Politechnika Częstochowska PRACA DOKTORSKA

Transkrypt

1 Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn PRACA DOKTORSKA Modelowanie krzepnięcia dendrytycznego w obszarach o ustalonym odbiorze ciepła z wykorzystaniem automatów komórkowych mgr inż. Maciej Marek Promotor: prof. dr hab. inż. Ryszard Parkitny Częstochowa 2006

2 Annie

3 Spis treści Spis ważniejszych oznaczeń Wprowadzenie Mikrostruktura i zjawiska towarzyszące jej formowaniu Mikrostruktura stopu Ziarna dendrytyczne Zarodkowanie Wzrost ziarna Przepływ ciepła Efekty kinetyczne Segregacja i dyfuzja domieszki Efekty powierzchniowe Inne zjawiska Warunki brzegowe Niestabilność frontu krzepnięcia Modelowanie krzepnięcia w mikroskali przegląd Rozwiązania analityczne Czoło dendrytu Odgałęzienia drugiego rzędu Metody numeryczne Metody śledzenia frontu (front-tracking) Metoda poziomic (level-set) Metoda pola fazowego (phase-field) Metoda automatu komórkowego (cellular automaton) Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia Zarys koncepcji AK Definicja AK Modelowanie krzepnięcia dendrytycznego Zalety i wady metody AK Cel i zakres pracy 38 4 Opis modelu Podstawowe koncepcje Reguła wzrostu fazy stałej Anizotropia sieci AK Główne przyczyny efektu Algorytm redukcji anizotropii (ANRED)

4 SPIS TREŚCI Implementacja i weryfikacja algorytmu ANRED Dyfuzja domieszki Segregacja domieszki Stężenie względne Segregacja przy ruchomym froncie Weryfikacja algorytmu segregacji Uwagi Przepływ ciepła Zmiana pola temperatury Interpolacja temperatury Wersor normalny do frontu Krzywizna frontu Algorytm obliczania krzywizny Weryfikacja algorytmu Anizotropia właściwości fizycznych Zarodkowanie Adaptacja kroku czasowego Bezwymiarowa postać równań Krzepnięcie dendrytyczne - symulacje numeryczne Wzrost pojedynczych ziaren Wpływ dyskretyzacji na strukturę ziarna Wpływ orientacji ziarna Wpływ gęstości sieci Ziarna o sześciokrotnej symetrii Gałąź główna promień krzywizny wierzchołka Mikrosegregacja Ziarno izotropowe Pojedyncze ziarna dendrytyczne Oddziaływanie dwóch ziaren Wymiar fraktalny ziarna dendrytycznego Krzepnięcie objętościowe Wolne chłodzenie Szybkie chłodzenie Krzepnięcie kierunkowe Wolne chłodzenie Szybkie chłodzenie Jakościowa weryfikacja doświadczalna modelu Podsumowanie i wnioski 90 A Proces rozgałęziania dendrytu 92 Bibliografia 94 Streszczenie 100

5 Spis ważniejszych oznaczeń t bezwymiarowy krok czasowy, strona 63 x bezwymiarowy rozmiar komórki, strona 63 g przyrost fazy stałej, strona 34 S entropia krzepnięcia, strona 10 s entropia krzepnięcia na jednostkę objętości, strona 17 T przechłodzenie całkowite, strona 10 t wielkość kroku czasowego, strona 34 T k przechłodzenie kapilarne, strona 17 T t przechłodzenie termiczne, strona 18 x rozmiar liniowy komórki, strona 34 x T liniowy rozmiar komórki sieci rzadkiej, strona 56 δ c zastępcza szerokość warstwy dyfuzyjnej, strona 54 ɛ Γ amplituda zmian współczynnika Gibbsa-Thomsona Γ, strona 60 ɛ µ amplituda zmian współczynnika kinetycznego µ, strona 60 ɛ σ amplituda zmian energii powierzchniowej, strona 17 Γ współczynnik Gibbsa Thomsona, strona 17 κ krzywizna frontu, strona 17 λ współczynnik przewodnictwa ciepła, strona 12 λ 1 odległość między gałęziami I rzędu, strona 9 λ 2 odległość między gałęziami II rzędu, strona 9 λ c współczynnik przewodnictwa ciepła w fazie stałej, strona 13 λ l współczynnik przewodnictwa ciepła w fazie ciekłej, strona 13 n wersor normalny do frontu, strona 13 n ref wersor określający główny kierunek krystalograficzny ziarna, strona 60 x punkt obszaru Ω, strona 13 G gradient temperatury rzeczywistej, strona 20 G C gradient stężęnia, strona 19 G T R gradient temperatury równowagowej, strona 19 µ współczynnik kinetyczny, strona 14 Ω bezwymiarowe przechłodzenie, strona 64 Θ bezwymiarowe ciepło przemiany fazowej, strona 65 Ω obszar (domena symulacji), strona 12 Ω l obszar fazy ciekłej, strona 12 Ω s obszar fazy stałej, strona 12 / n pochodna kierunkowa liczona w kierunku wersora n, strona 13 φ pole pilotujące w algorytmie ANRED, strona 45 Π(t) front krzepnięcia, strona 12 ρ gęstość, strona 12 σ energia powierzchniowa granicy ciecz-faza stała, strona 10 3

6 Spis ważniejszych oznaczeń 4 σ 0 średnia wartość energii powierzchniowej, strona 17 τ c charakterystyczna skala czasu, strona 63 θ kąt między n a wybraną główną osią krystalograficzną ziarna, strona 14 θ 0 główny kierunek krystalograficzny, strona 17 ϕ pole fazowe, strona 25 v red parametr redukcji prędkości, strona 42 Ω c przesycenie stopu na froncie krzepnięcia, strona 21 c ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, strona 12 Cl stężenie domieszki na froncie od strony fazy ciekłej, strona 15 Cs stężenie domieszki na froncie od strony fazy stałej, strona 15 C 0 początkowe stężenie domieszki w stopie, strona 15 C f stężenie domieszki w komórce frontowej, strona 49 Cf l stężenie względne w komórce frontowej dla fazy ciekłej, strona 49 Cf s stężenie względne w komórce frontowej dla fazy stałej, strona 49 C l stężenie domieszki w fazie ciekłej, strona 15 C s stężenie domieszki w fazie stałej, strona 15 D współczynnik dyfuzji domieszki, strona 16 d f wymiar fraktalny, strona 10 D l współczynnik dyfuzji domieszki w fazie ciekłej, strona 16 D s współczynnik dyfuzji domieszki w fazie stałej, strona 16 D eff efektywny współczynnik dyfuzji, strona 50 D rel szybkość relaksacji w algorytmie ANRED, strona 45 f s udział fazy stałej, strona 14 g pole fazowe (w metodzie AK), strona 40 g T udział fazy stałej w komórce sieci rzadkiej, strona 55 I(P ) funkcja Iwancowa, strona 21 k równowagowy współczynnik rozdziału, strona 15 L ciepło przemiany fazowej (na jednostkę masy), strona 13 l c długość kapilarna, strona 63 l θ długość wzrostu, strona 33 Le liczba Lewisa, strona 54 m współczynnik kierunkowy linii likwidus, strona 15 m k krotność symetrii ziarna, strona 17 n T liczba komórek sieci gęstej przypadających na bok komórki sieci rzadkiej, strona 54 n kl klasa orientacji ziarna, strona 60 P c stężeniowa liczba Pecleta, strona 21 R promień krzywizny wierzchołka, strona 9 T temperatura rzeczywista, strona 10 T c charakterystyczna skala temperatury, strona 63 T m temperatura krzepnięcia składnika bazowego, strona 16 T r temperatura równowagowa, strona 10 v n prędkość przemieszczania się frontu w kierunku normalnym, strona 13

7 Wprowadzenie Niniejsza rozprawa wpisuje się w nurt badań nad modelowaniem ewolucji mikrostruktury metali oraz ich stopów. W ciągu ostatnich piętnastu lat dziedzina ta znacznie zyskała na znaczeniu i popularności, głównie dzięki wzrostowi mocy obliczeniowej dostępnych powszechnie komputerów. Odkąd zaobserwowano w doświadczeniu ziarna dendrytyczne stanowiły one naturalny przedmiot zainteresowania, przede wszystkim z dwóch powodów: poznawczych ich złożona struktura wymagała naukowego wyjaśnienia, oraz czysto praktycznych budowa ziaren, ich wielkość i ułożenie wiążą się bezpośrednio z właściwościami danego materiału np. z jego wytrzymałością, plastycznością, odpornością na korozję i podatnością na zabiegi technologiczne. Ziarno dendrytyczne (dendryt) chyba najlepiej charakteryzuje grecki źródłosłów jego nazwy. Dendron (δɛνδρoν) oznacza drzewo. W strukturze dendrytu można zwykle wyszczególnić zasadniczy trzon stanowiący pień oraz wyrastające z niego mniejsze odgałęzienia rozdzielające się na kolejne odnogi, które także się dzielą itd. Proces ten bywa kontynuowany na wielu skalach długości. Można zaryzykować stwierdzenie, że z dendrytem zetknął się każdy wystarczy, że kiedykolwiek przyglądał się płatkom śniegu. W literaturze przedmiotu można spotkać się z wieloma, czasem bardzo różnymi podejściami do zagadnienia modelowania wzrostu dendrytów. Niektórym modelom, czysto jakościowym, postawiono za cel jedynie odtworzenie złożonej struktury ziarna. Inne modele, takie jak metoda pola fazowego (ang. phase field method), zbudowano na solidnej podstawie fizycznej, dążąc do otrzymania przewidywań ilościowych możliwych do porównania z doświadczeniem. Do grupy modeli jakościowych należy duża część metod opartych na technice automatu komórkowego, dyskretnego systemu, którego stan obecny wynika (poprzez proste zazwyczaj reguły) ze stanu poprzedniego. Automaty komórkowe stosowano wcześniej z powodzeniem do ujmowania złożonych zjawisk w proste schematy, nie dziwi więc, że koncepcja ta znalazła swoich zwolenników w przypadku krzepnięcia dendrytycznego. Rosnące wymagania co do stosowanych metod wymusiły jednak nieuniknioną ewolucję prostota i elegancja klasycznego automatu komórkowego musiały ustąpić bardziej skomplikowanym i dokładniejszym algorytmom. Nowe metody, choć przetrwała w nich tylko część ducha ich klasycznego poprzednika, nadal tradycyjnie nazywa się automatami komórkowymi. Przedstawiony w rozprawie model należy do tej ostatniej grupy. Potrzeba ulepszenia poprzednich metod wynikała z dwóch zasadniczych powodów: otrzymane wyniki w zbyt dużym stopniu zależały od przyjętej dyskretyzacji obszaru (siatki automatu) oraz zjawiska towarzyszące krzepnięciu ujęte były w sposób zbyt uproszczony. Algorytm opracowany przez autora jest próbą rozwiązania tych problemów. Pewne elementy metody są znane i były stosowane już wcześniej, inne (np. algorytm redukcji anizotropii siatki automatu lub algorytm segregacji domieszki) stanowią, według wiedzy autora, oryginalny wkład własny. Rozprawa rozpoczyna się krótkim przeglądem pojęć związanych z mikrostrukturą stopów, zjawiskom fizycznym towarzyszącym krzepnięciu oraz ich matematycznym opisem. W dalszej części przedstawiono znane z literatury podejścia do modelowania krzepnięcia w mikroskali, zarówno analityczne, jak i numeryczne. Omówiono w tym miejscu podstawowe idee dotyczące automatów komórkowych oraz ich roli w modelowaniu krzepnięcia. Główna część pracy to opis przyjętego algorytmu numerycznego wraz z weryfikacją proponowanych założeń. W ostatniej części zamieszczono wyniki symulacji wzrostu pojedynczych ziaren dendrytycznych oraz efektów oddziaływania wielu ziaren w warunkach krzepnięcia

