UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI

UNIWERSYTET ZIELONOGÓRSKI WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, ARCHITEKTURY I INŻYNIERII ŚRODOWISKA INSTYTUT BUDOWNICTWA Zakład Konstrukcji Budowlanych AUTOREFERAT PRACY DOKTORSKIEJ Przestrzenne kształtowanie prętów ściskanych o maksymalnej nośności wyboczeniowej Mirosław Sadowski Promotor: dr hab. inż. Jakub Marcinowski, prof. UZ Zielona Góra, 2018 1

SPIS TREŚCI 1. Wprowadzenie... 3 2. Cel, zakres i tezy rozprawy... 4 3. Rezultaty obliczeń analitycznych... 5 3.1. Opis modeli matematycznych prętów... 5 3.2. Wyniki rozwiązań analitycznych... 7 3.2.1. Rezultaty dla prętów pełnych... 7 3.2.2. Rezultaty dla prętów drążonych o stałej grubości ścianki... 9 3.2.3. Rezultaty dla prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki... 10 3.2.4. Optymalizacja kształtu pierścieniowych prętów drążonych zdefiniowanych trzema niezależnymi zmiennymi decyzyjnym... 11 4. Symulacja numeryczna trójkątnego pręta pełnego opisanego powierzchnią cosh... 12 5. Badania empiryczne przeprowadzone na pręcie pełnym, opisanym powierzchnią cosh... 13 6. Konfrontacja rezultatów obliczeń analitycznych i numerycznych z wynikami badań empirycznych... 13 7. Podsumowanie... 14 7.1. Ocena wyników badań... 14 7.2. Oryginalne aspekty pracy... 15 7.3. W przyszłości perspektywy dalszych badań... 15 Bibliografia... 16 2

1. WPROWADZENIE Od starożytności po współczesność starano się znaleźć taki kształt słupów (prętów) ściskanych, aby zmniejszyć ich masę, przy jednoczesnym zachowaniu nośności lub odwrotnie przy ustalonej masie, zwiększyć ich wytrzymałość. Prawdopodobnie efekt enthasis, stosowany już w starożytności, mający na celu zniesienie złudzenia optycznego, przejawiającego się we wrażeniu wklęsłości kolumn (rys. 1.1), miał do tego doprowadzić. Ukształtowanie prętów, a ściślej mówiąc nadanie odpowiedniego kształtu przestrzennego rozpórkom łączącym płaty w statkach powietrznych (dwupłatowcach rys. 1.2) oraz rozpórkom kielichów amortyzatorów w komorze silnika samochodu, nadto rdzeniowi tzw. rozpornicy, to niektóre z wielu rozwiązań technicznych, mających zastosowanie wszędzie tam, gdzie wymagany jest najmniejszy z możliwych ciężar elementu. Z uwagi na minimalizację ciężaru, lub też maksymalizację nośności, zagadnienie sprowadza się do optymalizacji stateczności konstrukcji, czyli do wyboru spośród możliwych rozwiązania najlepszego, przy jednoczesnym spełnieniu kryteriów optymalizacji i stateczności. Pierwsze teoretyczne podejście do zagadnienia rozpoczęło się od momentu, w którym L. Euler, w roku 1757, wyprowadził wzór wyrażający siłę krytyczną w kolumnie ściskanej [5]. Zagadnienie najmniejszego ciężaru słupa ściskanego sformułował J. L. Lagrange [13], a T. Clausen je rozwiązał (por. [2], [4]). Również J. L. Lagrange był prawdopodobnie pierwszym z badaczy, którzy próbowali określić optymalny kształt ściskanej kolumny, w odniesieniu do kryteriów stateczności. Jednak, jak się później okazało, jego rozwiązanie nie było w pełni prawidłowe i dopiero T. Clausen, w roku 1851, przedstawił poprawną odpowiedź (por. [3], [14]). Jego rozwiązanie dotyczyło Rys. 1.2. Replika FVM Ö1 Tummelisa Rys. 1.1. Enthasis jednak słupa pełnego, którego przekroje były wzajemnie podobne i zostało uzupełnione dopiero przez J. Ł. Nikolai [16], który przeprowadził je dla przekrojów kołowych przez wprowadzenie warunku ograniczonego naprężenia ściskającego. Wśród współczesnych badaczy, słupy ściskane analizowało wielu naukowców, co pokazuje, że temat cieszy się dość sporym zainteresowaniem. J. B. Keller [11] oraz J. B. Keller i I. Tadjbakhsh [12] poruszyli przypadki kształtowania prętów o różnych warunkach brzegowych. A. Gajewski zajął się kształtowaniem prętów wykonanych z materiału nieliniowo sprężystego [9, 10], w których dodatkowo dokonał przeglądu i krótkiego omówienia formowania prętów przy obciążeniach niekonserwatywnych. W niedalekiej przeszłości A. P. Filipow i W. B. Griniew, do modelowania prętów ściskanych siłami skupionymi oraz ciągłymi, zastosowali zasadę maksimum Pontriagina (por. [6, 7, 8]). W czasach najbliższych, zainteresowanie tematem nie słabnie. Przykładami są prace, przytoczone w poz. [1, 14, 15]. W poz. [14] autor rozważa kolumny beczkowate opisane bryłami, będącymi rezultatem obrotu założonych krzywych płaskich, wykazując przy tym, że takie ukształtowanie słupa, implikuje wzrost nośności wyboczeniowej w każdym analizowanym przypadku w odniesieniu do nośności wyboczeniowej referencyjnej kolumny walcowej o tej samej masie o ok. 30%. Niepełne wyczerpanie tematu, jak również spore nim zainteresowanie, stały się bezpośrednimi przyczynami, dla których został on podjęty przez autora. 3

