Lista nr 1 LICZBY RZECZYWISTE Zad.1 Udowodnij równość: 5 3 10 27 = 10 3 5 9. Zad.2 Wartość wyrażenia (3 1 3 27 2 3 9 1 ) 3 4 zapisz w postaci pierwiastka z liczby wymiernej. Zad.3 Oblicz wartość wyrażenia: 80 + 3 20 320 500. Zad.4 Zapisz w postaci 2 p, gdzie p C, wyrażenie: 2 1 3 : (2 5 ) 5 (0, 5) 3 3 4. Zad.5 Porównaj podane liczby: a = 25 3 12 11 10 3 10 11 9, b = 115 3 6 2 3 11 3 3 4. Zad.6 Zaznacz na osi liczbowej i zapisz w postaci przedziału zbiór rozwiązań nierówności 7 3x + 2 < 5. Zad.7 Porównaj podane liczby: a = 27 0,(3), b = Zad.8 2 + log 10 2 log 10 5. Zabudowania zajmują 20% terenu należącego do pewnej firmy. Łączna powierzchnia tych zabudowań wynosi 400 m 2. Jaki procent terenu niezabudowanego stanowi teren zabudowany? Zad.9 Wzrost kursu euro w stosunku do złotego spowodował podwyżkę ceny wycieczki zagranicznej o 5%. Ponieważ nowa cena nie była zachęcająca, postanowiono obniżyć ją o 8%, ustalając cenę promocyjną równą 1449 zł. Oblicz pierwotną cenę wycieczki dla jednego uczestnika. Zad.10 Oblicz: log log log 10 10 + log 4 (3 + log 3 (1 + log 2 4). Zad.11 Spośród liczb: 2 log 18 2 log 3, log 40 2 log 2, 2 log 3 + 4 log 2, 2 log 6 log 1 znajdź najmniejszą liczbę całkowitą. Zad.12 Wskaż liczby wymierne: 4 1 9 ; 7; 16; π; 1, 333...; 3, (12); 3 125; ( 2) 0 ; 1 7 9 ; 4, 010010001...; 3 7 7 3 ; 3 2 3 32. Zad.13 Suma czterech kolejnych liczb naturalnych, które po podzieleniu przez 3 dają resztę równą 1 wynosi 94. Znajdź te liczby.
Lista nr 2 WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Zad.1 Rozwiąż nierówność: x 2 1 < (x 1)2 + (x + 2) 2. 2 Zad.2 Uzasadnij, że suma kwadratów trzech kolejnych liczb parzystych przy dzieleniu przez 12 daje resztę równą 8. Zad.3 Wiedząc, że liczba całkowita a nie dzieli się przez 3, znajdź resztę z dzielenia kwadratu liczy a przez 3. Zad.4 Uzasadnij, że jeżeli a + b = 1 i a 2 + b 2 = 7, to a 4 + b 4 = 31. Zad.5 Zapisz wyrażenie (x 2 + x 1 ) (1 + x) 1 w najprostszej postaci. Zad.6 Ania potrzebuje 12 dni na zrobienie plakatu. Jeżeli będzie pracowała razem z Martą, to plakat powstanie w ciągu 8 dni. Oblicz, ile dni potrzebuje Marta na zrobienie plakatu. Zad.7 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność: x 2 + 1 2x. Zad.8 Długość prostokąta jest trzykrotnie większa od jego szerokości. Jeżeli szerokość zmniejszymy o 4, to stosunek szerokości do długości będzie równy 2 : 7. Oblicz odwód tego prostokąta. Zad.9 Wykaż, że jeżeli a i b są długościami przyprostokątnych trójkąta prostokątnego oraz c jest długością przeciwprostokątnej tego trójkąta, to a + b c 2. Zad.10 Wykaż, że jeżeli xy > 0, to (x + y) ( 1 x + 1 ) 4. y Zad.11 Rozwiąż nierówność liniową 81 12 x + 27 14 11 < 27 16 2x + 2 9 21. Zad.12 Rozwiąż równanie 25 9 x = 517 5 16. 125 2 25 9 2 Sprawdź, czy liczba ta należy do przedziału określonego przez nierówność 2x 3 < 7.