8 kierunkowego i objętościowego. W ramach testu poprawności metody dokonano porównania otrzymanych wyników z pewnymi rozwiązaniami analitycznymi oraz rezultatami doświadczalnych badań nad krzepnięciem substancji modelowych.

9 Rozdział 1 Mikrostruktura i zjawiska towarzyszące jej formowaniu 1.1 Mikrostruktura stopu Definicja mikrostruktury w dużym stopniu zależy od przyjętej skali badawczej. Zasadniczo pojęcie to związane jest z opisem struktury stopu w skali, w której pojedyncze ziarno zajmuje znaczną część rozważanego obszaru. Do opisu takiego należą [75]: kształt, wielkość i orientacja krystalograficzna ziaren, w przypadku materiałów wielofazowych rodzaj faz, wzajemne ułożenie ich ziaren i udział objętościowy każdej fazy, skład chemiczny faz i jego zróżnicowanie (segregacja), rozkład zanieczyszczeń i wad materiałowych porów, pęknięć, wtrąceń niemetalicznych. Bywa, że do tej listy dołącza się charakterystykę tzw. skali podmikroskopowej, czyli symetrię sieci krystalicznej, rodzaj i wymiary jej komórki podstawowej, rozmieszczenie defektów sieciowych itp. Ten poziom analizy leży poza zakresem rozprawy. Główną motywacją do badania mikrostruktury jest jej wpływ na właściwości danego materiału. Wielkość ziarna wiąże się z takimi parametrami mechanicznymi jak: granica plastyczności, wytrzymałość, twardość; i magnetycznymi: przenikalnością magnetyczną, koercją stopów magnetycznie miękkich. Najbardziej znaną formułą matematyczną wyrażającą zależność typu struktura-właściwość jest prawo Halla-Petcha [44, 75]: R e = R 0 + k 1 d, (1.1) gdzie R e granica plastyczności, R 0 naprężenie tarcia przeciwdziałającego poślizgom dyslokacji, k stała materiałowa, d średnia wielkość ziarna. O anizotropii właściwości materiału decyduje orientacja ziaren. Jeżeli ich ułożenie nie jest statystycznie uporządkowane (brak tzw. tekstury), to mimo budowy krystalicznej stopu jego właściwości są zasadniczo izotropowe. W przeciwnym wypadku materiał może charakteryzować się dużą anizotropią (szczególnie pod względem mechanicznym), co zwykle uważa się za cechę niepożądaną. 7

10 Ziarna dendrytyczne 8 Pewne znaczenie dla pogorszenia własności mechanicznych ma także zróżnicowana wielkość ziaren oraz niejednorodność chemiczna stopu, polegająca na zmienności stężenia domieszek stopowych w obrębie ziaren i między nimi (segregacja dendrytyczna, mikrosegregacja) [27]. Usunięcie wad tego rodzaju wymaga specjalnych zabiegów ujednorodniających (wyżarzanie, obróbka plastyczna na gorąco) [73]. Rys. 1.1: Przykładowe mikrostruktury stopu Al-Si 1 W niniejszej pracy pod pojęciem mikrostruktury będzie rozumiało się przede wszystkim morfologię i rozmieszczenie ziaren dendrytycznych (oraz związane z tym zjawiska np. mikrosegregację). Opis innych parametrów mikrostruktury, jak np. separacji faz w eutektyce lub rozkładu porowatości, leży poza zakresem rozprawy. 1.2 Ziarna dendrytyczne Ziarno wzrastające w warunkach pełnej równowagi przyjmuje kształt minimalizujący energię powierzchniową [84]. Jednak w praktyce rzadko można mówić o pełnej równowadze. Wokół powiększającego się ziarna tworzy się niezerowy gradient temperatury, zaś ziarna stopów znajdują się dodatkowo pod wpływem pola stężenia domieszek segregowanych na froncie na skutek różnicy rozpuszczalności w fazie ciekłej i stałej. Zjawiska te są przyczyną tego, że równowagowa postać staje się niestabilna i zostaje zastąpiona bardziej złożoną strukturą dendrytem. Utrata stabilności przejawia się na początku wzrostem tzw. gałęzi głównych, które w metalach z siecią regularną zorientowane są w trzech, wzajemnie prostopadłych kierunkach (rys. 1.2). Przy swobodnym rozroście ziarna i izotropowym odbiorze ciepła przyjmuje ono tzw. postać równoosiową (ang. equiaxed). Jeżeli odbiór ciepła jest wyraźnie ukierunkowany lub dostępna przestrzeń jest ograniczona (np. przez sąsiednie ziarna), pewne gałęzie dendrytu stają się uprzywilejowane, co prowadzi do tzw. postaci kolumnowej. Rysunek 1.3 przedstawia przekrój równoosiowego ziarna powierzchnią przechodzącą przez cztery gałęzie główne (dwie pozostałe są prostopadłe do płaszczyzny rysunku). Kiedy gałęzie główne utracą stabilność, pojawiają się na nich kolejne odgałęzienia 2. W tym kontekście gałęzie główne nazywa się gałęziami pierwszego rzędu, zaś odgałęzienia gałęziami drugiego rzędu. Przy pewnych warunkach można zaobserwować gałęzie wyższych 1 źródło: (za zgodą prof. H.K.D.H. Bhadeshia) 2 W literaturze angielskiej zjawisko to ma specjalną nazwę sidebranching. Jako polski odpowiednik przyjęto termin - rozgałęzianie.

11 Ziarna dendrytyczne 9 rzędów, kiedy proces utraty stabilności zachodzi na kolejnych poziomach struktury i nowe odgałęzienia wzajemnie się nie blokują. Rys. 1.2: Kolejne etapy wzrostu równoosiowego ziarna dendrytycznego (bez odgałęzień drugiego rzędu). Zjawisko pojawiania się odgałęzień drugiego i wyższych rzędów nie jest w pełni wyjaśnione. Mimo ogromnej liczby eksperymentów, zarówno fizycznych, jak i numerycznych, brak powszechnej zgody co do mechanizmów odpowiedzialnych za rozgałęzianie dendrytu. Najbardziej popularne hipotezy akcentują rolę szumu (fluktuacji termicznych, stężeniowych) lub oscylacji wierzchołka dendrytu (ang. tip oscillations) spowodowanej nieliniową dynamiką wzrostu 3 (np. współzawodnictwem efektów kinetycznych i powierzchniowych [48]). Jak pokazują obserwacje, wierzchołek gałęzi głównej dendrytu można dość dobrze przybliżyć paraboloidą obrotową. Na rysunku 1.3 zaznaczono podstawowe wielkości charakteryzujące dendryt: promień krzywizny wierzchołka (R), odległość między gałęziami drugiego rzędu 4 (λ 2 ) oraz wpisano parabolę ściśle styczną do czoła gałęzi. W stosunku do układu ziaren kolumnowych dodatkowo określa się odległość między gałęziami pierwszego rzędu (λ 1 ), która dla układu ziaren równoosiowych może być utożsamiana ze średnim rozmiarem ziarna. a) b) Rys. 1.3: Przekrój rozgałęzionego ziarna (a). Parametry charakteryzujące dendryt i układ ziaren kolumnowych (b) (omówienie w tekście). Stopień rozgałęzienia dendrytu można opisywać ilościowo poprzez stosunek powierzchni ziarna do jego objętości lub przez liczbę odgałęzień rzędu n przypadających na jednostkę długości gałęzi rzędu n 1 [27]. Okazuje się, że miary te zmieniają się z czasem, co wynika z tendencji do łączenia się drobnych odgałęzień w większe agregaty (tzw. koalescencja gałęzi wyższego rzędu). Inny sposób ujęcia złożoności dendrytu ma źródło w jego samopodobieństwie. Ponieważ odgałęzienia pojawiają się na wielu poziomach struktury, część dendrytu (np. jedna 3 Patrz też Dodatek A. 4 SDAS - ang. Secondary Dendrite Arm Spacing

