9. Papiery wartościowe: akcje

9. Papiery wartościowe: akcje Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Matematyka finansowa rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 1 / 33

1 Akcje: wstęp 2 Wycena akcji 3 Model zdyskontowanych dywidend 4 Modele szczegółowe rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 2 / 33

Akcje - definicja Akcja jest to zbywalny papier wartościowy potwierdzający udział jej posiadacza (akcjonariusza) w kapitale spółki akcyjnej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 3 / 33

Akcje - definicja Akcja jest to zbywalny papier wartościowy potwierdzający udział jej posiadacza (akcjonariusza) w kapitale spółki akcyjnej. Zakup akcji, w przeciwieństwie do weksla, czy obligacji, nie jest pożyczką podlegającą zwrotowi w ustalonym terminie, a inwestycją finansową. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 3 / 33

Akcje - kilka podstawowych informacji Nie będziemy się wgłębiać tutaj w prawne aspekty akcji i ich obrotu, ani w ich podział na rodzaje. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 4 / 33

Akcje - kilka podstawowych informacji Nie będziemy się wgłębiać tutaj w prawne aspekty akcji i ich obrotu, ani w ich podział na rodzaje. Z naszego punktu widzenia istotne jest, że akcje są prawdopodobnie najbardziej popularnymi instrumentami finansowymi, więc jest wiele metod wyceny akcji, a nawet wiele całkowicie różnych koncepcyjnie metod podejścia do tej wyceny. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 4 / 33

Akcje - kilka podstawowych informacji Nie będziemy się wgłębiać tutaj w prawne aspekty akcji i ich obrotu, ani w ich podział na rodzaje. Z naszego punktu widzenia istotne jest, że akcje są prawdopodobnie najbardziej popularnymi instrumentami finansowymi, więc jest wiele metod wyceny akcji, a nawet wiele całkowicie różnych koncepcyjnie metod podejścia do tej wyceny. Wynika to z kilku faktów: po pierwsze, na ceny akcji wpływa olbrzymia ilość czynników, podczas gdy w odniesieniu do obligacji najważniejsza była znajomość stóp procentowych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 4 / 33

Akcje - kilka podstawowych informacji Nie będziemy się wgłębiać tutaj w prawne aspekty akcji i ich obrotu, ani w ich podział na rodzaje. Z naszego punktu widzenia istotne jest, że akcje są prawdopodobnie najbardziej popularnymi instrumentami finansowymi, więc jest wiele metod wyceny akcji, a nawet wiele całkowicie różnych koncepcyjnie metod podejścia do tej wyceny. Wynika to z kilku faktów: po pierwsze, na ceny akcji wpływa olbrzymia ilość czynników, podczas gdy w odniesieniu do obligacji najważniejsza była znajomość stóp procentowych. Dodatkowo, sporo z tych czynników nie nadaje się do zmatematyzowania, opierając się niemal wyłącznie na ludzkiej psychice. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 4 / 33

Akcje - kilka podstawowych informacji Po drugie, akcje, jako potencjalnie najbardziej dochodowe z tradycyjnych instrumentów finansowych, były przedmiotem wielkiej liczby badań, znanych przez inwestorów: by zatem osiągnąć dochód ponadstandardowy, inwestor musi użyć równie niestandardowych metod analizy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 5 / 33

Akcje - kilka podstawowych informacji Po drugie, akcje, jako potencjalnie najbardziej dochodowe z tradycyjnych instrumentów finansowych, były przedmiotem wielkiej liczby badań, znanych przez inwestorów: by zatem osiągnąć dochód ponadstandardowy, inwestor musi użyć równie niestandardowych metod analizy. Dlatego te zajęcia nie mają nikogo nauczyć jedynie słusznej metody wyceny akcji, lecz pokazać pewien model wyceny, by dać ogólne pojęcie o tym, na czym taką wycenę można opierać. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 5 / 33

Analiza techniczna i fundamentalna Oceną wartości akcji zajmują się dwie grupy metod: analiza techniczna, która opiera się na szukaniu regularności i prawidłowości w kształtowaniu się historycznych cen akcji i wykorzystywaniu ich do przewidywania zmian trendów oraz analiza fundamentalna, która bada czynniki ekonomiczne wpływające na kondycję spółki emitującej akcje i szacowaniu ich wartości na tej podstawie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 6 / 33

Analiza techniczna i fundamentalna Oceną wartości akcji zajmują się dwie grupy metod: analiza techniczna, która opiera się na szukaniu regularności i prawidłowości w kształtowaniu się historycznych cen akcji i wykorzystywaniu ich do przewidywania zmian trendów oraz analiza fundamentalna, która bada czynniki ekonomiczne wpływające na kondycję spółki emitującej akcje i szacowaniu ich wartości na tej podstawie. Podstawy matematyczne analizy technicznej nie są dobrze opracowane, więc nie będziemy się nią w ogóle zajmować. Zajmiemy się tylko pewnymi aspektami analizy fundamentalnej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 6 / 33

Cena akcji Zanim zaczniemy wyceniać akcje - małe zastrzeżenie. Jest kilka znaczeń, które można przypisać sformułowaniu: cena akcji lub wartość akcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 7 / 33

