YFRAKCJA NA POJEYNCZEJ POWÓJNEJ SZCZELNE. Cel ćwiczenia: zapoznanie ze zjawiskiem yfrakcji światła na pojeynczej i powójnej szczelinie. Pomiar ługości fali światła laserowego, oległości mięzy śrokami szczelin i oszacowanie szerokości pojeynczej szczeliny.. Przyrząy: laser LG 00 ( 63,8 nm), zestaw szczelin pojeynczych i powójnych, ekran, miarka milimetrowa.. Literatura.. Resnick, R. Holliay Fizyka, t... F. C. Crawfor Fale, V. Wstęp yfrakcja jest to zjawisko polegające na uginaniu się promieni świetlnych przechozących w pobliżu przeszkoy, takiej jak np. brzeg szczeliny. Rysunek a pokazuje ogólny przypaek tzw. yfrakcji Fresnela, tzn. takiej, gy źróło światła i ekran, na którym pojawia się obraz yfrakcyjny, znajują się w skończonej oległości o otworu, powoującego ugięcie. Czoła fal paających na otwór uginający i fal które po przejściu przez ten otwór oświetlają jakiś punkt P na ekranie, nie są płaskie. Opowienie promienie nie są równoległe. P a) ekran S L barzo oległe źróło b) B barzo oległy ekran C Rys. Warunki o wystąpienia yfrakcji Fresnela a) i yfrakcji Fraunhofera b). Sytuacja upraszcza się, gy źróło światła S i ekran C osuwamy na uże oległości o otworu uginającego, jak na rysunku b. Ten graniczny przypaek zwany jest yfrakcją Fraunhofera.
Czoła fal paających na otwór uginający z oległego źróła są płaszczyznami a opowiaające im promienie są o siebie równoległe. Poobnie czoła fal paających na jakiś punkt P na oległym ekranie C są płaskie. Nałożenie się na siebie wóch fal o tej samej częstości i stałej różnicy fazy (czyli spójnych) poruszających się w przybliżeniu w tym samym kierunku, powouje, że ich energia nie jest rozłożona w przestrzeni równomiernie, lecz jest maksymalna w pewnych punktach i minimalna w innych. Takie zjawisko nazywa się interferencją. Ze wzglęów historycznych obraz natężeń wytworzony przez nakłaające się przyczynki ze skończonej liczby yskretnych, spójnych źróeł zwany jest zwykle obrazem interferencyjnym, a obraz natężeń wytworzony przez nakłaające się przyczynki z ciągłego rozkłau spójnych źróeł, zwany jest zwykle obrazem yfrakcyjnym. Za użą oległość szczeliny o ekranu uważa się taką, która spełnia warunek L >> ( praktycznie L >> () cos) gzie L oległość szczeliny o ekranu szerokość szczeliny ługość fali świetlnej paającej na szczelinę. Warunki o wystąpienia yfrakcji Fraunhofera można zrealizować w laboratorium, używając jako źróła światła lasera i soczewki skupiającej (jeśli nie jest spełniony warunek ()), która sprawia, że fale płaskie opuszczające otwór yfrakcyjny skupiają się w punkcie P. Przemiotem alszych rozważań bęzie tylko yfrakcja Fraunhofera. V. yfrakcja na pojeynczej szczelinie Rysunek przestawia szczelinę o szerokości pozieloną na N równoległych pasków o szerokości x. Każy pasek jest źrółem fal kulistych Huygensa i wytwarza określone zaburzenie falowe w punkcie P, którego położenie na ekranie można opisać za pomocą kąta. ekran B B x x P x sin P o soczewka Rys. Szczelina o szerokości pozielona na N pasków każy o szerokości x.
