Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010

Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a tautologiczność Poprawność wnioskowań Wnioskowania entymematyczne

WNIOSKOWANIE- INTUICJE Znaczna część tego, co na co dzień nazywa się rozumowaniem sprowadza się do wytwarzania jakichś przekonań na podstawie innych przekonań, które z jakiegoś powodu uznaje się już za uzasadnione.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE Znaczna część tego, co na co dzień nazywa się rozumowaniem sprowadza się do wytwarzania jakichś przekonań na podstawie innych przekonań, które z jakiegoś powodu uznaje się już za uzasadnione. Wiele spośród kwestii dotyczących tak opisanego rozumowania jest mnówsto ciekawych kwestii, których nie będzie się tu rozważać, oto kilka takich interesujących pytań: (i) jakie rodzaje zdarzeń mentalnych towarzyszą/ stanowią psychiczną podstawę wnioskowania; [kompetencje psychologii] (ii) w jaki sposób zabiegi erystyczne wpływają na postrzeganie argumentacji jako przekonującej; [kompetencje retoryki] (iii) w jaki sposób działają wnioskowania, które nie dają wprawdzie pewności, ale mimo to uzasadniają, w jakimś stopniu, wnioski, które z nich wypływają; [kompetencje logiki].

WNIOSKOWANIE- INTUICJE Z reguły jesteśmy nieźli w intuicyjnym ocenianiu poprawności wnioskowań. Niektóre ssaki wytwarzają łożyska. Wszystkie ssaki karmią młode mlekiem. Należy przeciwstawiać się przemocy. Uchodzi za wnioskowanie niepoprawne.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE Z reguły jesteśmy nieźli w intuicyjnym ocenianiu poprawności wnioskowań. Niektóre ssaki wytwarzają łożyska. Wszystkie ssaki karmią młode mlekiem. Należy przeciwstawiać się przemocy. Uchodzi za wnioskowanie niepoprawne. Zaś: Niektóre ssaki wytwarzają łożyska. Wszystkie ssaki karmią młode mlekiem. Niektóre ssaki wytwarzają łożyska i karmią młode mlekiem. Nie budzi zastrzeżeń.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE INTUICJA: Aby wnioskowanie było poprawne, miedzy przekonaniami, które służą za podstawę rozumowania, a przekonaniem, do którego wnioskowanie prowadzi, powinien zachodzić związek. Lecz o jaki związek tu chodzi? W zależności od tego jak odpowiada się na to pytanie, powstają odmienne teorie tłumaczące na czym polega poprawność wnioskowań.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE INTUICJA: Aby wnioskowanie było poprawne, miedzy przekonaniami, które służą za podstawę rozumowania, a przekonaniem, do którego wnioskowanie prowadzi, powinien zachodzić związek. Lecz o jaki związek tu chodzi? Odpowiedź, której udziela logika klasyczna przywołuje pojęcie prawdziwości.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE INTUICJA: Aby wnioskowanie było poprawne, miedzy przekonaniami, które służą za podstawę rozumowania, a przekonaniem, do którego wnioskowanie prowadzi, powinien zachodzić związek. Lecz o jaki związek tu chodzi? Odpowiedź, której udziela logika klasyczna przywołuje pojęcie prawdziwości. (i) WNIOSKOWANIA DOTYCZĄ PRZEKONAŃ, a przekonania można przedstawiać za pomocą zdań prawdziwych: A posiada przekonanie P, wtw, A przyjmuje prawdziwość zdania p, które wyraża treść przekonania P.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE INTUICJA: Aby wnioskowanie było poprawne, miedzy przekonaniami, które służą za podstawę rozumowania, a przekonaniem, do którego wnioskowanie prowadzi, powinien zachodzić związek. Lecz o jaki związek tu chodzi? Odpowiedź, której udziela logika klasyczna przywołuje pojęcie prawdziwości. (i) WNIOSKOWANIA DOTYCZĄ PRZEKONAŃ, a przekonania można przedstawiać za pomocą zdań prawdziwych: A posiada przekonanie P, wtw, A przyjmuje prawdziwość zdania p, które wyraża treść przekonania P. Eduardo jest przekonany, że kapibara jest największym żyjącym gryzoniem, wtw Eduardo przyjmuje prawdziwość zdania: Kapibara jest największym żyjącym gryzoniem.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE INTUICJA: Aby wnioskowanie było poprawne, miedzy przekonaniami, które służą za podstawę rozumowania, a przekonaniem, do którego wnioskowanie prowadzi, powinien zachodzić związek. Lecz o jaki związek tu chodzi? Odpowiedź, której udziela logika klasyczna przywołuje pojęcie prawdziwości. (i) WNIOSKOWANIA DOTYCZĄ PRZEKONAŃ, a przekonania można przedstawiać za pomocą zdań prawdziwych: TREŚĆ PRZEKONANIA EDUARDO A posiada przekonanie P, wtw, A przyjmuje prawdziwość zdania p, które wyraża treść przekonania P. Eduardo jest przekonany, że kapibara jest największym żyjącym gryzoniem, wtw Eduardo przyjmuje prawdziwość zdania: Kapibara jest największym żyjącym gryzoniem.