Cena akcji Zanim zaczniemy wyceniać akcje - małe zastrzeżenie. Jest kilka znaczeń, które można przypisać sformułowaniu: cena akcji lub wartość akcji. Cena nominalna akcji - przypisana każdej akcji (dawniej: zapisana na niej), odpowiada części majątku spółki, do wysokości której właściciel odpowiada za jej zobowiązania. Wyznacza jednocześnie podstawę do obliczania dywidend i określa kapitał, który nie zostanie wycofany ze spółki do momentu likwidacji. Wartość nominalna wyemitowanych akcji to kapitał akcyjny lub zakładowy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 7 / 33

Cena akcji Zanim zaczniemy wyceniać akcje - małe zastrzeżenie. Jest kilka znaczeń, które można przypisać sformułowaniu: cena akcji lub wartość akcji. Cena nominalna akcji - przypisana każdej akcji (dawniej: zapisana na niej), odpowiada części majątku spółki, do wysokości której właściciel odpowiada za jej zobowiązania. Wyznacza jednocześnie podstawę do obliczania dywidend i określa kapitał, który nie zostanie wycofany ze spółki do momentu likwidacji. Wartość nominalna wyemitowanych akcji to kapitał akcyjny lub zakładowy. Cena emisyjna - cena po której akcje są oferowane na rynku - najczęściej wyższa od ceny nominalnej - jest to cena, po której akcje są sprzedawane na rynku po raz pierwszy. Nadwyżka ceny emisyjnej nad jej wartością nominalną tworzy tzw. rezerwę statutową (agio). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 7 / 33

Cena akcji rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 8 / 33

Cena akcji Cena rynkowa (kurs) akcji - to rzeczywista cena akcji na giełdzie - najczęściej luźno związana z ich wartością nominalną. Suma cen rynkowych wszystkich akcji firmy to jej wartość rynkowa. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 8 / 33

Cena akcji Cena rynkowa (kurs) akcji - to rzeczywista cena akcji na giełdzie - najczęściej luźno związana z ich wartością nominalną. Suma cen rynkowych wszystkich akcji firmy to jej wartość rynkowa. Wartość bieżąca akcji dla inwestora - maksymalna cena, jaką inwestor jest skłonny zapłacić za akcję, przy ustalonej stopie zwrotu, jakiej poszukuje. To właśnie ją będziemy próbowali wyznaczyć w następnych wzorach. Jeśli jest większa od ceny rynkowej - inwestor powinien zakupić akcję. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 8 / 33

Akcje jako inwestycje Akcje wyceniać będziemy zgodnie z regułami matematyki finansowej, czyli jako inwestycje finansowe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 9 / 33

Akcje jako inwestycje Akcje wyceniać będziemy zgodnie z regułami matematyki finansowej, czyli jako inwestycje finansowe. Nakładem takiej inwestycji jest cena kupna (zazwyczaj zakładamy, że do zakupu dochodzi w chwili 0). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 9 / 33

Akcje jako inwestycje Akcje wyceniać będziemy zgodnie z regułami matematyki finansowej, czyli jako inwestycje finansowe. Nakładem takiej inwestycji jest cena kupna (zazwyczaj zakładamy, że do zakupu dochodzi w chwili 0). Dochody z akcji mogą być dwóch rodzajów: po pierwsze - regularnie wypłacane dywidendy (przez które rozumiem nie tylko dywidendy w sensie formalno-prawnym, czyli udziały w podziale zysków spółki, ale wszelkie dochody z tytułu praw majątkowych zawartych w akcji), a po drugie: dochód wynikający ze zmieny ceny akcji tj. różnica między ceną sprzedaży, a zakupu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 9 / 33

Akcje jako inwestycje Akcje wyceniać będziemy zgodnie z regułami matematyki finansowej, czyli jako inwestycje finansowe. Nakładem takiej inwestycji jest cena kupna (zazwyczaj zakładamy, że do zakupu dochodzi w chwili 0). Dochody z akcji mogą być dwóch rodzajów: po pierwsze - regularnie wypłacane dywidendy (przez które rozumiem nie tylko dywidendy w sensie formalno-prawnym, czyli udziały w podziale zysków spółki, ale wszelkie dochody z tytułu praw majątkowych zawartych w akcji), a po drugie: dochód wynikający ze zmieny ceny akcji tj. różnica między ceną sprzedaży, a zakupu. Naszym celem jest wyznaczenie wartości aktualnej akcji jako zdyskontowanego strumienia dochodów z tytułu posiadania akcji. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 9 / 33

Akcje jako inwestycje Głównym problemem z taką wyceną jest to, że ani dywidendy z akcji ani potencjalna cena jej sprzedaży nie są wielkościami z góry ustalonymi, a więc inwestor w obliczeniach musi używać ich wartości oczekiwanych. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 10 / 33

Akcje jako inwestycje Głównym problemem z taką wyceną jest to, że ani dywidendy z akcji ani potencjalna cena jej sprzedaży nie są wielkościami z góry ustalonymi, a więc inwestor w obliczeniach musi używać ich wartości oczekiwanych. Dywidendy zazwyczaj płacone są w regularnych okresach, ale ich wysokość najczęściej jest wcześniej nieznana. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 10 / 33

