0.1 Modele Dynamiczne

0.1 Modele Dynamiczne 0.1.1 Wprowadzenie Często konkretne działanie czy zjawisko ekonomiczne nie tylko zależy od bieżących wartości pewnych wskaźników - zmiennych objaśniających modelu, ale również od ich wartości przeszłych, oraz wartości zjawiska z poprzednich okresów. Lemat 1 Mnożnik bezpośredni mierzy krótkookresową reakcję na zmianę wartości zmiennej objaśniającej. Wynosi on β 0 Lemat 2 Mnożnik długookresowy mierzy skumulowany efekt powstający wskutek zmiany zmiennej wartości objaśniającej w okresie 0. Dla modelu bez części autoregresyjnej wynosi on β τ = τ i=0 β i, a gdy część autoregresyjna występuje to β τ = P τ i=0 β i 1 P p i=0 γ i 0.1.2 Operator opóźnień Użytecznymi narzędziami skracającymi zapis postaci analitycznej modeli dynamicznych są oprerator opóźnień i operator różnicowy. Operator opóźnień jest zdefiniowany następująco: Lx t = x x 1 Ten operator możemy w obliczeniach traktować jak liczbę. Ma on następujące własności: La = a L 2 x t = L(Lx t ) = Lx t 1 = x t 2 L p x t = x t p 0.1.3 Operator różnicowy Drugim użytecznym narzędziem jest operator różnicowy x t = x t x t 1 Ten operator również może w obliczeniach być traktowany jak liczba. Ma on następujące własności: a = 0 1

2 x t = x t = (x t x t 1 ) = (x t x t 1 ) (x t 1 x t 2 ) p x t =... = (x t x t 1 )... (x t (p+1) x t p ) x t = x t 1 + x t x t = (1 L)x t Możemy połączyć użycie obu operatorów: 2 x t = (1 L) 2 x t = (1 2L + L 2 )x t = x t 2x t 1 + x t 2 = x t x t 1 Dodatkowo zauważmy, że: (1 L) 2 x t = (1 L)(1 L)x t = (1 L)(x t x t 1 ) = (x t x t 1 ) (x t 1 x t 2 ) Dynamiczne równanie regresji możemy przedstawić jako: y t = α + β i L i x t + ɛ t = α + B(L)x t + ɛ t i=0 gdzie B jest wielomianem zmiennej L: B(L) = β 0 L 0 + β 1 L 1 + β 2 L 2 +... Wielomian operatora opóźnień to wyrażenie postaci: A(L) = 1 + al + (al) 2 + (al) 3 +... = al i i=0 jeśli a < 1, wtedy: A(L) = 1 1 al 0.1.4 Modele o opóźnieniach rozłożonych Distributed Lags Model z opóźnieniami rozłożonymi ma następującą formę: y t = α + β γ i L i x t + ε t i=0 możemy go zapisać jako: y t = α + β(1 γl) 1 x t + ε t (1) 2

0.1.5 Model autoregresyjny Ten sam model możemy zapisać w formie autoregresyjnej. Mnożąc (1) przez (1 γl) otrzymujemy: po uporządkowaniu dostajemy: y t (1 γl) = α(1 γl) + βx t + ε t (1 γl) y t = α(1 γ) + βx t + γy t 1 + (1 γl)ε t możemy go również zapisać za pomocą operatora opóźnień: C(L)y t = α + βx t + ε 0.1.6 Modele autoregresyjne o opóźnieniach rozłożonych (ARDL) Autoregressive Distributed Lags Bardziej ogólnym zapisem modeli dynamicznych jest postać ARDL. y t = µ + p r γ i y t i + β j x t j + δw t + ε t (2) i=1 j=0 gdzie o składniku losowym ɛ t zakładamy że jest homoscedastyczny i nieskorelowany. Możemy zapisać model (2) w bardziej zwięzłej postaci: gdzie: oraz C(L)y t = µ + B(L)x t + δw t + ε t C(L) = 1 γ 1 L 1 γ 2 L 2... γ p L p B(L) = β 0 β 1 L 1 β 2 L 2... β r L r Model w tej postaci zapisujemy jeszcze krócej jako ARDL(p, r). Liczby wskazują na rząd wielomianów operatorów użytych do zapisu modelu. Klasyczny Model Regresji Liniowej jest specjalnym przypadkiem ARDL dla którego p = 0, oraz r = 0. 0.1.7 Stacjonarność Lemat 3 Proces stochastyczny jest słabo (wariancyjnie) stacjonarny jeśli var(x i ) = σ 2 < oraz cov(x t, x t+h ) = cov(x t+j, x t+j+h ) = γ h dla dowolnych t, j, h. 3

