Mnmalzacja globalna, algorytmy genetyczne zastosowane w geotechnce Metoda sejsmczna Metoda geoelektryczna
Podstawowy podzał ZAGADNIENIE PROSTE (ang. forward problem) model + parametry modelu dane (ośrodek, funkcja źródła, tp.) r r m d ( m m, K, m ) ( d, d,, ) 1, 2 M 1 2 K d N ZAGADNIENIE ODWROTNE (ang. nverse problem) dane parametry modelu model r r d m Sformułowane zagadnena odwrotnego Model dyskretny: r d = d 1, d2, K, d N r syn syn syn syn d = [ d ] T 1, d2, K, d N r m = m, m2,, Dane: obs obs obs obs [ ] T m M Parametry modelu [ ] T 1 K Zwązek danych z parametram modelu podawany jest poprzez zwązek: r r F = r syn ( m, d ) 0 Prostsze formy równana: r d r d syn syn r r = g r = Gm ( m) r g G funkcja nelnowa macerz
Rozwązane zagadnena odwrotnego Parametry modelu są określane na drodze mnmalzacj normy z różncy: r r e = d obs r d syn Najczęścej stosuje sę jedną z norm L p : N 1 p p : e r = p = 1 L p e Im wększe p tym wpływ dużych błędów na rozwązane jest wększy. Norma L 1 REASUMUJĄC Jeśl e r mn true to m r m r L : er 1 1 = N e = 1 jest najmnej czuła na duże wartośc różnc (odchyłek). Lnearyzacja nelnowego operatora g prowadz do przyblżonych metod rozwązywana zagadnena odwrotnego. Wynk takej nwersj jest slne uzależnony od wyboru modelu startowego.
Rozwązanem problemu znalezena mnmum globalnego jest zastosowane odpowednch metod opartych na tzw. metodach optymalzacj globalnej. Perwszą z nch była metoda Monte Carlo. Ogranczena funkcj celu Najprostsze ogranczena mają postać kostek: l < x < u, =1,..,µ z Z ogranczeń kostkowych można dla celów rozwązana konkretnego zagadnena złożyć dowolny, wymagany obszar. x y
Algorytm genetyczny Algorytm genetyczny jest typem algorytmu ewolucyjnego. Został perwotne pomyślany jako narzędze do modelowana ewolucj populacj osobnków z których każdy był wyposażony w bnarny kod genetyczny. Po wprowadzenu mechanzmów przekształcana kodu na wzór bologczny (krosowane chromosomów, mutacja selekcja) zauważono, że populacja wykazuje tendencje przystosowana do środowska (krajobrazu adaptacyjnego) charakteryzowanego pewną funkcją. P O P U L A C J A Zmenne x 1, x 2, x 3, M x µ (osobnk) ch kodowane p 1 p 2 p 3 p N [1001100110...10] [0001101010...10] [1011000110...01] [1110000110...00] chromosom zawerający zakodowaną nformację (genotyp) o parametrach szukanego modelu. Genotyp koduje fenotyp punkt w przestrzen rozwązań gen (którego wartoścam są allele) n Osobnkow o określonym fenotype przyporządkowana jest określona wartość funkcj przystosowana F ( f max - maksymalna wartość funkcj celu dla danej populacj, f(x ) - wartość funkcj celu dla danego osobnka). x F ( x ) = f ( x) f ( x ) max Przystosowane danego osobnka to wartość określająca zdolność jego przeżyca w środowsku.