2. CEL, ZAKRES I TEZY PRACY Cel pracy to wyznaczenie optymalnych (najlepszych w świetle założonych kryteriów oceny) kształtów prętów ściskanych o poprzecznych przekrojach kołowym i wielokątnych (pełnych i drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki), przenoszących maksymalną siłę osiową. Postawiony zamysł osiągnięto drogą obliczeń analitycznych oraz symulacji numerycznych, a także zweryfikowano i potwierdzono wyniki tych rozważań poprzez badania eksperymentalne, wykonywane na prętach pełnych o teoretycznie wyznaczonym, najbardziej korzystnym kształcie. Zakres pracy obejmował: a) poszukiwanie najkorzystniejszego przestrzennego ukształtowania prętów ściskanych (przy zadanych warunkach podparcia) o poprzecznych przekrojach kołowym i wielokątnych, (pełnych oraz drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki), wpisanych w powierzchnie wyznaczone obrotem łuku paraboli, sinusoidy oraz funkcji zawierającej w swej strukturze cosh, poprzez liczne obliczenia analityczne, b) numeryczne analizy stateczności wyznaczonych teoretycznie optymalnych kształtów prętów pełnych i drążonych, wykonane za pomocą metody elementów skończonych (MES), c) pozyskanie modelu rzeczywistego, najkorzystniej ukształtowanego przestrzennie pręta, o pełnym przekroju poprzecznym, wykonanego z tworzywa sztucznego, d) przeprowadzenie badań eksperymentalnych na modelu rzeczywistym. Podstawowe założenia, pozwalające na zbudowanie modeli prętów, sformułowano następująco: a) założono, że materiał, z którego wykonano pręty jest liniowo sprężysty oraz że jest izotropowy i jednorodny, b) przyjęto, że analizowane pręty są wykonane ze wstępną imperfekcją geometryczną, która reprezentuje niedoskonałości wykonawcze, c) nie ograniczono przemieszczeń w prętach, d) pręty opisano za pomocą deterministycznych parametrów geometrycznych i materiałowych, e) nie uwzględniono zmian temperatury. Z uwagi na powyższe, postawiono następujące tezy, będące przedmiotem opracowania dysertacji doktorskiej: T 1 : Przestrzenne kształtowanie prętów niepryzmatycznych o kołowym i wielokątnych przekrojach poprzecznych (pełnych oraz drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki), poddanych ściskaniu osiowemu, pozwala znacząco zwiększyć ich nośność wyboczeniową. T 2 : Wzrost nośności wyboczeniowej prętów pełnych, uzyskany poprzez ich przestrzenne kształtowanie, w pewnych przypadkach może osiągać połowę nośności walcowego pręta referencyjnego o takiej samej masie i tej samej długości. T 3 : Nośność wyboczeniowa prętów drążonych stałej grubości ścianki jest kilkakrotnie większa od nośności wyboczeniowej walcowego pręta referencyjnego, natomiast w przypadku prętów o zmiennej grubości ścianki, może osiągać wartość kilkunastokrotnie wyższą. Przedmiotem rozprawy była zatem optymalizacja kształtu prętów o poprzecznych przekrojach kołowym i wielokątnych (pełnych oraz drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki), wpisanych w powierzchnie wyznaczone obrotem łuku paraboli, sinusoidy oraz funkcji zawierającej w swej strukturze cosh, poddanych ściskaniu osiowemu (dla zdefiniowanych warunków podparcia), przy założonej funkcji celu maksymalnej wartości nośności wyboczeniowej i głównym ograniczeniu przyjętej wstępnie masie i długości pręta. 4

