Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator modułu piotr.kalemba@us.edu.pl rok akademicki 2012/2013 semestr zimowy forma studiów niestacjonarne sposób ustalania ocena końcowa modułu jest oceną z końcowego egzaminu pisemnego oceny końcowej modułu 2. Opis dydaktycznych i pracy wykład prowadzący treści WMat_fns_1 wszyscy studenci I roku matematyki niestacjonarnej 1. Elementy logiki. Język logiki zdań. Tautologie klasycznej logiki zdań. Pojęcie predykatu i język rachunku predykatów. Formalizowanie wypowiedzi (w szczególności matematycznych) w języku rachunku predykatów. Niezawodne reguły wnioskowania. 2. Zbiory i operacje na zbiorach. Podstawowe intuicje związane z pojęciem zbioru, paradoks Russella. Definiowanie zbiorów. Równość zbiorów i ich inkluzja. Operacje sumy, przekroju, różnicy, dopełnienia, iloczynu kartezjańskiego. Zbiór potęgowy. Suma i przekrój dowolnej (niepustej) rodziny zbiorów. Prawa algebry zbiorów i ich związek z prawami logiki. Informacje o aksjomatach teorii mnogości Zermelo. 3. Indukcja matematyczna, jako niezawodna reguła wnioskowania. Przykłady dowodów indukcyjnych. Zasada indukcji a zasada minimum. 4. Pojęcie relacji i typy relacji. Składanie relacji i relacja odwrotna. Pojęcie dziedziny, przeciwdziedziny relacji. Funkcje, jako szczególne typy relacji. Ciągi. Indeksowane rodziny zbiorów. Pojęcie iniekcji, suriekcji oraz bijekcji. Obrazy i przeciwobrazy względem funkcji i ich własności. 5. Relacje równoważności. Podział zbioru wyznaczony przez relację równoważności. Konstrukcje ilorazowe na przykładzie konstrukcje ułamków zwykłych, jako klas abstrakcji proporcjonalnych par liczb całkowitych. Wzmianka o konstrukcji Dedekinda liczb rzeczywistych. Relacje porządku. Pojęcie relacji częściowego i liniowego porządku. Elementy wyróżnione i ich wzajemne relacje. Supremum i infimum. Izomorfizmy zbiorów częściowo uporządkowanych. Dobre porządki. 6. Równoliczność i moce zbiorów. Pojęcie równoliczności. Przykłady zbiorów równolicznych i nierównolicznych. Metoda przekątniowa i
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 2 metody prowadzenia dydaktycznych (kontaktowych) pracy własnej opis pracy własnej organizacja obowiązkowa uzupełniająca adres strony www Twierdzenie Cantora. Porównywanie mocy zbiorów. Twierdzenie Cantora-Bernsteina. 7. Zbiory nieskończone. Definicja Dedekinda zbioru nieskończonego. Zbiory przeliczalne i ich przykłady. Operacje niewyprowadzające poza klasę zbiorów przeliczalnych. Przykłady zbiorów nieprzeliczalnych. Operacje niewyprowadzające poza klasę zbiorów mocy kontinuum. Hipoteza Kontinuum. 8. Informacja o Pewniku Wyboru i jego znaczeniu w matematyce. Proste równoważniki Pewnika Wyboru. Lemat Kuratowskiego-Zorna i jego zastosowanie w dowodzie twierdzenia o możliwości rozszerzenia każdego porządku do porządku liniowego. Informacja o Twierdzeniu Zermelo. jak w opisie modułu 15 45 samodzielne studiowanie notatek sporządzonych na wykładzie oraz wskazanej przez wykładowcę literatury 2 godziny, co dwa tygodnie, ul. Bankowa 14, sala 208 1. H. Rasiowa, Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, Warszawa 1999 2. A. Wojciechowska, Elementy logiki i teorii mnogości, PWN, Warszawa 1979 3. A. Błaszczyk, S. Turek, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 2007 4. K. Kuratowski, A. Mostowski, Teoria mnogości, PWN, Warszawa 1978 konwersatorium prowadzący treści WMat_fns_2 1. Weryfikowanie metodą tabelkową lub skróconą czy zadane wyrażenie rachunku zdań jest tautologią. Dowodzenia prostych tożsamości algebry zbiorów w oparciu o prawa rachunku zdań. 2. Stosowanie metody drzew semantycznych dla wykazania tautologiczności formuły lub znalezienia wartościowania, dla którego jest ona fałszywa. 3. Wyznaczanie zbiorów wartości zmiennych występujących w formie zdaniowej, dla których jest ona spełniona. Ćwiczenie umiejętności posługiwania się kwantyfikatorami oraz szukania kontrprzykładów dla formuł rachunku predykatów niebędących prawami tego rachunku. 4. Wyznaczanie sum i iloczynów uogólnionych indeksowanych rodzin zbiorów. Dowodzenie nietrudnych tożsamości dotyczących operacji sumy i iloczynu indeksowanych rodzin zbiorów. 5. Ćwiczenie umiejętności przeprowadzania prostych lub średnio trudnych dowodów opartych o zasadę indukcji zupełnej.
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 3 metody prowadzenia dydaktycznych (kontaktowych) pracy własnej opis pracy własnej organizacja obowiązkowa uzupełniająca adres strony www 6. Sprawdzian pisemny. 7. Rozpoznawanie typów relacji. Rozpoznawanie czy relacja jest funkcją. Wyznaczanie złożenia funkcji i relacji. Sprawdzanie różnowartościowości i surjektywności funkcji. Wyznaczanie obrazów i przeciwobrazów względem funkcji. 8. Badanie czy dana relacja jest relacją równoważności. Zaznajomienie się z pojęciem klasy abstrakcji pozwalające wyznaczyć podział zbioru odpowiadający danej relacji równoważności. 9. Sprawdzanie czy podana relacja jest porządkiem. Wyznaczanie elementów najmniejszych, największych, minimalnych i maksymalnych. Rysowanie diagramu skończonego zbioru uporządkowanego, wyznaczenia jego łańcuchów i antyłańcuchów maksymalnych. 10. Ćwiczenie umiejętność wskazywanie bijekcji pomiędzy wybranymi zbiorami. Stosowanie twierdzenia Cantora-Bernsteina do pokazania równoliczności zbiorów. 11. Stosowania podstawowych twierdzeń o zbiorach przeliczalnych i zbiorach mocy kontinuum dla wyznaczania mocy zbiorów. 12 i 13. Rozwiązywanie zadań przekrojowych obejmujących cały wcześniej omówiony w trakcie konserwatorium materiał. Zadania tego typu znajdują się np. w rozdziale IX wymienionego w literaturze zbioru W. Marka i J. Onyszkiewicza. 14. Sprawdzian pisemny. 15. Analizowanie dowodów twierdzeń matematycznych opartych na zastosowaniu Lematu Kuratowskiego-Zorna. Rozwiązywanie zadań, które ściśle odpowiadają wymienionym piętnastu częścią konserwatorium. 30 60 Samodzielne rozwiązywanie zadań wskazanych przez wykładowcę, kształtowanie umiejętności jasnego formułowania rozumowań będących rozwiązaniami zadań. 2 godziny tygodniowo, ul. Bankowa 14, sala 208 W. Marek, J. Onyszkiewicz, Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, PWN, Warszawa 1972 Pozostała taka jak w przypadku wykładów. jak w przypadku wykładów 3. Opis sposobów efektów kształcenia modułu aktywność na zajęciach WMat_w_1
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 4 (-y) Znajomość pojęć i twierdzeń dotyczących realizowanej partii materiału. Umiejętność przedstawienia poprawnego rozwiązania zadań wskazanych przez wykładowcę. Za aktywność na zajęciach będzie można zdobyć maksymalnie 10 punktów, co stanowi 20% pełnej puli punktów możliwych do uzyskania na konserwatorium. Punkty za aktywność będą przyznawane za poprawne rozwiązania zadań domowych lub zadań wskazanych przez wykładowcę w czasie. Ilość punktów przyznanych za rozwiązania będzie uzależniona od stopnia trudności zadań. sprawdziany pisemne (-y) WMat_w_2 Znajomość pojęć i twierdzeń dotyczących realizowanej partii materiału umożliwiająca rozwiązanie przeważnie nietrudnych zadań problemowych. Wymagana będzie również umiejętność poprawnego zapisu rozumowań będących rozwiązaniami zadań. Ocenie podlega stopień opanowania umiejętności oraz wiedzy sprecyzowanych w efektach kształcenia modułu dotyczących odpowiedniego zakresu materiału. Dwa kolokwia pisemne (planowo w 6. oraz 14. tygodniu ); pierwsze pozwala na zdobycie 15 punktów, a drugie 25 punktów. Łącznie za oba kolokwia można będzie zdobyć 80% pełnej puli punktów możliwych do uzyskania na zajęciach. Do zaliczenia konserwatorium niezbędne będzie uzyskanie, co najmniej 20 punktów. egzamin (-y) WMat_w_3 wszyscy studenci I roku matematyki niestacjonarnej W pierwszej części egzaminu wymagane będą umiejętności rozwiązywanie nietrudnych lub średnio trudnych zadań analogicznych do tych pojawiających się na sprawdzianach pisemnych przeprowadzanych w trakcie konwersatoriów, a w drugiej sprawdzana będzie znajomości pojęć, twierdzeń i dowodów prezentowanych podczas wykładów. Do zdania egzaminu niezbędne będzie uzyskanie połowy możliwych do zdobycia punktów (tj., co najmniej 20 punktów). Egzamin składać się będzie z dwóch części (obie w formie pisemnej): pierwsza z zadań (za
Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 5 25 punktów) i druga z teorii (za 15 punktów).