Kodowane bnarne a) naturalne (NKB) jeśl x < x < n x xmn to c 2 [ 0,1] ( x x ) = 1 max mn mn x max b) kodowane Gray a - kolejne wartośc lczbowe różną sę jednym btem (nestety ne są zachowane relacje odległośc w przestrzenach fenotypu genotypu Dec Bn 0 0000 1 0001 2 0010 3 0011 4 0100 5 0101 6 0110 7 0111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 różne odległośc Hammnga Kodowane NKB prowadz do powstawana fkcyjnych mnmów lokalnych w przestrzen fenotypów Dec Gray 0 0000 1 0001 2 0011 3 0010 4 0110 5 0111 6 0101 7 0100 8 1100 9 1101 10 1111 11 1110 12 1010 13 1011 14 1001 15 1000 Incjacja ocena P(0) sukcesja P(t+1) ocena P(t) O(t) reprodukcja T(t) krzyżowane mutacja procedure Algorytm genetyczny begn t:=0 ncjacja P(0) ocena P(0) repeat begn T(t):=reprodukcja P(t) O(t):=krzyŜowane mutacja T(t) ocena O(t) P(t+1):=O(t) t:=t+1 end untl (warunek stop) end
Reprodukcja preferuje osobnk lepej przystosowane x 1 x 2 x3 Reprodukcja ruletkowa: - prosta x 6 x 4 Pr ( x ) = F ( x ) F( x ) - zmodyfkowana x 5 Pr ( x ) Fˆ = ( x ) Fˆ ( x ), Fˆ ( x ) = F( x ) F ( x ) mn Krzyżowane (krosowane) populacja t populacja t+1 [10010110101001001010] [11011100101001001010] [11011100100011011100] [10010110100011011100] mutacja [10010110101001001010] [10010110101001011010]
F(x,y)=xsn(x)+ysn(y) generacja=0 40 20 0 f -20-40 -20-20 -10 0-10 y x 10 0 10 20 20 generacja=2 µ=λ=5000 n=32+32 Prm=0.05 generacja=5 generacja=15 generacja=100 generacja=500
MASTER ncjacja SLAVE 1 SLAVE 2 t=0 SLAVE M ncjacja ocena P 0 ncjacja ocena P 0 ncjacja ocena P 0 reprodukcja P t krzyżowane mutacja P t t+1 t+1 t+1 reprodukcja P t krzyżowane mutacja P t L reprodukcja P t krzyżowane mutacja P t ocena P t ocena P t ocena P t warunek stop? tak ne warunek stop? tak ne warunek stop? tak ne stop Krytera zatrzymana algorytmu genetycznego 1) Bazujące na montorowanu funkcj przystosowana - maksymalnego kosztu t max - kryterum zadowalającego pozomu funkcj przystosowana F max - kryterum mnmalnej szybkośc poprawy 2) Bazujące na montorowanu eksplorowanej przestrzen genotypu - kryterum różnorodnośc populacj - kryterum zasęgu operatora mutacj
Lokalzacja źródeł emsj sejsmcznej Lokalzacja źródła emsj fal sejsmcznej odbywa sę na podstawe rejestracj czasów propagacj fal sejsmcznej ze źródła wstrząsu do sec czujnków (metoda czasowa P ), na podstawe kerunków propagacj fal P (metoda kerunkowa, azymutalna) lub (w metodze łączonej) na podstawe zarówno czasów propagacj jak kerunków propagacj fal. f ( x y, z, t), = 2 N 2 2 2 ( x ) ( ) ( ) = 1 x + y y + z z t t V Przypadek najprostszy V=const Przestrzenny rozkład czujnków w kopaln Rudna. 0 0-200 -200 Z [m] -400-600 Z [m] -400-800 -600-1000 -800-1200 2.0 4.06.0 Y [km] 8.0 10.0 12.0 14.0 26.0 38.0 36.0 34.0 32.0 30.0 28.0 X [km] -1000-1200 2.0 4.0 6.0 Y [km] 8.0 10.0 12.0 14.0 38.0 36.0 34.0 32.0 30.0 28.0 26.0 X [km]
Położena czujnków oraz czasy perwszych wejść fal P dla wstrząsu 2003 08 08 06:23:09 z kopaln Rudna. Wybrano 10 najlepszych rejestracj. położene czujnka czas rejestracj fal P Nr geofonu X [m] Y [m] Z [m] t, [hh:mm:ss, ms] 1 35600 9585 1040 06:23:13, 165 2 26595 7830 532 06:23:14, 027 3 32303 5620 329 06:23:12, 510 4 34029 4264 798 06:23:12, 018 5 28825 5710 703 06:23:13, 394 6 31799 4945 741 06:23:12, 526 7 35778 9135 1006 06:23:13, 088 8 30361 7590 818 06:23:13, 281 9 28130 7900 687 06:23:13, 739 10 33616 6034 861 06:23:12, 300 A B C Przekroje funkcj celu f(x,y,z,t) w czterech płaszczyznach: a) X-Y b) X-Z c) X-t
Rozmar populacj 10000 Prawdopodobeństwo mutacj - 0.1 0.txt usng 1:2:3 Ilość teracj 25 Długość chromosomu 14b -600-650 -700-750 -800-850 -900-950 -1000 26000 270002800029000 30000 310003200033000 34000 35000 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 3.txt usng 1:2:3 6.txt usng 1:2:3-600 -650-700 -750-800 -850-900 -950-1000 -600-650 -700-750 -800-850 -900-950 -1000 26000 270002800029000 30000 310003200033000 34000 35000 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 9.txt usng 1:2:3 26000 27000 28000 29000 30000 31000 32000 33000 generacja 3 generacja 6 34000 5000 5500 6000 6500 7000 7500 8000 8500 9000 9500 10000 15.txt usng 1:2:3-600 -650-700 -750-800 -850-900 -950-1000 26000 27000 28000 29000 8000 85009000 9500 10000-600 -650-700 -750-800 -850-900 -950-1000 26000 27000 28000 29000 8000 85009000 9500 10000 30000 31000 32000 33000 6000 650070007500 30000 31000 32000 33000 6000 650070007500 generacja 9 generacja 15
Metoda mnmalzacj lokalnej Popularne metody pozwalające na określene mnmum lokalnego: 1) Mnmalzacja wzdłuż kerunków współrzędnych 2) Mnmalzacja wzdłuż kerunków sprzężonych (metoda Powella) 3) Metoda najwększego spadku 4) Metoda gradentów sprzężonych 5) Inne W otrzymanym z AG zborze rozwązań wydzelane są skupena punktów oraz wyznaczane są centra tych skupeń. 15.txt usng 1:2:3-600 -650-700 -750-800 -850-900 -950-1000 9500 10000 26000 27000 28000 29000 8000 85009000 30000 31000 32000 33000 6000 650070007500 Metoda lokalna uruchamana z każdego centralnego punktu klastra pozwala osągnąć mnmum lokalne zwązane z danym klastrem. Jako mnmum globalne uznajemy to spośród mnmów lokalnych w którym wartość funkcj celu jest najmnejsza.