3. REZULTATY OBLICZEŃ ANALITYCZNYCH 3.1. Opis modeli matematycznych prętów Rozpatrzmy pręt o długości L, poddany ściskaniu osiowemu, który jest podparty przegubowo na końcach i którego schemat statyczny przedstawiony jest na rys. 3.1. Rys. 3.1. Rozważany schemat statyczny układu Rozważono trzy rodzaje prętów pełnych, o przekrojach poprzecznych: trójkątnym, kwadratowym, sześciokątnym (rys. 3.2). Długości boków na końcach pręta oznaczono przez a, natomiast w połowie jego długości jako A. Pręty wpisano w pewne powierzchnie obrotowe, powstałe w wyniku obrotu założonych krzywych płaskich: paraboli drugiego stopnia, sinusoidy i łuku funkcji cosh), wokół osi geometrycznej pręta. Rys. 3.2. Widok niepryzmatycznych prętów pełnych o poprzecznym przekroju trójkątnym, czworokątnym i sześciokątnym, wpisanych w powierzchnie obrotowe (skala niezachowana) Rozważaniom poddano także pręty drążone o przekrojach wielokątnych (o stałej grubości ścianki): trójkątnym, kwadratowym, sześciokątnym; zewnętrzne tworzące bryły, w którą zostały wpisane (jak również wewnętrzne) przedstawiono za pomocą łuków zadanych krzywych płaskich. Do analizy włączono również pręty drążone o pierścieniowym przekroju poprzecznym (rys. 3.3). W końcowym etapie analizy obliczeniowej zbadano pręty drążone o przekrojach wielokątnych (trójkątnym, kwadratowym, sześciokątnym) i pierścieniowym o zmiennej grubości ścianki. Jak poprzednio, przyjęto, że zewnętrzne i wewnętrzne powierzchnie obrotowe (mowa o nich była powyżej), w które wpisano pręty, to rezultat obrotu łuków trzech par funkcji płaskich. 5

Rys. 3.3. Widok niepryzmatycznego pręta o poprzecznym przekroju pierścieniowym (skala niezachowana) Przyjęto, że rozpatrywane pręty mają jednakową masę z pewnym wzorcowym prętem walcowym o średnicy S i długości L. Założenie, że analizowane pręty mają jednakową masę z masą pręta referencyjnego, pozwoliło na wyznaczenie relacji wiążącej długość boku przekroju poprzecznego prętów w połowie ich długości, z długością boku przekroju poprzecznego prętów na ich końcach przykład: relacja (3.4). Dla pełnego zobrazowania algorytmu, jako przykład, przytoczmy model matematyczny pełnego pręta trójkątnego, opisanego bryłą powstałą w wyniku obrotu łuku funkcji, zawierającej czynnik cosh. Łuk tworzącej bryłę obrotową dany jest relacją (3.1) natomiast długości boku przekroju poprzecznego pręta wyraża związek Moment bezwładności przekroju poprzecznego dany jest relacją: (3.2) (3.3) zaś porównanie masy tego pręta z masą referencyjnego pręta walcowego, prowadzi do związku (3.4) 6

3.2. Wyniki rozwiązań analitycznych 3.2.1. Rezultaty dla prętów pełnych Prześledźmy analizę pręta pełnego o trójkątnym przekroju poprzecznym, wpisanego w bryłę powstałą z obrotu funkcji cosh, wykonanego ze stali przyjmijmy parametry geometryczne i fizyczne walcowego pręta referencyjnego: średnica przekroju poprzecznego: długość pręta: materiał stal: Po uwzględnieniu związków (3.1) (3.4), wzór na siłę krytyczną ma postać następującą 1 : przy czym wyrażone jest poprzez (3.4); jest zatem funkcją długości boku przekroju poprzecznego na początku pręta:. Opisywana funkcja jest krzywą gładką i posiada maksimum lokalne; analiza każdego przypadku potwierdza to założenie i pozwala wyznaczyć parametry geometryczne prętów, dla których przyjmuje ekstremum przyjrzyjmy się rozkładowi siły krytycznej dla analizowanego pręta oraz otrzymanym rezultatom (rys. 3.4). Rys. 3.4. Rozkład siły krytycznej dla niepryzmatycznego pełnego pręta o przekroju trójkątnym, wpisanego w powierzchnię cosh W dalszej części pracy, przeanalizowano wszystkie przypadki prętów pełnych. Wyniki przedstawiają się następująco (tabl. 3.1): 1 ) Na podstawie wzoru Timoshenki:. 7