Akcje jako inwestycje Głównym problemem z taką wyceną jest to, że ani dywidendy z akcji ani potencjalna cena jej sprzedaży nie są wielkościami z góry ustalonymi, a więc inwestor w obliczeniach musi używać ich wartości oczekiwanych. Dywidendy zazwyczaj płacone są w regularnych okresach, ale ich wysokość najczęściej jest wcześniej nieznana. Jednak renomowane spółki giełdowe mają zwyczaj prowadzenia stabilnej polityki dywidend, więc ich wielkość można w najbliższej przyszłości przewidzieć. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 10 / 33

Akcje jako inwestycje Głównym problemem z taką wyceną jest to, że ani dywidendy z akcji ani potencjalna cena jej sprzedaży nie są wielkościami z góry ustalonymi, a więc inwestor w obliczeniach musi używać ich wartości oczekiwanych. Dywidendy zazwyczaj płacone są w regularnych okresach, ale ich wysokość najczęściej jest wcześniej nieznana. Jednak renomowane spółki giełdowe mają zwyczaj prowadzenia stabilnej polityki dywidend, więc ich wielkość można w najbliższej przyszłości przewidzieć. Prognozowanie dochodu wynikającego ze zmiany cen akcji jest dużo bardziej skomplikowane, a na gruncie ściśle naukowym praktycznie niemożliwe. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 10 / 33

Podstawowe oznaczenia - akcje We wszystkich zadaniach związanych z akcjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 11 / 33

Podstawowe oznaczenia - akcje We wszystkich zadaniach związanych z akcjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: P t - wartość akcji w momencie jej przyszłej sprzedaży w momencie t. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 11 / 33

Podstawowe oznaczenia - akcje We wszystkich zadaniach związanych z akcjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: P t - wartość akcji w momencie jej przyszłej sprzedaży w momencie t. D n - wartość n-tej dywidendy w czasie posiadania akcji. OP to czas pomiędzy wypłatami dywidend. Przez D 0 oznaczamy wartość ostatniej dywidendy przed zakupem akcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 11 / 33

Podstawowe oznaczenia - akcje We wszystkich zadaniach związanych z akcjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: P t - wartość akcji w momencie jej przyszłej sprzedaży w momencie t. D n - wartość n-tej dywidendy w czasie posiadania akcji. OP to czas pomiędzy wypłatami dywidend. Przez D 0 oznaczamy wartość ostatniej dywidendy przed zakupem akcji. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK = OP. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 11 / 33

Podstawowe oznaczenia - akcje We wszystkich zadaniach związanych z akcjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: P t - wartość akcji w momencie jej przyszłej sprzedaży w momencie t. D n - wartość n-tej dywidendy w czasie posiadania akcji. OP to czas pomiędzy wypłatami dywidend. Przez D 0 oznaczamy wartość ostatniej dywidendy przed zakupem akcji. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK = OP. N - liczba okresów kapitalizacji do momentu sprzedaży akcji (N t). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 11 / 33

Podstawowe oznaczenia - akcje We wszystkich zadaniach związanych z akcjami istotne będą następujące wielkości i oznaczenia: P t - wartość akcji w momencie jej przyszłej sprzedaży w momencie t. D n - wartość n-tej dywidendy w czasie posiadania akcji. OP to czas pomiędzy wypłatami dywidend. Przez D 0 oznaczamy wartość ostatniej dywidendy przed zakupem akcji. r = IRR - zgodna stopa zwrotu z inwestycji o okresie kapitalizacji OK = OP. N - liczba okresów kapitalizacji do momentu sprzedaży akcji (N t). P - obecna wartość akcji (cena, po której inwestor jest skłonny ją zakupić). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 11 / 33

Akcje - podstawy wyceny Zauważmy, że z punktu widzenia matematyki finansowej wycena akcji działa praktycznie tak samo jak wycena obligacji kuponowych - technicznie, zamiast regularnej wypłaty kuponów mamy regularną wypłatę dywidend, a zamiast wartości nominalnej obligacji w dniu jej zapadalności otrzymujemy cenę akcji w dniu jej sprzedaży. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 12 / 33

Akcje - podstawy wyceny Zauważmy, że z punktu widzenia matematyki finansowej wycena akcji działa praktycznie tak samo jak wycena obligacji kuponowych - technicznie, zamiast regularnej wypłaty kuponów mamy regularną wypłatę dywidend, a zamiast wartości nominalnej obligacji w dniu jej zapadalności otrzymujemy cenę akcji w dniu jej sprzedaży. Te różnice są czysto techniczno-prawne, a nie matematyczne, więc liczymy tak samo. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 12 / 33

Akcje - podstawy wyceny Zauważmy, że z punktu widzenia matematyki finansowej wycena akcji działa praktycznie tak samo jak wycena obligacji kuponowych - technicznie, zamiast regularnej wypłaty kuponów mamy regularną wypłatę dywidend, a zamiast wartości nominalnej obligacji w dniu jej zapadalności otrzymujemy cenę akcji w dniu jej sprzedaży. Te różnice są czysto techniczno-prawne, a nie matematyczne, więc liczymy tak samo. Jedyną różnicą jest, że data sprzedaży nie musi być skoordynowana z czasem wypłaty ostatniej dywidendy. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 12 / 33

Akcje - podstawowy wzór Stąd wynika, że maksymalna cena, jaką jest skłonny wypłacić inwestor, jest sumą zaktualizowanych na moment zakupu dochodów z akcji. Obliczymy tę cenę na początek okresu płatności dywidend (w razie czego, możemy tę cenę przesuwać w czasie). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 13 / 33