Mnma lokalne znalezone algorytmem genetycznym z procedurą mnmalzacj lokalnej. położene mnmum lokalnego wartość funkcj celu w mnmum lokalnym X [m] Y [m] Z [m] f 35322 3568 1165 0.23435 35203 3556 621 0.23047 34954 3955 1020 0.22874 35551 3133 1048 0.23792 34951 3959 997 0.22830 35537 3415 1192 0.23737 34887 4004 632 0.22683 34920 3942 974 0.22789 Sondowane geoelektryczne Ośrodek geologczny płasko-równoległy ρ [Ωm] warstw a Mąższość [m] Opór [Ωm] 1 10 10 2 20 50 3 10 20 4 20 70 5 10 20 6 20 50 7 100 Zmerzona oporność pozorna ρ obs 40 h [m] ρ 20 0 1 10 100 AB/2
f r h r N [ ] 1 1 2 2 3 3, 4 obs syn (,ρ) = ln R R ( h, ρ, h, ρ, h, ρ ρ ) = 1 2 Rozmar populacj 5000 Prawdopodobeństwo mutacj - 0.05 Ilość teracj 500 Długość chromosomu 9b Szukano rozwązana w postac ośrodka 4 warstwowego. Każda ze zmennych ( opornośc właścwe mąższośc) były przeszukwane w przedzale od 0 do 100 (omometrów lub metrów). Poneważ każda ze zmennych była próbkowana 9 btam co daje 512 podzałów odcnka otrzymujemy dokładnośc odpowedno: 0.2 m, 0.2 Ωm Wynk oblczeń obraz generacj w rzuce na płaszczyznę h2-ρ2 teracja = 0 teracja = 5 teracja = 10 teracja = 15
Wynk oblczeń obraz generacj w rzuce na płaszczyznę h2-ρ2 teracja = 20 teracja = 50 teracja = 100 teracja = 500 Wartość jake 500-te pokolene populacj przyjmuje dla poszczególnych mąższośc warstw. h1 h2 h3
Wartość jake 500-te pokolene populacj przyjmuje dla poszczególnych opornośc warstw. ρ1 ρ2 ρ3 ρ4 40 ρ 20 0 warstwa Mąższość [m] Opór [Ωm] 1 11 10 2 12 71 3 51 33 4 93 1 10 100 AB/2
40 ρ 20 0 1 10 100 AB/2 warstwa Mąższość [m] Opór [Ωm] 1 11 10 2 12 63 3 50 33 4 93 Konkurencja: 1. Monte Carlo 2. Symulowane wyżarzane 3. Stratege ewolucyjne (λ+µ) lub (λ,µ) 4. Programowane ewolucyjne 5. Programowane genetyczne (???)
Podsumowane 1. Poneważ wększość zagadneń odwrotnych w geofzyce ma charakter nelnowy koneczne jest stosowane metod globalnych. Algorytmy ewolucyjne (a szczególne AG) pozwalają na efektywne rozwązane zadana. 2. AG mogą być w bardzo prosty sposób zamplementowane do oblczeń w klastrach komputerów lub na komputerach o archtekturze równoległej. 3. Algorytmy genetyczne w przecweństwe do ne ewolucyjnych technk optymalzacyjnych zwracają ne jedno lecz wele rozwązań. Konsekwencją są charakterystyczne zalety nedogodnośc tych metod. 4. Zaletą AG jest możlwość oceny jakośc uzyskwanych rozwązań, rozkładów błędów oraz analzy nejednoznacznośc (ekwwalencj) 5. Nedogodnoścą algorytmów genetycznych w omawanych zagadnenach jest koneczność kodowana bnarnego problemy występowana pozornych mnmów lokalnych 6. By uzyskać jedno, konkretne rozwązane zagadnena odwrotnego należy użyć dodatkowo metody mnmalzacj lokalnej