Tabl. 3.1. Zestawienie wartości ekstremalnych siły krytycznej [N], uzyskanych za pomocą wzoru Timoshenki, dla niepryzmatycznych prętów pełnych rodzaj wartości ekstremalne sił krytycznych powierzchni obrotowej trójkątny kwadratowy sześciokątny paraboloidalna 26662,0 23090,0 22218,3 sinusoidalna 26427,7 22887,1 22023,1 cosh( ) 26681,7 23107,1 22234,8 Stosowanie wzoru Timoshenki prowadzi do uzyskania przybliżonej wartości siły krytycznej. Celem wyznaczenia jej rzeczywistej wartości, konieczne jest rozwiązanie różniczkowego równania stateczności dla każdego przypadku (f wstępna imperfekcja): Prześledźmy algorytm obliczeniowy dla rozpatrywanego pręta. Relacja opisująca różniczkowe równanie stateczności (3.5), ma postać (poszukiwana wielkość to F): (3.5) przy czym wyrażone jest związkiem (3.4), natomiast a = 14 mm uzyskano na podstawie poszukiwania argumentu, dla którego siła krytyczna, wyrażona wzorem Timoshenki, uzyskała wartość ekstremalną. Niestety, rozwiązanie powyższego równania jest bardzo uciążliwe, lub też w ogóle niemożliwe w próbie szukania rozwiązania analitycznego. Trudność tę można ominąć posługując się rozwiązaniem numerycznym, generującym wykres funkcji ugięcia siła krytyczna ma tę wartość, dla której maksymalne ugięcie wykazuje nieograniczony wzrost. Poniżej zaprezentowano wykres funkcji ugięcia i uzyskaną w ten sposób wartość siły krytycznej (rys. 3.5). Można zauważyć, że wartość przemieszczenia, otrzymana w wyniku rozwiązania liniowego równania różniczkowego (3.5) dąży wręcz do nieskończoności gdy siła osiąga wartość krytyczną. Rys. 3.5. Rozkład funkcji ugięcia w(x) dla niepryzmatycznego pełnego pręta o przekroju trójkątnym, wpisanego w powierzchnię cosh oraz odpowiadająca mu wartość siły krytycznej 8

Rozwiązując numerycznie różniczkowe równanie stateczności (3.5) dla każdego przypadku modeli matematycznych, opisanych prętów pełnych, otrzymano następujące wartości siły krytycznej (tabl. 3.2): Tabl. 3.2. Zestawienie wartości ekstremalnych siły krytycznej [N], uzyskanych w drodze numerycznego rozwiązania równania różniczkowego (3.5) dla niepryzmatycznych prętów pełnych o przekrojach wielokątnych rodzaj wartości ekstremalne sił krytycznych powierzchni obrotowej trójkątny kwadratowy sześciokątny paraboloidalna 25265,10 21775,20 21217,38 sinusoidalna 24944,80 21668,72 20676,70 cosh( ) 25324,35 21833,10 21254,15 Dla zadanych wyjściowych parametrów geometrycznych i materiałowych, siła krytyczna referencyjnego pręta walcowego wynosi: (3.6) a zatem, otrzymany wzrost nośności wyboczeniowej analizowanych prętów w stosunku do nośności wyboczeniowej tego pręta, przedstawia się tak, jak pokazano w tabl. 3.3. Tabl. 3.3. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%] prętów pełnych o przekrojach wielokątnych, w stosunku do siły krytycznej referencyjnego pręta walcowego rodzaj powierzchni obrotowej trójkątny wzrost siły krytycznej kwadratowy sześciokątny paraboloidalna 55,21 33,78 30,34 sinusoidalna 53,24 33,11 27,02 cosh( ) 55,57 34,12 30,57 3.2.2. Rezultaty dla prętów drążonych o stałej grubości ścianki Niech parametry geometryczne i fizyczne walcowego pręta referencyjnego mają wartości analogiczne jak na str. 7. Siła krytyczna jest w tym przypadku funkcją dwóch wielkości: Przykładowy rozkład tej relacji przedstawia rys. 3.6. Analizując kształt powierzchni ilustrujących przebieg siły krytycznej, można zaobserwować, że wartość siły krytycznej, dla ustalonej długości boku przekroju poprzecznego z końca pręta a wzrasta, gdy grubość ścianki t zdąża do zera. Z uwagi na zastosowanie techniczne, przyjmijmy, że grubość ścianki jest stała i wynosi t = 3mm. Relacja wyrażająca siłę krytyczną jest wówczas funkcją jednego parametru: (3.8) 9