Akcje - podstawowy wzór Stąd wynika, że maksymalna cena, jaką jest skłonny wypłacić inwestor, jest sumą zaktualizowanych na moment zakupu dochodów z akcji. Obliczymy tę cenę na początek okresu płatności dywidend (w razie czego, możemy tę cenę przesuwać w czasie). Cena akcji o znanym czasie i cenie sprzedaży N P = D j (1 + r ) j + P t (1 + r ) t. j=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 13 / 33

Przykład Zadanie Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp. Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%? rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp. Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%? Wzór z poprzedniego slajdu pozwala nam wycenić akcję na początek okresu wypłaty dywidend. Skoro dywidendy są wypłacane co rok i najbliższa wypłata jest za 3 miesiące, to wzór pozwoli nam obliczyć cenę akcji w momencie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp. Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%? Wzór z poprzedniego slajdu pozwala nam wycenić akcję na początek okresu wypłaty dywidend. Skoro dywidendy są wypłacane co rok i najbliższa wypłata jest za 3 miesiące, to wzór pozwoli nam obliczyć cenę akcji w momencie 9 miesięcy temu, a potem przesuniemy tę wartość o 9 miesięcy do przodu. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 14 / 33

Przykład Zadanie Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp. Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%? 9 miesięcy temu mogliśmy zatem otrzymać prawo do 2 dywidend (za rok i 2 lata) oraz do 100 jp za 2 lata i 9 miesięcy (2,75 roku). Zatem: P = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 15 / 33

Przykład Zadanie Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp. Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%? 9 miesięcy temu mogliśmy zatem otrzymać prawo do 2 dywidend (za rok i 2 lata) oraz do 100 jp za 2 lata i 9 miesięcy (2,75 roku). Zatem: P = 5(1, 05) 1 + 6(1, 05) 2 + 100(1, 05) 2,75 = 97, 6480. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 15 / 33

Przykład Zadanie Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp. Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%? Teraz wystarczy otrzymaną cenę P przesunąć do przodu o 9 miesięcy (3/4 roku) by otrzymać: P = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 16 / 33

Przykład Zadanie Inwestor planuje sprzedać kupowaną akcję za 2 lata, za cenę 100 jp. Posiadanie tej akcji daje prawo do wypłaty rocznych dywidend - pierwsza jest wypłacana za 3 miesiące w wysokości 5 jp, a następna będzie wypłacana za rok i 3 miesiące w wysokości 6 jp. Ile maksymalnie inwestor jest skłonny zapłacić za tę akcję, jeśli chce uzyskać roczną stopę zwrotu co najmniej 5%? Teraz wystarczy otrzymaną cenę P przesunąć do przodu o 9 miesięcy (3/4 roku) by otrzymać: P = P(1, 05) 0,75 = 101, 2874. Odp: Inwestor może zapłacić maksymalnie 101, 2874 jp. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 16 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 17 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe. By ominąć problem zgadywania ceny sprzedaży, zakłada się, że kolejni kupujący tę akcję inwestorzy, kierują się tym samym sposobem wyceny akcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 17 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe. By ominąć problem zgadywania ceny sprzedaży, zakłada się, że kolejni kupujący tę akcję inwestorzy, kierują się tym samym sposobem wyceny akcji. Wtedy możemy efektywnie odsunąć w nieskończoność moment sprzedaży akcji i korzystać z modelu zdyskontowanych dywidend (formalnie prawdziwego dla akcji trzymanych bezterminowo). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 17 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend Najsłabszym punktem otrzymanego przed chwilą wzoru jest konieczność wyznaczenia ceny, po której w przysżłości zostanie sprzedana akcja. W praktyce jest to niemożliwe. By ominąć problem zgadywania ceny sprzedaży, zakłada się, że kolejni kupujący tę akcję inwestorzy, kierują się tym samym sposobem wyceny akcji. Wtedy możemy efektywnie odsunąć w nieskończoność moment sprzedaży akcji i korzystać z modelu zdyskontowanych dywidend (formalnie prawdziwego dla akcji trzymanych bezterminowo). We wzorach skróconych będziemy korzystać z dodatkowego założenia, że wewnętrzne stopy zwrotu dla kolejnych inwestorów są takie same - natomiast założenie to jest łatwo uchylić. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 17 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend Załóżmy, że inwestor, kupujący od nas akcje w czasie N 1 po cenie P N1 zamierza ją sprzedać w momencie N 2 po cenie P N2 (dla uproszczenia obliczeń, ale bez utraty ogólności powstających wzorów, zakładamy, że wszystkie omawiane transakcje odbywają się na początku okresów wypłaty dywidend). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 18 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend Załóżmy, że inwestor, kupujący od nas akcje w czasie N 1 po cenie P N1 zamierza ją sprzedać w momencie N 2 po cenie P N2 (dla uproszczenia obliczeń, ale bez utraty ogólności powstających wzorów, zakładamy, że wszystkie omawiane transakcje odbywają się na początku okresów wypłaty dywidend). Wtedy ten inwestor wycenia zakup w momencie N 1 następująco: P N1 = N 2 N 1 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 1 N 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 18 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P N1 = N 2 N 1 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 1 N 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 19 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P N1 = N 2 N 1 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 1 N 2. Zatem, my możemy wycenić akcję w momencie 0 następująco: N 1 P = D j (1 + r ) j + P N1 (1 + r ) N 1 = j=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 19 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P N1 = N 2 N 1 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 1 N 2. Zatem, my możemy wycenić akcję w momencie 0 następująco: N 1 P = D j (1 + r ) j + P N1 (1 + r ) N 1 = j=1 N 1 = D j (1+r ) j + N 2 N 1 j=1 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 1 N 2 (1+r ) N 1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 19 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P N1 = N 2 N 1 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 1 N 2. Zatem, my możemy wycenić akcję w momencie 0 następująco: N 1 P = D j (1 + r ) j + P N1 (1 + r ) N 1 = j=1 N 1 = D j (1+r ) j + N 2 N 1 j=1 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 1 N 2 (1+r ) N 1 N 2 = D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 2. j=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 19 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N 2 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 20 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N 2 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 2. Kontynuując rozumowanie, możemy przedstawić wzór po zakupach dokonanych przez k inwestorów jako: N k P = D j (1 + r ) j + P Nk (1 + r ) N k. j=1 Składnik P Nk (1 + r ) N k staje się coraz mniejszy, gdy rozważamy coraz dalszy horyzont czasowy N k. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 20 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N 2 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 2. Kontynuując rozumowanie, możemy przedstawić wzór po zakupach dokonanych przez k inwestorów jako: N k P = D j (1 + r ) j + P Nk (1 + r ) N k. j=1 Składnik P Nk (1 + r ) N k staje się coraz mniejszy, gdy rozważamy coraz dalszy horyzont czasowy N k. Ponieważ akcje nie mają (w przeciwieństwie do obligacji kuponowych) żadnej ustalonej daty zapadalności, potencjalnie mogą być w obrocie przez czas nieskończony. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 20 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N 2 j=1 D j (1 + r ) j + P N2 (1 + r ) N 2. Kontynuując rozumowanie, możemy przedstawić wzór po zakupach dokonanych przez k inwestorów jako: N k P = D j (1 + r ) j + P Nk (1 + r ) N k. j=1 Składnik P Nk (1 + r ) N k staje się coraz mniejszy, gdy rozważamy coraz dalszy horyzont czasowy N k. Ponieważ akcje nie mają (w przeciwieństwie do obligacji kuponowych) żadnej ustalonej daty zapadalności, potencjalnie mogą być w obrocie przez czas nieskończony. A gdy N k, to P Nk (1 + r ) N k 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 20 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N k j=1 D j (1 + r ) j + P Nk (1 + r ) N k, PNk (1 + r ) N k 0, gdy N k. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 21 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N k j=1 D j (1 + r ) j + P Nk (1 + r ) N k, PNk (1 + r ) N k 0, gdy N k. Zatem możemy powiedzieć, po uwzględnieniu wszystkich przyszłych transakcji, że: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 21 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N k j=1 D j (1 + r ) j + P Nk (1 + r ) N k, PNk (1 + r ) N k 0, gdy N k. Zatem możemy powiedzieć, po uwzględnieniu wszystkich przyszłych transakcji, że: Model zdyskontowanych dywidend P = D j (1 + r ) j. j=1 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 21 / 33

