WYKŁAD 1 ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO PRZETWARZANIA ENERGII

WYKŁAD 1 ZASADY ELEKTROMECHANICZNEGO PRZETWARZANIA ENERGII 1.1. Zasada zachowania energii. Puntem wyjściowym dla analizy przetwarzania energii i mocy w pewnym przedziale czasu t jest zasada zachowania energii W we W W (1.1) wy a gdzie W we - przyrost energii wejściowej (dopływającej z zewnątrz) do urządzenia, W wy - przyrost energii wyjściowej (wypływającej na zewnątrz) z urządzenia, W a - przyrost energii aumulowanej w urządzeniu. Każda z wyżej wymienionych energii może być przesyłana bądź aumulowana na drodze eletrycznej, mechanicznej, cieplnej, hydraulicznej etc., w zależności od rodzaju obietu. Jeśli w olejnych przedziałach czasu t energia aumulowana nie zmienia się, czyli W a =0, to mówimy o quasi-ustalonym stanie pracy urządzenia. W dalszym ciągu wyładu ograniczymy się do analizy tego właśnie stanu. Intensywność wydzielania się bądź przesyłu energii charateryzuje pojęcie mocy średniej P zdefiniowane jao W Pt (1.2) Przy czasie t dążącym do zera otrzymujemy definicję mocy chwilowej p( t dw pt (1.3) d t Wzajemne powiązanie mocy średniej i chwilowej jest oreślone definicyjnie jao t 1 P p( dt t 0 (1.4) W urządzeniach eletrycznych mamy do czynienia zasadniczo z trzema postaciami mocy: - eletryczną P el, - mechaniczną P me, - termiczną (cieplna) P te. Pomijając urządzenia grzewcze, moc cieplna jest związana z tą częścią mocy doprowadzonej, tóra nie została przetworzona na moc wyjściową i uległa rozproszeniu do otoczenia na ciepło. 1

Zwyczajowo jest ona oreślana jao straty mocy i oznaczana P. Jest ona proporcjonalna do przyrostu temperatury średniej urządzenia w stosunu do otoczenia. Straty mocy są związane z wyraźnie wyodrębnionymi objętościami urządzenia (np. uzwojenia, rdzeń magnetyczny, łożysa). Rozpływ mocy można schematycznie przedstawić za pomocą tzw. wyresu Saney a, na tórym wydzielono dwa sładnii strat mocy przetworni Moc dostarczana P we P wewn P wy Moc odbierana P we P wy Moc strat zamieniana na ciepło Rys.1.1 Schemat rozpływu mocy Saney a P we, P wy straty mocy odpowiednio po stronie wejściowej i wyjściowej; P wewn moc wewnętrzna. Każda z mocy chwilowych jest definiowana jao iloczyn dwóch wielości nazywanych zmiennymi stanu p p el me ( u( i( F( v( ( M( Ω( dla ruchu liniowego dla ruchu obrotowego (1.5) gdzie u napięcie, i natężenie prądu, F siła, M moment siły, v prędość liniowa, prędość ątowa. W zdecydowanej więszości maszyn eletrycznych wetory prędości v, Ω mają jedną sładową (uład jednowymiarowy 1D, np. =2n, gdzie n jest prędością obrotową, [obr/s]), stąd w równaniu (1.5) można pominąć notację wetorową p ( u(i( p el me F(v( dla ruchu liniowego 1D (1.6) ( M(Ω( dla ruchu obrotowego 1D 2

W zależności od rodzaju przetwornia zarówno moc wejściowa ja i wyjściowa może być eletryczna ja i mechaniczna. Zestawiono to w tablicy 1.1. Typ przetwornia Moc wejściowa Tablica 1.1. Zestawienie rodzajów przetworniów Moc wyjściowa transformator eletryczna eletryczna silni eletryczny eletryczna mechaniczna prądnica mechaniczna eletryczna redutor mechaniczny mechaniczna mechaniczna Moce wejściową i wyjściową wiąże pojęcie sprawności P wy 1 (1.7) P we P P przy czym dla transformatora operuje się w pratyce nie sprawnością lecz stratami mocy, ze względu na inną definicję mocy znamionowej niż w maszynach wirujących. we 3