Rys. 3.6. Rozkład siły krytycznej dla drążonego niepryzmatycznego pręta sześciokątnego o stałej grubości ścianki, opisanego bryłą powstałą w wyniku obrotu pary parabol II-go stopnia Wzrost nośności wyboczeniowej tak przyjętych prętów w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta referencyjnego, przedstawia się tak, jak pokazano w tabl. 3.6. Tabl. 3.6. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%] drążonych niepryzmatycznych prętów wielokątnych o stałej grubości ścianki, w stosunku do siły krytycznej pryzmatycznego pręta walcowego o tej samej masie rodzaj powierzchni obrotowej wzrost siły krytycznej trójkątny kwadratowy sześciokątny paraboloidalna 450,85 517,48 584,28 646,24 sinusoidalna 448,36 512,56 576,45 638,79 cosh( ) 453,04 518,55 586,73 648,97 pierścieniowy 3.2.3. Rezultaty dla prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki Przyjmijmy, że wartości parametrów geometrycznych i fizycznych referencyjnego walcowego pręta pryzmatycznego są identyczne jak w pkt. 3.2.1. Niech parametr wyrażający stosunek grubości ścianki na końcu pręta do grubości ścianki w jego środku, przyjmuje następujące wartości: przy czym co oznacza, że przy kolejnych jego zmianach, grubość ścianki na końcach pręta będzie zmieniać się o 0,5 mm (w przedziale ). Na podstawie wzoru Timoshenki, wraz z przyjętymi wartościami parametrów oraz dla ustalonej wartości, widać, że siła krytyczna jest w tym przypadku funkcją dwóch wielkości (3.9) (3.10) 10

Z uwagi na zastosowanie techniczne, przyjmijmy zatem, że grubość ścianki w środku długości pręta określona jest na poziomie t = 3mm. Dla zadanych wyjściowych parametrów geometrycznych i materiałowych, siła krytyczna referencyjnego pręta walcowego wynosi, a zatem, otrzymany wzrost nośności wyboczeniowej poszczególnych prętów w stosunku do nośności wyboczeniowej tego pręta, przedstawia się tak, jak pokazano w tabl. 3.9. Tabl. 3.9. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%] drążonych prętów niepryzmatycznych o zmiennej grubości ścianki w stosunku do siły krytycznej pryzmatycznego pręta walcowego o tej samej masie rodzaj wzrost siły krytycznej powierzchni obrotowej trójkątny kwadratowy sześciokątny pierścieniowy paraboloidalna 725,88 824,08 927,11 1023,81 sinusoidalna 755,26 865,01 972,60 1072,30 cosh( ) 722,99 822,30 922,94 1017,90 3.2.4. Optymalizacja kształtu pierścieniowych prętów drążonych, zdefiniowanych trzema niezależnymi zmiennymi decyzyjnymi W poprzednich punktach przeprowadzono analizę prętów drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki, zakładając na wstępie (z uwagi na ograniczenia techniczne), że jej wartość w połowie długości pręta to 3 mm. Przeprowadźmy teraz optymalizację kształtu prętów o zmiennej grubości ścianki i przekroju pierścieniowym z trzema zmiennymi decyzyjnymi: grubością ścianki w połowie długości pręta ( ), długością promienia zewnętrznej tworzącej bryły pręta ( ) na jego końcu, stosunkiem grubości ścianki na końcach pręta do grubości ścianki w jego połowie ( ). Podobnie jak poprzednio, zakładamy, że masy tych prętów są identyczne z masą walcowego pręta referencyjnego o następujących parametrach geometrycznych i fizycznych: średnica przekroju poprzecznego: długość pręta: materiał stal: Okazuje się, że wzrost nośności wyboczeniowej rozważanych prętów w stosunku do nośności wyboczeniowej referencyjnego pręta walcowego (F kr(w) = 1157,57 N), przedstawia się jak w tabl. 3.10, a więc ma wartość niemal dwudziestokrotnie większą. Tabl. 3.10. Zestawienie wzrostu siły krytycznej [%] pierścieniowych prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki, w stosunku do siły krytycznej referencyjnego pręta walcowego. otrzymane wartości wartość wzrost rodzaj powierzchni parametrów geometrycznych siły krytycznej siły krytycznej obrotowej [mm] [mm] [N] [%] paraboloidalna 2,93 4,38 0,50 22522,94 1845,71 sinusoidalna 2,64 4,62 0,52 22347,24 1830,53 cosh( ) 2,58 5,07 0,51 24302,58 1999,45 11

