STRATEGIA INWESTYCYJNA NA RYNKU POLSKICH OBLIGACJI SKARBOWYCH WYKORZYSTUJĄCA MODELE KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI

Krzysztof Piontek Katarzyna Kuziak Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Zarządzania Ryzykiem STRATEGIA INWESTYCYJNA NA RYNKU POLSKICH OBLIGACJI SKARBOWYCH WYKORZYSTUJĄCA MODELE KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI 1. Wprowadzenie Stopa procentowa jest jednym z najwaŝniejszych czynników decydującym o funkcjonowaniu gospodarki rynkowej zarówno w odniesieniu do gospodarstw domowych, przedsiębiorstw, jak i instytucji finansowych. Determinuje ona podejmowane decyzje w zakresie alokacji środków pienięŝnych pomiędzy bieŝącą konsumpcję i inwestycje a oszczędności [7]. Zagadnienie modelowania struktury terminowej jest kluczowym problemem zarówno o charakterze teoretycznym, jak i praktycznym, gdyŝ modele i otrzymywane z nich wyniki poziomów stóp procentowych wykorzystywane są w wielu zagadnieniach finansowych, jak na przykład w wycenie instrumentów dłuŝnych i pochodnych (skala mikro) oraz analizie rozwoju sytuacji gospodarczej (skala makro) [2]. Celem niniejszej pracy jest zaprezentowanie metod modelowania struktury terminowej stóp procentowych ze szczególnym uwzględnieniem modeli aproksymacji całej krzywej dochodowości, a następnie w oparciu o wyestymowany model konstrukcja strategii inwestycyjnej polegającej na identyfikacji nieprawidłowo wycenionych przez rynek instrumentów dłuŝnych. W prezentowym przykładzie empirycznym badaniu poddano rynek polskich obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu w roku 2007. Weryfikacji podlega hipoteza badawcza, iŝ rynek polskich obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu nie był rynkiem efektywnym informacyjnie i moŝliwe było osiąganie ponadprzeciętnych dochodów poprzez budowę aktywnych strategii inwestycyjnych

polegających na identyfikacji obligacji niedowartościowanych, które inwestor powinien kupować oraz obligacji przewartościowanych, które powinien sprzedawać. 2. Modelowanie struktury terminowej i wycena obligacji W teorii stóp procentowych opisowi podlegać mogą stopy natychmiastowe (spot) lub terminowe (forward), a kaŝda z nich moŝe być stopą chwilową (dla nieskończenie krótkiego horyzontu inwestycji) lub stopą dla zadanego dowolnego horyzontu (dzień, tydzień, rok) [2,7]. Specyficzna trudność w przypadku modelowania poziomu stóp procentowych polega na tym, Ŝe opisowi podlega nie jedna stopa procentowa, a szereg powiązanych ze sobą stóp procentowych dla róŝnych okresów inwestycyjnych, co sprowadza się do modelowania tzw. struktury terminowej stóp procentowych (term structure of interest rates). Problematyka ta zwana jest równieŝ zagadnieniem krzywej dochodowości lub krzywej dochodu (yield curve) [2]. W niektórych pracach poprzez krzywą dochodowości rozumie się takŝe graficzny obraz struktury terminowej stóp procentowych [7]. W obszarze zainteresowania niniejszej pracy pozostają jedynie natychmiastowe stopy procentowe dla typowych okresów inwestycyjnych (od tygodnia do 5 lat). W dalszej części pracy poprzez strukturę terminową stóp procentowych (krzywą dochodowości) rozumieć będziemy zaleŝność stóp procentowych od terminu wykupu dla instrumentów zerokuponowych o tej samej klasie ryzyka (krzywa natychmiastowa). Stopa spot rozumiana jest w sposób następujący [1,2,7]: w przypadku inwestycji poniŝej roku (na rynku pienięŝnym): FV P 1 r( m) =, (1) P m w przypadku inwestycji trwającej co najmniej rok (na rynku kapitałowym): 1 m FV r( m) = 1, (2) P gdzie: FV i P, to odpowiednio otrzymana i zainwestowana kwota, m okres inwestycji (termin do wykupu) wyraŝony w latach. MoŜliwe jest równieŝ zdefiniowanie stopy spot poprzez model kapitalizacji ciągłej, co pozwala uwzględniać przepływy finansowe pojawiające się w dowolnej chwili zarówno