Akcje - model zdyskontowanych dywidend P = N k j=1 D j (1 + r ) j + P Nk (1 + r ) N k, PNk (1 + r ) N k 0, gdy N k. Zatem możemy powiedzieć, po uwzględnieniu wszystkich przyszłych transakcji, że: Model zdyskontowanych dywidend P = D j (1 + r ) j. j=1 Ten model jest dokładny, jeśli rozważamy tylko jednego inwestora, który nie planuje sprzedawać akcji. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 21 / 33

Wysokość dywidend Jak wspominałem wcześniej, wysokość przyszłych dywidend nie jest znana, ale dla renomowanych spółek giełdowych polityka ich wypłaty jest dość stabilna. Dlatego można je wyceniać na podstawie dodatkowych założeń takich jaki: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 22 / 33

Wysokość dywidend Jak wspominałem wcześniej, wysokość przyszłych dywidend nie jest znana, ale dla renomowanych spółek giełdowych polityka ich wypłaty jest dość stabilna. Dlatego można je wyceniać na podstawie dodatkowych założeń takich jaki: Model stałej dywidendy; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 22 / 33

Wysokość dywidend Jak wspominałem wcześniej, wysokość przyszłych dywidend nie jest znana, ale dla renomowanych spółek giełdowych polityka ich wypłaty jest dość stabilna. Dlatego można je wyceniać na podstawie dodatkowych założeń takich jaki: Model stałej dywidendy; Model Gordona-Shapiro; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 22 / 33

Wysokość dywidend Jak wspominałem wcześniej, wysokość przyszłych dywidend nie jest znana, ale dla renomowanych spółek giełdowych polityka ich wypłaty jest dość stabilna. Dlatego można je wyceniać na podstawie dodatkowych założeń takich jaki: Model stałej dywidendy; Model Gordona-Shapiro; Model dwufazowy i ogólne modele wielofazowe. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 22 / 33

Model stałej dywidendy Model stałej dywidendy zakłada, że wszystkie przyszłe dywidendy będą miały stałą wysokość D = D 0 - taką jak ostatnio wypłacona dywidenda. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 23 / 33