12 Zarodkowanie 10 z gałęzi drugiego rzędu) po zmianie skali wykazuje duże podobieństwo do całego ziarna (rys. 1.4). Sugeruje to możliwość wykorzystania całego repertuaru narzędzi geometrii fraktalnej, dziedziny zajmującej się obiektami matematycznymi, samopodobnymi w ścisłym sensie [71]. Jednym z takich narzędzi jest pojęcie wymiaru fraktalnego, posiadające wiele różnych definicji [tamże], ale prowadzących do tych samych wyników w typowych przypadkach. Najprostsza definicja określa tzw. wymiar pudełkowy d f : d f = lim ɛ 0 ln N(ɛ) ln(1/ɛ), (1.2) gdzie ɛ jest rozmiarem pudełka (w dwóch wymiarach np. kwadratu lub koła), zaś N(ɛ) liczbą pudełek potrzebnych do pokrycia całego obiektu, którego wymiar wyznaczamy. Dla klasycznych obiektów geometrycznych d f pokrywa się z wymiarem topologicznym (punkt 0, prosta 1 itd.). Obiekty fraktalne charakteryzują się ułamkową wartością d f. Rys. 1.4: Samopodobieństwo dendrytu. Wymiar fraktalny zalicza się do grupy parametrów integralnych, charakteryzujących dendryt jako całość. W publikacji [8] wykorzystano wymiar pudełkowy oraz tzw. wymiar korelacyjny [35] do opisu przekroju dendrytu ksenonu. Krótkiego przeglądu zastosowań metod geometrii fraktalnej w dziedzinie krzepnięcia dendrytycznego dokonał autor w artykule [59]. Wymienione wyżej parametry należą do podstawowych wielkości określających mikrostrukturę krzepnącego dendrytycznie stopu. W literaturze można znaleźć wiele zależności korelacyjnych wiążących np. odległość λ 2 między gałęziami drugiego rzędu z właściwościami mechanicznymi stopu. Fraś [27, str. 344] przytacza wyniki badań doświadczalnych wykazujących wpływ λ 2 na wydłużenie i wytrzymałość na rozciąganie stopu Al-Cu (patrz też [51, str. 3]). 1.3 Zarodkowanie Do rozpoczęcia krzepnięcia fazy ciekłej konieczne jest powstanie ośrodków krystalizacji zgrupowania atomów zdolnego do dalszego wzrostu. Nawet znacznie powyżej temperatury krzepnięcia atomy cieczy łączą się w tzw. zespoły bliskiego uporządkowania (klastery fluktuacyjne, embriony), jednak nie są one trwałe. Zmianę energii swobodnej G tworzenia kulistego zespołu o promieniu r podaje formuła [27, 51, 75]: G = 4πr 2 σ 4 3 πr3 S T, (1.3) gdzie σ energia powierzchniowa granicy międzyfazowej ciecz-ciało stałe, S entropia krzepnięcia, zaś T = T r T wielkość przechłodzenia określona różnicą między temperaturą równowagową T r i temperaturą rzeczywistą T. Nietrwałość klastera powyżej temperatury krzepnięcia ( T < 0) tłumaczy się tym, że niezależnie od jego rozmiaru

13 Zarodkowanie 11 energia swobodna układu wzrasta. Dopiero w przechłodzonej cieczy ( T > 0) istnieje krytyczna wartość promienia r, powyżej której wzrost klastera jest korzystny energetycznie: r = 2σ S T. (1.4) Takie krytyczne klastery nazywa się zarodkami. Im wyższa wartość r, tym mniejsze prawdopodobieństwo utworzenia zarodka. Wzór (1.4) wskazuje zatem, że prędkość zarodkowania, czyli liczba nowo utworzonych zarodków w jednostce czasu na jednostkę objętości, zwiększa się przy wzroście przechłodzenia. Dokładniejsza analiza wykazuje jednak, że w warunkach bardzo dużego przechłodzenia prędkość zarodkowania może maleć na skutek zmniejszenia współczynnika dyfuzji i szybkości migracji atomów z fazy ciekłej do stałej. Można wyróżnić dwa zasadnicze typy zarodkowania: homogeniczne (jednorodne) zarodki powstają wewnątrz jednorodnej fazy ciekłej z zespołów uporządkowania bliskiego zasięgu, heterogeniczne (niejednorodne) zarodki rozwijają się na podłożu już istniejącej fazy stałej na tzw. podkładkach; rolę podkładek mogą odgrywać np. ścianki naczynia (formy odlewniczej), nie rozpuszczone wtrącenia (efekt uboczny reakcji), ewentualnie substancje celowo dodane w zabiegu modyfikacji (modyfikatory). Podkładki znacznie przyspieszają proces zarodkowania. Ponieważ bardzo trudno jest uzyskać ciekły metal o wysokim stopniu czystości, zarodkowanie homogeniczne wymagające względnie dużego przechłodzenia można zrealizować tylko specjalnymi technikami (np. rozdrabniając metal na małe krople [27]). W praktyce, już przy niewielkich przechłodzeniach, rozpoczyna się zarodkowanie heterogeniczne. Kurz i Fisher [51] podają następujący wzór na prędkość I zarodkowania: przy czym I = I 0 exp ( G 0 n = 16π 3 G0 n + G d kt ), (1.5) σ 3 S 2 T 2 f(ϑ), f(ϑ) = 1 4 (2 3 cos ϑ + cos3 ϑ), (1.6) gdzie k stała Boltzmanna, G d energia aktywacji przejścia atomu z fazy ciekłej do stałej, ϑ kąt styku zarodka z podkładką (dla zarodkowania homogenicznego ϑ = 180 ), zaś czynnik przedeksponencjalny I 0 przybliża się zwykle wartością m 3 s 1. Fraś [27] zwraca uwagę na trudności przy wyznaczaniu liczby n z ziaren w jednostce objętości (gęstość ziaren) z prędkości zarodkowania. Proponowana tam formuła opiera się na założeniu, że wymiar podkładki jest zmienną losową o rozkładzie Weibulla. Ma ona postać: ( n z = n p exp z ), z = 4σ sin ϑ / S l p, (1.7) T gdzie n p gęstość wszystkich podkładek, z współczynnik zarodkowania, l p średni wymiar podkładek.

14 Wzrost ziarna 12 Przedstawione powyżej wyniki teoretyczne dotyczą w zasadzie tylko czystych metali. Rozważanie zarodkowania w stopach jest znacznie bardziej skomplikowane z tego względu, że skład chemiczny zarodka może się różnić od składu otaczającej go fazy ciekłej [88]. Oznacza to konieczność modyfikacji obliczeń zmiany energii swobodnej G oraz efektywnej energii powierzchniowej. W przypadku stopów stanowiących silnie rozcieńczone roztwory stałe modyfikacje te są jednak niewielkie i można je w pierwszym przybliżeniu pominąć. 1.4 Wzrost ziarna Po utworzeniu zarodka rozpoczyna się proces wzrostu ziarna. Przebieg tego procesu uzależniony jest od kilku towarzyszących zjawisk: przepływu ciepła, segregacji domieszek na froncie i ich dyfuzji, efektów powierzchniowych, kinetycznych oraz anizotropii właściwości kryształu. Dla uproszczenia dalszą analizę ograniczono do pojedynczego ziarna stopu dwuskładnikowego na płaszczyźnie. Rozważany obszar Ω można podzielić na dwa podobszary: fazy ciekłej Ω l oraz fazy stałej Ω s (ziarno). Ich wspólny brzeg front krzepnięcia (interfejs) zmienia swoje położenie z upływem czasu i będzie dalej oznaczany przez Π(t) lub w skrócie Π. Rys. 1.5: Rozważany obszar: faza ciekła Ω l, faza stała Ω s i front krzepnięcia Π(t). Wyróżniono także jedną z głównych osi krystalograficznych oraz wersor normalny do frontu Przepływ ciepła Znaczenie przepływu ciepła dla zjawiska krzepnięcia wynika z dwóch powodów: zależności stanu skupienia od temperatury oraz wydzielania się ciepła przemiany fazowej przy zmianie stanu skupienia z ciekłego na stały. Równanie przepływu ciepła należy do parabolicznych równań drugiego rzędu i stanowi różniczkowy bilans energii elementarnej objętości [62]. Jego uproszczona postać, przy pominięciu transportu ciepła przez konwekcję, jest następująca: cρ T t = (λ T ) + q V, (1.8) gdzie c ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu, ρ gęstość, T - temperatura, λ współczynnik przewodnictwa ciepła, q V - wydajność objętościowych źródeł ciepła (człon źródłowy).

15 Wzrost ziarna 13 Model ostrego frontu W tzw. sformułowaniu ostrego frontu powierzchnię rozdziału fazy stałej od ciekłej traktuje się jako osobliwość, na której występuje skokowa zmiana własności materiałowych. Przy takim podejściu nie uwzględnia się ciepła przemiany jako członu źródłowego równania (1.8), lecz przyjmuje się dodatkową zależność wyrażającą bilans strumieni cieplnych na froncie (warunek Stefana): T T λ s λ n l = v s n n ρl, (1.9) l gdzie λ s, λ l współczynniki przewodnictwa ciepła, odpowiednio w fazie stałej i ciekłej, v n prędkość przemieszczania się frontu w kierunku normalnym, L - ciepło przemiany fazowej. Wyrażenie T/ n oznacza pochodną kierunkową liczoną w kierunku wersora n normalnego do frontu, zaś indeks (s, l) określa, po której stronie frontu liczona jest dana pochodna. Zakładając, że krzepnięcie zachodzi w warunkach równowagi na froncie, pełny układ równań opisujący krzepnięcie 5 (zagadnienie Stefana) przedstawia się następująco: λ s T (x, t) n T (x, t) c s ρ s = (λ s T (x, t)), dla x Ω s, (1.10) t T (x, t) c l ρ l = (λ l T (x, t)), dla x Ω l, (1.11) t = v n n (x, t)ρl, dla x Π, (1.12) l T (x, t) λ l s T (x, t) = T r, dla x Π, (1.13) T (x, 0) = T 0 (x), dla x Ω, (1.14) ( ) T (x, t) Φ T (x, t), = 0, dla x Ω, (1.15) n gdzie x pewien punkt obszaru Ω. Równanie (1.14) wyraża warunek początkowy dla pola temperatury, zaś równanie (1.15) w ostaci symbolicznej ujmuje warunki brzegowe na granicy Ω obszaru Ω (patrz par ). Wynikiem rozwiązania powyższego układu równań jest prędkość v n przemieszczania się frontu, której znajomość umożliwia śledzenie ewolucji granicy ziarna. Model krzepnięcia ze strefą stało-ciekłą Model ostrego frontu, jako zagadnienie z ruchomym brzegiem, jest dość trudnym sformułowaniem do analizy numerycznej. Pewne uproszczenie osiąga się przyjmując ciągłą zmianę parametrów materiałowych w okolicy frontu. Identyfikacja fazy odbywa się poprzez wartość pola f s (x, t), określającego udział fazy stałej w danym punkcie x (wartość 1 faza stała, 0 faza ciekła, wartości pośrednie strefa stało-ciekła). Podejście takie jest szczególnie naturalne przy rozważaniu krzepnięcia stopów, które ze swej natury krzepną w pewnym zakresie temperatury (patrz 1.4.3). Takie sformułowanie umożliwia zapisanie jednego równania przepływu ciepła dla całego obszaru Ω: cρ T t = (λ T ) + ρl f s t, (1.16) 5 Rozważając krzepnięcie stopów konieczne jest dołączenie równań z