w okresach do jednego roku, jak i powyŝej. Podejście to zastosowane zostanie w dalszej części pracy. Analogicznie do wzorów (1) i (2), stopę spot moŝna wyznaczyć jako: r 1 m FV P ( m) = ln. (3) Wyniki uzyskiwane na podstawie poszczególnych wzorów odbiegają od siebie zazwyczaj nieznacznie. Niezbędna jest więc w praktyce informacja, model której kapitalizacji słuŝył do zdefiniowania stopy spot oraz konsekwentne stosowanie tego samego modelu do późniejszej wyceny instrumentów finansowych. Teoria i praktyka rynku finansowego wypracowały dwie główne klasy modeli krzywej dochodowości [2,4,6,7]: 1. modele aproksymacji krzywej dochodowości, wśród których wyróŝnia się: modele bezpośrednie, modele aproksymacji segmentowej, modele aproksymacji całej krzywej dochodowości, 2. modele dynamiki stóp procentowych, które moŝna podzielić na: modele ekonometrii finansowej, modele z endogenicznie określoną dynamiką stóp procentowych, modele wynikające z koncepcji arbitraŝu. Ze względu na ograniczone rozmiary pracy, omówione zostaną tylko dwa najbardziej popularne modele w ramach modeli aproksymacji całej krzywej dochodowości. Modele aproksymacji krzywej dochodowości wyznaczają pewną funkcję przybliŝającą dane empiryczne (stopy procentowe dla róŝnych okresów), która w pewnym sensie przedstawia w sposób statyczny obecną strukturę terminową stóp procentowych. Popularność w tym zakresie zdobyły przede wszystkim dwa modele, których parametry mają jasną ekonomiczną interpretację, co nie pozostaje bez znaczenia z praktycznego punktu widzenia - model Nelsona-Siegela [4] oraz model Svenssona [6]. Model Nelsona-Siegela Postać tego modelu prezentowana jest zazwyczaj (ze względu na prostszy zapis) poprzez krzywą chwilowej stopy terminowej (forward) daną wzorem: ( m τ ) m ( m τ ) f ( m) = β0 + β1e + β2 e + ε (4) τ

gdzie: m- to termin do wykupu, zaś parametry β { β, β, β, τ} = odpowiadają za kształt 0 1 2 krzywej i podlegają estymacji na podstawie cen rynkowych. Nietrudno jednak na tej podstawie wyznaczyć korespondującą funkcję natychmiastowej krzywej stóp zerokuponowych: ( m τ ) τ ( m τ ) ( m τ ) ( 1 ) ( 1 ) τ r ( m) = β0 + β1 e + β2 e e ε m + m. (5) Zgodnie z zapowiedzią, parametry modelu posiadają prostą interpretację: β0 - poziom długoterminowej stopy procentowej, β1- róŝnica (spread) stóp długo- i krótkoterminowych, β2 - stopień krzywizny krzywej dochodowości, τ - tzw. prędkość spadku stóp krótkoterminowych. Model Nelsona-Siegela doczekał się szeregu uogólnień, z których najpopularniejszym jest rozwiązanie zaproponowane przez Svenssona mające na celu zwiększenie elastyczności i poprawę dopasowania do danych poprzez dodanie kolejnego czynnika wykładniczego. Krzywa chwilowej stopy terminowej w modelu Svenssona dana jest następująco: ( m τ ) m ( m τ ) m ( m τ ) f m = β + β e + β e + β e + ε, (6) 1 1 2 0 1 2 3 τ1 τ 2 natomiast natychmiastową krzywą stóp zerokuponowych opisuje funkcja o postaci: τ τ1 m τ1 1 m τ 1 m τ1 r ( m) = β0 + β1 1 e + β2 1 e e +... m m τ 2 ( m τ 2 ) ( m τ 2 ) β3 ( 1 e ) e + ε m Dodatkowymi parametrami mającymi na celu poprawę dopasowania są β 3 i τ 2. (7) Strukturę terminową stóp procentowych w danym momencie wyrazić moŝna równieŝ poprzez tzw. funkcję dyskontującą (zgodnie ze wzorem (3)): d m e m r m =. (8) Wartość obligacji wyznacza się zgodnie z zasadami matematyki finansowej jako sumę zdyskontowanych przepływów finansowych związanych z danym instrumentem: m r m (9) P = CF d m = CF e

