Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Rozszerzony konspekt preskryptu do przedmiotu Teoria Maszyn i Mechanizmów Prof. dr hab. inż. Janusz Frączek Instytut Techniki Lotniczej i Mechaniki Stosowanej Wydział Mechaniczny Energetyki i Lotnictwa Politechnika Warszawska 1
Założenia wstępne Teoria maszyn i mechanizmów jest jednym z podstawowych przedmiotów w programie kształcenia inżyniera mechanika. Przedmiot ten jest pierwszym z cyklu obejmującego wykłady w zakresie mechaniki robotów. Dostarcza wiedzy, która umożliwia analizę i syntezę mechanizmów o dowolnej strukturze. Oznaczenia i dobór zagadnień w przedmiocie jest spójny z tematyką wykładaną na innych przedmiotach dla kursu Robotyki i Mechaniki i Budowy Maszyn. Zakłada się, że studenci mają za sobą podstawowy kursy mechaniki i matematyki typowe dla wykładów politechnicznych. Przedmiot obejmuje zagadnienia pięciu grup. W pierwszej (rozdział 1) przekazuje się informacje podstawowe niezbędne dla analizy i syntezy strukturalnej mechanizmów oraz dla doboru napędów. Dokonuje się także klasyfikacji zadań mechaniki. Grupa druga (rozdział 2 i 3) zawiera wiadomości uzupełniające z mechaniki i matematyki, które są niezbędne w rozumieniu algorytmów wykładanych dalej. W podziałach tych wprowadza się także spójne oznaczenia, które są konsekwentnie stosowane w innych przedmiotach. Grupa trzecia (rozdział 3 i 4) obejmuje informacje dotyczące analizy kinematycznej mechanizmów płaskich o dowolnej strukturze, sposób formułowania zadań oraz metody ich rozwiązania. W algorytmach wykorzystuje się notacje macierzową, która umożliwia łatwe programowanie zależności. Grupa czwarta (rozdział 5) dotyczy zagadnień związanych z rozwiązywaniem zadań odwrotnych dynamiki mechanizmów płaskich. Formułuje się zależności ogólne dla mechanizmów przestrzennych a następnie stosuje je dla przypadku płaskiego. Zadanie rozwiązuje się metodami kinetostatyki z systematycznym zapisem równań równowagi dla każdego z członów. Przedstawia się także metody analizy przez podział na podukłady. W rozwiązaniach oprócz sił i momentów napędowych otrzymuje się także siły reakcji w parach kinematycznych. Grupa piąta (rozdział 6) dotyczy zagadnień wyważania mechanizmów i powstawania reakcji dynamicznych. W rozdziale przedstawiono zagadnienia wyważania wirujących wirników, w tym warunki całkowitego (dynamicznego) wyważenia. Rozdział zawiera także wnioski końcowe. Proponuje się następujące piśmiennictwo uzupełniające do wykładu zarówno w języku polskim jak i angielskim: Frączek J., Wojtyra M.: Kinematyka układów wieloczłonowych, metody obliczeniowe. WNT 2008, Warszawa. Wojtyra M., Frączek J.: Metoda układów wieloczłonowych w dynamice mechanizmów, OWPW 2007. Olędzki A.: Teoria maszyn i mechanizmów. Warszawa WNT 1995. Shigley J.E. Uicker J.J.: Theory of Machines and Mechanisms, 3 rd ed., NcGraw Hill. Tsai L.W.: Robot Analysis, The Mechanics of Serial and Paralell Manipulators. Wiley & Sons, 1999. Nikravesh P.E.: Computer Aided Analysis of Mechanical Systems. Prentice Hall 1988. MATLAB, HELP (hundreds of textbooks). 2
1. Podstawowe pojęcia i zagadnienia teorii maszyn i mechanizmów Zawiera omówienie podstawowych pojęć TMM. 1.1. Podstawowe pojęcia teorii maszyn i mechanizmów 1.1.1. Pary kinematyczne. Klasyfikacja Zawiera definicje członu, pary kinematycznej, liczby stopni swobody. Przedstawiono w nim klasyfikacje par kinematycznych, definicje łańcuchów kinematycznych otwartych i zamkniętych, pętli. 1.1.2. Ruchliwość i więzy nadmiarowe Zawiera definicję ruchliwości, wzory strukturalne Grublera dla mechanizmów przestrzennych i płaskich, definicje więzów nadmiarowych i biernych, schematu strukturalnego, pojęcie ruchliwości lokalnej i pasywnych stopni swobody. 1.2. Równania więzów w mechanice. Klasyfikacja Zawiera definicje więzów z punktu widzenia mechaniki holonomicznych i nieholonomicznych. Przedstawiono związek pomiędzy ruchliwością i rzędem macierzy Jacobiego równań więzów. 1.3. Typowe zagadnienia mechaniki maszyn i mechanizmów Przedstawiono typowe zadania mechaniki - zadanie kinematyki proste i odwrotne, zadanie statyki, zadanie dynamiki proste i odwrotne oraz zagadnienie kinetostatyki. 2. Kinematyka punktu i członu w przestrzeni i na płaszczyźnie Zawiera podstawowe zależności kinematyczne dla punktu i członu zapisane w algebraicznej reprezentacji wektorów. 2.1. Algebraiczna reprezentacja wektorów Zawiera opis podstawowych działań na wektorach w reprezentacji algebraicznej. 2.2. Zapis wektora w różnych układach odniesienia Zawiera podstawowe zależności przy transformacji współrzędnych wektora w różnych układach odniesienia wykorzystaniem macierzy obrotów elementarnych. 2.3. Kąty Eulera i inne układy kątów Zawiera informacje na temat parametryzacji grupy obrotów w różnych układach kątów Eulera z podkreśleniem osobliwości opisu. Przedstawiono w nim informacje o innych układach kątów (Bryanta). 3