16 Wzrost ziarna 14 przy czym ostatni człon wiąże się z wydzielaniem się ciepła przemiany fazowej. Parametry ρ, c i λ są funkcjami ciągłymi położenia. Przyjmuje się, że w strefie stało-ciekłej osiągają wartości uśrednione z fazy stałej i ciekłej. Równanie (1.16) należy uzupełnić dodatkowymi zależnościami wiążącymi udział fazy stałej f s z temperaturą i, ewentualnie, innymi wielkościami [51]. W metodach makroskopowych powierzchnia rozdziału faz i strefy stało-ciekłej może być utożsamiana z izotermami T L i T S, gdzie T L oznacza temperaturę początku krzepnięcia, a T S temperaturę końca krzepnięcia Efekty kinetyczne Przy krzepnięciu nierównowagowym, kiedy kinetyka przyłączania atomów do frontu krzepnięcia nie może być pominięta, równanie (1.13) musi ulec modyfikacji. Brak równowagi na froncie oznacza, że rzeczywista temperatura frontu jest niższa od równowagowej o wartość przechłodzenia kinetycznego T µ. Prędkość normalna v n frontu wiąże się z przechłodzeniem kinetycznym wzorem [1, 2, 27, 51]: v n = µ T µ, (1.17) gdzie µ współczynnik kinetyczny, zależny od krzepnącej substancji. Proporcjonalność v n do T µ obowiązuje dla niewielkich przechłodzeń. Fraś [27] podaje bardziej ogólną formułę: v n = p kt 4η ( ) 2/3 [ ( πna 1 exp S T )] µ, (1.18) 6V m kn A T gdzie η lepkość dynamiczna, N A liczba Avogadra, V m objętość molowa, p prawdopodobieństwo przyłączenia atomu do frontu krzepnięcia (dla modeli przestrzennych p = 1/6). Dla małych wartości T µ można skorzystać z przybliżenia e x 1 x w którym (1.18) przyjmuje formę (1.17) ze współczynnikiem kinetycznym równym: µ = p S 4η ( π 2 36N A V 2 m ) 1/3. (1.19) Uwzględniając przechłodzenie kinetyczne i dopuszczając anizotropię współczynnika µ, można przepisać (1.13) w postaci: T (x, t) = T r v n(x, t), dla x Π (1.20) µ(θ) gdzie θ kąt między n a wybraną główną osią krystalograficzną ziarna. Odejście od stanu równowagi jest zasadniczo niezbędne dla utrzymania procesu krzepnięcia równowaga oznacza bowiem równość energii swobodnych fazy ciekłej i stałej, a tym samym brak zysku energetycznego z przechodzenia atomów jednej fazy do drugiej. Typowe przypadki krzepnięcia metali 6 przebiegają jednak przy na tyle wolnym odbiorze ciepła, że czynnikiem limitującym wzrost fazy stałej jest odbiór ciepła przemiany fazowej, a nie kinetyka przyłączania atomów cieczy do frontu krzepnięcia [27]. Sytuacja taka usprawiedliwia stosowanie równania (1.13), będącego zwykle znakomitym przybliżeniem rzeczywistej temperatury frontu. 6 Np. krzepnięcie odlewu w formie piaskowej.

17 Wzrost ziarna Segregacja i dyfuzja domieszki Przedstawiony do tej pory opis wzrostu ziarna ulega znacznemu wzbogaceniu, jeśli rozważa się krzepnięcie stopów. Wynika to z tego, że stan stopu zależy nie tylko od temperatury, ale również od stężenia domieszek. Relację między równowagowym stanem fazowym stopu, stężeniem domieszek i temperaturą, podaje się zwykle w formie tzw. diagramów fazowych. Fragment przykładowego diagramu dla stopu dwuskładnikowego pokazano na rys. 1.6a. a) b) Rys. 1.6: Fragment diagramu fazowego (z eutektyką) (a) oraz jego zlinearyzowana postać dla małych stężeń i temperatury bliskiej temperaturze krzepnięcia czystego składnika bazowego (b). Fazę ciekłą oznaczono przez L, faza α jest roztworem stałym domieszki w składniku bazowym, zaś L + α mieszaninę cieczy i fazy α znajdujących się we wzajemnej równowadze. Rozpatrując stopy rozcieńczone (o niewielkich stężeniach domieszki) można uprościć analizę przyjmując postać diagramu fazowego, w której linie likwidusu i solidusu są odcinkami linii prostych (rys. 1.6b). W tym kontekście mówi się o współczynniku kierunkowym linii likwidus m wykorzystywanym wielokrotnie w dalszej części rozprawy. Stop o wyjściowym stężeniu C 0 w temperaturze T 1 (punkt A) stanowi układ fazy stałej o składzie C s i fazy ciekłej o składzie C l będących w stanie równowagi. Równowagowy współczynnik rozdziału k definiuje się jako: k = C s C l. (1.21) Wartość k mniejsza od 1 oznacza, że rozpuszczalność domieszki w fazie stałej jest mniejsza niż w fazie ciekłej. Oznacza to, że podczas krzepnięcia zachodzi zjawisko segregacji odrzucania domieszki przez przemieszczający się front 7. Wartość j C strumienia domieszki segregowanej na froncie oblicza się ze wzoru: j C = v n (C l C s ), (1.22) gdzie Cs, Cl stężenie domieszki na froncie, odpowiednio po stronie fazy stałej i ciekłej. Obecność domieszki, zgodnie z diagramem fazowym, zmienia temperaturę równowagową frontu. Ogólne równanie (1.20) należy więc zastąpić zależnością: T (x, t) = T r (C) v n(x, t) µ(θ) (1.23) 7 Jeżeli k > 1, rozpuszczalność domieszki w fazie stałej jest większa niż w ciekłej. Segregacja ma wtedy przeciwny kierunek domieszka jest przez front wchłaniana z fazy ciekłej.

18 Wzrost ziarna 16 lub linearyzując diagram: T (x, t) = T m + mcl (x, t) v n(x, t), dla x Π, (1.24) µ(θ) gdzie T m temperatura krzepnięcia składnika bazowego, m współczynnik kierunkowy linii likwidus. Nierównomierności rozkładu domieszki spowodowane przez segregację redukowane są przez dyfuzję. Równanie dyfuzji pod względem formalnym przypomina równanie przepływu ciepła (1.8): C t = (D C) + q C, (1.25) gdzie C stężenie domieszki, D współczynnik dyfuzji, q C człon źródłowy. Analogicznie do warunku Stefana dla strumieni cieplnych (1.9) w modelu ostrego frontu formułuje się następujący bilans strumieni domieszki: C C D s D n l = v s n n (Cl Cs ), (1.26) l gdzie D s, D l współczynniki dyfuzji, odpowiednio w fazie stałej i ciekłej. Rozbieżność między wartościami C s i C l oznacza, że mamy do czynienia nie tylko z nieciągłością strumienia na froncie, ale również z nieciągłością pola stężenia. Rys. 1.7: Rozkład stężenia domieszki w pobliżu frontu (k < 1). Pełny zestaw równań opisujących pole stężenia C(x, t) przy założeniu warunku (1.21) można sformułować następująco: C(x, t) = (D s C(x, t)), dla x Ω s, (1.27) t C(x, t) = (D l C(x, t)), dla x Ω l, (1.28) t C C D s D n l = v s n n Cl (1 k), dla x Π, (1.29) l Φ C ( C(x, t), C s = kc l, dla x Π, (1.30) C(x, 0) = C 0 (x), dla x Ω, (1.31) ) C(x, t) n = 0, dla x Ω, (1.32)

19 Wzrost ziarna 17 gdzie (1.31) warunek początkowy dla pola stężenia, zaś (1.32) symboliczne sformułowanie warunku brzegowego dla obszaru Ω (patrz par ). Łącznie z równaniami (1.10) (1.15), powyższe wzory stanowią matematyczne ujęcie zjawiska wzrostu ziarna stopu dwuskładnikowego. Równowagowe krzepnięcie stopu wiąże się z jednorodnością rozkładu domieszki w obrębie jednej fazy, a różnice składów fazy ciekłej i stałej określone są wzorem (1.21). Jeżeli prędkość krzepnięcia jest wystarczająco mała, jednorodność składu fazy zapewnia dyfuzja domieszki. W rzeczywistości można mówić tylko o lokalnej równowadze (1.30) dyfuzja w metalach jest na tyle powolnym procesem (szczególnie w fazie stałej), że nawet w typowych warunkach spotyka się nierównomierne rozkłady stężenia domieszki w obu fazach 8 (rys. 1.7). Zróżnicowanie składu chemicznego stopu w skali pojedynczego ziarna nazywa się mikrosegregacją. Zjawisko to jest niekorzystne, prowadzi do pogorszenia własności mechanicznych odlewu Efekty powierzchniowe Podczas wzrostu ziarna niemałą rolę odgrywają efekty związane z energią σ powierzchni rozdziału faz 9. Układy o dużej energii powierzchniowej są mniej stabilne w porównaniu z tymi o bardziej zwartej budowie (patrz pierwszy człon równania (1.3)). Wyraża się to przez obniżenie temperatury równowagowej frontu zakrzywionego (zjawisko Gibbsa- Thomsona [27, 51]): T k = Γκ, (1.33) gdzie T k przechłodzenie kapilarne, Γ współczynnik Gibbsa Thomsona, κ krzywizna frontu. Współczynnik Γ można wyznaczyć ze wzoru [41, 63]: Γ = 1 s ( σ(θ) + d2 σ(θ) dθ 2 ), (1.34) gdzie s = ρl/t r entropia krzepnięcia na jednostkę objętości, σ(θ) energia powierzchniowa (z uwzględnieniem możliwej anizotropii). Anizotropię energii powierzchniowej zwykle ujmuje się zależnością [13, 41, 67]: σ(θ) = σ 0 [1 + ɛ σ cos(m k (θ θ 0 ))], (1.35) gdzie σ 0 średnia wartość σ(θ), ɛ σ amplituda zmian σ(θ), m k krotność symetrii ziarna (m k = 4 dla kryształów kubicznych), θ 0 kierunek, w którym σ(θ) przyjmuje wartość maksymalną. Krzywiznę κ powierzchni rozdziału faz definiuje się jako sumę odwrotności promieni krzywizn głównych odpowiednio R 1 i R 2 : κ = 1 R R 2 lub κ = 1 R (R 2 =, R 1 = R płaskie ziarno). (1.36) W dalszej części rozprawy obowiązuje następująca konwencja znakowania krzywizny [51]: dla frontu skierowanego wypukłością do fazy ciekłej κ > 0, w przeciwnym wypadku κ < 0 (rys.(1.8)). 8 Równomierność stężenia w fazie ciekłej można osiągnąć przez intensywne mieszanie. 9 W niektórych przypadkach (np. rekrystalizacji) efekty te są główną siłą napędową przemiany.