4. SYMULACJA NUMERYCZNA TRÓJKĄTNEGO PRĘTA PEŁNEGO OPISANEGO POWIERZCHNIĄ COSH Rozpatrzmy przypadek liczbowy dla pręta wykonanego z tworzywa sztucznego. Przyjmijmy parametry geometryczne i fizyczne walcowego pręta referencyjnego: średnica przekroju poprzecznego:, długość pręta:, materiał tworzywo sztuczne:, Siła krytyczna, która wynika z obliczeń ma wartość Z uwagi na symetrię pręta, analiza numeryczna dotyczyła jego połowy rozpatrzono pręt wspornikowy o długości L/2 (rys. 4.1). (4.1) Rys. 4.1. Połowa pręta, rozpatrywanego jako wspornik (skala niezachowana; trójkątna płaszczyzna czołowa o boku A miejsce utwierdzenia) oraz jego analiza numeryczna Pręt, na trójkątnej powierzchni czołowej o boku a = 5,5 mm, obciążono ciśnieniem osiowym o wartości natomiast liczbę Poissona przyjęto równą 0,3. Z analizy otrzymano następującą wartość mnożnika skalarnego 2 (por. rys. 4.2): co daję siłę krytyczną: Błąd względny tej wartości w odniesieniu do wartości siły krytycznej, uzyskanej drogą obliczeń analitycznych (4.1) wynosi: (4.2) (4.3) (4.4) 2 ) Jest to liczba otrzymana dla pierwszej formy wyboczenia. 12

5. BADANIA EMPIRYCZNE PRZEPROWADZONE NA PRĘCIE PEŁNYM, OPISANYM POWIERZCHNIĄ COSH Badania doświadczalne miały na celu eksperymentalne wyznaczenie pewnych relacji, które wykazują niepryzmatyczne pręty pełne o poprzecznym przekroju trójkątnym, opisane powierzchnią powstałą z obrotu łuku funkcji zawierającej w swej strukturze czynnik cosh. Badaniom doświadczalnym zostały poddane niepryzmatyczne pręty o trójkątnym przekroju poprzecznym, opisane bryłą, powstałą w wyniku obrotu tworzącej, będącej łukiem funkcji, zawierającej w swej strukturze czynnik cosh, które wytworzono z tworzywa sztucznego. Pręty wyprodukowano w technice drukarskiej 3D. Z uwagi na znaczne imperfekcje, który wykazywały badane pręty, do wyznaczenia rzeczywistej (empirycznej) wartości siły krytycznej, użyto metody Southwella która pozwala ją wyznaczyć niezależnie od niedoskonałości próbek. Na podstawie przeprowadzonych prób (po trzy próby dla każdego z trzech modeli pręta), otrzymano średnią wartość siły krytycznej: ś (5.1) przy odchyleniu standardowym 1,95 N. Błąd względny (w odniesieniu do wartości (4.1)) stanowi 1,015%. 6. KONFRONTACJA REZULTATÓW OBLICZEŃ ANALITYCZNYCH I NUMERYCZNYCH Z WYNIKAMI BADAŃ EMPIRYCZNYCH Bezpośredni pomiar siły krytycznej, realizowany przez obciążanie pręta, aż do wystąpienia wyboczenia był trudny do zrealizowania, jeśli nie niemożliwy w tym przypadku (z uwagi na niedoskonałości wykonawcze próbek). Wstępna, nieokreślona bliżej krzywizna pręta, trudności ściśle osiowego przyłożenia siły i inne czynniki, przekładały się na to, że znaczne poprzeczne ugięcie prętów obserwowano już przy wartościach sił o wiele mniejszych od siły krytycznej, której ustalenie stało się praktycznie niemożliwe, chociażby ze względu na fakt, że niewykonalnym było ustalenie momentu, w którym rozpoczynało się wyboczenie. W tych okolicznościach z powodzeniem zastosowano metodę Southwella, która na podstawie zmierzonych wartości siły i odpowiadającej jej ugięć, pozwoliła określić wartość siły krytycznej. Jeśli porównać wartości siły krytycznej otrzymane na podstawie obliczeń analitycznych ((4.1)), symulacji numerycznej ((4.3)) oraz wynikającej z doświadczenia ((5.1)), widzimy, że lokują się one na bardzo zbliżonym poziomie. Fakt ten dobitnie potwierdza zasadność przewidywań co do wzrostu nośności wyboczeniowej prętów ukształtowanych przestrzennie w założony sposób oraz uwierzytelnia przeprowadzone obliczenia analityczne i symulacje numeryczne. Można zatem stwierdzić, że tezy postawione na początku pracy zostały udowodnione. Rys. 5.1. Próba ściskania 13