2.4. Prędkość kątowa i pochodne macierzy rotacji Zawiera definicje prędkości kątowej członu oraz zależności prędkości od pochodnych macierzy rotacji. 2.5. Ruch złożony punktu w przestrzeni Zawiera wyprowadzenia wzorów dla opisu kinematyki ruchu punktu w ruchu złożonym w przestrzeni z podkreśleniem łatwej komputeryzacji obliczeń. 2.6. Kinematyka ruchu płaskiego Zawiera zapis zależności z poprzedniego punktu dla ruchu płaskiego. 3. Matematyczne podstawy zagadnień teorii maszyn i mechanizmów Zawiera zbiór podstaw matematycznych, których znajomość jest niezbędna w TMM. 3.1. Funkcje wektorowe i ich pochodne Podstawowe działania na wektorach i funkcjach wektorowych. Macierz Jacobiego równań więzów. Wyprowadzenie wzorów dla pochodnych względem czasu równań więzów. 3.2. Metoda Newtona rozwiązywania nieliniowych równań algebraicznych Sformułowanie zadania kinematyki o położeniach w formie układu nieliniowych równań algebraicznych. 3.2.1. Metoda Newtona dla równania z jedną niewiadomą Opis metody Newtona rozwiązywania równania z jedna niewiadomą. 3.2.2. Metoda Newtona dla układu równań nieliniowych Opis metody dla układu równań. Zapis podprogramów w MATLAB-ie. 3.2.3. Wybrane problemy praktyczne stosowania metody Newtona Dyskusja wybranych problemów napotykanych przy stosowaniu metody. Przypadki osobliwe i zagadnienia źle uwarunkowane. 4. Analiza kinematyczna mechanizmów 4.1. Sformułowanie zadania kinematyki Definicja podstawowych zadań kinematyki: zadania o położeniach, prędkościach i przyspieszeniach. Przykłady. Rozwiązania numeryczne i symboliczne. Definicja współrzędnych złączowych, absolutnych i naturalnych. 4.2. Ogólny sposób postępowania w zadaniach kinematyki Przedstawienie algorytmu analizy kinematycznej mechanizmów z wykorzystaniem więzów kierujących. Algorytm analizy kinematycznej z wykorzystaniem podziału współrzędnych. Przykłady. 4.3. Zadania kinematyki we współrzędnych złączowych Zapis algorytmu analizy kinematycznej mechanizmów we współrzędnych złączowych, gdy kąty odmierzane są względnie i bezwzględnie. Zadanie o położeniach, prędkościach 4
i przyspieszeniach. Przykłady. Metoda rozwiązywania przy zapisie więzów kierujących i z wykorzystaniem podziału współrzędnych. 4.4. Zadania kinematyki we współrzędnych naturalnych Definicja współrzędnych naturalnych. Zapis równań kinematyki w tych współrzędnych. Metoda rozwiązywania. 4.5. Zadania kinematyki we współrzędnych absolutnych Definicja współrzędnych absolutnych. Zapis równań kinematyki w tych współrzędnych. Metoda rozwiązywania. 4.6. Wybrane zagadnienia praktyczne rozwiązywania zadań kinematyki Omówiono tu niektóre szczegóły obliczeń istotne z punktu widzenia zastosowań praktycznych. 5. Analiza kinetostatyczna mechanizmów płaskich 5.1. Podstawowe wiadomości z mechaniki przypomnienie 5.1.1. Geometria mas członów. Momenty bezwładności Zawiera przypomnienie podstawowych pojęć mechaniki momentów statycznych, macierzy momentów bezwładności (tensora bezwładności), twierdzenia Steinera, transformacji tensora bezwładności. 5.1.2. Równania ruchu członu w przestrzeni Zawiera zapis równań ruchu Newtona Eulera członu w przestrzeni, gdy tensor bezwładności i prędkość kątowa wyrażone są względem układu globalnego i względem układu lokalnego. 5.1.3. Równania ruchu członu na płaszczyźnie Zawiera dyskusję zapisu równań Newtona- Eulera członu w ruchu płaskim. 5.2. Równowaga kinetostatyczna na płaszczyźnie 5.2.1. Równowaga kinetostatyczna członu. Siły bezwładności Zawiera sformułowanie zasady d Alemberta i wynikającą stąd definicję równowagi kinetostatycznej członu i układu członów. 5.2.2. Reakcje w parach kinematycznych Przedstawia zasady modelowania sił reakcji w parach kinematycznych mechanizmów płaskich z pominięciem sił tarcia. 5.2.3. Równowaga kinetostatyczna mechanizmu Przedstawia metodę definiowania i rozwiązywania zadania odwrotnego dynamiki w terminach analizy kinetostatycznej. Przedstawia techniczne przykłady wyznaczania momentów napędowych dla znanego ruchu mechanizmu oraz obliczania sił reakcji z wykorzystaniem równań równowagi kinetostatycznej i myślowego rozcinania par kinematycznych. Zawiera dyskusję rozwiązywania zadania analizy kinetostatycznej poprzez 5
podział mechanizmu na podukłady. Niektóre fragmenty obliczeń ilustrowane są programami w MATLAB-ie. 6. Wyważanie maszyn i mechanizmów Przedstawia zagadnienie wyrównoważenia wirujących członów i wyrównoważenia maszyn. 6.1. Wyważanie mas w ruchu obrotowym wokół nieruchomej osi Zawiera sformułowanie zadania wyważania statycznego i dynamicznego oraz twierdzenia o wyważaniu wirników sztywnych. 7. Wnioski końcowe 6