WNIOSKOWANIE- INTUICJE INTUICJA: Aby wnioskowanie było poprawne, miedzy przekonaniami, które służą za podstawę rozumowania, a przekonaniem, do którego wnioskowanie prowadzi, powinien zachodzić związek. Lecz o jaki związek tu chodzi? Odpowiedź, której udziela logika klasyczna przywołuje pojęcie prawdziwości. (i) WNIOSKOWANIA DOTYCZĄ PRZEKONAŃ, a przekonania można przedstawiać za pomocą zdań prawdziwych: A posiada przekonanie P, wtw, A przyjmuje prawdziwość zdania p, które wyraża treść przekonania P. (ii) WYTWARZANIE PRZEKONAŃ, na podstawie innych przekonań, można przedstawić jako relację między zbiorami zdań: A wytwarza przekonanie P na podstawie zbioru przekonań {P 1,,P n } wtw zdanie p wynika logicznie ze zbioru zdań {p 1,..., p n }; gdzie zdania p, p 1,, p n wyrażają treści przekonań P, P 1,, P n odpowiednio.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE DEDUKCJA (wynikanie dedukcyjne), jest jednym z formalnych modeli wnioskowania które oferuje logika klasyczna. DEF.1 Wynikanie dedukcyjne [def. semantyczna] Zdanie φ wynika dedukcyjnie ze zbioru ψ 1,, ψ n, wtw gdy zdanie φ jest prawdziwe ilekroć prawdziwe są zdania zdania ψ 1,, ψ n.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE DEDUKCJA (wynikanie dedukcyjne), jest jednym z formalnych modeli wnioskowania które oferuje logika klasyczna. DEF.1 Wynikanie dedukcyjne [def. semantyczna] Zdanie φ wynika dedukcyjnie ze zbioru ψ 1,, ψ n, wtw gdy zdanie φ jest prawdziwe ilekroć prawdziwe są zdania ψ 1,, ψ n. ψ 1,, ψ n Φ PRZESŁANKI WNIOSEK ψ 1 ψ 2.. ψ n Φ