7. PODSUMOWANIE 7.1. Ocena wyników badań W ocenie autora, przeprowadzone badania doprowadziły do konkluzji, iż tezy, które sformułowano na wstępie, są prawdziwe. Przeprowadzone dedukcje pozwoliły na sformułowanie stwierdzenia, iż prawdziwymi pozostają wnioski, dotyczące optymalnych kształtów prętów ściskanych: 1) w przypadku niepryzmatycznych prętów pełnych: klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych powierzchni obrotowych, w którą zostały wpisane, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie: powierzchnia cosh, powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia sinusoidalna, klasyfikacja ze względu na rozważane kształty przekroju poprzecznego, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie, przebiega według kolejności: trójkątny, kwadratowy, sześciokątny, okrągły, 2) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych o stałej grubości ścianki: a) klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych funkcji, będących tworzącymi powierzchni, w które je wpisano, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie, prezentuje się jak następuje: powierzchnia cosh, powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia sinusoidalna, b) klasyfikacja ze względu na rozważane kształty przekroju poprzecznego, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie, przebiega według kolejności: pierścieniowy, sześciokątny, kwadratowy, trójkątny. 3) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki: a) klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych funkcji, będących tworzącymi powierzchni, w które je wpisane, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie, przedstawia się następująco: dla grubości ścianki na końcach prętów, mniejszej lub równej 5/6t: powierzchnia sinusoidalna, powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia cosh, dla grubości ścianki na końcach prętów, większej niż 5/6t: powierzchnia cosh, powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia sinusoidalna, b) klasyfikacja ze względu na rozważane kształty przekroju poprzecznego, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie, przebiega według porządku: pierścieniowy, sześciokątny, kwadratowy, trójkątny. 4) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych o zmiennej grubości ścianki i pierścieniowym przekroju poprzecznym, poddanych optymalizacji z trzema zmiennymi decyzyjnymi, klasyfikacja ze względu na rodzaj badanych funkcji, będących tworzącymi powierzchni prętów, według wartości wzrostu nośności wyboczeniowej, w stosunku do nośności wyboczeniowej pręta walcowego o tej samej masie, prezentuje się jak następuje: powierzchnia cosh, powierzchnia paraboloidalna, powierzchnia sinusoidalna, 14