Jeżeli paski są ostatecznie wąskie, to wszystkie punkty na pasku mają w zasazie te same ługości róg optycznych o punktu P, a zatem całe światło z anego paska po otarciu o P bęzie miało tę samą fazę. Amplituy E o natężenia pola elektrycznego w punkcie P pochozące z różnych pasków można przyjąć za jenakowe, jeśli kąt nie jest zbyt uży. Natężenie pola elektrycznego E charakteryzuje zaburzenie falowe ocierające o anego punktu ekranu. Zaburzenia falowe pochozące o sąsienich pasków mają stałe różnice faz ϕ ane wzorem czyli różnica fazy π różnica rogi π ϕ xsin () (różnica rogi x sin). Znajźmy amplituę E wypakowego zaburzenia falowego la różnych wartości ϕ (tj. la różnych punktów P na ekranie opowiaających różnym wartościom ). W tym celu przestawiamy poszczególne zaburzenia za pomocą opowienich wektorów i obliczamy amplituę wypakowego wektora. R α α ϕ R E Rys.3 Konstrukcja, która służy o obliczenia natężenia fali w pewnym punkcie ekranu w przypaku yfrakcji na jenej szczelinie. ϕ E o E o Krzywa na rys.3 utworzona jest z wektorów, przestawiających amplituy zaburzeń falowych, jakie ochozą o owolnego punktu na ekranie opowiaającego owolnemu kątowi. Jeśli szczelinę pozielimy na nieskończoną ilość pasków o szerokości x, to krzywa z rys.3 bęzie zbliżała się o łuku koła, którego promień R pokazany jest również na rysunku. ługość tego łuku wynosi E o, czyli równy jest amplituzie w śroku obrazu yfrakcyjnego, gyż w śroku tego obrazu wszystkie zaburzenia falowe są zgone w fazie i łuk ten staje się linią prostą. Kąt ϕ w olnej części rysunku 3 jest więc różnicą fazy mięzy nieskończenie małymi wektorami leżącymi na lewym i na prawym krańcu łuku E o. Oznacza to, że ϕ jest różnicą fazy mięzy promieniami wychozącymi z prawej i lewej strony szczeliny na rys. (rysunek przestawia przekrój poziomy). Z rozważań geometrycznych wynika, że E R sin ϕ (3) W mierze łukowej kąt ϕ wynosi, jak wiać z rysunku 3 Eo Eo ϕ R R ϕ Stą otrzymujemy 3
E ϕ o sin E (4) ϕ Ponieważ ϕ jest różnicą faz mięzy promieniami wychozącymi z wu krańców, a różnica ługości tych promieni wynosi sin, więc (wzór ()) π ϕ sin Wyrażenie (4) można zapisać w postaci sinα E Eo (5) α gzie πsin α ϕ (6) Natężenie światła jest proporcjonalne o kwaratu amplituy E natężenia pola elektrycznego czyli sinα o (7) α Wyrażenie (7) przyjmuje wartość minimalną la α± n π n,, 3, Uwzglęniając (6) otrzymujemy warunek na minima yfrakcyjne sin± n n,, 3, (8) la małych kątów sin i wówczas położenie pierwszego minimum yfrakcyjnego określone jest przez zależność ± (8a) Znajźmy położenia i natężenia alszych maksimów yfrakcyjnych. W przybliżeniu leżą one w śroku mięzy sąsienimi minimami a więc w punktach la których α ± n + π (9) tzn. (po uwzglęnieniu (6)) π sin ± n+ π sin ± n+ (0) Postawiając (9) o równania (7) otrzymamy w rezultacie ( ) o ( n+ ) π gyż sin (n+ )π () Stą otrzymujemy, że la n,, 3, stosunek ()/ o 0,045, 0,06, 0,0083 it. A więc natężenia maksimów barzo szybko maleją. Rysunek 4 pokazuje krzywe la różnych wielkości stosunku /. Obraz staje się coraz barziej wąski, gy / wzrasta (przy const. opowiaa to szerszej szczelinie). 4
Rys.4 V. yfrakcja na powójnej szczelinie Schemat oświaczenia yfrakcji na wóch szczelinach przestawia rysunek 5. Równoległa wiązka światła z lasera (paająca fala płaska) oświetla przesłonę z barzo wąskimi szczelinami S i S. Szerokość każej szczeliny wynosi, a oległość mięzy ich śrokami jest. Zgonie z zasaą Huygensa, powierzchnia każej szczeliny staje się źrółem wtórnych fal tj. światło ulega yfrakcji na każej szczelinie. Ugięte fale są spójne, ponieważ powstały z czoła paającej fali płaskiej i w wyniku interferencji na ekranie 3 możemy obserwować obraz interferencyjny (przy spełnieniu warunku ()). 5
laser sin S S przesłona r r 3 ekran P P o L Rys.5 yfrakcja na wóch szczelinach Załóżmy, że skłaowe pola elektrycznego wu fal wychozących ze szczelin S i S zmieniają się w czasie w punkcie P następująco E Eo sinωt E Eo sin( ωt+ ϕ ) () gzie ω ( πν) jest częstością kołową fal, ϕ różnicą faz mięzy nimi wynikającą z różnicy róg optycznych. Zauważmy, że ϕ zależy o położenia punktu P, które z kolei przy ustalonej geometrii oświaczenia, opisywane jest przez kąt (rys. 5). Przyjmijmy też, że szczeliny są tak wąskie, że światło ugięte na każej z nich oświetla śrokową część ekranu równomiernie. Znaczy to, że E o w pobliżu śroka ekranu nie zależy o położenia punktu P, a zatem o. Wypakowe natężenie pola w punkcie P jest równe E E+ E Eo sinωt+ Eo sin( ωt+ ϕ ) (3) Po wykonaniu opowienich przekształceń trygonometrycznych otrzymamy E E sin( ωt+ β) (4) gzie E jest amplituą wypakowego natężenia pola, która jest równa E Eo cos ϕ Eo cosβ (5) β ϕ (przekształcenia prowazące o zależności (5) można znaleźć w. Halliay, R. Resnik Fizyka, tom, rozział 9-7 nterferencja fal) Różnica fazy ϕ wiąże się z różnicą róg promieni r i r (rys.5), która wynosi Z poobnej relacji jak w przypaku wzoru () można znaleźć różnicę fazy ϕ π ϕ sin (6) sin. (7) 6
π β ϕ sin (7a) Ponieważ natężenie fali płaskiej i monochromatycznej jest proporcjonalne o kwaratu amplituy, to la powstałej fali ugiętej mamy ke k4e cos ϕ (8) o gzie k jest współczynnikiem proporcjonalności. Gyby ekran oświetlała tylko jena szczelina natężenie fali wynosiłoby keo o Uwzglęniając ostatnią zależność wyrażenie (8) można przestawić w postaci int int 4 cos ϕ cos ϕ (8a) o m Z zależności (8a) wynika, że natężenie fali wypakowej w maksimach o wu wąskich szczelin jest czterokrotnie większe o tego, jakie wytworzyłaby pojeyncza szczelina. Maksima interferencyjne wystąpią la tych kątów, la których cos ϕ we wzorze (8a) wynosi, czyli ϕ ± nπ Uwzglęniając (7) otrzymujemy warunek na maksima interferencyjne zwane głównymi sin± n n 0,,, (9) la zakresu małych kątów sin i wówczas położenie maksimów wyznacza zależność ±n (9a) Minima wystąpią la tych kątów, la których ϕ ± ( n + )π, czyli sin± n+, n 0,,, (0) a la sin mamy ± n+ (0a) Ze wzglęu na to, że fale uginające się na każej ze szczelin ają na ekranie po różnymi kątami rgania o różnych amplituach (gy nie jest spełniony warunek wąskich szczelin, <<) natężenie światła w maksimach interferencyjnych bęzie zależało o położenia na ekranie. Aby to uwzglęnić trzeba wziąć po uwagę wyglą obrazu yfrakcyjnego pojeynczej szczeliny o szerokości (patrz punkt V, wzór (7)). Rzeczywisty rozkła natężenia światła na ekranie otrzymamy, gy stałą amplituę int m w równaniu (8a) zastąpimy zmienną amplituą m, której zależność o kąta ana jest równaniem (7). Otrzymamy wówczas następujące wyrażenie na wypakowe natężenie obserwowane na ekranie ϕ sin ϕ m cos m cos ϕ () ϕ π π gzie ϕ sin, ϕ sin. W ostatnim wzorze () opuszczono wskaźnik związany z interferencją (int). 7