20 Wzrost ziarna 18 Rys. 1.8: Konwencja znakowania krzywizny frontu. Po uwzględnieniu przechłodzenia kapilarnego T k równanie (1.24) przyjmie postać: T (x, t) = T m + mcl (x, t) Γ(θ)κ v n(x, t), dla x Π. (1.37) µ(θ) Równanie (1.37) ujmuje w formie matematycznej podstawowe zjawiska związane z powierzchnią ziarna. Całkowite przechłodzenie T wyraża się wzorem [27]: T = T r T = T c + T k + T µ + T t, (1.38) gdzie T jest temperaturą z dala od frontu, T r = T m +mc 0 temperaturą równowagową, T c = m(c 0 C l ) przechłodzeniem stężeniowym, a T t przechłodzeniem termicznym Inne zjawiska Poza wymienionymi wyżej zjawiskami należy wspomnieć o kilku innych czynnikach, które w większym lub mniejszym stopniu mają wpływ na wzrost ziarna: konwekcja (swobodna lub wymuszona) różnice gęstości fazy ciekłej i stałej, a także zmienność gęstości wraz z temperaturą, powodują przepływ masy w fazie ciekłej; tym samym pojawia się kolejny mechanizm transportu ciepła i masy, co oznacza, że równania (1.8), (1.25) należy uzupełnić członem konwekcyjnym; ruch cieczy może także oddziaływać mechanicznie na ziarna, dokonywać ich fragmentacji i transportować w głąb kąpieli; wzajemne oddziaływanie mechaniczne ziaren, oddziaływanie frontu z cząstkami faz obcych (wtrąceniami egzogenicznymi i endogenicznymi [27]), fluktuacje temperatury i stężenia. Ostatnie dwa czynniki wprowadzają do deterministycznego dotychczas opisu wzrostu element probabilistyczny naturalne jest określenie rozmieszczenia wtrąceń w obszarze stopu oraz wielkość fluktuacji za pośrednictwem odpowiednich funkcji rozkładu prawdopodobieństwa Warunki brzegowe Warunki brzegowe dla obszaru Ω wyrażane dotychczas w postaci symbolicznej (równania (1.15) i (1.32)) wymagają sprecyzowania. Dla pola temperatury typowe sformułowania są następujące: ( ) T (x, t) Φ T (x, t), = 0, dla x Ω, (1.39) n

21 Niestabilność frontu krzepnięcia 19 przy czym Φ ( T (x, t), T (x, t) T 0 (x, t), ) T (x, t) T (x, t) = λ q n (x, t), n n T (x, t) λ α[t (x, t) T ot ], n war. I rodzaju, war. II rodzaju, war. III rodzaju. (1.40) Symbol / n oznacza w tym przypadku pochodną w kierunku normalnym do Ω. T 0 i q n są danymi funkcjami, określającymi odpowiednio temperaturę i wartość strumieia ciepła na brzegu obszaru. Pozostałe wielkości to: α współczynnik wymiany ciepła, T ot temperatura otoczenia. Analogiczne warunki formułuje się dla pola stężenia. Zwykle mają one postać warunków I i II rodzaju 10 : przy czym Φ C ( C(x, t), Φ C ( C(x, t), ) C(x, t) = 0, dla x Ω, (1.41) n ) C(x, t) = n C(x, t) C 0 (x, t), C(x, t) D n j n (x, t), war. I rodzaju, war. II rodzaju, (1.42) gdzie C 0 i j n są danymi funkcjami, oznaczającymi odpowiednio rozkład stężenia i wartość strumienia domieszki na brzegu obszaru. Warunki II rodzaju dla pola temperatury i stężenia bardzo często przyjmują postać: T n = 0, (warunki izolacji bądź symetrii [62]). C n = 0 (1.43) 1.5 Niestabilność frontu krzepnięcia Miarą stabilności frontu jest wrażliwość na niewielkie zaburzenia jego postaci. Front nazywa się stabilnym, jeśli zaburzenia mają tendencję do zanikania w czasie. W przeciwnym przypadku, gdy zaburzenia powiększają się z upływem czasu, front nazywa się niestabilnym. Zjawisko niestabilności frontu uważane jest za główną przyczynę krzepnięcia dendrytycznego. Na skutek segregacji przed frontem tworzy się warstwa wzbogacona w domieszkę (rys. (1.7)). Przy stanie ustalonym rozkład stężenia można opisać funkcją wykładniczą 11 [27, 51], a zgodnie z diagramem fazowym gradient stężenia G C przekłada się gradient G T R temperatury równowagowej przed frontem: G T R = mg C. (1.44) Jeżeli gradient temperatury rzeczywistej G jest mniejszy od gradientu temperatury równowagowej, przechłodzenie wzrasta przy oddalaniu się od frontu. W takiej sytuacji wypukłe 10 Warunek III rodzaju dla pola stężenia nie ma naturalnej interpretacji fizycznej. 11 Por. (4.17).

22 Niestabilność frontu krzepnięcia 20 zaburzenie pojawiające się na froncie trafia na bardziej przechłodzony obszar i zwiększa prędkość wzrostu (wzór (1.17)). Warunek stabilności frontu można zatem sformułować w postaci (zwanej przechłodzeniowym kryterium stabilności) [27]: G > mg C. (1.45) O wiele bardziej zaawansowane podejście, uwzględniające rolę napięcia powierzchniowego oraz pozwalające ocenić kinetykę zmian zaburzeń frontu, opiera się na teorii Mullinsa i Sekerki [64]. Niech zaburzenie będzie sinusoidalne, czyli w układzie współrzędnych związanym z frontem: x = δ sin(ωy), (1.46) gdzie δ amplituda zaburzenia, ω współczynnik związany z okresem zaburzenia. Oś y jest skierowana wzdłuż frontu, zaś x prostopadle. Jeżeli prędkość wzrostu zniekształcenia oznaczy się przez δ, to przyjmując pewne założenia upraszczające 12 : δ δ = v mg C (ω v Dl ) (mg C G Γω 2 ), (1.47) gdzie v prędkość przemieszczania się frontu, zaś ω = v ( ) v ω2. (1.48) 2D l 2D l Stabilność frontu ocenia się po znaku δ/δ: δ δ = 0 front stabilny, > 0 front niestabilny. (1.49) Teoria Mullinsa i Sekerki umożliwia również wyznaczenie skali zaburzeń utrzymujących się trwale podczas migracji frontu, co ma szczególne znaczenie dla szacowania charakterystycznych parametrów ziaren dendrytycznych. Krytyczną długość λ k wyznacza się z (1.47), przyjmując δ/δ = 0 oraz ω = 2π/λ k : Γ λ k = 2π mg C G. (1.50) 12 Ogólną postać tej zależności można znaleźć w pracy źródłowej [64] lub monografiach [27, 51]

23 Rozdział 2 Modelowanie krzepnięcia w mikroskali przegląd Przedstawione w poprzednim rozdziale zagadnienie krzepnięcia stanowi w ogólnej formie, ze względu na silną nieliniowość, bardzo trudny przedmiot analizy. Rozwiązania analityczne równań (1.10)-(1.15) (nawet bez uwzględnienia (1.27)-(1.32)) znane są tylko w kilku uproszczonych przypadkach. Z tego powodu metody numeryczne stają się nieodzowne w większości praktycznych zastosowań. Niniejszy rozdział poświęcony jest przeglądowi metod modelowania krzepnięcia w mikroskali od pewnych rozwiązań analitycznych, po najczęściej stosowane metody numeryczne: metodę śledzenia frontu, metodę poziomic (ang. level-set method), metodę pola fazowego oraz technikę automatów komórkowych. Tej ostatniej, jako głównemu tematowi rozprawy, zostanie poświęcone najwięcej miejsca. 2.1 Rozwiązania analityczne Czoło dendrytu Jak już wspomniano w par.1.2 czoło gałęzi głównej dendrytu można przybliżyć paraboloidą obrotową (dla płaskiego ziarna parabolą). Zagadnienie rozkładu domieszki wokół przemieszczającego się jednostajnie frontu o takim kształcie przeanalizował Iwancow 1 [40]. Niech Ω c będzie przesyceniem stopu na froncie [51]: Ω c = C l C 0 Cl (1 k). (2.1) Zgodnie z rozwiązaniem Iwancowa: Ω c = I(P c ), P c = vr 2D l, (2.2) gdzie P c stężeniowa liczba Pecleta, v prędkość normalna frontu. Funkcja Iwancowa I(P ) ma dla paraboloidy postać: I(P ) = P exp(p )E 1 (P ), (2.3) 1 Przy pominięciu napięcia powierzchniowego (efektu Gibbsa-Thomsona), efektów kinetycznych, anizotropii i dyfuzji w fazie stałej. 21

