Ćwiczenie 8 Badanie rozkładu pola elektrycznego 8.1. Zasada ćwiczenia W wannie elektrolitycznej umieszcza się dwie metalowe elektrody, połączone ze źródłem zmiennego napięcia. Kształt przekrojów powierzchni ekwipotencjalnych wytworzonego pola elektrycznego określa się przy pomocy sondy połączonej z woltomierzem. 8.2. Wiadomości teoretyczne Ładunki elektryczne oddziałują ze sobą nie bezpośrednio, a za pośrednictwem pola elektrycznego. Rozumiemy przez to, że dany ładunek wytwarza pole elektryczne w otaczającej go przestrzeni. Jeżeli w tym polu znajduje się inny ładunek, działa na niego ze strony pola elektrycznego określona siła. Istnieje kilka wielkości, charakteryzujących pole elektryczne. Jedną z nich jest natężenie E pola elektrycznego, zdefiniowane wzorem: E = F q 0, (8.1) gdzie F jest siłą, działającą na niewielki ładunek q 0, nazywany czasem ładunkiem próbnym. Wymiarem natężenia pola jest [E] = N/C. Następną wielkością jest potencjał V pola elektrycznego, zdefiniowany wzorem: V = E p q 0, (8.2) gdzie E p oznacza energię potencjalną próbnego ładunku w polu elektrycznym. Energia ta jest równa pracy wykonywanej przez siłę elektrostatyczną przy przenoszeniu ładunku próbnego z danego punktu do punktu leżącego w nieskończonej odległości od ładunków wytwarzających pole. Jednostka potencjału jest nazywana woltem (V), [V ] = V = J/C. Ponieważ zarówno natężenie jak i potencjał jednoznacznie opisują pole elektryczne, musi zachodzić między nimi określony związek. Załóżmy, że ładunek q 0 przemieszcza
2 Ćwiczenie 8 Rysunek 8.1. Przemieszczenie s ładunku elektrycznego w kierunku (a) prostopadłym i (b) równoległym do wektora E natężenia pola. Cienkie linie ciągłe przedstawiają linie sił pola elektrycznego, a linie przerywane przekroje powierzchni ekwipotencjalnych się w polu elektrycznym na niewielką odległość s od punktu 1 do punktu 2. Wykonaną przy tym pracę W siły elektrostatycznej można wyrazić wzorami: W = F s = q 0 E s = q0 E s cos α, (8.3) gdzie α jest kątem pomiędzy wektorami E i s, oraz Porównując wzory otrzymujemy zależność: W = E p1 E p2 = q 0 (V 1 V 2 ) = q 0 V. (8.4) E s cos α = V. (8.5) Gdy ładunek przemieszcza się w kierunku prostopadłym do wektora natężenia pola elektrycznego (kąt α = π/2, rys. 8.1a), z ostatniego wzoru wynika, że V = 0. W tym kierunku potencjał pola elektrycznego nie zmienia się. Gdy ładunek jest przemieszczany zgodnie z kierunkiem natężenia pola elektrycznego (kąt α = 0, rys. 8.1b), otrzymujemy prosty związek 1 : E = V s. (8.6) Natężenie pola jest więc równe spadkowi potencjału w kierunku wektora E, przypadającemu na jednostkę odległości. Z ostatniego wzoru widać, że wymiar natężenia pola można również wyrazić jako [E] = V/m. W celu graficznego przedstawienia pola elektrycznego wprowadza się pojęcia jego linii sił i powierzchni ekwipotencjalnych. Linie sił mają w każdym punkcie przestrzeni kierunek styczny do wektora natężenia pola i zgodny z nim zwrot. Przyjmuje się 1 W niektórych podręcznikach wzory (8.4) - (8.6) zapisuje się ze znakiem przy V. Różnica potencjałów jest wówczas określona jako V = V 2 V 1.
Badanie rozkładu pola elektrycznego 3 ponadto, że liczba linii sił, przechodzących przez niewielką prostopadłą powierzchnię, jest proporcjonalna do wartości natężenia pola. Powierzchnie ekwipotencjalne są miejscami geometrycznymi punktów pola elektrycznego o jednakowym potencjale. Zwykle rysuje się je tak, aby różnica potencjałów sąsiednich powierzchni ekwipotencjalnych była stała. Z poprzednich rozważań wynika, że kierunki wektora natężenia i linii sił pola są prostopadłe do powierzchni ekwipotencjalnych (rys. 8.1). Wektor natężenia pola jest przy tym skierowany od powierzchni o wyższym potencjale do powierzchni o niższym potencjale. Należy zauważyć, że potencjał naładowanego przewodnika jest jednakowy we wszystkich jego punktach. Zatem powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną. W najprostszym przypadku pola elektrycznego, wytworzonego przez pojedynczy ładunek punktowy (o zaniedbywalnie małych rozmiarach), natężenie i potencjał pola określają wzory: Q E = 4πε 0 ε r r r. 2 (8.7) V = Q 4πε 0 ε r r. (8.8) W podanych wzorach Q jest ładunkiem wytwarzającym pole, ε 0 = 8,854 C 2 /N m 2 stałą dielektryczną próżni, ε r stałą dielektryczną ośrodka, r odległością danego punktu od ładunku, r = r/r wektorem jednostkowym, wskazującym kierunek pola elektrycznego ( r wektor poprowadzony od ładunku do danego punktu). Z powyższych wzorów wynika, że linie sił są wówczas prostymi, wychodzącymi radialnie z punktu, w którym znajduje się ładunek (rys. 8.2a i 8.2b). W przypadku ładunku dodatniego linie sił są skierowane od ładunku, a w przypadku ładunku ujemnego do ładunku. Powierzchnie ekwipotencjalne są natomiast koncentrycznymi sferami, których środek pokrywa się z położeniem ładunku. Rysunek 8.2. Linie sił (linie ciągłe) i przekroje powierzchni ekwipotencjalnych (linie przerywane) ładunków punktowych (a, b) i naładowanych równoległych płaszczyzn (c)
4 Ćwiczenie 8 Duże znaczenie praktyczne ma przypadek pola elektrycznego, powstającego między dwoma równoległymi, położonymi blisko siebie płaszczyznami, które są naładowane ze stałą gęstością powierzchniową σ = Q/ S ( Q ładunek znajdujący się na elemencie powierzchni S) ładunkami o przeciwnych znakach (rys. 8.2c). Pomiędzy płaszczyznami linie sił pola elektrycznego są równoległe i równo oddalone od siebie; równoległe są również powierzchnie ekwipotencjalne. Natężenie pola elektrycznego w tym obszarze ma więc stałą wartość i kierunek. Pole takie nazywamy jednorodnym. 8.3. Aparatura pomiarowa Rysunek 8.3. Urządzenie do pomiaru rozkładu pola elektrycznego. 1 wanienka elektrolityczna, 2 elektrody, 3 sonda, 4 miernik uniwersalny, 5 zasilacz, 6 papier milimetrowy Stosowane w ćwiczeniu urządzenie pomiarowe i schemat jego połączeń elektrycznych są pokazane na rys. 8.3 i 8.4. Wanienka elektrolityczna jest przezroczystą plastikową kuwetą. Do dyspozycji są dwa rodzaje elektrod o kształcie prostokątnym i kołowym, wytwarzających pole elektryczne. W skład zestawu wchodzi też metalowy pierścień, ekranujący pole elektryczne. Elektroda pomiarowa (sonda) jest zamocowana na stojaku, który można przesuwać. Zestaw uzupełniają zasilacz zmiennego napięcia i miernik uniwersalny, służący jako woltomierz.
Badanie rozkładu pola elektrycznego 5 Rysunek 8.4. Schemat połączeń elektrycznych urządzenia pomiarowego. 1 wanienka elektrolityczna, 2 elektrody, 3 sonda, 4 woltomierz, 5 zasilacz 8.4. Zadania Wyznaczyć przekroje powierzchni ekwipotencjalnych pola elektrycznego, wytworzonego przez wybrane układy elektrod. 8.5. Przebieg pomiarów i opracowanie wyników Podłożyć pod wanienkę elektrolityczną arkusz papieru milimetrowego z zaznaczonymi kształtami wybranych elektrod tak, aby narysowane na nim linie był równoległe do boków wanienki. Ustawić odpowiednio elektrody w wanience i połączyć obwód pomiarowy (rys. 8.4). Do wanienki nalać ok. 400 cm 3 wody, która jest b. słabym elektrolitem. Włączyć zasilacz i woltomierz. Napięcie zasilania U z nie powinno przekraczać 5 V. Kształt przekrojów powierzchni ekwipotencjalnych wyznaczać, przesuwając końcówkę sondy po liniach równoległych do dłuższego boku wanienki do momentu, gdy woltomierz wskaże wybraną wartość napięcia. Położenie danego punktu zaznaczyć na drugim, identycznym arkuszu papieru milimetrowego. Punkty odpowiadające jednakowej wartości napięcia określają przekrój danej powierzchni ekwipotencjalnej. W celu oceny niepewności położenia punktu odsuwać od niego sondę w kierunku prostopadłym do linii ekwipotencjalnej do momentu, gdy przyrost lub spadek napięcia woltomierza będzie równy połowie jego najmniejszej działki. Wartość i kierunek tego przesunięcia zaznaczać przy punkcie pomiarowym. Pomiary takie wykonać dla kilku napięć, różniących się kolejno o stałą wartość. Jeżeli np. napięcie zasilania będzie wynosić U z = 3 V, można przeprowadzić pomiary dla wartości napięć sondy U = 0,5, 1,0, 1,5, 2,0 i 2,5 V. Po zakończeniu pomiarów narysować, najlepiej za pomocą krzywika, przebieg linii ekwipotencjalnych. Linie nie muszą przechodzić przez punkty pomiarowe, powinny
6 Ćwiczenie 8 natomiast mieścić się w obrębie niepewności położeń punktów. Zaznaczyć na rysunku wartości napięć dla poszczególnych linii i obu elektrod. Zależnie od czasu trwania ćwiczenia i wskazówek prowadzącego ew. wykonać analogiczne pomiary dla danego zestawu elektrod z umieszczonym pomiędzy nimi metalowym pierścieniem lub dla drugiego zestawu elektrod. 8.6. Wymagane wiadomości 1. Metody obliczania pól i potencjałów elektrycznych układów ładunków wykorzystanie zasady superpozycji pól i potencjałów ładunków punktowych, wykorzystanie prawa Gaussa. 2. Graficzne przedstawienie linii sił i powierzchni ekwipotencjalnych pól elektrycznych prostych układów ładunków, np. dwóch ładunków punktowych o jednakowych wartościach i zgodnych lub przeciwnych znakach. 3. Własności rozkładu ładunku na przewodniku oraz wytworzonego przezeń pola i potencjału elektrycznego. 8.7. Literatura [1] D. Halliday, R. Resnick, J. Walker Podstawy fizyki, t. 3, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005. [2] Cz. Bobrowski Fizyka krótki kurs, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2005.