r. Część I

XXXV Egzamin dla Aktuariuszy z 16 maja 2005 r.

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

LIV Egzamin dla Aktuariuszy z 4 października 2010 r.

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XXXIX Egzamin dla Aktuariuszy z 5 czerwca 2006 r. Część I. Matematyka finansowa

PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW

LIII Egzamin dla Aktuariuszy z 31 maja 2010 r.

UBEZPIECZ SIĘ, NAJLEPIEJ U MATEMATYKA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

Transkrypt:

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Likwidacja szkody zaistniałej w roku t następuje: w tym samym roku z prawdopodobieństwem 0 3, w następnym roku z prawdopodobieństwem 0 3, 8 w roku t + k (dla k > ) z prawdopodobieństwem ; 0 bez względu na to, jaki był moment kalendarzowy zajścia tej szkody, i jakie momenty kalendarzowe i czasy likwidacji miały inne szkody. Niech: R t oznacza liczbę szkód nie zlikwidowanych na koniec roku t (spośród tych, które zaszły w roku t oraz latach poprzednich) n t oznacza liczbę szkód zaszłych w ciągu roku t. Przy założeniu, że: R t 00 n t 900 n t 800 wartość oczekiwana (A) 0 0 (C) 95 (D) 45 (E) 70 R t (warunkowa, przy wyżej wymienionych warunkach) wynosi: k skazówka: Znajdź postać zależności rekurencyjnej: R f R, n, n ) t ( t t t

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie. Ubezpieczyciel jest monopolistą na rynku ubezpieczeń od pewnego ryzyka. Może więc ustalić wysokość składki za to ryzyko na takim poziomie, aby zmaksymalizować oczekiwany zysk. Jedynym jego problemem jest to, że odsetek podmiotów (z populacji podmiotów narażonych na to ryzyko) które zdecydują się wykupić ubezpieczenie, jest malejącą funkcją wysokości składki. Załóżmy, że: Każdy podmiot narażony na to ryzyko charakteryzuje się pewną wartością parametru ryzyka, liczba szkód z tego ryzyka ma rozkład Poissona ( Λ ), a każda szkoda ma wartość jeden; rezultacie oczekiwany zysk Z na podmiocie o wartości parametru ryzyka równej Λ wyniesie: Π Λ gdy podmiot wykupi ubezpieczenie E( Z ( Π) Λ) 0 w p. p. gdzie Π to wysokość składki. artość parametru Λ jest znana podmiotowi narażonemu na to ryzyko. Podejmując decyzję czy nabyć ubezpieczenie czy go nie nabywać, podmiot kieruje się maksymalizacją oczekiwanej użyteczności, przy funkcji użyteczności postaci u( x) exp( ax) Ubezpieczyciel nie zna wartości parametru Λ charakteryzujących konkretne podmioty, oferuje więc ubezpieczenie wszystkim po tej samej składce Π. Ubezpieczyciel wie jednak, że w populacji ubezpieczonych wartość parametru Λ ma rozkład wykładniczy o gęstości f ( x) β exp( βx) Znajdź taką wartość Π* składki Λ. Π, która maksymalizuje oczekiwany zysk w E Z ( Π). przeliczeniu na jeden podmiot z populacji, a więc ( ) Λ (A) Π * exp( a) aβ Π * aβ ( exp( a) ) ( exp( a) a) (C) Π * exp( a) β ( exp( a) a) (D) (E) Π Π * * exp( a) a aβ exp( a) a β ( exp( a) )

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie 3. Niech Y oznacza wartość szkody, zaś T czas, jaki upływa od momentu jej zajścia do momentu jej likwidacji. Łączny rozkład zmiennej losowej ( T, Y ) ma gęstość daną wzorem: β exp( βy) dla t ( ) ( 0, y), y ( 0, ) ft, Y t, y y 0 poza tym z parametrem β o wartości dodatniej. E( Y ) Iloraz bezwarunkowych wartości oczekiwanych wynosi: E T ( ) (A) β exp( β ) exp( β ) β exp( β ) β (C) 4 β (D) β exp( β ) β (E) 3