24 Rozwiązania analityczne 22 natomiast dla ziarna płaskiego (cylindrycznego) I(P ) = πp exp(p ) erfc( P ), (2.4) gdzie erfc(x) komplementarna funkcja błędu, zaś E 1 wykładnicza funkcja całkowa, definiowane jako E 1 (P ) = P exp( z) dz, erfc(x) = 1 2 z π x exp( z 2 )dz. (2.5) Jeżeli rozpatruje się krzepnięcie czystego metalu, należy w powyższych wzorach zastąpić P c termiczną liczbą Pecleta P t = vr/2a, gdzie a współczynnik wyrównywania temperatury; zamiast przesycenia Ω c podstawia się natomiast bezwymiarowe przechłodzenie Ω t = T/(L/c p ) (c p - ciepło właściwe). W pierwszym przybliżeniu przyjmuje się często [51]: Ω c = P c = vr 2D l, (2.6) co odpowiada aproksymacji czoła dendrytu przez półkulę. Ponieważ wzór Iwancowa (2.2) wiąże przesycenie (lub przechłodzenie) tylko z odpowiednią liczbą Pecleta, nie pozwala on na jednoznaczne wyznaczenie promienia krzywizny R i prędkości wzrostu v. Potrzebna jest dodatkowa, niezależna relacja uzależniająca R od v (lub pozwalająca wyliczyć przynajmniej jedną z tych wielkości) tzw. kryterium wyboru (ang. selection criterion). Przykład takiej zależności dostarcza hipoteza wzrostu na granicy stabilności (ang. marginal stability theory) [51, 54], która utożsamia promień krzywizny czoła dendrytu z krytyczną wielkością zaburzenia frontu (1.50): Γ R = 2π mg C G. (2.7) Głębsza analiza wykazuje, że dla wyboru konkretnych wartości R i v duże znaczenie ma anizotropia napięcia powierzchniowego. W jej obecności ciągłe spektrum rozwiązań Iwancowa przyjmuje dyskretny charakter, przy czym tylko jedno rozwiązanie jest stabilne. Teorię tego zjawiska określa się w literaturze zachodniej mianem micro-solvability theory. Bliższe jej przedstawienie leży poza zakresem rozprawy 2, jednak (jak podają Kurz i Fisher [51]), podstawowa zależność (2.7) pozstaje ta sama Odgałęzienia drugiego rzędu O ile podejście analityczne okazało się skuteczne przy rozważaniu względnie stabilnego i regularnego czoła dendrytu, o tyle struktura odgałęzień nie dała się dotychczas ująć w podobne, dokładne ilościowo modele. Pewne próby wyprowadzenia analitycznej formuły na λ 2 znaleźć można w pracy [46] (lub w monografiach [27, 51]). Aby uprościć model rozpatruje się tylko dwa odgałęzienia drugiego rzędu zakładając, że ich wierzchołki są zakończone są półkulami o promieniach odpowiednio ρ 1 i ρ 2 (ρ 1 > ρ 2 ), a wzrost odbywa się w warunkach izotermicznych. Konsekwencją tych założeń jest to, że większe odgałęzienie stanowi źródło domieszki (wzrasta), 2 Patrz [53, 72].

25 Metody numeryczne 23 zaś mniejsze upust (roztapia się). Przyjmuje się następnie, że stężenie domieszki C in między gałęziami zmienia się liniowo z czasem: C in = C 0 + (C ch C 0 ) t t l, (2.8) gdzie C 0 początkowe stężenie stopu, C ch stężenie charakterystyczne domieszki w cieczy przy końcu krzepnięcia (dla stopów z eutektyką zwykle stężenie eutektyczne C E ), t l tzw. lokalny czas krzepnięcia (czas, w którym krzepnie ciecz w przestrzeni międzygałęziowej). Jeżeli odgałęzienia znajdowały się początkowo w odległości λ 0 2 od siebie, po roztopieniu mniejszej gałęzi odległość między gałęziami się podwoi: λ 2 = 2λ 0 2. Zakładając dalej, że ρ 1 /λ 2 = 0.5 oraz ρ 0 2/ρ 1 = 0.5 (ρ 0 2 początkowa wielkość ρ 2 ) otrzymuje się: λ 2 = 5.5(Mt l ) 1/3, M = ΓD l ln (C 0 /C ch ) m(1 k)(c ch C 0 ). (2.9) Przy tak wielu zgrubnych założeniach nie należy przywiązywać zbyt dużej wagi do czynnika 5.5 w równaniu (2.9). Jednak rodzaj zależności λ 2 od czasu t l (pierwiastek stopnia trzeciego) znalazł potwierdzenie w eksperymencie (patrz wyniki badań dla stopu Al-Cu [51, str. 87]). 2.2 Metody numeryczne Metody śledzenia frontu (front-tracking) Zasadniczą cechą metod śledzenia frontu jest wyraźny podział rozważanego obszaru na fazę ciekłą i stałą. Dyskretyzację cieczy i ciała stałego przeprowadza się niezależnie, co przy ruchomym brzegu obszarów (froncie krzepnięcia, powierzchni ziarna) oznacza konieczność stosowania siatek adaptacyjnych, zmiennych w każdym kroku czasowym (ujęcie Lagrange a). Inną możliwością jest jednolita, ustalona dyskretyzacja całego obszaru, przy jawnym modelowaniu frontu jako pewnej, ściśle określonej powierzchni (lub krzywej dla obszaru dwuwymiarowego) ujęcie mieszane Eulera-Lagrange a 3. Po wyliczeniu prędkości normalnej v n frontu (patrz (1.12)) powierzchnia dana w jednym kroku czasowym przechodzi w inną, jednoznacznie zdefiniowaną powierzchnię (przemieszczenia δx = v n δt, gdzie δt krok czasowy). Metody śledzenia frontu pozwalają w naturalny sposób uwzględnić skokową zmianę właściwości fizycznych na powierzchni rozdziału faz, ustalić na niej odpowiednie warunki brzegowe (np. w postaci równań (1.9),(1.37)), wyznaczyć jej krzywiznę czy kierunek wersora normalnego. Stwarzają jednak dużo problemów przy zmianach topologii granicy międzyfazowej, gdy dochodzi do połączenia różnych fragmentów frontu lub podziału spójnej powierzchni na rozłączne części. Procedury obsługujące takie zdarzenia są dość skomplikowane, szczególnie dla obszarów 3D [42, 87]. Przykłady zastosowań metody śledzenia frontu do symulacji wzrostu izolowanego ziarna można znaleźć w pracach [43, 89]. 3 Ujęcia czysto eulerowskie zostaną omówione w kolejnych paragrafach (2.2.2 i 2.2.3).

26 Metody numeryczne Metoda poziomic (level-set) Metodę poziomic 4 (ang. level-set method) opracowano z myślą o usunięciu problemów związanych ze zmianą topologii frontu [70]. Podstawową ideą metody jest wprowadzenie funkcji φ(x, t) tzw. pola dystansu. Punktom jednolicie zdyskretyzowanego obszaru przyporządkowuje się wartość φ równą odległości danego punktu od interfejsu, który otrzymuje wartość φ = 0 i jest to cecha pozwalająca zidentyfikować jego położenie w kolejnych krokach czasowych. Odległości w cieczy otrzymują znak dodatni, zaś w ciele stałym ujemny 5. Prędkość normalna przemieszczania się frontu v n (x, t) oblicza się korzystając np. z numerycznej aproksymacji równania (1.12), a następnie modyfikuje się pole φ zgodnie z formułą (równanie adwekcji) [49]: φ(x, t) = F (x, t) φ(x, t), (2.10) t gdzie F (x, t) pole prędkości takie, że F (x, t) = v n (x, t), dla x Π. W wersji zlokalizowanej algorytmu wylicza się zmiany pola φ tylko w najbliższym sąsiedztwie frontu. Dopiero po modyfikacji pola dystansu określa się nowe położenie frontu, jako zerową poziomicę (level-set) funkcji φ. Dzięki takiej procedurze wszelkie zmiany topologii powierzchni międzyfazowej zostają uwzględnione niejako automatycznie. Jednak, w przeciwieństwie do metod śledzenia frontu (par ), można tu mówić tylko o pośrednim (niejawnym) śledzeniu frontu. Stabilność metody wymaga obliczania pola φ w każdym kroku czasowym. Przeprowadza się to przez rozwiązanie rozwiązanie równania (reinicjalizacja): φ(x, t) + S(x)[ φ(x, t) 1] = 0, (2.11) t przyjmując jako warunek początkowy poprzednią wartość φ oraz (otrzymany w bieżącym kroku czasowym) nowy rozkład faz. Następna wartość pola (φ ) jest stanem ustalonym, do którego dąży rozwiązanie (2.11) przy odpowiednio dużym t. Funkcja S(x) ma następujące wartości: 1 w fazie ciekłej (Ω l ), 1 w fazie stałej (Ω s ), 0 na froncie krzepnięcia (Π). Wersor normalny n oraz krzywiznę κ powierzchni wyznacza się z zależności: n = φ φ, κ = n. (2.12) Metodę poziomic wykorzystano do badania wzrostu pojedynczych ziaren w pracach [33, 49] Metoda pola fazowego (phase-field) Metoda pola fazowego (ang. phase field method) należy prawdopodobnie do najczęściej stosowanych i najbardziej zaawansowanych modeli krzepnięcia dendrytycznego. Formalnie rzecz biorąc nie jest to metoda ostrego frontu, gdyż rozkład faz w obszarze opisuje ciągła funkcja ϕ(x, t) pole fazowe. Definiuje się ją następująco: 1, dla x Ω s ϕ(x, t) = 1, dla x Ω l (2.13) 0, dla x Π 4 Propozycja polskiego odpowiednika angielskiej nazwy level-set method. 5 Z tego powodu funkcja φ określana jest jako signed distance function.