1.2. Prawa eletromagnetyzmu. Działanie wszystich urządzeń eletrycznych, niezależnie od ich budowy i sposobu zasilania, jest opisane za pomocą ilu podstawowych praw, tóre w zależności od postaci zapisu matematycznego (różniczowego bądź całowego) i stopnia przyjętych uproszczeń są oreślane nazwisami ich odrywców. Najogólniejszą postać sformułował James Maxwell w postaci dwu praw nazywanych odpowiednio I i II równaniem Maxwella. Wyorzystują one całowe lub różniczowe operatory wetorowe, tórych zapis wynia z przyjętego uładu współrzędnych, będącego jednocześnie definicją iloczynu wetorowego. Stosując tzw. prawosrętny uład współrzędnych artezjańsich (rys.1.2) mamy x y z y xz (1.8) Wyrażenia te definiują również dodatni zwrot współrzędnej ątowej, np. w płaszczyźnie 0xy. y z 0 x Rys.1.2. Prawosrętny uład współrzędnych I prawo Maxwella jest w postaci D rot H J (1.9) t gdzie H wetor natężenia pola magnetycznego, [A/m]; J wetor gęstości prądu przewodzenia, [A/m 2 ]; D wetor inducji dieletrycznej. Gęstość tzw. prądu pojemnościowego wyniającego z pochodnej czasowej inducji D jest pomijalna dla technicznych częstotliwości rzędu sete Hz w stosunu do gęstości prądu przewodzenia, tym niemniej przy zasilaniu z uładów przeształtniowych zawierających sładowe o częstotliwości ilunastu Hz jej wpływ może być już zauważalny. W dalszym ciągu wyładu sładni ten będzie pomijany, a I równanie Maxwella jest najczęściej stosowane w postaci całowej nazywanej prawem Ampere a l( S ) H dl S ( l) J ds N i (1.10) 4

gdzie l(s) ontur brzegowy otwartej powierzchni S N zwojność -tej wiązi przewodów wiodących prąd o natężeniu i Rys.1.3. Ilustracja prawa Ampere a. II prawo Maxwella jest w postaci rot E d B (1.11) d t tóre sprowadzone do postaci całowej (prawo Faraday a) zapisuje się jao d d e( E dl d t B ds (1.12) d t l( S ) gdzie e siła eletromotoryczna; S ( l) E wetor natężenia pola eletrycznego, [V/m]; B wetor inducji magnetycznej; strumień magnetyczny. l ds B e Rys.1.3. Ilustracja prawa Faraday a. Należy pamiętać, że równanie (1.10) dotyczy pojedynczego zwoju, a całowanie inducji B jest wyonywane w uładzie współrzędnych nieruchomym względem tego zwoju. Wyznaczając siłę eletromotoryczną (SEM) induowaną w cewce czy paśmie cewowym trzeba wyonać odpowiednie sumowanie po wszystich zwojach, zależnie od strutury geometrycznej uzwojenia. Wetory gęstości prądu J oraz gęstości strumienia magnetycznego (inducji magnetycznej) B spełniają warune bezźródłowości div B div J 0 (1.13) 5

tóry w postaci całowej nosi nazwę I prawa Kirchoffa S ( V ) S ( V ) J ds B ds i 0 0 (1.14) 2 S(V) i 1 i 2 i 3 1 S(V) 3 a. b. Rys.1.4. Ilustracja całowego sformułowania I prawa Kirchoffa. a. sumowanie strumieni magnetycznych w węźle rdzenia transformatora; b. sumowanie prądów w trójfazowym obwodzie. Własności materiałów wiodących prąd eletryczny czy strumień magnetyczny są wprowadzane zależnościami: gdzie ondutywność eletryczna, [S/m]. gdzie przenialność magnetyczna próżni, [H/m]. J E (1.15) B 0 r H H (1.16) r względna przenialność magnetyczna, dla ferromagnetyów Fe, Ni, Co r =(10 3 10 4 ) i silnie zależy od wartości pola H w materiale; dla pozostałych materiałów r =1. 6