Intuicyjnie proces stochastyczny jest stacjonarny jeżeli ma skończoną wariancję oraz kowariancje między obserwacjami nie zależą od czasu, a jedynie od odległości między obserwacjami. Lemat 4 Proces zintegrowany stopnia zero, oznaczamy I(0). Można przedstawić go w postaci x t E(x t ) = i=0 ε t i, gdzie ε t IID (0, σ 2 ) - biały szum. Lemat 5 Proces stochastyczny x t nazywamy procesem zintegrowanym rzędu d jeżeli d x t jest I(0). 0.1.8 Stabilność modelu dynamicznego Stabilność modelu dynamicznego zależy od części autoregresyjnej modelu. Lemat 6 Model dynamiczny nazywamy modelem stabilnym jeżeli pierwiastki wielomianu operatora opóźnień jego części autoregresyjnej leżą poza kołem jednostkowym. Rozwiązaniem stabilnym modelu dynamicznego nazywamy rozwiązanie dla którego y t = y t 1 =... = y t p, x t = x t 1 =... = x t q, oraz iε i = 0 0.1.9 Model ARIMA Nazwa modelu jest zbitką trzech nazw. AR pochodzi od procesu autoregresyjnego, I od procesu zintegrowanego, a MA od procesu średniej ruchomej. Postać analityczna modelu jest dość skomplikowana: d y t = µ + γ 1 d y t 1 + γ 2 d y t 2 +... + γ p d y t p + ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q ale zapis można uprościć stosując wielomiany operatora opóźnień i operator różnicowy: C(L)[(1 L) d y t ] = µ + D(L)ε t Innym sposobem zapisu modelu jest ARIMA(p, d, q), gdzie p oznacza rząd procesu autoregresyjnego, q rząd procesu średniej ruchomej, a d rząd integracji procesu. 0.1.10 Pierwiastki jednostkowe i Test Dickey a-fullera Jeżeli proces stochastyczny zawiera pierwiastek który leży wewnątrz bądź na obrzeżu koła jednostkowego, to jest procesem niestacjonarnym. Test Dicke ya- Fullera wykrywa obecność pierwiastków jednostkowych. 4

Jeżeli mamy model autoregresji w którym zmienna y t jest szeregiem czasowymi postaci: y t = ρy t 1 + ε t (3) Chcemy sprawdzić czy zmienna y t jest stacjonarna. Wydaje się, że wystarczy przeprowadzić test czy ρ = 1 za pomocą statystyki t-studenta. Jeżeli składnik losowy w równaniu (3) jest procesem białego szumu, to jeśli ρ < 1 to ten proces jest zintegrowany stopnia zero. Lecz w przypadku gdy ρ = 1 równanie reprezentuje proces błądzenia losowego. Wtedy proces generujący y t jest niestacjonarny. W takim przypadku statystyka t nie będzie miała rozkładu t-studenta i nie możemy jej wartości używać do standardowych testów. Rozwiązaniem problemu testowania stopnia integracji jest procedura zaproponowana przez Dickey a i Fullera i nazwana od nazwisk autorów testem DF. Test DF weryfikuje hipotezę, że w równaniu (3) ρ = 1, czyli że mamy pierwiastek jednostkowy. Dlatego ten test również jest nazywany testem pierwiastka jednostkowego. Zapiszmy równanie (3) w postaci: i testujemy hipotezę zerową: y t = (1 + δ)y t 1 + ε t y t y t 1 = δy t 1 + ε t y t = δy t 1 + ε t (4) H 0 : δ = 0 H 1 : δ < 0 odrzucenie hipotezy zerowej δ = 0 na rzecz hipotezy alternatywnej oznacza że y t nie ma pierwiastków w kole jednostkowym, jest zintegrowane stopnia zero I(0). Statystyka testowa t nie ma rozkładu t-studenta. Wartości krytyczne odczytujemy z tablic wartości testu Dickey a-fullera. Wszystkie wartości krytyczne są w lewym ogonie rozkładu i są znacznie niższe od statystyk t- Studenta. Wartości krytyczne testu Dickey-Fuller a otrzymywane są za pomocą symulacji Monte Carlo, więc są one obciążone pewnym błędem. Dlatego niektóre tablice podają nie jedną, a dwie wartości krytyczne dolną i górną. Pomiędzy nimi leży obszar braku konkluzji. 0.1.11 Test ADF Test Dickey a-fullera nie uwzględnia faktu, że składnik losowy równania (3) może zawierać autokorelację. W przypadku występowania autokorelacji estymatory MNK są nieefektywne. Wobec tego stosuje się Rozszerzony test 5