27 Metody numeryczne 25 przy czym w okolicy frontu, w obszarze o długości W (tzw. szerokość interfejsu) pole ϕ gładko zmienia się od wartości 1 do 1. Brak tutaj miejsca na ogólny opis modelu (patrz np. [47, 91]), jednak warto choćby w zarysie przedstawić zasadnicze jego idee na przykładzie zastosowania do czystej (bez domieszek), izotropowej substancji [48]. Niech u = (T T m )/(L/c p ) będzie bezwymiarową temperaturą (T m temperatura krzepnięcia substancji). Wtedy podstawowymi zmiennymi stanu są funkcje u(x, t) oraz ϕ(x, t). Pole ϕ zmienia się zgodnie z zależnością: τ ϕ t = δf δϕ, (2.14) gdzie τ parametr modelu, czas charakteryzujący ruch atomów na froncie krzepnięcia (nazywany też czasem relaksacji [7]), δ/δϕ pochodna funkcjonalna. F jest funkcjonałem określającym energię swobodną układu: F = V [ 1 2 W 2 ϕ 2 + f(ϕ) + λug(ϕ)] dv, (2.15) gdzie f(ϕ) funkcja mająca charakter potencjału z dwoma studniami (double-well), λ parametr wyrażający sprzężenie pól u i ϕ, zaś g(ϕ) funkcja określająca wraz z u różnicę wartości potencjału f(ϕ) w jego minimach lokalnych oraz tak dobrana, by te minima przypadały dla ϕ = 1 i ϕ = 1. Po obliczeniu pochodnej funkcjonalnej w równaniu (2.14) przyjmie ono postać: τ ϕ t = W 2 2 ϕ f(ϕ) ϕ λu g(ϕ) ϕ. (2.16) Zmiany pola u określa równanie przepływu ciepła: u t = a 2 u + 1 h(ϕ) 2 t, (2.17) gdzie a współczynnik wyrównywania temperatury (założono, że jest stały dla całego obszaru), natomiast funkcja h(ϕ) odpowiada za wyzwolenie ciepła przemiany w obszarze interfejsu (niektóre sformułowania zakładają h(ϕ) = ϕ [45]). Wykazano [24], że w granicy W 0 metoda pola fazowego równoważna jest metodzie ostrego frontu. Zastosowania numeryczne wymagają jednak przyjęcie skończonej wartości parametrów W i τ, a także wyboru konkretnej postaci funkcji f(ϕ), g(ϕ). Wybór ten cechuje się pewną dowolnością [7, 45] i, w przeciwieństwie do wcześniej omawianych metod, powiązanie parametrów modelu z własnościami fizycznymi danej substancji nie jest bezpośrednie. Metoda pola fazowego ma szereg zalet: zwalnia od konieczności zarządzania informacją o froncie 6, automatycznie uwzględnia zmiany jego topologii (podobnie jak metoda poziomic) oraz łatwo uogólnia się na obszary 3D [45]. Do wad należy zaliczyć skomplikowaną stronę teoretyczną modelu oraz konieczność gęstej dyskretyzacji obszaru w obszarze frontu [74]. Ta ostatnia cecha jest szczególnie 6 Zarządzanie to może być konieczne nie tylko ze względu na zmianę topologii frontu. W mieszanym ujęciu modelu ostrego frontu, przy zastosowaniu metody markerów [89], zmienny w dużym zakresie rozmiar powierzchni międzyfazowej oznacza konieczność dodawania lub usuwania markerów w odpowiednich miejscach.

28 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 26 dotkliwa z numerycznego punktu widzenia. Oznacza bowiem wysoką nieefektywność metody przy jednolitej dyskretyzacji całego obszaru (obszary odległe od frontu nie muszą być tak gęsto zdyskretyzowane). Inna ewentualność to zastosowanie siatek adaptacyjnych, zagęszczonych tylko tam, gdzie to jest niezbędne [47, 74]. Odbywa się to jednak kosztem znacznego wzrostu zaawansowania stosowanych procedur. Metodę pola fazowego stosowano do przewidywania mikrostruktury zarówno w obszarach dwu-, jak i trójwymiarowych. Przedmiotem analizy były pojedyncze ziarna [45, 48, 91], ale także większe ich skupiska [7, 34] Metoda automatu komórkowego (cellular automaton) Metoda automatu komórkowego (AK) różni się w dużym stopniu od metod opisanych w poprzednich paragrafach. Front krzepnięcia nie jest jawnie śledzony, lecz wyznaczany pośrednio z pola określającego rozkład faz. Mimo wprowadzenia koncepcji analogicznej do pola fazowego ϕ, warstwa teoretyczna modelu jest znacznie prostsza, dzięki bardziej fenomenologicznemu ujęciu podstawowych zjawisk w porównaniu z metodą pola fazowego. Algorytmy AK należą do najłatwiejszych w implementacji, przez długi czas pozostawało jednak pytanie: na ile ta technika jest wiarygodna jako ilościowo poprawna metoda. Ostatnie badania wykazują, że w wielu miejscach wątpliwości te mogą być rozwiane. Autor ma nadzieję, że niniejsza praca też się do tego przyczyni. 2.3 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia Zarys koncepcji AK Historia automatów komórkowych 7 sięga lat czterdziestych XX wieku prac Stanisława Ulama (matematyka polskiego pochodzenia, współtwórcy bomby wodorowej) i Johna von Neumanna (twórcy koncepcji współczesnych komputerów) z okresu ich współpracy w ośrodku Los Alamos. Ulam, zainteresowany generowaniem złożonych wzorów graficznych za pomocą prostych reguł, zasugerował von Neumannowi użycie dwuwymiarowych AK w jego badaniach samoreprodukujących się maszyn [68]. Stosowany przez nich AK był płaszczyzną podzieloną regularną, kwadratową siatką na tzw. komórki. Każda z komórek mogła znajdować się w kilku stanach (dwa stany w najprostszym przypadku), które zmieniały się w kolejnych iteracjach algorytmu. Zmiana stanu uzależniona była od stanu komórki i jej sąsiadów (komórek z najbliższego otoczenia) w kroku poprzednim 8 (rys. 2.1). Okazało się, że zachowanie takiego układu, mimo bardzo prostych praw nim rządzących, może być bardzo skomplikowane. Nieformalnie można AK zdefiniować jako dyskretny układ dynamiczny z dyskretnym czasem. Elementy układu (komórki) oddziałują ze sobą lokalnie i zmieniają swój stan synchronicznie, zgodnie z algebraicznymi lub logicznymi regułami. W latach 70-tych minionego wieku AK zostały spopularyzowane dzięki Johnowi Conway owi i jego grze Life [32], ale dopiero na początku lat 80-tych powróciły jako przedmiot poważnych badań naukowych (m.in. Stephena Wolframa [92, 93]). Od tamtej pory 7 W dalszej części pracy nazwa metody będzie skracana do AK. W literaturze angielskiej używa się skrótu CA cellular automaton (lm. automata) np. w takich nazwach jak CAFD (Cellular Automaton Finite Difference) [11], CAFE (Cellular Automaton Finite Element) [29]. 8 Nasuwa się tutaj analogia ze schematem jawnym metody różnic skończonych, który może być uważany za prekursora uogólnionego AK.

29 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 27 Rys. 2.1: Przykład AK składającego się z siatki komórek o wymiarze 4 4. Każda komórka może być w dwóch stanach: 0 (kolor biały), oraz 1 (zacieniony kwadrat). Stan początkowy zadany jest rozkładem stanów pokazanym po lewej stronie. Za sąsiednie uważa się komórki, które posiadają wspólny bok. Reguły przejść definiują stan komórki w następnym kroku, zależnie od stanu jej i sąsiadów w kroku poprzednim. Dla komórek brzegowych nie posiadających odpowiedniego sąsiada przyjmuje się, że jego stan jest 0. AK znalazły zastosowanie w modelowaniu: morfogenezy żywych organizmów [69], układów spinowych (np. klasycznego modelu Isinga) [22], układów hydrodynamicznych [28], ekosystemów (np. interakcji drapieżnik-ofiara) [15, 80], zjawisk społecznych i ekonomicznych [4, 25] oraz ruchu ulicznego [65]. AK wykorzystywano również do przetwarzania i rozpoznawania obrazów [76], projektowania układów o wielkiej skali integracji (VLSI) [61], a także kryptografii [85] (znacznie obszerniejszą listę referencji można znaleźć w artykułach przeglądowych [14, 31, 66, 95]). Można spotkać się z poglądem (patrz np. [14,19,94]), że AK powinny być traktowane jako alternatywny sposób modelowania układów dynamicznych, w stosunku do klasycznego podejścia przez równania różniczkowe cząstkowe. Nowy paradygmat, nowy rodzaj nauki 9, który ma szansę opisać złożoność otaczającej nas rzeczywistości nie skomplikowanymi, nieliniowymi równaniami, lecz prostymi regułami wyrażającymi lokalne oddziaływanie wielu indywidualnych jednostek Definicja AK Celem tego paragrafu jest podanie precyzyjnej definicji AK, poczynając od klasycznego rozumienia tego pojęcia, kończąc na pewnych uogólnieniach. Opierano się tu głównie na publikacjach [14, 50]. Definicja formalna Automatem komórkowym (AK) nazywamy piątkę uporządkowaną L, S, S L, O, f, gdzie: L co najwyżej przeliczalny zbiór (sieć, ang. lattice), którego elementy nazywa się komórkami, S skończony zbiór stanów, S L : L i s i S funkcja przyporządkowująca odpowiedni stan każdej komórce, 9 Parafraza tytułu monumentalnej monografii S. Wolframa A new kind of science [94] poświęconej w całości automatom komórkowym.