Jak łatwo zauwaŝyć, przepływy (kupony i wartość nominalna obligacji) pojawiające się w róŝnych chwilach, dyskontowane mogą być przy róŝnej stopie procentowej wynikającej z funkcji r ( m), co odzwierciedla właśnie ideę krzywej dochodowości. Estymacji parametrów modeli Nelsona-Siegela oraz Svenssona dokonuje się na podstawie porównania wartości teoretycznych pewnych instrumentów dłuŝnych lub pochodnych na stopę procentową z cenami rynkowymi. Warto zaznaczyć, iŝ niezbędne jest szacowanie modeli na podstawie cen instrumentów o podobnym ryzyku kredytowym. Najczęściej wykorzystywanym zbiorem danych są ceny rynkowe obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu. Procedura estymacji modeli przebiega według następującego schematu: ustalenie cen rynkowych analizowanych obligacji, ustalenie przepływów finansowych i ich terminów dla analizowanych obligacji, określenie parametrów początkowych modelu, wyznaczenie krzywej dla parametrów początkowych, obliczenie czynników dyskontowych, obliczenie wartości teoretycznych poszczególnych obligacji, minimalizacja przyjętego kryterium błędu i wyznaczenie ostatecznych wartości parametrów krzywej. Na potrzeby niniejszej pracy jako minimalizowane kryterium błędu wyceny przyjęto średnią bezwzględnych błędów względnych pomiędzy wartością teoretyczną i ceną obligacji na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie: N * 1 Pi 1 min, (10) N P i= 1 gdzie: i * Pi - cena obligacji na rynku, rozpatrywanych obligacji. Pi - wartość teoretyczna obligacji, N liczba

3. Strategia inwestycyjna U podstaw rozpatrywanych strategii inwestycyjnych znajduje się hipoteza o braku efektywności informacyjnej rynków finansowych [5]. W tym przypadku weryfikacji podlega tzw. hipoteza rynków efektywnych w wersji słabej, gdyŝ przetwarzana i wykorzystywana do podjęcia decyzji inwestycyjnych informacja o aktualnej krzywej dochodowości zawiera się w cenach notowanych instrumentów. Jeśli inwestor przyjmuje hipotezę, iŝ rynki są nieefektywne, stosuje strategie aktywne polegające na wielokrotnym (najczęściej w równych odstępach czasu) kupowaniu niedowartościowanych obligacji i sprzedaŝy przewartościowanych. Alternatywą są strategie pasywne polegające na zakupie niedowartościowanych obligacji i sprzedaŝy ich na koniec okresu lub kupno bonu skarbowego, tzw. strategia kup trzymaj [1,3]. W niniejszej pracy strategia aktywna składać się będzie z następujących etapów: estymacji parametrów modeli Nelsona-Siegela oraz Svenssona (dzień t-1), wyceny obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu (dzień t), porównania otrzymanych wartości obligacji z ich cenami na rynku (dzień t), decyzji o kupnie lub sprzedaŝy (dzień t), powtórzenia powyŝszych etapów w kolejnych dniach przebudowy portfela (dzień t+n). Strategią pasywną będzie natomiast kupno bonów skarbowych o odpowiednim terminie wykupu. Strategia wykorzystująca prezentowane modele krzywej dochodowości nie jest oczywiście jedyną moŝliwą. Istnieje oczywiście szereg odmiennych strategii inwestycyjnych polegających na przykład na przewidywaniu przesunięcia krzywej dochodowości lub zmiany jej kształtu [1,3], nie są one jednak przedmiotem rozwaŝań w niniejszej pracy. Z tego punktu widzenia prezentowane podejście jest przykładem strategii statycznej wykorzystującej róŝnice pomiędzy cenami a wartościami teoretycznymi obligacji wynikającymi z oszacowania krzywej dochodowości na dany moment.

4. Przykład empiryczny Głównym załoŝeniem przykładu empirycznego jest jak najbardziej wierne odzwierciedlenie warunków, w których inwestor podejmuje decyzje inwestycyjne. W tym celu oprogramowany został przez autorów automatyczny system transakcyjny, który uwzględnia: warunki rynkowe (ceny, wolumen i dokładny czas poszczególnych transakcji, daty praw do kuponów i daty wykonania dla danych obligacji), podatek od dochodów kapitałowych (19%), prowizje maklerskie (0,25%), rozliczenie w terminie T+2, oprocentowanie rachunku pienięŝnego (3%). Dodatkowo przyjęto arbitralnie następujące szczegółowe załoŝenia: kwota początkowa inwestycji 250.000 zł, horyzont inwestycji 1 rok (data początkowa 2.01.2007, data końcowa 31.12.2007), przebudowa portfela w ramach strategii aktywnej co tydzień, w kaŝdy poniedziałek lub pierwszy kolejny dzień transakcyjny, w jednej transakcji moŝna kupić maksymalnie 500 sztuk obligacji o kodzie SP o wartości nominalnej 100 zł oraz 50 sztuk innych o wartości nominalnej 1000 zł (załoŝenie zapewniające dywersyfikację portfela i zmniejszenie ryzyka), kupno lub sprzedaŝ przy przekroczeniu załoŝonego poziomu błędu wyceny wynoszącego 0,25% (błąd równy lub większy od prowizji maklerskiej), minimalna wartość transakcji: 1200 zł (ograniczenie związane z prowizjami maklerskimi). W trakcie badań uwzględniono takŝe odmienne horyzonty przebudowy portfela, minimalne błędy wyceny, minimalne wartości transakcji. Uzyskane wyniki nie odbiegają od zaprezentowanego przypadku (przy przyjętych powyŝej załoŝeniach), nie pozwalają wysnuć bardziej ogólnych wniosków i z powodu ograniczonych rozmiarów pracy nie zostały zaprezentowane.

W roku 2007 dostępne były następujące obligacje: DS0509, DS1013, DS1015, DS1017, DS1109, DS1110, OK0709, OK0710, OK0808, OK1208, PS0310, PS0412, PS0413, PS0511, PS0608, SP0309, SP0310, SP0608, SP0609, SP0610, SP0908, SP0909, SP0910, SP1208, SP1209, SP1210, WS0437, WS0922. W dalszych badaniach zrezygnowano z obligacji WS, z uwagi na długi, odstający od pozostałych, termin do wykupu. W pierwszym etapie strategii, dla kaŝdego dnia przebudowy portfela, estymowano parametry modeli Nelsona-Siegela oraz Svenssona, a następnie na podstawie otrzymanych krzywych dochodowości wyznaczano wartości obligacji i błędy wyceny. W przypadku braku transakcji rynkowych dla danej obligacji uwzględniano transakcje z maksymalnie 5 dni poprzedzających dzień wyceny. Pozwala to na poszerzenie zbioru obligacji, na podstawie którego szacowane były parametry modeli. PoniŜej zaprezentowane zostały przykładowe wyniki dla portfela przebudowywanego w dniu 27.08.2007. Na podstawie cen rynkowych obligacji z dnia 24.08.2007 oraz dni wcześniejszych, w przypadku braku notowań danej obligacji, wyestymowano następujące wartości parametrów modeli: Nelsona-Siegela: β 0 =0,05341; β 1=-0,00657; β 2 =0,00942; τ =2,44515; Svenssona: β 0 =0,04991; β 1=-0,00098; β 2 =0,02115; β 3=-0,00972; τ 1=2,88390; τ 2 =1,02475. Rysunek 1 prezentuje otrzymane krzywe dochodowości dla obu modeli w horyzoncie do 20 lat, jednak ze względu na dostępne na etapie estymacji obligacje, naleŝy się skoncentrować na wykorzystaniu krzywych w horyzoncie do 6 lat. Rysunek 1. Krzywe dochodowości Źródło: obliczenia własne.