Czynnik cos ϕ zwany czasem interferencyjnym aje szybką zależność natężenia o kąta, charakterystyczną la wu szczelin. Czynnik (sin ) ϕ/ ϕ aje moulację związaną z szerokością szczeliny (tzw. czynnik yfrakcyjny). Efekt moulacji pokazuje rysunek 6. a) inf b) 0 inf 5 0 yf c) 0 0 Rys.6 Rozkła natężeń światła w obrazach interferencyjnych la ukłau wóch szczelin (różne szerokości pojeynczych szczelin). Oległość wzajemna szczelin na rysunkach a), b), c) jest taka sama. Linią przerywaną zaznaczono rozkła natężenia w płaszczyźnie obrazu, pochozący o jenej szczeliny (gy zasłonić rugą szczelinę). W zakresie małych kątów, oległość kątowa mięzy woma pierwszymi minimami yfrakcyjnymi leżącymi po prawej i lewej stronie punktu 0 (patrz rys.6 i wzór (8a)) wynosi W płaszczyźnie ekranu opowiaająca kątowi yf () yf oległość liniowa x wynosi x L (a) gzie L jest oległością ekranu o szczelin. 8
Zerowe maksimum yfrakcyjne jest tym szersze im węższa jest szczelina oraz im większa jest ługość fali świetlnej. Wykorzystując zależność (9a) otrzymujemy szerokość kątową maksimów głównych (interferencyjnych) int n n (3) Jeśli przez x oznaczymy oległość liniową na ekranie mięzy sąsienimi maksimami (lub minimami), to bęzie ona równa x L (3a) Mięzy woma pierwszymi minimami yfrakcyjnymi powstanie k maksimów interferencyjnych x yf k (4) x int Jeżeli n te minimum interferencyjne pokrywa się z pierwszym minimum yfrakcyjnym tzn., że mamy yf int min,n n+ yf położenie kątowe pierwszego minimum yfrakcyjnego, int min,n położenie kątowe minimum głównego n tego rzęu, to wówczas liczba zaobserwowanych maksimów interferencyjnych wyrażona przez rzą n maksimum wyniesie (przy uwzglęnieniu wzoru (4)) k n+ (5) Jeśli iloraz / 3,5, to w obrębie mięzy minimami yfrakcyjnymi rzęu ± otrzymamy 7 obrze wiocznych maksimów głównych. Przy innych wartościach stosunku / powinniśmy zaobserwować inną nieparzystą liczbę maksimów (wa skrajne maksima mogą mieć mniejszą szerokość niż pozostałe). Jaki bęzie obraz (tj. ile bęzie wiocznych maksimów), gy stosunek / wynosi np. 3, lub 3,8? V. Ukła pomiarowy i metoa pomiarów. Zestaw o ćwiczenia skłaa się ze źróła światła spójnego (laser), z zestawu szczelin pojeynczych i powójnych, ekranu (patrz rys. 7). Płytka ze szczelinami jest umieszczana w uchwycie znajującym się na koniku na ławie optycznej. Obraz interferencyjny obserwuje się na ekranie. Przy pomocy zestawu oświaczalnego z rysunku 7 można wyznaczyć : ługość fali światła laserowego, liczbę k maksimów interferencyjnych występujących w obrębie głównego maksimum yfrakcyjnego, oległość szczelin powójnych, a także oszacować: szerokość pojeynczej szczeliny. 9
n Rys. 7 Ukła pomiarowy z laserem i ekranem. a) ługość fali Ze wzoru () wynika, że yf Z rugiej strony szerokość zerowego maksimum yfrakcyjnego jest równa: x yf L Stą x x L L b) liczba maksimów k Ze wzorów (4) i (5) wynika, że spoziewana liczba jasnych maksimów interferencyjnych jest następująca k n+ c) oległość wóch szczelin Ze wzoru (3) oległość kątowa pojeynczego maksimum interferencyjnego wynosi int (7) Z rugiej strony ta oległość kątowa może być obliczona z zależności n int k gzie n jest oległością kątową mięzy skrajnymi maksimami rzęu ± n, mięzy którymi okonuje się pomiarów ( n n ), k liczba maksimów występujących w obrębie mierzonego ocinka ekranu x n. Z reguły liczba k nie jest równa maksymalnej liczbie obserwowanych maksimów k), (6) 0