Dickey a-fullera (Augmented Dickey-Fuller test). W równaniu regresji po prawej stronie umieszcza się opóźnione wartości zmiennej zależnej. Równanie przyjmuje postać: y t = δy t 1 + k γ i y t i + ε t (5) i=1 Sposób testowania oraz wartości krytyczne testu są identyczne jak w teście Dickey-Fullera. 0.1.12 Kointegracja i Test Engla-Grengera Jeżeli mamy równanie regresji w którym zmienne x t i y t są szeregami czasowymi, to te szeregi mogą zawierać trendy czasowe. Wobec tego są one niestacjonarne. Jeżeli istnieje między nimi długookresowy związek, to mówimy że procesy x t i y t są skointegrowane jeżeli odchylenia od ścieżki długookresowej są stacjonarne. Formalna definicja kointegracji podana przez Engla i Grengera jest następująca: Lemat 7 Mówimy, że szeregi czasowe są skointegrowane stopnia (d, b) co zapisujemy: x t, y t CI(d, b) jeżeli: 1. Oba szeregi są zintegrowane stopnia b 2. istnieje kombinacja liniowa tych zmiennych a 1 x t + a 2 y t, która jest zintegrowana stopnia d b Lemat 8 Wektor [a 1, a 2 ] nazywamy wektorem kointegrującym. Testowanie kointegracji jest analogiczne do testowania integracji. Sprawdzamy czy kombinacja liniowa zmiennych jest I(0). Test przeprowadzamy za pomocą procedury zaproponowanej przez Engla i Grengera. 1. Testujemy stopień integracji zmiennych związanych z badaną długookresową zależnością. Jeżeli w modelu mamy więcej niż dwie zmienne to stopień integracji zmiennej zależnej nie może być wyższy niż stopień integracji którejkolwiek ze zmiennych objaśniających. Ponadto liczba zmiennych o stopniu integracji wyższym od zmiennej zależnej modelu, powinna być albo równa zero, albo powinny być dwie takie zmienne. 6

2. Jeżeli znamy postać wektora kointegrującego [1, β] to test Dickey a- Fullera na kointegrację polega na obliczeniu statystyki t-studenta dla parametru δ w regresji gdzie: u t = δu t 1 + ε t (6) u t = y t βx t i porównaniu jej z wartością krytyczną z tablic dla testu DF. Dla testu ADF procedura jest analogiczna. Obliczamy statystykę t dla parametru δ z równania: k u t = δu t 1 + δ i u t i + ε t (7) Jeżeli relacja długookresowa nie jest znana a prori to najpierw szacujemy MNK parametry wektora kointegrującego. i=1 y t = β 1 x 1 +... + β k x k + ν t Następnie do równania (6) lub (7) w zależności od postaci testu zamiast u t wstawiamy oszacowane wektor reszt ν, więc: lub w przypadku testu ADF: ν t = δν t 1 + ε t ν t = δν t 1 + k δ i ν t i + ζ t i=1 Podobnie jak w przypadku testu integracji statystyka wartości krytyczne dla statystyki t-studenta odczytujemy z tablic testu DF. Gdy musimy oszacować wektor kointegujący wartości krytyczne dla statystyki testowej zależą również od liczby szacowanych parametrów wektora kointegrującego m. 0.1.13 Mechanizm korekcji błędem (ECM) Jeżeli dwa szeregi czasowe x t i y t są niestacjonarne i skointegrowane, to ich kointegracja powoduje, że składnik losowy relacji długookresowej nie zwiększa się. Engle i Grenger udowodnili, że każdy szereg skointegrowany ma reprezentację za pomocą mechanizmu korekty błędem. Twierdzenie odwrotne jest również prawdziwe, tzn. każdy mechanizm korekty błędem można przedstawić za pomocą szeregów skointegrowanych. 7

