WIELOMIANY 1. Stopieo wielomianu. Działania na wielomianach 2. Równość wielomianów. 3. Pierwiastek wielomianu. Rozkład wielomianu na czynniki 4. Równania wielomianowe. 1.STOPIEŃ WIELOMIANU Wielomian to wyrażenie algebraiczne z jedną zmienną (x), złożoną z sumy jednomianów, w którym x pojawia się z potęgą naturalną (1, 2, 3 ). Poprzednio przy omawianiu funkcji liniowej, czy funkcji kwadratowej mieliśmy już do czynienia z wielomianami. Były to jednak wielomiany, w których potęga zmiennej x wynosiła maksymalnie 2. Teraz skupimy się głównie na wielomianach o wyższych potęgach. Wielomian oznaczamy małą lub wielką literą alfabetu (najczęściej w ). Stopień wielomianu. Jest równy najwyższej potędze iksa, jaka pojawia się w danym wielomianie. więc stopień wielomianu wynosi 5. 2. DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH Działania na wielomianach nie różnią się w zasadzie niczym od działań, jakie wykonujemy na innych wyrażeniach algebraicznych. Omówimy trzy podstawowe działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie). Dzielenie wielomianów nie wchodzi w zakres matury podstawowej. Wszystkie trzy działania przedstawimy na przykładzie dwóch wielomianów: Dodawanie wielomianów Dodajemy wielomiany zgodnie z zasadami działań na wyrażeniach algebraicznych (dodajemy wyrażenia podobne). Otrzymane wyrażenia szeregujemy w kolejności od największej do najmniejszej potęgi. 1
Odejmowanie wielomianów Właśnie w przypadku odejmowania wielomianów pojawia się najwięcej błędów. Należy pamiętać, aby zawsze odejmując od siebie dwa wielomiany, drugi zapisać w nawiasie(minus przed nawiasem w następnym kroku zmieni nam wszystkie znaki). Mnożenie wielomianów W celu przemnożenia przez siebie dwóch wielomianów, oba musimy zapisać w nawiasie. Mnożenie wykonujemy zgodnie z zasadami działań na wyrażeniach algebraicznych, czyli mnożymy każde wyrażenie przez każde. Złożone działania Oczywiście na wielomianach możemy wykonywać bardziej złożone działania. Należy kierować się wyżej przedstawionymi zasadami oraz kolejnością wykonywania działań. Dla wielomianów: Wykonaj działanie: 2
3.ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI Rozkładając wielomian na czynniki, mamy do dyspozycji kilka metod. - wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, - zamiana na postać iloczynową funkcji kwadratowej ( postaci funkcji kwadratowej), - grupowanie wyrażeń ( zamiana sumy na iloczyn). Oczywistym jest fakt, że o wyborze metody, lub metod jakie zastosujemy, decyduje postać danego wielomianu. Wybór odpowiedniej metody przysparza zazwyczaj najwięcej problemów. Aby sobie to ułatwić, powinniśmy sprawdzać możliwość wykorzystania wymienionych metod, zgodnie z wymienioną kolejnością. Ponadto aby było możliwe wykorzystanie konkretnej metody, musi być spełniony określony warunek. Wszystkie metody omówimy na przykładach: 1) wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias WARUNEK: x musi pojawiać się w każdym wyrażeniu (jednomianie). 2) zamiana na postać iloczynową funkcji kwadratowej WARUNEK: Wielomian musi mieć postać trójmianu kwadratowego (funkcji kwadratowej). 3
3) grupowanie wyrażeń WARUNEK: Liczba wyrażeń musi być parzysta (minimalnie muszą występować cztery wyrażenia). Wielomian rozkładamy aż do momentu rozkładu na czynniki liniowe: gdy w żadnym nawiasie nie ma zmiennej x podniesionej do jakiejkolwiek potęgi. Ponadto, poza nawiasami jedynym działaniem jakie może istnieć, jest mnożenie. UWAGA: Przekształcenie wielomianu do tej formy nie zawsze będzie dla nas wykonalne. W takim przypadku kończymy rozkład wielomianu, gdy już nic więcej nie da się zrobić. Przykład prawidłowo rozłożonego na czynniki wielomianu: 4