W tabeli 1 przedstawiono ceny rynkowe i wartości teoretyczne oraz błędy wyceny odpowiednich obligacji. Tabela 1. Ceny i wartości obligacji Nazwa Data Cena GPW Wartość NS Bład NS % Wartość Sv Bład Sv% DS0509 23/08/2007 1027,07 1026,38 0,068 1027,02 0,005 DS1015 24/08/2007 1078,84 1078,80 0,004 1078,79 0,005 DS1017 21/08/2007 1007,94 1007,88 0,006 1007,98-0,004 DS1110 24/08/2007 1058,63 1056,01 0,248 1055,61 0,286 OK0408 24/08/2007 971,50 969,93 0,162 968,97 0,261 OK0709 24/08/2007 909,90 904,94 0,548 905,66 0,468 OK0808 24/08/2007 954,60 953,71 0,093 953,30 0,136 OK1207 24/08/2007 986,00 986,17-0,017 985,13 0,088 OK1208 24/08/2007 937,60 936,86 0,079 937,03 0,060 PS0310 24/08/2007 1032,07 1030,09 0,192 1030,51 0,151 PS0511 21/08/2007 965,57 962,73 0,295 961,70 0,402 PS0608 20/08/2007 1013,77 1015,04-0,125 1014,36-0,058 SP0308 22/08/2007 102,23 102,40-0,166 102,29-0,056 SP0309 24/08/2007 104,50 104,92-0,405 104,97-0,445 SP0608 22/08/2007 100,47 100,64-0,172 100,56-0,094 SP0609 23/08/2007 104,34 104,40-0,060 104,47-0,123 SP0610 24/08/2007 100,05 99,82 0,228 99,85 0,205 SP0909 24/08/2007 103,59 103,50 0,091 103,57 0,018 SP1207 24/08/2007 104,05 104,16-0,108 104,06-0,006 SP1208 24/08/2007 106,11 106,36-0,232 106,36-0,238 SP1209 24/08/2007 107,16 106,98 0,168 107,04 0,108 SP1210 20/08/2007 98,75 99,94-1,195 99,90-1,152 Źródło: dane GPW oraz obliczenia własne. Zgodnie z oczekiwaniami średni błąd wyceny dla modelu Svensona jest mniejszy niŝ dla modelu Nelsona-Siegela. Błędy te wynoszą odpowiednio 0,2281% oraz 0,2332%. W kolejnym etapie, na podstawie wyników estymacji modeli krzywych dochodowości, dokonano wyceny obligacji oraz oszacowania błędów wyceny w dniu przebudowy portfela (27.08.2008) celem otrzymania tak zwanych sygnałów kupna/sprzedaŝy. Wyniki zestawione zostały w tabeli 2. Oznaczenia w kolumnie sygnał są następujące: S sygnał sprzedaŝy, K sygnał kupna, X brak sygnału ze względu na zbyt niską wartość moŝliwej transakcji (por. kolumna liczba ). Transakcje przedstawione są w kolejności chronologicznej, co odzwierciedla rzeczywistość rynkową. Kolumna liczba prezentuje wolumen zawartej transakcji.