Lista nr 3 RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI Zad.1 Czy liczba 2 3 jest rozwiązaniem równania: 7x2 x(4 + x) = (2x 5)(3x 10) 2(x + 14)? Zad.2 Sprawdź, która spośród liczb: 2, 3, 4, 10 nie jest rozwiązaniem nierówności: 1 6 (x + 3) + 1 (x + 1) 1, 5. 8 Zad.3 Sprawdź, czy liczba 2 jest rozwiązaniem równania: log 3 (x + 3) = log 3 (x 3). Zad.4 Rozwiąż równanie: 2 x 2 7x = 4 x 2 49. Zad.5 Znajdź wszystkie liczby całkowite ujemne spełniające nierówność: 3(x + 3) 2 + 4(x 2)(x + 2) < 7(x + 2) 2 + 3. Zad.6 Wyznacz wszystkie liczby pierwsze spełniające nierówność: (x 5) 2 2x 2 + (x 3)(x + 3) 98. Zad.7 Znajdź wszystkie liczby spełniające nierówności: (x 2 5x + 6)(x 2 + 4) 0 oraz 4 x 2 0. Zad.8 Wyznacz takie liczby a i b, aby zachodziła równość: a x + 3 + b x 4 = 3x 5 (x + 3)(x 4) dla x 3 i x 4. Zad.9 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest dłuższa od jednej przyprostokątnej o 1 cm i od drugiej przyprostokątnej o 32 cm. Oblicz długości boków tego trójkąta. Zad.10 W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m 2. Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m 2 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Zad.11 Pierwsza część trasy, którą pokonał autobus pokryta była gołoledzią. Po ustąpieniu gołoledzi prędkość autobusu wzrosła o 30%. Gdyby cała trasa była pokryta gołoledzią autobus potrzebowałby na pokonanie drugiej jej części o pół godziny więcej niż przy dobrych warunkach. W jakim czasie autobus pokonał drugą część trasy po ustąpieniu gołoledzi?
Lista nr 4 FUNKCJA KWADRATOWA Zad.1 Rozwiąż równania: (a) 4 x 6 = x + x 2 x 6, (b) (x + 3)(x2 4) x 2 + 2x = 0 (c) 2x 3 = 18x. Zad.2 Obwód prostokąta jest równy 20, a jeden z boków ma długość x. Zapisz wzór funkcji opisującej pole prostokąta w zależności od x i podaj jej dziedzinę. Zad.3 Liczby x 1 i x 2 (x 1 < x 2 ) są pierwiastkami równania x 2 + 10x 24 = 0. Oblicz 2x 1 + x 2. Zad.4 Znajdź te wartości a, dla których równanie (2 0, 5x)(2x a) = 0 ma dwa rozwiązania takie, że większe z nich jest mniejsze od 5. Zad.5 Wyznacz zbiór wartości funkcji f(x) = 2(x + 3)(x 4). Zad.6 Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f jest przedział ( ; 2. Zbiór rozwiązań nierówności f(x) 0 jest przedziałem 3; 6. Naszkicuj wykres i wyznacz wzór tej funkcji. x 5 dla x < 1, Zad.7 Znajdź sumę miejsc zerowych funkcji f(x) = x 2 4 dla 1 x < 3, x 7 dla x 3. { x + 2 dla x 1; 1), Zad.8 Zapisz zbiór wartości funkcji f(x) = (x 1) 2 oraz sprawdź, czy dla x 1; 3) liczba a = (0, 25) 0,5 należy do jej dziedziny. Zad.9 Funkcja f określona jest wzorem f(x) = x 2 4x + 3. Naszkicuj wykresy funkcji f(x) i f(x + 1) oraz rozwiąż równanie f(x + 1) = 3. Zad.10 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = (x 4)(x + 2) + 2x. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji f w przedziale 3; 1. Zad.11 Dana jest funkcja f o równaniu f(x) = 2x 2 + 4x 30. Znajdź miejsca zerowe tej funkcji, naszkicuj jej wykres oraz zapisz w postaci kanonicznej i iloczynowej. Określ jej monotoniczność oraz znajdź punkty przecięcia wykresu tej funkcji z osiami układu współrzędnych. Zad.12 Znajdź wzór funkcji kwadratowej, której wykresem jest parabola o wierzchołku (2; 1) przechodząca przez punkt o współrzędnych (1; 1). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci ogólnej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