Rozpatrzmy model: y t = βx t + ɛ t (8) gdzie y t oraz x t są I(1). Przypuśćmy że y t i x t są CI(1, 1) z wektorem kointegrującym [ 1, β]. Wobec tego model (8) można przedstawić za pomocą mechanizmu korekty błędem y t = α 1 x t + α 2 (y t 1 βx t 1 ) + ε t (9) gdzie α 2 < 0. Ten model szacuje się również za pomocą dwustopniowej procedury Engla-Grengera. W pierwszym kroku szacujemy równanie (8) za pomocą MNK i testujemy hipotezę o stacjonarności reszt. Jeśli są stacjonarne to szacujemy (9) zastępując β otrzymanym w pierwszym kroku estymatorem. W ten sposób w równaniu (9) wszystkie zmienne są stacjonarne. 0.1.14 Zadania Zadanie 1. Mamy proces DL następującej postaci y t = µ + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t (a) Wyjaśnij jaka jest intepretacja współczynników przy β 0 i β 1 (b) Podaj jaki będzie wpływ na y t zmiany x t 1 i x t o jednostkę. Jak nazywamy współczynnik β τ? (c) Policz odchylenie standartowe współczynnika β τ [, jeżeli macierz ] wariancjikowariancji dla β 0 i β 1 ma postać: var(β τ ) = σ00 σ 01 σ 11 Rozwiązanie ad a) β 0 zmiana y t jeśli x t wzrośnie o jednostkę, β 1 zmiana y t jeśli x t 1 wzrośnie o jednostkę. ad b) β 0 jest to mnożnik bezpośredni, β τ jest to mnożnik długookresowy. β τ = β 0 + β 1 W pierwszym okresie y t zmieni się o β 0, w następnym y t zmieni się o β τ ad c) var(β τ ) = var(β 0 +β 1 ) = var(β 0 )+var(β1)+2cov(β 0 β 1 ) = σ 00 +σ 11 +2σ 01 se(β τ ) = σ 00 + σ 11 + 2σ 01 8

Zadanie 2. Mamy proces ARDL następującej postaci: y t = µ + ay t 1 + β 0 x t + β 1 x t 1 + ε t (a) Podaj warunek konieczny do tego, aby proces ten był stabilny (wpływ ɛ t na y t+s malał z upływem czasu) (b) Znajdź wielkość mnożnika bezpośredniego i długookresowego dla zmiennej x t. Jaka jest intepretacja tych mnożników? (c) Chcemy przeanalizować scenariusz w którym x t 1 było większe o 1 niż obserwowane. O ile większe w takim przypadku będzie oczekiwany y t? (d) Chcemy przeanalizować scenariusz w którym x t i x t 1 były większe o 1 niż obserwowane. O ile większe w takim przypadku będzie oczekiwany y t? (e) Jakie warunki musi spełniać ɛ t, żeby model ten można było wyestymować za pomocą MNK? Rozwiązanie ad a) Wartości bezwzględne pierwiastków wielomianu opóźnień muszą być większe od 1. 1 al = 0 = L = 1 a L > 1 = a < 1 = a ( 1, 1) ad b) mnożnik bezpośredni β 0 ; mnożnik długookresowy β 0+β 1. Mnożnik bezpośredni to efekt krótkookresowy (natychmiastowy). Mnożnik długo- 1 a okresowy pokazuje efekt zmiany w dłuższym okresie. ad c) E(y t ) wzrośnie o β 1 ad d) E(y t ) wzrośnie o β 0 + β 1 + aβ 0, ponieważ należy uwzględnić wpływ x t 1 na y t 1 ad e) cov(ε t, x t ) = 0, cov(ε t, x t 1 ) = 0, cov(ε t, y t ) = 0, cov(ε t, y t 1 ) = 0 9