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE α β α β W ten sposób zapisuje się schemat wnioskowania. Istnieje nieskończenie wiele wnioskowań, które odpowiadają schematowi. Aby uzyskać wnioskowanie odpowiadające schematowi, wystarczy podstawić za symbole α, β, γ, etc, odpowiednie zdania języka w którym przeprowadza się wnioskowanie.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE Kiedy dzieci są brudne, to są szczęśliwe. Dzieci są brudne. Dzieci są szczęśliwe. α β α β p q p q Jeśli Sokrates jest człowiekiem, to jest śmiertelny. Sokrates jest człowiekiem Sokrates jest śmiertelny. Wszystkie te wnioskowania odpowiadają temu samemu schematowi.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE Jeśli słoń widzi lemura, to się cieszy. Jeśli słoń się cieszy, to świat cały jaśnieje Słoń widzi lemura. Świat cały jaśnieje. p q q r p r Aby uzyskać schemat odpowiadający wnioskowaniu wystarczy podstawić za zdania w nim występujące odpowiednie symbole α, β, γ, etc. i przełożyć stałe logiczne.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE α β α γ α β Jeśli słoń widzi lemura, to się cieszy. Jeśli słoń się cieszy, to świat cały jaśnieje Słoń widzi lemura. Świat cały jaśnieje. p q q r p r Aby uzyskać schemat odpowiadający wnioskowaniu wystarczy podstawić za zdania w nim występujące odpowiednie symbole α, β, γ, etc. i przełożyć stałe logiczne.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE α β β γ α β Jeśli słoń widzi lemura, to się cieszy. Jeśli słoń się cieszy, to świat cały jaśnieje. Słoń widzi lemura. Świat cały jaśnieje. p q q r p r Aby uzyskać schemat odpowiadający wnioskowaniu wystarczy podstawić za zdania w nim występujące odpowiednie symbole α, β, γ, etc. i przełożyć stałe logiczne.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE α β β γ α γ Jeśli słoń widzi lemura, to się cieszy. Jeśli słoń się cieszy, to świat cały jaśnieje. Słoń widzi lemura. Świat cały jaśnieje. p q q r p r Aby uzyskać schemat odpowiadający wnioskowaniu wystarczy podstawić za zdania w nim występujące odpowiednie symbole α, β, γ, etc. i przełożyć stałe logiczne.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE DEF.2. Wnioskowanie jest formalnie poprawne wtw istnieje odpowiadający mu schemat wnioskowania, który spełnia warunek wynikania dedukcyjnego.

WNIOSKOWANIE DEDUKCYJNE DEF.2. Wnioskowanie jest formalnie poprawne wtw istnieje odpowiadający mu schemat wnioskowania, który spełnia warunek wynikania dedukcyjnego. Schemat wnioskowania, to tyle co reguła wnioskowania. Reguła wnioskowania, która spełnia DEF.1 (gwarantuje prawdziwość wniosku przy założeniu prawdziwości przesłanek), to REGUŁA NIEZAWODNA. Wnioskowanie jest więc formalnie poprawne, wtw odbywa się według niezawodnej reguły wnioskowania.

W jaki sposób zbadać, czy dane wnioskowanie jest formalnie poprawne?

W jaki sposób zbadać, czy dane wnioskowanie jest formalnie poprawne? (i) Na podstawie DEF.1 i DEF.2 wiadomo, że na to by wnioskowanie było formalnie poprawne, istnieć musi odpowiadająca mu niezawodna reguła wnioskowania, która przy założeniu, że przesłanki są zdaniami prawdziwymi, gwarantuje prawdziwość wniosku.

W jaki sposób zbadać, czy dane wnioskowanie jest formalnie poprawne? (i) Na podstawie DEF.1 i DEF.2 wiadomo, że na to by wnioskowanie było formalnie poprawne, istnieć musi odpowiadająca mu niezawodna reguła wnioskowania, która przy założeniu, że przesłanki są zdaniami prawdziwymi, gwarantuje prawdziwość wniosku. (ii) Niech będzie to reguła: R1 ψ 1,, ψ n Φ

W jaki sposób zbadać, czy dane wnioskowanie jest formalnie poprawne? (i) Na podstawie DEF.1 i DEF.2 wiadomo, że na to by wnioskowanie było formalnie poprawne, istnieć musi odpowiadająca mu niezawodna reguła wnioskowania, która przy założeniu, że przesłanki są zdaniami prawdziwymi, gwarantuje prawdziwość wniosku. (ii) Niech będzie to reguła: R1 ψ 1,, ψ n Φ (iii) Wtedy, zdanie postaci (ψ 1 ψ n ) Φ jest tautologią.