Model stałej dywidendy Model stałej dywidendy zakłada, że wszystkie przyszłe dywidendy będą miały stałą wysokość D = D 0 - taką jak ostatnio wypłacona dywidenda. Wtedy wartość aktualna tej akcji jest po prostu wartością aktualną renty wieczystej z dołu o stałych ratach D. Stąd: Model stałej dywidendy P = D r. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 23 / 33

Model Gordona-Shapiro Model Gordona-Shapiro jest podstawą wszelkich bardziej skomplikowanych modeli. Opiera się na następujących założeniach: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 24 / 33

Model Gordona-Shapiro Model Gordona-Shapiro jest podstawą wszelkich bardziej skomplikowanych modeli. Opiera się na następujących założeniach: wskaźnik wypłaty dywidendy jest stały, tj. spółka utrzymuje stałą proporcję podziału zysku na zysk zatrzymany i przeznaczony na dywidendy rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 24 / 33

Model Gordona-Shapiro Model Gordona-Shapiro jest podstawą wszelkich bardziej skomplikowanych modeli. Opiera się na następujących założeniach: wskaźnik wypłaty dywidendy jest stały, tj. spółka utrzymuje stałą proporcję podziału zysku na zysk zatrzymany i przeznaczony na dywidendy stopa zwrotu z zysków zatrzymanych jest stała rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 24 / 33

Model Gordona-Shapiro Model Gordona-Shapiro jest podstawą wszelkich bardziej skomplikowanych modeli. Opiera się na następujących założeniach: wskaźnik wypłaty dywidendy jest stały, tj. spółka utrzymuje stałą proporcję podziału zysku na zysk zatrzymany i przeznaczony na dywidendy stopa zwrotu z zysków zatrzymanych jest stała całość wzrostu spółki pochodzi z reinwestycji zysku zatrzymanego. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 24 / 33

Model Gordona-Shapiro Model Gordona-Shapiro jest podstawą wszelkich bardziej skomplikowanych modeli. Opiera się na następujących założeniach: wskaźnik wypłaty dywidendy jest stały, tj. spółka utrzymuje stałą proporcję podziału zysku na zysk zatrzymany i przeznaczony na dywidendy stopa zwrotu z zysków zatrzymanych jest stała całość wzrostu spółki pochodzi z reinwestycji zysku zatrzymanego. Przy tych założeniach dywidendy wzrastają o stałą stopę g = r 0 f, gdzie r 0 jest stopą zwrotu z inwestycji zysku zatrzymanego, a f jest wskaźnikiem zatrzymania (czyli częścią zysku, którą stanowi zysk zatrzymany). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 24 / 33

Model Gordona-Shapiro W tym modelu zatem, wartość aktualna akcji jest wartością aktualną renty geometrycznej o j-ej racie D 0 (1 + g) j (gdzie D 0 jest wysokością ostatniej renty przed zakupem). Zatem: rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 25 / 33

Model Gordona-Shapiro W tym modelu zatem, wartość aktualna akcji jest wartością aktualną renty geometrycznej o j-ej racie D 0 (1 + g) j (gdzie D 0 jest wysokością ostatniej renty przed zakupem). Zatem: P = j=1 ( ) 1 + g j D 0 = 1 + r rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 25 / 33

Model Gordona-Shapiro W tym modelu zatem, wartość aktualna akcji jest wartością aktualną renty geometrycznej o j-ej racie D 0 (1 + g) j (gdzie D 0 jest wysokością ostatniej renty przed zakupem). Zatem: P = j=1 ( ) 1 + g j D 0 = D 0(1 + g) 1 1 + r 1 + r 1 1+g =... 1+r Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 25 / 33

Model Gordona-Shapiro W tym modelu zatem, wartość aktualna akcji jest wartością aktualną renty geometrycznej o j-ej racie D 0 (1 + g) j (gdzie D 0 jest wysokością ostatniej renty przed zakupem). Zatem: P = j=1 Model Gordona-Shapiro ( ) 1 + g j D 0 = D 0(1 + g) 1 1 + r 1 + r 1 1+g =... 1+r P = D 0(1 + g) r g. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 25 / 33

Model Gordona-Shapiro - uwaga P = D 0(1+g) r g. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 26 / 33

Model Gordona-Shapiro - uwaga P = D 0(1+g). Najczęściej w książkach ten wzór się pojawia w postaci: r g P = D, gdzie D oznacza najbliższą wypłacaną dywidendę po r g zakupie (a nie ostatnią przed zakupem - jak u mnie). Oczywiście wzory te dają te same wyniki, bo u mnie po prostu najbliższa wypłacana dywidenda wynosi D 0 (1 + g). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 26 / 33

Model Gordona-Shapiro - uwaga P = D 0(1+g). Najczęściej w książkach ten wzór się pojawia w postaci: r g P = D, gdzie D oznacza najbliższą wypłacaną dywidendę po r g zakupie (a nie ostatnią przed zakupem - jak u mnie). Oczywiście wzory te dają te same wyniki, bo u mnie po prostu najbliższa wypłacana dywidenda wynosi D 0 (1 + g). Mój wybór oznaczenia wynika z faktu, że wysokość ostatnio wypłaconej dywidendy jest nam znana, a wysokość dywidendy wypłacanej w przyszłości - formalnie nie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 26 / 33