B [T ] 2.5 2 M6 1.5 M19 1 0.5 0 0 10000 20000 30000 40000 Rys.1.5. Charaterystyi magnesowania blach M6 i M19. H [A/m ] 1.3. Reprezentacja sygnałów sinusoidalnych za pomocą liczb zespolonych Liczbą zespoloną z nazywamy wyrażenie z = a + jb (1.17) gdzie a, b są liczbami rzeczywistymi a j 2 =-1. Liczbę z można przedstawić w postaci trygonometrycznej z = a 2 + b 2 (cos φ + j sin φ) = a 2 + b 2 e jφ (1.18) w tórej ąt (faza) spełnia φ = atan b a dla b > 0 φ = π + atan b a dla b < 0 (1.19) Liczby a, b noszą nazwę, odpowiednio, części rzeczywistej a=re(z) i urojonej b=im(z) liczby z. Liczby zespolone przedstawia się na płaszczyźnie wytyczonej przez osie Re oraz Im co poazano na rys.1.6. z=a+jb Re ϕ a b Im +jb 0 -jb Rys.1.6. Płaszczyzna liczb zespolonych. 7

Liczba zespolona sprzężona z * ma fazę przeciwnego znau niż z Stąd wadrat amplitudy z 2 oblicza się jao z = a jb (1.20) z z = (a jb)(a + jb) = a 2 + b 2 = z 2 (1.21) Zależność (1.18) pozwala na wzajemne powiązanie funcji trygonometrycznych i esponencjalnych. Sumując liczby z i z * mamy co daje natychmiast z + z = 2z cos φ = z(e +jφ + e jφ ) (1.22) cos φ = e+jφ + e jφ 2 Analogicznie, odejmując te liczby otrzymuje się Liczby zespolone są oresowe sin φ = e+jφ e jφ 2j (1.23) (1.24) z(φ ± 2π) = z(φ) = 1,2, (1.25) Powyższe własności umożliwiają reprezentację sygnałów sinusoidalnie zmiennych w czasie za pomocą liczb zespolonych. Zastępując ąt w (1.23) przez iloczyn t, gdzie t jest czasem a =2f nazywana jest pulsacją (częstością) i f jest częstotliwością, możemy przedstawić wybraną wielość, na przyład napięcie u(, osinusoidalnie zmienne w czasie jao sumę dwóch tzw. wsazów wirujących na płaszczyźnie zespolonej w przeciwnych ierunach u( = U m cos ωt = U m 2 e+jωt + U m 2 e jωt = Re(U m e jωt ) (1.26) Graficznie przedstawiono to na rys.1.7 dla t=. +U m napięcie Re(U m e j ) Re 0 t 2 Im 0.5U m e j 0.5U m e -j - U m Rys.1.7. Sygnał w dziedzinie czasu i jego równoważni na płaszczyźnie zespolonej. 8

Dwa sygnały a( i b( mające tę samą częstotliwość mogą być przesunięte w fazie o pewien ąt. Matematycznie otrzymuje się to poprzez wymnożenie przez e j a( = A m e jωt b( = B m e jωt e j φ (1.27) j(ωt+ φ) = B m e Mówimy, że b( wyprzedza a( o ąt - masimum sygnału b( występuje wcześniej niż masimum a(. Przy porównywaniu sygnałów mających tę samą częstotliwość chwila t=0 nie jest istotna, gdyż zawsze można wprowadzić nowy pomiar czasu przesunięty o dowolny ąt fazowy. Natomiast przesunięcie fazowe jest niezależne od wyboru chwili początowej. 1.4. Moce w urządzeniach prądu przemiennego, systemy oznaczeń. Rozpatrzmy prosty obwód eletryczny sładający się z szeregowego połączenia rezystancji R i inducyjności L zasilanych sinusoidalnym napięciem u(=2usin(. Załadając, że parametry obwodu są stałe (niezależne od prądu, to do opisu jego właściwości można zastosować algebrę liczb zespolonych. Prąd pobierany z sieci wynosi U U I L = = R + jx L R 2 2 + X (R jx L) (1.28) L Ponieważ sładowa urojona Im(I L ) jest ujemna to prąd ten spóźnia się względem napięcia o ąt φ L = atan Im(I L) Re(I L ) = atan X L R < 0 (1.29) Natężenie prądu w postaci esponencjalnej zapisuje się jao U I L = R 2 2 + X ejφ L = Ie jφ L (1.30) L Napięcie i prąd o wartościach sutecznych U, I w tym obwodzie są oreślone wzorami u( i( 2U cos( Re L 2 I cos( t ) Re 2U e 2 j0 I e j L (1.31) gdzie U U e I I e jt jt (1.32) Na płaszczyźnie zespolonej o dodatnim ącie w ierunu przeciwnym do ruchu wsazówe zegara wielości te zaznacza się następująco 9