W jaki sposób zbadać, czy dane wnioskowanie jest formalnie poprawne? (i) Na podstawie DEF.1 i DEF.2 wiadomo, że na to by wnioskowanie było formalnie poprawne, istnieć musi odpowiadająca mu niezawodna reguła wnioskowania, która przy założeniu, że przesłanki są zdaniami prawdziwymi, gwarantuje prawdziwość wniosku. (ii) Niech będzie to reguła: R1 ψ 1,, ψ n Φ (iii) Wtedy, zdanie postaci (ψ 1 ψ n ) Φ jest tautologią. Dowód niewprost: niech R1 będzie regułą niezawodną, a (ψ 1 ψ n ) Φ nie będzie tautologią. Wtedy istnieje wartościowanie, takie, że (ψ 1 ψ n ) jest zdaniem prawdziwym, a Φ jest fałszem. Zatem R1 nie jest regułą normalną. [SPRZ]

W jaki sposób zbadać, czy dane wnioskowanie jest formalnie poprawne? Aby zbadać, czy wnioskowanie jest formalnie poprawne, należy przesłanki połączyć koniunkcją a następnie, takie koniunkcyjne zdanie połączyć z wnioskiem z pomocą implikacji, (p 1 (p 2 p 3 ) ) w Jeśli otrzymane zdanie jest tautologią, reguła wnioskowania jest niezawodna, a wnioskowanie jest formalnie poprawne. Jeśli otrzymane wnioskowanie nie jest tautologią, reguła jest zawodna, a wniskowanie nie jest formalnie poprawne

POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ Na to by wnioskowanie było poprawne, musi być: (i) formalnie poprawne (powstawać przez podstawienie niezawodnej reg. wnioskowania) (ii) materialnie poprawne (przesłanki muszą być zdaniami prawdziwymi) Ziemia ma kształt banana lub marchewki. Ziemia nie ma kształtu marchewki. Ziemia ma kształt banana.

POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ Na to by wnioskowanie było poprawne, musi być: (i) formalnie poprawne (powstawać przez podstawienie niezawodnej reg. wnioskowania) (ii) materialnie poprawne (przesłanki muszą być zdaniami prawdziwymi) Ziemia ma kształt banana lub marchewki. Ziemia nie ma kształtu marchewki. Ziemia ma kształt banana. BRAK POPRAWNOŚCI MATERIALNEJ Ziemia ma kształt banana lub marchewki nie jest zdaniem prawdziwym.

POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ Na to by wnioskowanie było poprawne, musi być: (i) formalnie poprawne (powstawać przez podstawienie niezawodnej reg. wnioskowania) (ii) materialnie poprawne (przesłanki muszą być zdaniami prawdziwymi) Ziemia ma kształt banana lub marchewki. Ziemia nie ma kształtu marchewki. Ziemia ma kształt banana. WNIOSKOWANIE FORMALNIE POPRAWNE BRAK POPRAWNOŚCI MATERIALNEJ α β α β JEST REGUŁĄ NIEZAWODNĄ Ziemia ma kształt banana lub marchewki nie jest zdaniem prawdziwym.

WNIOSKOWANIE ENTYMEMATYCZNE WNIOSKOWANIE ENTYMEMATYCZNE Wnioskowanie entymematyczne, to takie wnioskowanie dedukcyjne, w którym co najmniej jedna przesłanka nie została wyrażona explicite. Wszystkie słonie to ssaki. Wszystkie słonie to kręgowce. Jest wnioskowaniem entymematycznym. Brakująca przesłanka, to: Każdy ssak jest kręgowcem.

DO ĆWICZEŃ!