Lista nr 5 FUNKCJE Zad.1 Funkcja f określona na zbiorze liczb naturalnych przyporządkowuje każdej liczbie n resztę z dzielenia przez 5. Określ zbiór wartości funkcji f, podaj zbiór wszystkich miejsc zerowych tej funkcji oraz naszkicuj jej wykres dla n 10. Zad.2 Dana jest funkcja f(x) = x 2 dla x { 3, 2, 1, 0, 2, 4}. Przedstaw tę funkcję za pomocą tabeli, narysuj jej wykres i podaj zbiór wartości funkcji f. Zad.3 Naszkicuj wykresy funkcji f(x) = 3x + 2, g(x) = f( x), h(x) = f(x + 1) + 3. x 1 0 2 Zad.4 W tabeli f(x) 2 + podane są wartości funkcji liniowej f dla kilku 3 3 4 + 3 argumentów. Wyznacz wzór oraz miejsce zerowe funkcji f oraz podaj te argumenty, dla których wartości funkcji są większe od 3 3. Zad.5 Dane są funkcje liniowe f(x) = (m 2)x+5 i g(x) = m x 1. Znajdź wartości parametru m, 3 dla których wykresy tych funkcji są: (a) równoległe, (b) prostopadłe. Zad.6 Wyznacz wzór funkcji liniowej f wiedząc, że zbiorem rozwiązań nierówności f(x) 8 jest przedział ( ; 1, a zbiorem rozwiązań nierówności f(x) 2 jest przedział 4; + ). Zad.7 Funkcje liniowe f i g określone wzorami f(x) = (m + 3)x 1 i g(x) = 4x + (m 1) mają to samo miejsce zerowe. Znajdź współczynnik kierunkowy funkcji f. Zad.8 Dana jest funkcja liniowa f(x) = 3x 1. Rozwiąż nierówność: f(x + 3) f(1 x). Zad.9 Dana jest funkcja liniowa f(x) = (3m 2)x + 2m 1. Dla jakich wartości parametru m funkcja f jest funkcją malejącą? Zad.10 Znajdź wartość m, aby miejscem zerowym funkcji f(x) = (5m 1)x + 20m była liczba 1. Zad.11 Dana jest funkcja f(x) = 4 16 x. (a) Narysuj wykres funkcji f oraz oblicz dla jakiego argumentu funkcja f przyjmuje wartość 2 4. (b) Wykres funkcji g(x) = f(x+2) przesunięto o 4 jednostki do dołu, otrzymując wykres funkcji h. Naszkicuj jej wykres i podaj wzór funkcji h(x). Zad.12 Do wykresu funkcji f(x) = a x należy punkt (3; 27). Oblicz a i naszkicuj wykres funkcji f. Naszkicuj wykresy funkcji g(x) = f(x+3), h(x) = f(x)+3, k(x) = f(x) 3, m(x) = f( x) 3.
Lista nr 6 CIĄGI LICZBOWE Zad.1 Zbadaj, które wyrazy ciągu (a n ) danego wzorem a n = 3n+3 n+3 są mniejsze od 5 2. Zad.2 Sprawdź, które wyrazy ciągu (a n ) danego wzorem a n = 2n+15 n są liczbami naturalnymi. Zad.3 Sprawdź na podstawie definicji, czy ciąg ( 2+1, 1 2+1, 2 3) jest ciągiem arytmetycznym. Zad.4 Oblicz, ile początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (a n ) o ilorazie równym 2 i a 1 = 5 należy zsumować, aby otrzymać 2555. Zad.5 Oblicz wartości x, dla których liczby x 2, x, 2 x 2, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny stały. Zad.6 Wiedząc, że suma pierwszego i trzeciego wyrazu ciągu arytmetycznego (a n ) jest równa 4, zaś iloczyn drugiego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równy 16, wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu (a n ). Podaj wzór ogólny tego ciągu. Zad.7 Wiedząc, że trzeci wyraz ciągu arytmetycznego (a n ) wynosi 2, oblicz sumę pięciu jego początkowych wyrazów. Zad.8 Liczby x 2, 3x, 5 są, w podanej kolejności, pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu arytmetycznego (a n ). Oblicz S 200. Zad.9 S 4 = 18. Zad.10 Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego (a n ), w którym S 3 = 15 oraz Ciąg (1, x, y 1) jest arytmetyczny, natomiast ciąg (x, y, 12) jest geometryczny. Oblicz x oraz y i podaj ten ciąg geometryczny. Zad.11 Trzywyrazowy ciąg geometryczny jest rosnący. Iloczyn wszystkich wyrazów tego ciągu jest równy ( 8), a iloraz pierwszego wyrazu przez trzeci wyraz wynosi 2 1. Wyznacz ten ciąg. 4 Zad.12 Cyfry pewnej liczby trzycyfrowej x tworzą w kolejności: cyfra setek, cyfra dziesiątek, cyfra jedności trzycyfrowy ciąg geometryczny. Jeżeli od liczby x odejmiemy liczbę trzycyfrową zapisaną za pomocą tych samych cyfr, ale w odrotnej kolejności, to otrzymamy 594. Znajdź liczbę x.