Re U L I=I e j L Im 0 Rys.1.8. Wsazy prądu i napięcia na płaszczyźnie zespolonej. Iloczyn zespolonych wartości U oraz I* (asteris oznacza tu liczbę sprzężoną) nazywany jest zespoloną mocą pozorną S = UI L = UIe jφ L = P + jq = UI[cos( φ L ) + j sin( φ L )] (1.33) Sładowa rzeczywista P jest mocą czynną a urojona Q oreślana jest mocą bierną. Należy pamiętać, że ażda z tych mocy ma inną jednostę: [S]=VA, [P]=W, [Q]=VAr. Aby lepiej zrozumieć rolę jaą odgrywają sładowe P, Q mocy rozpatrzmy bardziej szczegółowo przebieg czasowy p(. Niech napięcie zasilające u( będzie w postaci u(= 2Ucos(. Wówczas wartość chwilowa natężenia prądu i( wyniesie i(= 2Icos(t+ L ) pamiętamy, że ąt L jest w odbiorniu RL ujemny (1.29). Moc chwilowa jest więc równa p( = u(i( = 2UI cos(ω cos(ωt + φ L ) (1.34) a przebieg w czasie przedstawiono na rys.1.9. p( UI cos( L ) L u( i( t 2 Rys.1.9 Przebiegi czasowe napięcia, natężenia prądu i mocy w odbiorniu RL, L = -/6. 10

Widzimy, że moc pobierana z sieci w pewnych przedziałach czasu ma wartość ujemną, co oznacza, że jest zwracana niej. Przeształcając zależność trygonometryczną (1.34) otrzymujemy Oznaczając p( = UI[cos φ L (cos 2ωt + 1) + sin( φ L ) sin 2ωt] (1.35) mamy I Re = I cos φ L I Im = I sin φ L (1.36) p( = UI Re (cos 2ωt + 1) UI Im sin 2ωt (1.37) Pierwszy sładni jest zawsze dodatni i reprezentuje moc pobraną z sieci o wartości średniej UIcos( L ) i zamienioną na inny rodzaj mechaniczny lub cieplny. Nazwany został mocą czynną P. Drugi sładni ma wartość średnią równą zeru i przedstawia moc eletryczną oscylacyjnie wymienianą pomiędzy siecią i odbiorniiem RL. Nazwaliśmy go mocą bierną Q, tóra jest niezbędna do wytworzenia pola magnetycznego przez inducyjność L. u(i( u(i Re ( u(i Im ( t 2 Rys.1.10. Przebiegi czasowe sładniów mocy eletrycznej dla odbiornia RL, L =-/6. Wyres wsazowy może być wyonany w odniesieniu do napięcia ja poazano w zależnościach (1.35), bądź natężenia prądu. Wówczas ąt przesunięcia fazowego jest mierzony w przeciwnym ierunu niż poprzednio i uzysujemy U Re = U cos( φ L ) = IR U Im = U sin( φ L ) = IX L (1.38) Wyresy wsazowe dla obydwu przypadów poazano na rys.1.11. 11

Re U U Im(U) Re Re(U) I L Re(I L ) I L L L Im(I L ) Im a. Im b. Rys.1.11. Dwa rodzaje wyresów wsazowych odbiornia RL wyonane a. względem napięcia zasilającego, b. względem natężenia prądu. Bilans sładowych napięcia zapisany za pomocą liczb zespolonych jest w postaci U = U Re + ju Im = I L R + ji L X L = I L R + E (1.39) Spade napięcia na reatancji nazywamy siłą eletromotoryczną induowaną (SEM), tu SEM inducji własnej. 12