Model dwufazowy Nawet jeśli dana spółka akcyjna prowadzi stabilną politykę wypłaty dywidend zgodnie z modelem Gordona-Shapiro, musimy się liczyć z tym, że w przyszłości jej rozwój może zwolnić w stosunku do dzisiejszych szacunków (np. ze względu na prawo malejących przychodów krańcowych). Podobnie, jako bufor bezpieczeństwa warto założyć, że w przyszłości warunki gospodarcze mogą się pogorszyć. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 27 / 33

Model dwufazowy Nawet jeśli dana spółka akcyjna prowadzi stabilną politykę wypłaty dywidend zgodnie z modelem Gordona-Shapiro, musimy się liczyć z tym, że w przyszłości jej rozwój może zwolnić w stosunku do dzisiejszych szacunków (np. ze względu na prawo malejących przychodów krańcowych). Podobnie, jako bufor bezpieczeństwa warto założyć, że w przyszłości warunki gospodarcze mogą się pogorszyć. By wziąć poprawkę na taki efekt, używa się modelu dwufazowowego, w którym przez pewien okres (n 1 okresów kapitalizacji) dywidendy rosną w szybszym tempie (ze stopą g 1 ), a potem ich wzrost jest wolniejszy, ze stopą wzrostu g 2 < g 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 27 / 33

Model dwufazowy Najpierw obliczmy w modelu dwufazowym wartość akcji w momencie n 1 - czyli P n1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 28 / 33

Model dwufazowy Najpierw obliczmy w modelu dwufazowym wartość akcji w momencie n 1 - czyli P n1. Jest to znów sytuacja renty wieczystej geometrycznej, gdzie j ta dywidenda jest wysokości D 0 (1 + g 1 ) n 1 (1 + g 2 ) j, więc ze wzoru Gordona-Shapiro: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 28 / 33

Model dwufazowy Najpierw obliczmy w modelu dwufazowym wartość akcji w momencie n 1 - czyli P n1. Jest to znów sytuacja renty wieczystej geometrycznej, gdzie j ta dywidenda jest wysokości D 0 (1 + g 1 ) n 1 (1 + g 2 ) j, więc ze wzoru Gordona-Shapiro: P n1 = D 0(1 + g 1 ) n 1 (1 + g 2 ) r g 2. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 28 / 33

Model dwufazowy Najpierw obliczmy w modelu dwufazowym wartość akcji w momencie n 1 - czyli P n1. Jest to znów sytuacja renty wieczystej geometrycznej, gdzie j ta dywidenda jest wysokości D 0 (1 + g 1 ) n 1 (1 + g 2 ) j, więc ze wzoru Gordona-Shapiro: Z drugiej strony: n 1 P n1 = D 0(1 + g 1 ) n 1 (1 + g 2 ) r g 2. P = D 0 (1 + g 1 ) j (1 + r ) j + P n1 (1 + r ) n 1. j=1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 28 / 33

Model dwufazowy P = n 1 j=1 D 0 (1 + g 1 ) j (1 + r ) j + P n1 (1 + r ) n 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 29 / 33

Model dwufazowy P = n 1 j=1 D 0 (1 + g 1 ) j (1 + r ) j + P n1 (1 + r ) n 1. Zgodnie ze wzorem na sumę n 1 wyrazów ciągu geometrycznego i na P n1 Model dwufazowy wyceny akcji P = D 0(1 + g 1 ) r g 1 [ ( ) 1 + n1 ] g1 1 1 + r + D 0(1 + g 1 ) n 1 (1 + g 2 ). (r g 2 )(1 + r ) n 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 29 / 33

Modele wielofazowe - komentarz Podobnie można skonstruować wzór trójfazowy, w którym przez pewien okres dywidenda rośnie w szybszym tempie, potem wzrost równomiernie zwalnia, a następnie przechodzi do stałego wzrostu w niższym tempie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 30 / 33

Modele wielofazowe - komentarz Podobnie można skonstruować wzór trójfazowy, w którym przez pewien okres dywidenda rośnie w szybszym tempie, potem wzrost równomiernie zwalnia, a następnie przechodzi do stałego wzrostu w niższym tempie. Oczywiście można też tworzyć modele wielofazowe o większej liczbie faz. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 30 / 33

Modele wielofazowe - komentarz Podobnie można skonstruować wzór trójfazowy, w którym przez pewien okres dywidenda rośnie w szybszym tempie, potem wzrost równomiernie zwalnia, a następnie przechodzi do stałego wzrostu w niższym tempie. Oczywiście można też tworzyć modele wielofazowe o większej liczbie faz. Jak Państwo się domyślają, wzory w tych przypadkach stają się coraz piękniejsze, więc nie będziemy ich omawiać (choć powinno być jasne jak je wyprowadzić w miarę potrzeby). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 30 / 33

Modele wielofazowe - komentarz Podobnie można skonstruować wzór trójfazowy, w którym przez pewien okres dywidenda rośnie w szybszym tempie, potem wzrost równomiernie zwalnia, a następnie przechodzi do stałego wzrostu w niższym tempie. Oczywiście można też tworzyć modele wielofazowe o większej liczbie faz. Jak Państwo się domyślają, wzory w tych przypadkach stają się coraz piękniejsze, więc nie będziemy ich omawiać (choć powinno być jasne jak je wyprowadzić w miarę potrzeby). W analogiczny sposób można uchylić jedno z początkowych założeń, że kolejni odkupujący akcję inwestorzy wybierają tę samą stopę zwrotu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 30 / 33