30 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 28 O : L i O i L funkcja przyporządkowująca każdej komórce jej otocznie, f : (s i ) t (s i ) t+1 = f( s k t ), dla k O i reguła przejścia. Reguła przejścia odwzorowuje stan (s i ) t i-tej komórki w chwili t w stan (s i ) t+1 dla chwili następnej t + 1, przy czym nowy stan uzależniony jest od stanów komórek z otoczenia komórki i w chwili poprzedniej s k t. Ogólność takiej definicji może zaciemniać obraz, więc warto przenieść rozważania na bardziej konkretny grunt dwuwymiarowego K-stanowego AK o regularnej sieci kwadratowej N N. W takim przypadku: L = { (m, n) N N : 0 m N, 0 n N }, (2.18) S = {s 1, s 2,..., s K }, (2.19) s 11 s 12 s 1N S L s 21 s 22 s 2N =....., gdzie s mn S, (2.20). s N1 s N2 s NN m i + n j r, lub O : L (i, j) {(m, n) L} : (2.21) m i r, n j r. Pierwszy z przypadków wzoru (2.21) odpowiada tzw. sąsiedztwu von Neumanna, drugi sąsiedztwu Moore a (o promieniu r). Rys. 2.2: Sąsiedztwo von Neumanna o promieniu 1 komórki K (po lewej) za sąsiednie uważa się komórki mające wspólny bok. Po prawej odpowiednie sąsiedztwo Moore a z komórką K sąsiadują komórki mające z nią wspólny bok lub wierzchołek. Zwyczajowe oznaczenia odpowiadają symbolom stron świata. Oczywiście, sąsiedztwo komórki można zdefiniować inaczej, dąży się jednak do tego, by było ono jak najmniejsze. Istotą AK jest lokalność wzajemnych oddziaływań. Reguły przejścia - przykład Dobrym przykładem reguł przejścia dla opisanego powyżej automatu są zasady wspomnianej już gry Life [32]. Zbiór stanów jest dwuelementowy niech będą nimi odpowiednio 0 i 1. Jako otoczenie każdej komórki przyjmuje się sąsiedztwo Moore a. Niech Σ Oi s k oznacza sumę wartości stanów sąsiednich komórek z otoczenia komórki i w chwili t (pomijając samą komórkę i). Wtedy: 0, gdy (s i ) t = 0 Σ Oi s k 3, f : (s i ) t (s i ) t+1 = 0, gdy (s i ) t = 1 (Σ Oi s k < 2 Σ Oi s k > 3), (2.22) 1, gdy (s i ) t = 0 Σ Oi s k = 3. Jak widać, zmiana stanu komórki i zależy tylko od sumy stanów komórek sąsiednich, a nie od konkretnego ich rozkładu (ang. totalistic CA).

31 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 29 Warunki brzegowe Rozważając sieci AK o skończonych rozmiarach, a z takimi zwykle ma się do czynienia, należy doprecyzować definicję otoczenia i reguł przejścia dla komórek znajdujących się na brzegu sieci (nazywanych dalej komórkami brzegowymi). W literaturze można spotkać się z czterema zasadniczymi typami warunków brzegowych dla AK [14]: warunek periodyczny (ang. periodic boundary condition) nieformalnie można go interpretować jako zlepienie przeciwległych brzegów usuwa się przez to de facto granice sieci i uzyskuje ona (w przypadku sieci kwadratowej 2D) topologię torusa; przykładowo, komórka o współrzędnych (1, N) sąsiaduje z komórką (1, 0); warunek lustrzany (ang. reflective boundary condition) otrzymuje się przez lustrzane odbicie sieci względem danego brzegu; dzięki temu sąsiedztwo komórek brzegowych można rozszerzyć poza obszar sieci i zachować jednorodność 10 jego definicji; warunek pochłaniający (ang. absorbing boundary condition) w tym przypadku nie rozszerza się sztucznie sąsiedztwa komórek brzegowych należy je specjalnie zdefiniować, chyba, że naturalnie wynika z przyjętego określenia dla komórek wewnętrznych (jak np. z (2.21)); warunek sztywny (ang. fixed-value boundary condition) ustala się stan każdej brzegowej komórki i nie ulega on zmianie w czasie 11 ; nie ma zatem konieczności definiowania otoczenia tych komórek. Do najbardziej popularnych należą warunki periodyczne wykorzystywane w modelowaniu niewielkiego wycinka większego obszaru, oraz lustrzane (odpowiednik warunku II rodzaju (1.43) dla równań różniczkowych). Uogólnienia Uogólnienie (2.18)-(2.21) na inną liczbę wymiarów nie przedstawia trudności (najczęściej rozważa się sieci jedno-, dwu- i trójwymiarowe). Zamiast sieci kwadratowej można też rozpatrywać sieci komórek o innej geometrii trójkątnej bądź sześciokątnej (heksagonalnej). Także deterministyczny charakter AK można zmienić dołączając do reguł przejścia element probabilistyczny. Bywa, że ramy klasycznej definicji AK okazują się zbyt ciasne. Przykładowo, skończona liczba stanów S przestaje wystarczać, gdyby chciało się precyzyjnie zamodelować takie wielkości jak pole temperatury lub pole stężenia domieszki, których wartości opisywane są liczbami rzeczywistymi. Tendencja ku konstruowania coraz to dokładniejszych modeli wymusza wprowadzanie kolejnych modyfikacji oryginalnej koncepcji AK. Zmiany te są czasami tak znaczące, że uzasadnione są wątpliwości, czy dana metoda może być jeszcze uważana za AK. W literaturze dotyczącej modelowania krzepnięcia utarło się klasyfikowanie danej metody do grupy AK, jeśli bazuje na układzie z dyskretną przestrzenią (siecią komórek) i dyskretnym czasem, ale z dowolnym zbiorem stanów (AK o ciągłym zbiorze stanów nazywane są siecią sprzężonych odwzorowań ang. coupled map lattice [81]).Układ ten ponadto powinien posiadać następujące cechy [14]: 10 Tę samą postać dla wszystkich komórek. 11 Odpowiednik warunku I rodzaju (Dirichleta) dla układów ciągłych (patrz np. (1.40)).

32 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 30 równoległość (ang. parallelism) zmiana stanów wszystkich komórek odbywa się w tej samej chwili (równolegle), lokalność (ang. locality) reguły zmiany stanu określonej komórki uwzględniają tylko stan jej najbliższego otoczenia w chwili poprzedniej, jednorodność (ang. homogeneity) brak wyróżnienia żadnej z komórek (te same reguły przejścia, tak samo określone sąsiedztwo); wyjątek mogą stanowić komórki znajdujące się na brzegu sieci. Takie uogólnione rozumienie AK przyjęto w dalszej części rozprawy. Pewne rozbieżności będą dyskutowane na bieżąco Modelowanie krzepnięcia dendrytycznego Znane z literatury podejścia do modelowania krzepnięcia w mikroskali techniką AK cechują się dość dużą różnorodnością. Dotychczas nie przeprowadzono systematycznej klasyfikacji tych modeli, zatem jednym z celów tej części rozprawy będzie zapełnienie tej luki. Proponuje się następujący podział stosowanych metod, ujmujący zarówno cele, jak i środki modelowania: modele naiwne 12 odwzorowują istotne zjawiska głównie od strony jakościowej (a przynajmniej ilościowe ujęcie nie jest w nich akcentowane); bywa, że reguły przejścia używane w tych modelach nie mają wyraźnej interpretacji fizycznej; ich zadaniem jest odtworzenie rozgałęzionej struktury ziaren dendrytycznych; modele makro ta grupa modeli przeznaczona jest tylko do ujęcia kinetyki wzrostu ziarna (a nie jego kształtu, który jest przyjmowany z góry), wzajemnego oddziaływania wielu ziaren w obszarze odlewu i formowania się mikrostruktury, ale z ograniczoną możliwością analizy zjawiska mikrosegregacji; obszar symulacji obejmuje zwykle cały odlew; modele mikro skupiają się na szczegółach mikrostruktury, włącznie z symulacją pojedynczych ziaren dendrytycznych, co najmniej z dokładnością do gałęzi drugiego rzędu; umożliwiają weryfikację założeń stosowanych w modelach makro, czyli zbadanie w jakich warunkach obwiednia swobodnego ziarna zbliżona jest do założonej; nacisk przyłożony jest na ilościowy poprawny opis zjawisk, aczkolwiek pod pewnymi względami granica między modelami mikro a modelami naiwnymi nie jest wyraźna nawet najbardziej zaawansowane algorytmy nie są wolne od elementów o jakościowym charakterze; ze względu na duży koszt obliczeniowy symulacja obejmuje zwykle niewielki fragment odlewu. Dalsza część tego paragrafu jest poświęcona przeglądowi modeli reprezentujących każdą z wymienionych grup. Przeważająca większość stosowanych AK zbudowana jest na siatce o komórkach kwadratowych (nazywanej dalej siatką kwadratową), chociaż komórki sześciokątne (siatka heksagonalna) też są nierzadko spotykane (patrz np. [41, 96]). Trójwymiarowe AK wykorzystują sieć o komórkach sześciennych. Ostatnio konstruowane modele bazują zwykle 12 Nie należy tego terminu odbierać w sensie pejoratywnym. Jego znaczenie można porównać do podobnej nazwy używanej w matematyce dla niezaksjomatyzowanej teorii mnogości (zwanej właśnie naiwną.)

33 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 31 ze względu na większą dokładność na ciągłym zbiorze stanów. Skończony zbiór stanów wykorzystuje się tylko do opisu stanu fazowego komórki w modelach naiwnych 13 [9, 20]. Wartości przypisywane komórkom AK obejmują zazwyczaj: udział fazy stałej (f s, g), temperaturę (T ) oraz stężenie domieszek (C) (przy modelowaniu krzepnięcia stopów). Najbardziej popularną metodą ujęcia zjawisk transportu (1.8), (1.25) jest metoda uśredniania w niektórych modelach naiwnych [10,17,20,21] oraz schemat jawny metody różnic skończonych (MRS). Schematy niejawne MRS także znajdują zastosowanie, wykraczają jednak poza zasadniczą ideę AK (patrz np. [6,13]). Ponieważ cechą AK jest brak jawnego śledzenia frontu krzepnięcia, co zalicza je do metod ze strefą stało-ciekłą (1.4.1), wielkości takie jak krzywizna frontu (κ) czy wersor normalny (n) wyznaczane są pośrednio np. wykorzystując znajomość rozkładu fazy stałej w otoczeniu danej komórki frontowej. Swego czasu powszechnie szacowano κ tzw. metodą zliczania komórek [67,86,97,98], mało dokładną i uznawaną przez to za metodę jakościową. Dokładniejsze algorytmy, oparte na definicji krzywizny, opisano w [6, 13, 41]. