MODELOWANIE KOGNITYWNE SYSTEMÓW I MASZYN ALEKSANDER JASTRIEBOW, GRZEGORZ SŁO Streszczenie Modele komputerowe obiektów technicznych i maszyn s zawsze w pewnym sensie wirtualne. Sposoby przedstawiania takich modeli zale od informaci posiadane przy ich budowie. W artykule przedstawiono kognitywne podecie do modelowania obiektów, ich stanów oraz dynamiki opisuce zmiany stanu. Takie podecie moe by stosowane np. przy modelowaniu, diagnostyce, podemowaniu decyzi, identyfikaci (w pewnym sensie) i innych dziedzinach nauki i techniki. Opisywane i analizowane w pracy modele nosz nazw map kognitywnych. S one realizowane na rónych poziomach pewnoci posiadane informaci (np. mapy kognitywne deterministyczne, rozmyte i inne). Na wybranych przykładach przytoczono pewne wyniki analizy takich modeli o rónych stopniach pełnoci i pewnoci informaci lub wiedzy. Słowa kluczowe: mapa kognitywna, modelowanie, analiza symulacyna 1. Wstp Prac powicono analizie symulacyne wybranych dynamicznych modeli rozmytych relacynych map kognitywnych. W [2 10] okrelono pewn histori wprowadzenia rónych modeli map kognitywnych (znakowych, ilociowych, rozmytych, ednokierunkowych, relacynych iinnych), które zwykle stosowano dla modelowania słabostrukturalnych systemów informatycznych (decyzynych, sterowania, multiagendowych, geoinformacynych, ekonomicznych). W pracy, w zalenoci od informaci, opisano rónego typu struktury (dynamiczne i statyczne), które realizu odpowiednie relace pomidzy czynnikami, okrelacymi topologi map. Przy tym dynamiczne modele kognitywne odwzorowu, w zalenoci od typu wstpne informaci o czynnikach oraz ich relacach (ostre lub rozmyte), dokładne lub przyblione powizania.. Przy dokładne realizaci relaci powiza pomidzy czynnikami, model dynamiczny opisue si za pomoc zwykłych nieliniowych równa rónicowych, w których wartoci zmiennych oraz parametrów s ograniczone do przedziałów [0, 1] lub [-1, 1]. Przy niepełne informaci opowizaniach relace pomidzy czynnikami i ich wpływami mona opisa pewnymi relacynymi równaniami rónicowymi, które wprowadzono w nastpnym rozdziale.
Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011 79 2. Synteza map kognitywnych Mapami kognitywnymi bdziemy nazywali pewne modele matematyczno informatyczne, przeznaczone do formalizaci badanego problemu złoonego systemu, w postaci zbioru czynników odwzorowucych zmienne (cechy) systemowe oraz relace przyczynowo skutkowe midzy nimi z uwzgldnieniem oddziaływa wzaemnych oraz zmian charakteru relaci [2 8]. Zgodnie zpowysz definic, mapy kognitywne mona przedstawi w postaci nastpuce pary zbiorów: <, R> (1) gdzie: = [ 1,..., N ] zbiór czynników mapy (wektor stanu), R = {R i } macierz relaci pomidzy czynnikami i i (i, = 1,..., N). Macierz R moe przybiera róne formy: współczynników liczbowych r i z przedziału [0, 1] lub [-1, 1] (relace ostre), rozmytych relaci R i z odpowiednimi funkcami przynalenoci i zakresem zbioru nonika. Dynamiczne i statyczne relace pomidzy i i opisu nastpuce podstawowe modele (2)-(6): A) Model ostry dynamiczny N + = + ( t 1) f ri i ( t) ( t) (2) i= 1 statyczny gdzie: N = f ri i= 1 i (3) λ x 1 1 e f ( x) = lub f λ x ( x) = lub λ x 1 + e 1 + e 1 dla x > 1 f ( x) = x dla x 1, > 0, = 1,..., N (4) -1 dla x < -1 B) Model rozmyty dynamiczny ( t + 1) ( t) [( ( t) k = k N i = 1 i i ( R i,k t 1)) ] (5) N ( i i, k = i 1 statyczny = ( t) R ) (6) gdzie: k numer rozpatrywanego czynnika wyciowego (k = 1,..., N), k
80 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn t N czas dyskretny, liczba czynników, operaca sumowania rozmytego, operaca odemowania rozmytego, R i,k poedyncza rozmyta relaca pomidzy rozmytymi czynnikami o numerach i oraz k, operaca maksyminowe kompozyci rozmyte. Uwagi: 1. Modele dynamiczne rozmytych relacynych map kognitywnych, opisanych równaniami (2), (4) lub (5) realizu nastpuce zasady działania: odwzorowanie asocacyne ( i ), sprzenie zwrotne, strukturalizaca obszarów czynników mapy. 2. Wartoci czynników oraz współczynników lub relaci w modelu (2) (4), (5) (6) okrelono na podstawie wiedzy ekspertowe z moliwoci douczenia (adaptaci) przy zmianie warunków pracy obiektu. 3. Podobne modele powiza midzy czynnikami mog by zapisane i dla innych (mieszanych) typów modeli. Modele takie mog by włczone do ednego z głównych typów (A lub B) (przy uwzgldnieniu procedur odpowiednio rozmywania lub wyostrzania). W nastpnym rozdziale zostan przedstawione wyniki analizy modeli dynamicznych (2), (4) oraz (5) dla wybranych przykładów. 3. Wybrane wyniki analizy symulacyne Ponie przedstawiono wyniki syntezy i analizy symulacyne monitorowania zmiany stanów wybranych urzdze i systemów. 3.1. Model ostry Podstaw modelowania dynamicznego procesu monitorowania były mapy kognitywne, charakteryzuce relace pomidzy czynnikami zgodnie z zalenociami (2) i (4). Przykładowa ostra mapa kognitywna opisuca pewien problem ekonomiczny [1] została zsyntetyzowana w postaci struktury pokazane na rys. 1.
81 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011 ródło: Opracowanie własne. Rysunek 1. Schemat ostre mapy kognitywne (N = 7, niezaznaczone współczynniki r i ma warto zerow) Uwaga: Wybór czynników weciowych i wyciowych zaley od eksperta. W ninieszym przykładzie Wielkoci weciowe s opisane przez zmienne 1 5 oraz 7, natomiast wielko wyciowa przez zmienn 6. Ocena przydatnoci mapy kognitywne do monitorowania takiego systemu sprowadza si właciwie do odpowiedzi na pytanie: czy i po akim czasie (po ilu krokach próbkowania) od zmiany wybranych parametrów weciowych moliwe est uzyskanie nowego stanu ustalonego parametru wyciowego. Odpowied analityczna moe by trudna, poniewa w złoonych systemach technicznych poszczególne czynniki nie tylko podlega zmianom wymuszonym, ale równie oddziału na siebie wzaemnie. Ponie przedstawiono wyniki analizy symulacyne dla rónych wartoci pocztkowych. W zestawiono losowo dobrane wartoci składników macierzy r (macierzy współczynników relaci pomidzy czynnikami). Tabela 1. Macierz współczynników relaci r r 1 2 3 4 5 6 7 ródło: Opracowanie własne. 1 0 0,5-0,55-0,17 0-0,33 0,49 2-0,31 0 0 0 0,31-0,71 0 3-0,26-0,82 0-0,27 0 0-0,02 4-0,4 0 0 0-0,8-0,36 0 5 0-0,17 0 0,41 0 0 0 6 0 0 0 0 0 0 7 0,13 0 0,77 0,13 0 0 0
82 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn Podstaw modelowania dynamicznego procesu monitorowania były zalenoci pomidzy czynnikami zgodne z (2) i (4). Dla uproszczenia wnioskowania wybrano funkce f i o charakterze sigmoidalnym ze współczynnikami równymi 1. Na ys. 2. i rys. 3. przedstawiono przebiegi wartoci czynników w kolenych krokach próbkowania dla zerowych wartoci pocztkowych. Rysunek 2. Przebiegi wartoci czynników weciowych 1 5 i 7 w kolenych krokach próbkowania dla zerowych wartoci pocztkowych ródło: Opracowanie własne. Rysunek 3. Przebiegi wartoci czynnika wyciowego 6 w kolenych krokach próbkowania dla zerowych wartoci pocztkowych ródło: Opracowanie własne. Na rys. 3 przedstawiono przebiegi zalenoci wartoci wielkoci wyciowe ( 6 ) od zmian poszczególnych wielkoci weciowych.
83 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011 Rysunek 4. Zaleno wartoci wielkoci wyciowe ( 6 ) od zmian poszczególnych wielkoci weciowych dla zerowych wartoci pocztkowych ródło: Opracowanie własne. Z ys. 2 4oraz z innych bada, przeprowadzonych dla rónych charakterów tablicy r, wynika, e zastosowanie mapy kognitywne typu (2), (4) zawsze prowadzi do ustalenia si sygnału wyciowego, niezalenie od wartoci współczynników relaci czy wartoci pocztkowych poszczególnych czynników monitorowanego systemu. Co wice odbywa si to wprosty sposób, bez koniecznoci uciekania si do stosowania zawiłych i czasochłonnych metod analizy modeli matematycznych. Wynika std, e mapa kognitywna dla modelu z przykładu 1 est dobr podstaw do konstruowania np. systemów monitorucych. 3.2. Model rozmyty Graficzn reprezentac przykładowe relacyne rozmyte mapy kognitywne, obemuce relace pomidzy siedmioma czynnikami, przedstawiono na rys. 5. Chocia w ogólnym uciu nie est to konieczne, w przykładzie rys. 5. wyróniono czynniki powizane zsygnałami weciowymi ( 1 4 ) oraz wyciowymi ( 5 7 ). Takie podecie est zwizane zmonitorowaniem diagnostycznym. Wprowadzenie do mapy z rys. 5. rozmytych zalenoci (relaci) pomidzy czynnikami mona dokona rónymi metodami, kada z nich ednak opiera si bdzie na wstpne ekspertowe wiedzy o sile poszczególnych oddziaływa. Dopiero dalsze kroki zale od przytego modelu rozmywania relaci. Istotne est przy tym dokonanie wstpne (bezwymiarowe) normalizaci badanych sygnałów, co znacznie ułatwia tworzenie procedur wnioskowania. Dalsze rozmycie systemu wnioskucego uzyskue si dziki dodatkowemu rozmyciu samych sygnałów. W takim modelu przetwarzanie danych w całoci opiera si na logice rozmyte, a wnioski kocowe s uzyskiwane w drodze wyostrzenia.
84 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn ródło: Opracowanie własne. Rysunek 5. Przykładowa mapa kognitywna (N = 7) Ponie przedstawiono kolene kroki algorytmu modelowania dynamiki mapy kognitywne zgodnie ze schematem z rys. 6. Rysunek 6. Schemat blokowy dynamiki modelu mapy kognitywne z Rys. 5. Nadkrelenie oznacza warto rzeczywist dane wielkoci, brak nakrelenia warto rozmyt ródło: Opracowanie własne. a) rozmycie sygnałów weciowych Pierwotn form wartoci chwilowe kadego sygnału weciowego est forma ostra, wyraona liczb rzeczywist. Dla celów monitorowania liczba ta est poddawana normalizaci bezwymiarowe (w dziedzinie [0, 1]), a nastpnie rozmyciu (np. wg gausoidalne funkci przynalenoci) wokół centrum na okrelonym noniku (universum). W rozpatrywanym przykładzie nonik ma zakres od 1 do 2 (uwzgldnienie symetrii sygnału rozmytego). Przykładowy przebieg funkci przynaleno- ci dla okrelone wartoci chwilowe sygnału weciowego przedstawiono na rys. 7. Podobn ope-
85 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011 rac wykonue si wobec wszystkich sygnałów weciowych. Rysunek 7. Przykładowy kształt ednego z sygnałów weciowych (po rozmyciu gausoidalnym) o wartoci chwilowe równe 0,36 (po normalizaci bezwymiarowe do przedziału [0, 1]) ródło: Opracowanie własne. b) budowa relaci rozmytych Relace rozmyte pomidzy sygnałami weciowymi i wyciowymi ma charakter kompozyci maksyminowe. Z tego powodu konstruuc relace naley uwzgldni nie tylko sam e charakter, ale take zasig nonika, który powinien by taki sam, ak dla sygnałów weciowych (zarówno pod wzgldem zakresu wartoci, ak i szerokoci kroku próbkowania). Sam kształt relaci mona dobiera według rónych wzorców. W rozpatrywanym przykładzie zastosowano cig funkci gausoidalnych o charakterze podobnym, ak przy rozmywaniu sygnałów weciowych. Połoenie centrów poszczególnych cigów funkcynych est uzalenione od siły oddziaływa pomidzy danym sygnałem weciowym i wyciowym (wiedza ekspertowa). W przykładzie zastosowano siły oddziaływa zestawione w Tabela 2. Tabela 2. Siły oddziaływa pomidzy czynnikami badane mapy kognitywne Wy We 5 6 7 1 0,4 0 0 2 0,6 0,4 0 3 0 0,4 0 4 0 0 1 Liczby z Tabela 2. s wartociami odniesienia do konstruowania poszczególnych relaci rozmytych (patrz rys. 15).
86 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn Przykładowy kształt poedyncze relaci rozmyte, wykorzystuce zespół gausoidalnych funkci przynalenoci przedstawiono na rys. 8. Rysunek 8. Gausoidalna rozmyta relaca R 1,5 pomidzy dwoma czynnikami ( 1 i 5 ) ródło: Opracowanie własne. c) realizaca modelu dynamicznego Zalenoci (7) (9) okrela dynamik relacynych powiza pomidzy sygnałami weciowymi 1 4, a wyciowymi 5 7 (rónicowe równania relacyne). t + 1) = ( ) [( ( t) 5( 5 t 4 i= 1 i t + 1) = ( ) [( ( t) 6( 6 t 4 i= 1 i t + 1) = ( ) [( ( t) 7( 7 t 4 i= 1 i i ( R i, 5 t 1)) ] (7) i ( R i, 6 t 1)) ] (8) i ( R i, 7 t 1)) ] (9) d) wyostrzenie sygnałów wyciowych Rozmyte sygnały wyciowe, wyznaczone zalenociami(7) (9), poddae si wyostrzaniu metod centrum [2], co pozwala na uzyskanie ich ostrych wartoci chwilowych. Ponie zamieszczono graficzne przedstawienie realizaci punktów a) d), zgodnie ze schematem zrys. 6.
87 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011 Rys. 9 przedstawia zbiorcze zestawienie przebiegów wartoci chwilowych sygnałów weciowych ( 1 4 ) po wstpne normalizaci do zakresu wartoci [0, 1]. Na potrzeby analizy symulacyne poszczególne przebiegi narzucono zachowuc ich zrónicowany charakter. Rysunek 9. Przebiegi czasowe wartoci sygnałów weciowych ( 1 4 ) ródło: Opracowanie własne. Wartoci chwilowe sygnałów weciowych, przedstawione na rys. 9, poddawano rozmyciu zwykorzystaniem gausoidalne funkci przynalenoci o postaci (10): f g = e 2 ( u c) σ (10) gdzie: f g funkca przynalenoci, u argument, c centrum funkci f g, współczynnik szerokoci funkci. Poniewa zakres normalizaci (podstawowy zakres rozmywania) zawiera si w granicach [0, 1], dla zachowania symetrii sygnałów po rozmyciu zastosowano nonik o zakresie [ 1, 2]. Przebiegi rozmyte sygnałów weciowych, uzyskane ww. metod, przedstawia rys. 10. Rozmyte tablice relaci opracowano opierac si na współczynnikach z Tabela 2, posługuc si cigami funkci o postaci (10).W efekcie uzyskano dwanacie tablic o charakterze ak na rys. 8. Nastpnie, posługuc sie zalenociami (7) (9), wyznaczono rozmyte wartoci chwilowe wielkoci wyciowych ( 5 7 ). Przebiegi te pokazano na rys. 1.
88 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn Rysunek 10. Przebiegi rozmyte sygnałów weciowych ( 1 4 ) Rysunek 8. Przebiegi rozmyte sygnałów wyciowych ( 5 7 ) ródło: Opracowanie własne. Ostatnim etapem oblicze było wyostrzanie rozmytych wartoci przebiegów wyciowych. Przeprowadzano to metod centrum, a uzyskane wyniki przedstawiono na rys. 12.
89 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011 Rysunek 12. Przebiegi czasowe wartoci sygnałów wyciowych ( 5 6 ) ródło: Opracowanie własne. Dla zilustrowania poprawnoci działania metody, na rys. 13 przedstawiono trzy zestawienia zmian wartoci sygnałów weciowych i zmian wartoci zalenych od nich sygnałów wyciowych. ródło: Opracowanie własne. Rysunek 13. Porównanie przebiegów sygnałów weciowych (górne) i zalenych od nich sygnałów wyciowych (dolne) 4. Podsumowanie Przedstawiono modele struktur statycznych i dynamicznych map kognitywnych. Opisano algorytm budowy map kognitywnych ako narzdzia modelowania. Na konkretnych przykładach dokonano analizy symulacyne dynamicznych modeli ostrych i rozmytych relacynych map kognitywnych, z które wynika, e opracowane struktury dokładnie odwzorowu stany równowagi oraz ich stabilno przy rónych wyborach współczynników relaci. Z analizy dodatkowo wynika, e podobne struktury mog by stosowane w systemach decyzynych (np. w monitorowaniu układów technicznych).
90 Aleksander Jastriebow, Grzegorz Sło Modelowanie kognitywne systemów i maszyn Bibliografia 1. Andrieczykow A. B., Andrieczykowa O. N., Inteligentne informacyne systemy. Wyd. Finanse i Statystyka, Moskwa 2004 (w zyku rosyskim). 2. Borisow W. W., Krugłow W. W., Fiedułow A. C. Rozmyte modele i sieci. Wyd. Telekom, Moskwa 2007 (w. rosyskim). 3. Jastriebow A., Sło G., Modelowanie słabostrukturalnych systemów logistycznych oparte na rozmytych relacynych mapach kognitywnych. Logistyka nr 2/2010, Pozna 2010: (wersa elektroniczna). 4. Jastriebow A., Sło G., Obliczenia ziarniste w modelowaniu nieprecyzynych obiektów przy uyciu relacynych rozmytych map kognitywnych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr 12/2010: s. 1449 1452. 5. Jastriebow A., Sło G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych na mapach kognitywnych cz I. Synteza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie I wieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu Technologii Eksploatacyne Pastwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 67 76. 6. Jastriebow A., Sło G., Synteza i analiza obliczeniowa modeli inteligentnych opartych na mapach kognitywnych cz II. Analiza. W: Jastriebow A. (red.) Informatyka w dobie I wieku. Technologie informatyczne i ich zastosowania. Wyd. Naukowe Instytutu Technologii Eksploatacyne Pastwowego Instytutu Badawczego, Radom 2010: s. 77 86. 7. Jastriebow A., Sło G., Ziarnisto informaci w dynamicznych modelach rozmytych relacynych map kognitywnych. Logistyka nr 6/2010, Pozna 2010: (wersa elektroniczna). 8. Kosko B. Fuzzy cognitive maps. Int. Journal of Man-Machine Studies, Vol. 24. pp. 65 75, 1986. 9. Sło G., Adaptaca relaci w dynamicznych rozmytych relacynych mapach kognitywnych. Logistyka nr 6/2010, Pozna 2010: (wersa elektroniczna). 10. Sło G., Analiza wybranych algorytmów adaptaci relaci w rozmytych mapach kognitywnych. Pomiary, Automatyka, Kontrola vol. 56 nr 12/2010, s. 1445 1448.
91 Studies & Proceedings of Polish Association for Knowledge Management Nr 47, 2011 COGNITIVE MODELING SYSTEMS AND MACHINES Summary Computer models of technical obects and machines are always in certain sense virtual. Methods of presentation such models depend on the information possessed during building of them. In the article cognitive approach to obects modeling, their states and dynamics which describes changes of states is presented. Such an approach can be used e.g. for the modeling, diagnostics, making decisions, identification (in certain sense) and other disciplines of science and technology. Models described and analyzed in the work are called cognitive maps. They are realized on different levels of certainty of possessed information (e.g. deterministic cognitive maps, fuzzy cognitive maps and others). On selected examples certain results of the analysis of such models for different degrees of the information (or knowledge) completeness and certainty are quoted. Keywords: cognitive map, modeling, simulation analysis Aleksander Jastriebow Katedra Zastosowa Informatyki Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechnika witokrzyska al. Tysiclecia Pastwa Polskiego 7, 25-314 Kielce e-mail: astri@tu.kielce.pl; Katedra Infomatyki Wydział Nauczycielski Politechnika Radomska ul. Malczewskiego 29, 26-600 Radom Grzegorz Sło Katedra Zastosowa Informatyki Wydział Elektrotechniki, Automatyki i Informatyki Politechnika witokrzyska al. Tysiclecia Pastwa Polskiego 7, 25-314 Kielce e-mail: enegs@tu.kielce.pl