x n oległość liniowa mięzy skrajnymi maksimami, la których okonywano pomiaru oległości (rys.7 i rys.8b). x Ponieważ n n, to L x n int (8) L (k ) Ze wzorów (7), (8) wynika równość ich prawych stron, a stą ostaniemy ) szerokość pojeynczej szczeliny Ze wzoru (5) wynika: k Uwzglęniając wzór (9) otrzymamy L (k ). (9) x n L (k ). (30) k x n V. Wykonanie ćwiczenia. Włożyć płytkę z 4 pojeynczymi szczelinami o znanych szerokościach w opowieni uchwyt umieszczony na koniku na ławie optycznej. Oświetlić szczelinę światłem lasera, regulując w razie konieczności położenie szczeliny wzglęem wiązki światła laserowego (w poziomie i w pionie). Opis użytych płytek ze szczelinami: NO SLTS liczba szczelin ( lub ), SLT WTH szerokość szczeliny (w tekście instrukcji jest to ), SLT SPACE oległość szczelin (w tekście instrukcji jest to ).. Zmierzyć na ekranie oległość x mięzy woma minimami leżącymi po obu stronach zerowego maksimum yfrakcyjnego la każej z czterech pojeynczych szczelin (rys.7 i rys.8a). Wyniki pomiarów zapisać w tabeli. Tabela Oległość liniowa x [mm] Szczelina A 0,0 mm Szczelina B 0,04 mm Szczelina C 0,08 mm Szczelina 0,6 mm 3. Zmierzyć oległość L ekranu o szczelin. 4. Włożyć płytkę z 4 ukłaami szczelin powójnych (ukłay szczelin powójnych na płytce oznaczono literami A, B, C, ). Najlepiej nie zmieniać oległości L ekranu o szczelin (pojemnika na szczeliny). 5. Policzyć liczbę k ośw wszystkich (obrze i słabo wiocznych) maksimów interferencyjnych występujących w obrębie zerowego maksimum yfrakcyjnego la każego ukłau szczelin powójnych (rys 5b). Tę informację proponuje się zapisać w pierwszym wierszu tabeli w formie: k równej szerokości + wąskie (lub barzo wąskie).
Jeśli nie zmieniono oległości L ekranu o szczelin, to nie zachozi potrzeba pomiaru tej oległości ponownie. W przeciwnym przypaku trzeba zmierzyć nową oległość L. a) x x n Rys.8 a) Obraz yfrakcyjny la pojeynczej szczeliny o szerokości, b) ukła maksimów interferencyjnych obserwowanych na ekranie la wu szczelin o jenakowych szerokościach x. b) n + n 0 x 6. Zmierzyć la każego ukłau szczelin powójnych oległość liniową x n mięzy skrajnymi obrze wiocznymi maksimami rzęu ± n (w obrębie zerowego maksimum yfrakcyjnego). Policzyć liczbę k maksimów występujących w obrębie mierzonej oległości x n. Wyniki zapisać w tabeli. Liczba maksimów k ośw Oległość liniowa x n [mm] Liczba maksimów k Ukła A wu szczelin 0,04 mm 0,50 mm Ukła B wu szczelin 0,04 mm 0,500 mm Ukła C wu szczelin 0,08 mm 0,50 mm Tabela Ukła wu szczelin 0,08 mm 0,500 mm V. Opracowanie wyników.. Obliczyć ługość fali światła użytego w oświaczeniu ze wzoru (6). Porównać otrzymaną wartość ługości fali z ługością fali poaną la użytego światła laserowego.. Porównać liczbę maksimów interferencyjnych, które pojawiają się w obrębie zerowego maksimum yfrakcyjnego (k ośw w tabeli ), z liczbą wynikającą ze wzoru (5).
3. Obliczyć oległość wzajemną szczelin la ukłaów szczelin A, B, C, korzystając ze wzoru (9). o obliczenia oległości wykorzystać wartość ługości fali poaną la użytego światła laserowego oraz wartości x n, L, k zapisane w tabeli. 4. Oszacować szerokość pojeynczej szczeliny w każym z czterech ukłaów szczelin powójnych ze wzoru (30). 5. Porównać obraz otrzymywany na ekranie przez ukła szczelin powójnych A z obrazem ukłau C oraz ukła B z (różne szerokości szczelin, takie same ich oległości ). Porównać także obrazy ukłau A i B oraz C i (takie same szerokości szczelin, różne oległości ). Porównanie ma polegać na ustaleniu, czy liczba obserwowanych maksimów zmienia się zgonie ze wzorem (5) przy zmianie parametrów i ). 6. Obliczyć niepewność wyznaczenia ługości fali : ( x) L ± + + x L 3