Przykład Zadanie Załóżmy, że dywidendy od pewnej akcji są wypłacane półrocznie, a ostatnia wypłacona (przed chwilą) dywidenda wyniosła 10 jp. Ile powinien zapłacić za tę akcję inwestor, jeśli chce uzyskać zwrot 10% rocznie, gdy zakłada a) model stałych dywidend, b) model Gordona-Shapiro ze stopą wzrostu dywidend 3% półrocznie, c) model dwufazowy, ze stopą wzrostu dywidend 4% półrocznie przez 3 lata i 2% półrocznie później? Najpierw musimy roczną stopę zwrotu inwestora przeliczyć na półroczną: r = r ef = (1 + 0, 1) 1 2 1 = 0, 0488. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 31 / 33

Przykład Zadanie Załóżmy, że dywidendy od pewnej akcji są wypłacane półrocznie, a ostatnia wypłacona (przed chwilą) dywidenda wyniosła 10 jp. Ile powinien zapłacić za tę akcję inwestor, jeśli chce uzyskać zwrot 10% rocznie, gdy zakłada a) model stałych dywidend, b) model Gordona-Shapiro ze stopą wzrostu dywidend 3% półrocznie, c) model dwufazowy, ze stopą wzrostu dywidend 4% półrocznie przez 3 lata i 2% półrocznie później? Najpierw musimy roczną stopę zwrotu inwestora przeliczyć na półroczną: r = r ef = (1 + 0, 1) 1 2 1 = 0, 0488. Wtedy, w modelu stałych dywidend: P = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 31 / 33

Przykład Zadanie Załóżmy, że dywidendy od pewnej akcji są wypłacane półrocznie, a ostatnia wypłacona (przed chwilą) dywidenda wyniosła 10 jp. Ile powinien zapłacić za tę akcję inwestor, jeśli chce uzyskać zwrot 10% rocznie, gdy zakłada a) model stałych dywidend, b) model Gordona-Shapiro ze stopą wzrostu dywidend 3% półrocznie, c) model dwufazowy, ze stopą wzrostu dywidend 4% półrocznie przez 3 lata i 2% półrocznie później? Najpierw musimy roczną stopę zwrotu inwestora przeliczyć na półroczną: r = r ef = (1 + 0, 1) 1 2 1 = 0, 0488. Wtedy, w modelu stałych dywidend: P = D r = 10 = 204, 9180. 0, 0488 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 31 / 33

Przykład Zadanie Załóżmy, że dywidendy od pewnej akcji są wypłacane półrocznie, a ostatnia wypłacona (przed chwilą) dywidenda wyniosła 10 jp. Ile powinien zapłacić za tę akcję inwestor, jeśli chce uzyskać zwrot 10% rocznie, gdy zakłada a) model stałych dywidend, b) model Gordona-Shapiro ze stopą wzrostu dywidend 3% półrocznie, c) model dwufazowy, ze stopą wzrostu dywidend 4% półrocznie przez 3 lata i 2% półrocznie później? W modelu Gordona-Shapiro mamy: P = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 32 / 33

Przykład Zadanie Załóżmy, że dywidendy od pewnej akcji są wypłacane półrocznie, a ostatnia wypłacona (przed chwilą) dywidenda wyniosła 10 jp. Ile powinien zapłacić za tę akcję inwestor, jeśli chce uzyskać zwrot 10% rocznie, gdy zakłada a) model stałych dywidend, b) model Gordona-Shapiro ze stopą wzrostu dywidend 3% półrocznie, c) model dwufazowy, ze stopą wzrostu dywidend 4% półrocznie przez 3 lata i 2% półrocznie później? W modelu Gordona-Shapiro mamy: P = D 0(1 + g) r g = 10(1 + 0, 03) 0, 0488 0, 03 = 547, 8723. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 32 / 33

Przykład Zadanie Załóżmy, że dywidendy od pewnej akcji są wypłacane półrocznie, a ostatnia wypłacona (przed chwilą) dywidenda wyniosła 10 jp. Ile powinien zapłacić za tę akcję inwestor, jeśli chce uzyskać zwrot 10% rocznie, gdy zakłada (...) c) model dwufazowy, ze stopą wzrostu dywidend 4% półrocznie przez 3 lata i 2% półrocznie później? W modelu dwufazowym dla n 1 = 6 mamy: P = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 33 / 33

Przykład Zadanie Załóżmy, że dywidendy od pewnej akcji są wypłacane półrocznie, a ostatnia wypłacona (przed chwilą) dywidenda wyniosła 10 jp. Ile powinien zapłacić za tę akcję inwestor, jeśli chce uzyskać zwrot 10% rocznie, gdy zakłada (...) c) model dwufazowy, ze stopą wzrostu dywidend 4% półrocznie przez 3 lata i 2% półrocznie później? W modelu dwufazowym dla n 1 = 6 mamy: P = D 0(1 + g 1 ) r g 1 [ ( ) 1 + n1 ] g1 1 1 + r + D 0(1 + g 1 ) n 1 (1 + g 2 ) (r g 2 )(1 + r ) n 1 = 58, 2624 + 336, 7066 = 394, 9690. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 9. Papiery wartościowe: akcje Matematyka finansowa 33 / 33