Rozkład wielomianów na czynniki przedstawimy na kilku różnych przykładach. Przykład 1. Przykład 2. 5
Przykład 3. 6
Przykład 4. 4.RÓWNANIA WIELOMIANOWE Aby rozwiązać równanie wielomianowe, należy w pierwszej kolejności (jeżeli jest to konieczne) przekształcić je do odpowiedniej postaci. Wszystkie wyrażenia powinny znajdować się po lewej stronie w odpowiedniej kolejności (od największej do najmniejszej potęgi). 7
Gdy równanie wielomianowe jest już zapisane w odpowiedniej formie, należy wykonać dwie czynności: 1) Rozkładamy równanie na czynniki, tak jak zostało to przedstawione w poprzednim rozdziale. Po dokonaniu rozkładu na czynniki rozpatrywanego przykładu, otrzymamy: 2) Rozwiązujemy kilka równań, przyrównując każdy z czynników do zera. Powyższe równanie wielomianowe ma trzy rozwiązania: -5, 0, 2. Rozwiążemy przykładowe równanie od początku do końca. 8
UWAGA: W przypadku równań wielomianowych nie jest konieczne rozkładanie na czynniki do samego końca. Wystarczy, że otrzymamy czynniki, które po przyrównaniu do zera, dadzą równanie możliwe do rozwiązania. Zalecamy jednak rozkładanie wielomianu do końca w przypadku, gdy w zadaniu pojawia się pytanie o krotność rozwiązania! KROTNOŚĆ ROZWIĄZANIA 9
Krotność danego rozwiązania jest równa potędze, do jakiej podniesiony jest czynnik, z którego je otrzymaliśmy. Przykładowo: Rozkładając na czynniki wielomian w równaniu otrzymaliśmy: 5.PIERWIASTEK WIELOMIANU/RÓWNANIA Pierwiastek równania czy funkcji, a w naszym wypadku wielomianu lub równania wielomianowego, to rozwiązanie tego równania. W przypadku wielomianów mamy zazwyczaj do czynienia z kilkoma pierwiastkami. Gdy w zadaniu pojawia się polecenie podania pierwiastków wielomianu, należy rozwiązać równanie, przyrównując wielomian do zera. Otrzymane rozwiązania są pierwiastkami wielomianu. Oblicz pierwiastki wielomianu: Pierwiastkami wielomianu są liczby: -2, 0, 2. Gdy pojawia się polecenie sprawdzenia, czy dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu, podstawiamy daną liczbę za x w wielomianie. Dana liczba jest pierwiastkiem wielomianu, jeżeli otrzymamy wynik: zero. 10
Przykład 1. Sprawdź czy liczba -3 jest pierwiastkiem wielomianu: Odpowiedź: Liczba -3 nie jest pierwiastkiem wielomianu. Przykład 2. Sprawdź czy liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu: Odpowiedź: Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu. 6. RÓWNOŚĆ WIELOMIANÓW Mowa tu o zadaniach polegających na obliczeniu, dla jakiej wartości parametrów, podane wielomiany są sobie równe. Dla jakiej wartości parametrów a, b podane wielomiany są sobie równe: Aby dwa wielomiany były identyczne, muszą mieć takie same współczynniki przed x podniesionym do tej samej potęgi. Dla przedstawionego przykładu, będziemy mieli: 2+a = 8 2b=0 to a = 6 b= 0 Zadanie 1. Określ stopień podanych wielomianów, wykonaj podane działanie i określ stopień otrzymanego wielomianu. 11
Zadanie 2. Rozłóż wielomiany na czynniki. Zadanie 3. Rozwiąż równania. Zadanie 4. Dla jakiej wartości parametrów a, b oraz c podane wielomiany są sobie równe: Zadanie 5. 12
Czy liczba -2 jest pierwiastkiem wielomianu? Zadanie 6. Rozwiąż równanie i podaj krotność rozwiązania. 13
14
15
16
17
18