Lista nr 7 TRYGONOMETRIA Zad.1 Oblicz wartość wyrażenia a + b, jeżeli a = cos 4 α sin 4 α, b = 1 8 sin 2 α cos 2 α, α = 60. Zad.2 Sprawdź, czy istnieje taka liczba rzeczywista m, że sin α = m 1 i cos α = m + 1. Zad.3 Znajdź liczbę, dla której ciąg (tg 45, a sin 60, 3 tg 60 ) jest ciągiem geometrycznym, a ciąg (tg 45, a, 3 tg 60 ) jest ciągiem arytmetycznym. Zad.4 Dla kąta α = 15 oblicz wartość wyrażenia cos 2α + sin 3α 1 + tg 2 3α. Zad.5 Oblicz miary kątów ostrych α i β (α β) wiedząc, że sin(α + β) = 3 2 oraz tg(α β) = 1. Zad.6 W trójkącie prostokątnym suma cosinusów kątów ostrych jest równa 2 3. Oblicz iloczyn 3 sinusów tych kątów. Zad.7 Kąty α i β są kątami ostrymi trójkąta prostokątnego. Oblicz wartość wyrażenia Zad.8 sin α cos 2 α tg β (1 cos 2 β) sin β. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego jest o 6 cm dłuższa od drugiej przyprostokątnej. Tangens jednego z kątów ostrych tego trójkąta wynosi 2. Oblicz długość wysokości 5 opuszczonej na przeciwprostokatną. Zad.9 W trójkącie równoramiennym dana jest długość podstawy a = 5 cm i miara kąta przy podstawie α = 30. Wyznacz długości pozostałych boków trójkąta, miary kątów oraz pole trójkąta. Zad.10 Krótsza przekątna trapezu prostokątnego ma długość 4 i dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Wyznacz tangens kąta, jaki tworzy ta przekątna z dłuższą podstawą wiedząc, że wysokość trapezu ma długość 3. Zad.11 Oblicz miary kątów ostrych α i β trójkąta prostokątnego, wiedząc, że tg β = 2 cos α. Zad.12 Wysokość trójkąta ABC opuszczona na bok AB ma długość równą 4 i tworzy z bokiem BC kąt o mierze 45 oraz z bokiem AC kąt o mierze 30. Oblicz obwód tego trójkąta.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 8 PLANIMETRIA Zad.1 Obliczdługośćpromieniakoławpisanegowrombopolu36cm 2 ikącieostrym30. Zad.2 Znajdźwymiaryprostokątaopolu40,podobnegodoprostokątaobokach3i5. Zad.3 Oblicz pole trapezu równoramiennego o podstawach długości 9 cm i 17 cm oraz ramieniu długości 10 cm. Zad.4 Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku(w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE. C E A D B Zad.5 Dany jest równoległobok ABCD. Na przedłużeniu przekątnej AC wybrano punkt E tak, że CE = 1 2 AC (zobaczrysunek).uzasadnij,żepolerównoległobokuabcdjestczteryrazy większe od pola trójkąta DCE. D C E A B Zad.6 Wokręgupoprowadzonocięciwęodługości6dmodległąo3dmodśrodkaokręgu.Oblicz długości łuków okręgu, na które cięciwa ta dzieli okrąg. Zad.7DanyjesttrójkątABCobokach AB =2 13, BC =10, AC =12.Wykaż,żewysokość poprowadzonazwierzchołkabdzielibokacwstosunku1:2. Zad.8 Na trójkącie równobocznym opisano okrąg i w ten sam trójkąt wpisano okrąg. Pole powstałego pierścienia kołowego wynosi 3π. Oblicz pole tego trójkąta. Zad.9 Wykaż, że jeżeli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie jest prostopadła do ramienia, to trójkąt ten jest równoboczny.
ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 Lista nr 9 GEOMETRIA NA PŁASZCZYŹNIE KARTEZJAŃSKIEJ Zad.1 Prostaorównaniu2x y 1=0przecinaprostąorównaniux+y+1=0wpunkcieP. Znajdź współrzędne punktu R symetrycznego do punktu P względem osi OX. Zad.2 WyznacznaosiOXtakipunktK,abyjegoodległośćodpunktu(7;1)wynosiła 5. Zad.3 Wiadomo,żeA=(0;3), B=( 1;0), C=(0;0).Znajdźrównanieprostej,wktórej zawiera się wysokość trójkąta ABC poprowadzona z wierzchołka C. Zad.4 PunktyA=( 1;5),B=(3;3)sąkolejnymiwierzchołkamikwadratu.Wyznaczdługość promienia okręgu opisanego na tym kwadracie oraz długość promienia okręgu wpisanego w ten kwadrat. Zad.5 Oblicz długość środkowej trójkąta ABC poprowadzonej z wierzchołka C, jeżeli wiadomo, żea=( 4; 2),B=(2;6),aśrodekbokuBCmawspółrzędne(4;1). Zad.6 Prosteorównaniachy 4=0i4x y+12=0orazosieukładuwspółrzędnychograniczają trapez. Oblicz tangens kąta ostrego tego trapezu. Zad.7 PunktP=( 2;3)jestpunktemstycznościprostejliokręguośrodkuS=(1; 2).Napisz równanie prostej l. Zad.8 ProstaltworzyzosiąOXkątomierze45 iprzechodziprzezpunktm=( 2;2).Prosta k,prostopadładoprostejl,przecinaośoxwpunkcieoodciętejx 0 = 3.Wyznaczrównania prostychlik. Zad.9 DanyjestwierzchołekA=( 2;1)kwadratuABCDirównanieprostejy=2x,wktórej zawarta jest przekątna BD. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. Zad.10 DanesądwawierzchołkitrójkątaABC:A=( 2;0),B=(1;1).Wyznaczwspółrzędne trzeciego wierzchołka leżącego na dodatnej półosi OY, jeśli pole trójkąta ABC jest równe 6,5. Zad.11 WtrójkącieABC,wktórym AC = BC danyjestwierzchołeka=( 3;2)orazpunkt E =(1; 0) będący środkiem boku AB. Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta orazjegopolewiedząc,żepunktcnależydoprostejorównaniuy= x+7. Zad.12 Jeden z boków trójkąta równobocznego zawarty jest w osi OX, a jeden z wierzchołków to punkt(0; 0). Napisz równania prostych zawierających boki trójkąta oraz znajdź współrzędne wierzchołków, jeżeli wiesz, że długość boku jest równa 6.
Lista nr 10 ZDAJ MATMĘ NA MAKSA POZIOM PODSTAWOWY 2018/2019 ZADANIA TYPU: WYKAŻ, UZASADNIJ, UDOWODNIJ... Zad.1 Liczbaxprzydzieleniuprzez7dajeresztę2.Wykaż,żekwadratliczbyxpomniejszonyo4 jest podzielny przez 7. Zad.2 Wykaż,żeliczba6 100 2 6 99 +10 6 98 jestpodzielnaprzez17. Zad.3 Wiadomo,żea>0i 1 a +a=2.wykaż,żea2 + 1 a 2 = 1 a +a. Zad.4 Uzasadnij,żerównaniex 2 +(b 2)x 2b=0dladowolnejliczbyrzeczywistejbma przynajmniej jedno rozwiązanie. Zad.5 Danyjestciąg(a n )owyrazieogólnyma n = Wykaż,żenieistniejewtymciąguwyrazrówny0. { 2 n 4 dla n nieparzystego n 3 dla n parzystego. Zad.6 Wykaż, że liczba x jest liczbą naturalną parzystą, gdy 11+ 10 11 10 x= +. 11 10 11+ 10 Zad.7 Wykaż, że trapez, w którym przekątne dzielą kąty przy dłuższej podstawie na połowy, jest równoramienny. Zad.8 W prostokącie przekątna długości d dzieli kąt prostokąta na dwie równe części. Wykaż, że pole kwadratu zbudowanego na tej przekątnej jest dwa razy większe od pola prostokąta. Zad.9 DanyjesttrapezABCD,wktórymAB CDorazpunktE,któryleżynaramieniuBC. Udowodnij,że <)AED = <)BAE + <)CDE. Zad.10 WtrójkącieABCpunktyDiEdzieląbokBCnatrzyrówneczęści.Wykaż,żepole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC. Zad.11 Wykaż, że jeżeli suma dwóch pierwszych wyrazów ciągu geometrycznego o wyrazach dodatnich równa się sumie trzeciego i czwartego wyrazu, to ciąg jest stały. Zad.12 Pięć liczb tworzy ciąg arytmetyczny, a liczba pierwsza, trzecia i piąta tworzą ciąg geometryczny. Wykaż, że wszystkie liczby tworzące ciąg arytmetyczny muszą być równe.