7.2. Oryginalne aspekty pracy Innowacyjnym ujęciem rozwiązania postawionego problemu było: a) zaproponowanie rodziny funkcji, wyrażających łuki tworzących powierzchni obrotowych, opisujących pręty oraz zbioru przekrojów poprzecznych, b) opracowanie algorytmów w programie Mathematica TM, realizujących skomplikowane obliczenia, wynikające z potrzeb pracy, c) przeprowadzenie badań empirycznych na rzeczywistym modelu zaprojektowanego pręta oraz potwierdzenie poprzez to wyników obliczeń analitycznych i symulacji numerycznych, d) wykazanie, że wzrost nośności wyboczeniowej rozważanych prętów następuje w kierunku: niepryzmatyczne pręty pełne niepryzmatyczne pręty drążone o stałej grubości ścianki niepryzmatyczne pręty drążone o zmiennej grubości ścianki, e) opracowanie modeli niepryzmatycznych prętów pełnych i drążonych, które, w ramach dostępnej technologii można wykonać w rzeczywistości. 7.3. W przyszłości perspektywy dalszych badań Rozważania zaprezentowane w ramach rozprawy, otwierają szeroki wachlarz testów analitycznych, numerycznych oraz eksperymentalnych. Mogą nimi być: a) próby przyjęcia innej rodziny funkcji (lub ich kombinacji), które jednoznacznie definiują łuk tworzącej bryły opisującej pręt, b) wykonanie rzeczywistych modeli prętów drążonych o stałej i zmiennej grubości ścianki oraz przeprowadzenie empirycznych badań na nich, c) podjęcie próby znalezienia rozwiązania problemu w obrębie zagadnień wariacyjnych, a poprzez to, wyznaczenie funkcji jednoznacznie definiującej łuk tworzącej bryły opisującej pręt, która wykazywałaby ekstremum wobec wszystkich innych, d) w przypadku niepryzmatycznych prętów drążonych, próby zbudowania ich modeli matematycznych, które w inny sposób określałyby zmianę grubości ścianki, e) analiza wrażliwości funkcji celu, f) przeprowadzenie optymalizacji kształtu pręta, wyrażającej się przyjęciem innej liczby zmiennych, g) analiza optymalizacji kształtu pręta innymi metodami matematycznymi, chociażby probabilistycznymi, h) próby przeprowadzenia optymalizacji kształtu pręta ściskanego mimośrodowo lub poddanego innemu stanowi obciążenia, i) porównanie wyników dociekań niniejszej rozprawy z wynikami, które można byłoby uzyskać z przeprowadzenia optymalizacji prętów ściskanych, pracujących w zakresie pozasprężystym, j) próby zbudowania interakcyjnej procedury (systemu), która łączyłaby w całość wykorzystane narzędzia komputerowe, k) analiza prętów o innych warunkach podparcia. 15

BIBLIOGRAFIA [1] Bochenek B., Krużelecki J.: Optymalizacja stateczności konstrukcji. Współczesne problemy. Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków, 2007. [2] Brandt A. M. [and other]: Criteria and Methods of Structural Optimization. PWN Polish Scientific Publishers. Warszawa, 1984. [3] Brandt A. M. [i inni]: Podstawy optymalizacji elementów konstrukcji budowlanych. Polskie Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978. [4] Clausen T.: Über die Form architektonischer Säulen. Bulletin physico-math. de l Academie de St. Petersbourg, t. IX, 1851. [5] Euler L.: Sur la force des colonnes, Mem. de l Acad., Berlin, 1757. [6] Filipow A. P., Griniew W. B.: Ob optymalnych oczertaniach strieżniej w zadaczach ustojcziwosti. Stroit, Mech. i Razcz. Sooruż., Nr 2, Moskwa, 1975, 21 27. [7] Filipow A. P., Griniew W. B.: Ob optymalnych strieżniach w zadaczach ustojcziwosti pod diejstwijem raspredielennych nagruzok. Stroit, Mech. i Razcz. Sooruż., Nr 2, Moskwa, 1977, 16 21. [8] Filipow A. P., Griniew W. B.: Optimalizacja strieżniej po spektru sobstwiennych zacznij. Nauk. Dumka, Kijew, 1979. [9] Gajewski A.: Calulation of Elastic Stability of Circular Plates with Variable Thickness by an Inverse Method. Bull Acad. Polon. Sci., Ser.sci.techn., 5, 14(1966), 303 312. [10] Gajewski A.: Optymalne kształtowanie wytrzymałościowe w przypadku materiałów o nieliniowości fizycznej. Zesz. Nauk., P. Kr. nr 5, Kraków, 1975. [11] Keller J. B.: Strongest Column and Isoparametric Inequalities for Eigenvalues. J. Appl. Mech., Vol. 9, 1962, 159 164. [12] Keller J. B., Tadjbakhsh I.: The shape of the Strongest Column. Arch. Rat. Mech. Anal., 5,4, 1960, 275 285. [13] Lagrange J. L.: Sur la figure des colonnes. Miscellanea Taurinensia, 1770 1773. [14] Marcinowski J.: Maximum elastic buckling resistance of columns of constant volume. XIV Sympozjum stateczności konstrukcji, Zakopane, 08-12. 06. 2015. [15] Marcinowski J.: Stateczność konstrukcji sprężystych. Struktury prętowe, łuki, powłoki. Dolnośląskie Wydawnictwo Edukacyjne, Wrocław, 2017 [16] Nikolai J. Ł.: Zadacza Lagrange a o najwygodniejszom oczertaniji kołomm. Izdat. Petrierb. Pilitechn. In-ta, t. 8, 1907. 16