Zadanie 3. Mamy następujący proces ARIM A(p, d, q): y t = µ + a y t 1 + ε t + θε t 1 E(ε) = 0 var(ε) = σ 2 I (a) Ile wynoszą parametry p, d, q? (b) Jaki jest warunek stabilności procesu y t? (c) Jakie jest rozwiązanie długookresowe dla procesu y t? (d) Czemu jest równa wartość oczekiwana procesu y t? (e) Jaka jest wariancja procesu y t? Rozwiązanie ad a) ARIMA (1,1,1) ad b) Pierwiastek wielomianu operatora opóźnień musi leżeć poza kołem jednostkowym, czyli: można zapisać jako: y t = µ + a y t 1 + ε t + θε t 1 (1 al) y t = µ + ε t + θε t 1 1 al = 0 = L = 1 a L > 1 = a < 1 = a ( 1, 1) ac c) Rozwiązanie długookresowe y = µ 1 a ad d) E( y t ) = E(µ) + E(a y t 1 ) + E(ε t ) + E(θε t 1 ) E( y t ) = E(µ) + E(a y t 1 ) + 0 + 0 E( y t ) = µ 1 a 10

ad e) (var( y t )) = var(µ + a y t 1 + ε t + θε t 1 ) (var( y t )) = var(µ) + var(a y t 1 ) + var(ε t ) + var(θε t 1 ) (var( y t )) = 0 + a 2 var( y t ) + σ 2 I + θ 2 σ 2 I (1 a 2 )(var( y t )) = σ 2 I + θ 2 σ 2 I (var( y t )) = σ2 I + θ 2 σ 2 I (1 a 2 ) Zadanie 7. Estymacja modelu AR(2) na pierwszych różnicach dla próby 100 obserwacji dała następujący wynik (w nawiasach są błędy standardowe) y t = 0, 18 0, 14 y t 1 +0.24 y t 1 + ε t (0, 12) (0, 05) (0, 10) Przetestuj na poziomie istotności α = 0, 05 hipotezę o pierwiastku jednostkowym. Dokładnie objaśnij jak brzmi hipoteza zerowa i alternatywna. Rozwiązanie Zapiszmy ogólną postać modelu: Należy przetestować hipotezę y t = α + βy t 1 + γ y t 1 + ε H 0 : β = 0 H 1 : β < 0 Wartość statystyki testowej wynosi t = 0,14 = 2, 8. Wartość krytyczną 0,05 odczytana z tablic testu Dickey a-fullera wynosi t DF (100) = 2, 9. Ponieważ t > t DF brak jest podstaw do odrzucania hipotezy zerowej o istnieniu pierwiastka jednostkowego. Zadanie 8. Powiedzmy, że mamy model: y t = α(y t 1 βx t 1 ) + δ y t 1 + ε t 11

i wyniki następujących regresji dla 100 obserwacji (poziom istotności α = 0, 05) y t = 0, 4 y t +0.2 y t 1 (0, 2) (0, 02) x t = 0, 8 x t +0.2 x t 1 (0, 5) (0, 1) (a) Czy w tym przypadku ma sens (i dlaczego) testowanie kointegracji między x t i y t? (b) Powiedzmy, że otrzymałeś z MNK reszty û t z regresji y t na x t a regresji û t na u t 1 ˆ dała następujący wynik (błędy standardowe w nawiasach) û t = 0, 8 u t 1 ˆ (0, 2) Jaki jest wynik testu na kointegrację? Rozwiązanie ad a) Wartość krytyczna testu Dickey a-fullera t DF (100) = 2, 9 ad b) t y = 0, 4 0, 2 = 2 Ponieważ statystyka testowa t y = 2 > t DF wartości krytycznej testu wnioskujemy, że istnieje pierwiastek jednostkowy, czyli szereg y t jest zintegrowany stopnia jeden I(1). t x = 0, 8 0, 5 = 1, 6 Ponieważ statystyka testowa t x = 1.6 > t DF wartości krytycznej testu wnioskujemy że istnieje pierwiastek jednostkowy, czyli szereg y t jest zintegrowany stopnia jeden I(1). Ponieważ oba szeregi są I(1) testowanie kointegracji jest sensowne, bowiem model może wskazywać nie na relację pomiędzy zmiennymi x t i y t, a między trendami zawartymi w zmiennych. t = 0, 8 0, 2 = 4 Ponieważ statystyka testowa t x = 4 < t DF wartości krytycznej testu wnioskujemy że zmienne są skointegrowane. 12

Literatura [1] Wojciech Charemza, Derek Deadman (1997) Nowa ekonometria, PWE. [2] William H. Greene (2003) Econometric Analysis, 5th edition. [3] Jerzy Mycielski (2000), WNE. 13