Tabela 2. Sygnały K/S, 27.08.2007 Sygnał Nazwa Data Czas Cena GPW Wartość NS Błąd NS% Wartość Sv Bład Sv% Liczba S SP0310 27/08/2007 09:36 102,22 102,74-0,507 102,79-0,554 25 K OK0709 27/08/2007 09:55 910,90 905,37 0,611 906,08 0,532 30 K DS1110 27/08/2007 11:16 1062,60 1056,53 0,575 1056,14 0,612 30 K PS0412 27/08/2007 11:20 980,75 974,62 0,629 972,78 0,820 20 X OK0709 27/08/2007 11:30 908,70 905,37 0,368 906,08 0,289 6 X DS1013 27/08/2007 11:46 1003,33 998,78 0,456 997,14 0,621 5 X SP0610 27/08/2007 11:54 100,22 99,87 0,350 99,89 0,326 6 K DS1013 27/08/2007 12:47 1006,33 998,78 0,756 997,14 0,922 38 S SP1210 27/08/2007 12:47 98,94 100,06-1,117 100,02-1,077 50 S SP1210 27/08/2007 12:55 98,95 100,06-1,107 100,02-1,067 95 S SP0310 27/08/2007 13:13 101,93 102,74-0,790 102,79-0,836 50 K DS1015 27/08/2007 15:07 1082,81 1079,28 0,327 1079,26 0,329 80 S SP1210 27/08/2007 15:35 98,95 100,06-1,107 100,02-1,067 454 X DS1109 27/08/2007 15:36 1060,70 1057,40 0,312 1058,05 0,250 5 K PS0412 27/08/2007 16:09 980,75 974,62 0,629 972,78 0,820 80 Źródło: dane GPW oraz obliczenia własne. Tabela 3 i tabela 4 prezentują zbiorcze wyniki rozpatrywanej strategii inwestycyjnej dla całego horyzontu inwestycji rok 2007. W poniŝszej części badań (tabela 3 i 4) wykorzystano jedynie model Nelsona-Siegela jako model prostszy, gdyŝ nie wykazano ekonomicznej korzyści wynikającej ze stosowania modelu bardziej skomplikowanego (pomimo mniejszego błędu wyceny na etapie estymacji krzywych dochodowości). W tabeli 3. zaprezentowano wyniki bez uwzględniania opłat (prowizji, podatku od dochodów kapitałowych i oprocentowania niewykorzystanej gotówki). W porównaniu do strategii pasywnej sprowadzającej się do kupna 52-tygodniowych bonów skarbowych (stopa zwrotu 4,19%), strategia aktywna charakteryzowała się wyŝszą stopą zwrotu 4,85%. Tabela 3. Zestawienie wyników strategii bez uwzględnienia opłat Strategia bez uwzględnienia opłat: OPŁACALNA Wartość początkowa: 250.000 zł Data startu: 02/01/2007 Dzień przebudowy: poniedziałek Dolna wartość graniczna błędu: -0,25% Górna wartość graniczna błędu: 0,25% Graniczna wartość transakcji: 1200 zł Stopa podatku dochodowego: 0 Stopa prowizji: 0 Oprocentowanie gotówki: 0 Data końca strategii: 22/01/2008 Ostateczna kwota gotówki: 261.235,11 zł Liczba dni: 386 Liczba transakcji kupna: 35 Liczba transakcji sprzedaŝy: 68 Liczba operacji wykupu: 0 Liczba wypłat odsetek: 14 Stopa zwrotu z portfela: 4,85% Stopa rentowności bonów: 4,19% Wykorzystane obligacje: DS1013, DS1017, OK0709, SP0309, SP0310, SP0608, SP0610, SP0908, SP0909, SP0910, SP1208, SP1210 Źródło: opracowanie własne.

Zaprezentowane zestawienie mogłoby sugerować, iŝ tak zdefiniowana strategia aktywna jest opłacalna, jednak uwzględnienie wszelkich prowizji i podatku od dochodów kapitałowych prowadzi do odmiennego wniosku. Odpowiednie zestawienie prezentuje tabela 4. Analogiczne wyniki otrzymano dla odmiennych horyzontów inwestycyjnych, dni przebudowy portfela, granicznych błędów wyceny. Z tego teŝ powodu wyniki te zostały pominięte. Tabela 4. Zestawienie wyników strategii z uwzględnieniem opłat Strategia bez uwzględnienia opłat: NIEOPŁACALNA Wartość początkowa: 250.000 zł Data startu: 02/01/2007 Dzień przebudowy: poniedziałek Dolna wartość graniczna błędu: -0,25% Górna wartość graniczna błędu: 0,25% Graniczna wartość transakcji: 1200 zł Stopa podatku dochodowego: 19% Stopa prowizji: 0,25% Oprocentowanie gotówki: 3% Data końca strategii: 22/01/2008 Ostateczna kwota gotówki: 257.585,84 zł Liczba dni: 386 Liczba transakcji kupna: 35 Liczba transakcji sprzedaŝy: 68 Liczba operacji wykupu: 0 Liczba wypłat odsetek: 14 Stopa zwrotu z portfela: 2,87% Stopa rentowności bonów: 3,47% Wykorzystane obligacje: DS1013, DS1017, OK0709, SP0309, SP0310, SP0608, SP0610, SP0908,SP0909, SP0910, SP1208, SP1210 Źródło: opracowanie własne. 5. Podsumowanie W ramach uzyskanych wyników dla róŝnych dni startowych, horyzontów inwestycyjnych, dni przebudowy portfela, granicznych błędów wyceny nie udało się potwierdzić hipotezy braku efektywności informacyjnej rynku polskich obligacji skarbowych o stałym oprocentowaniu po uwzględnieniu wszelkich kosztów i podatków. Nie oznacza to, Ŝe rynek jest na pewno efektywny, a świadczy to jedynie o nieskuteczności analizowanej strategii inwestycyjnej w oparciu o modele krzywych dochodowości. Brak potwierdzenia hipotezy efektywności nie dyskredytuje jednak rozpatrywanych modeli w innych zagadnieniach ekonomicznych, np. prognozowania poziomu stóp procentowych. W badaniach zauwaŝono, iŝ dopasowanie krzywej dochodowości modelem Svenssona jest lepsze (mniejsze średnie bezwzględne błędy) niŝ modelem Nelsona-Siegela, ale nie przekłada się to na wyniki strategii inwestycyjnej. W ramach przeprowadzonych badań autorzy dostrzegają szereg problemów, z których najwaŝniejszymi są: niewielka liczba obligacji o terminach wykupu powyŝej 6 lat,

niska płynność niektórych obligacji (krzywa dochodowości estymowana jest na podstawie dostępnych cen obligacji z 5 ostatnich dni, zatem uzyskane wyniki mogą się róŝnić w kolejnych okresach), dostępna baza danych obejmuje tylko informacje o zleceniach zrealizowanych (brak informacji o zleceniach z najlepszymi limitami cen), nie uwzględnianie w procesie wyceny wbudowanych w niektóre obligacje opcji przedterminowego wykupu na Ŝądanie emitenta lub posiadacza. W dalszych badaniach uwzględnione powinny zostać następujące zagadnienia: podejście segmentowe w estymacji krzywej dochodowości dla róŝnych terminów do wykupu, odpowiednia dywersyfikacja portfela obligacji, uwzględnienie wbudowanych opcji wcześniejszego wykupu, uwzględnienie obligacji o zmiennym oprocentowaniu (o kodach DZ, TZ). Literatura [1] Fabozzi F.J., Rynki obligacji. Analiza i strategie, WIG PRESS, Warszawa, 2000. [2] Jajuga K., Modelowanie struktury terminowej stóp procentowych wyzwanie dla ekonometrii, w: Ekonometryczne modelowanie i prognozowanie wzrostu gospodarczego", Prace i Materiały Wydziału Zarządzania Uniwersytetu Gdańskiego, 2005. [3] Martellinii L., Priaulet P., Priaulet S., Fixe-income securities, valuation, risk management and portfolio strategies, Wiley, Chichester, 2003. [4] Nelson C.R., Siegel A.F., Parsimonious Modeling of Yield Curves, "Journal of Business, University of Chicago Press, vol. 60(4), s. 473-89, 1987. [5] Reilly F.K., Brown K.C., Analiza inwestycji i zarządzanie portfelem, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa, 2001. [6] Svensson L., Estimating and Interpreting Forward Interest Rates: Sweden 1992 1994, CEPR Discussion Paper 1051, 1994. [7] Świętoń M., Terminowa struktura dochodowości skarbowych papierów wartościowych w Polsce w latach 1998 2001, Narodowy Bank Polski, Materiały i studia, Zeszyt 150, 2002. [8] Serwisy informacyjne: www.gpw.pl, bossa.pl.