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. u + ct, gdzie: Zadanie 4. Rozważamy klasyczny proces nadwyżki ( ) () t u jest nadwyżką początkową, ct jest sumą składek zgromadzonych do momentu t, N t jest procesem Poissona z parametrem intensywności λ, () n S n Y i jest sumą wypłat, i pojedyncze wypłaty i są i.i.d., niezależne od procesu N t. Załóżmy, że rozkład wartości pojedynczej wypłaty dany jest na półosi dodatniej dystrybuantą: Y ( ) F Y ( x), + x że składka c zawiera stosunkowy narzut bezpieczeństwa 33%, a więc: c 33% λe( Y ), oraz że nadwyżka początkowa u wynosi: u 00. ( ) Prawdopodobieństwo ruiny Ψ u można wyznaczyć w oparciu o aproksymację, która czyni użytek z następującej własności rozkładu Pareto: Jeśli X, X, X 3,..., X n są zmiennymi losowymi i.i.d. o rozkładzie Pareto, to dla każdego ustalonego n zachodzi: Pr( X + X + X 3 +... + X n > x) n. x Pr( X > x) Prawdopodobieństwo ruiny (przy założeniu, że przyjęta wartość u 00 jest w powyższym sensie duża ) z dobrym przybliżeniem wynosi: (A).4%.9% (C).4% (D) 3.0% (E) 3.6% U t S N skazówki: ykorzystaj następujące fakty: Ψ( u) FL ( u), gdzie FL jest dystrybuantą zmiennej losowej L interpretowanej jako maksymalna strata; L l + l +... + ln ma złożony rozkład geometryczny ze składnikiem l i interpretowanym jako głębokość deficytu w momencie ruiny, o ile proces startuje z zerowej nadwyżki początkowej; 4

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie 5. Załóżmy, że X, X, K, X n,ksą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na przedziale [0; ], zaś N jest zmienną losową o rozkładzie ujemnym dwumianowym: n + 3 n P ( N n) p ( p) dla n 0,,, K, n niezależną od zmiennych losowych X, X, K, X,K. Niech Oblicz E M ). ( N M N n max( X, X, K, X 0 N ) gdy gdy N > 0 N 0. (A) ( p p ) ( p)( p) (C) ( p)( p) (D) ( p )( + p) (E) ( p )( + p) 5

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie 6. Łączna wartość szkód ma złożony rozkład Poissona z parametrem częstotliwości λ i wartością pojedynczej szkody o rozkładzie logarytmicznonormalnym. iadomo, że: λ 00 spółczynnik zmienności (odchylenie standardowe podzielone przez wartość oczekiwaną) zmiennej wynosi V 0 obec tego współczynnik skośności γ zmiennej losowej wynosi: (A) (C) (D) (E) 0 0 0 0 za mało danych aby udzielić odpowiedzi liczbowej 6

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie 7. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: U u + c n, n 0,,,... n S n gdzie S n + +... + n jest procesem o przyrostach niezależnych. iemy, że składka za rok wynosi c, oraz że charakterystyki rozkładu przyrostu zagregowanej wartości szkód za okres roku wynoszą: wartość oczekiwana μ 0 wariancja σ 4 skośność γ Aproksymujemy funkcję prawdopodobieństwa ruiny Ψ (u) na dwa sposoby: Ψ (u) to aproksymacja oparta na założeniu, iż dla dowolnego h > 0 diff przyrosty procesu nadwyżki ubezpieczyciela za okres o długości h mają rozkład normalny o parametrach ( μ h, σ h) (ignorujemy skośność) Ψ dv (u) to aproksymacja de Vyldera, a więc oparta na założeniu, że proces pojawiania się szkód jest procesem Poissona, zaś wartości poszczególnych szkód są niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie wykładniczym, przy czym parametry procesu aproksymującego są tak dobrane, aby zachować dryf c μ oraz wariancję σ i skośność γ yznacz taką wartość u * nadwyżki początkowej u, dla której zachodzi: Ψ ( u) Ψ ( u) diff dv a więc dla której obie aproksymacje dają to samo prawdopodobieństwo ruiny. n (A) u. * 6 u. * (C) u. * 6 (D) u. * 30 (E) u. * 33 7

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie 8. Niech Y będzie zmienną losową o rozkładzie danym dystrybuantą F Y należącym do klasy wszystkich rozkładów spełniających następujące warunki: K μ Pr ( 0 Y ), oraz E ( Y ) μ, dla pewnej ustalonej liczby μ z przedziału (, ) 0. Niech M oraz m oznaczają zmienne losowe o dwóch szczególnych rozkładach należących do tej klasy: Pr( M ) μ, Pr( M 0) μ, oraz: Pr m μ. ( ) Które z trzech poniższych zdań są prawdziwe, a które fałszywe? (I) jeśli K μ, to zachodzi Var m Var( Y ) Var M (II) jeśli F Y K μ, to x [ 0, ] zachodzi Pr( m > x) Pr( Y > x) Pr( M > x) (III) jeśli F Y, to [ 0, zachodzi E ( m x) E ( Y x) E ( M x) ] F Y ( ) ( ) K μ x ] [ + ] [ + ] [ + (A) (C) (D) (E) Prawdziwe jest (I), fałszywe (II) i (III) szystkie (I) (II) i (III) są prawdziwe Prawdziwe są (I) i (III), fałszywe (II) Prawdziwe są (I) i (II), fałszywe (III) Prawdziwe jest (III), fałszywe (I) i (II) 8

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie 9. Rozkład warunkowy łącznej wartości szkód X Y +... + YN z pojedynczego ryzyka (pochodzącego z pewnej populacji ryzyk) przy danej wartości parametru ryzyka Λ jest złożonym rozkładem Poissona: o oczekiwanej liczbie szkód E ( N Λ) Λ ; o wartości pojedynczej szkody Y takiej, że E ( Y Λ) Λ Parametr ryzyka Λ ma w populacji ryzyk rozkład Gamma o wartości oczekiwanej /7 i wariancji /49. Przeprowadzamy dwuetapowe doświadczenie: losujemy ryzyko z ww. populacji obserwujemy liczbę szkód N oraz (o ile N > 0 ) ich wartości Y,...,YN. Oczekiwana średnia wartość zaobserwowanych szkód (pod warunkiem, że pojawiła się co najmniej jedna szkoda): X E N > 0 N wynosi z dobrym przybliżeniem: (A) 0.50 0.85 (C) 0.335 (D) 0.40 (E) 0.5 9

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Zadanie 0. kolejnych latach t,,3,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N szkód. Dla danego Λ λ zmienne N N,,... są warunkowo t, N 3 niezależne i mają identyczny rozkład Poissona: k λ Pr( N t k Λ λ) e k! t,,3,..., k 0,,, K Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład wykładniczy z wartością oczekiwaną równą. 5 Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że: w ciągu liczb ( N, N, N3, N 4, N5 ) wystąpiły cztery zera i jedna liczba dodatnia. E Λ A wynosi: arunkowa wartość oczekiwana ( ) (A) (C) (D) (E) 5 9 90 9 7 7 4 0

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.005 r. Egzamin dla Aktuariuszy z 0 października 005 r. Matematyka ubezpieczeń majątkowych Arkusz odpowiedzi * Imię i nazwisko... K L U C Z O D P O I E D Z I... Pesel... Zadanie nr Odpowiedź Punktacja A B 3 E 4 D 5 E 6 C 7 A 8 C 9 D 0 B * Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi. ypełnia Komisja Egzaminacyjna.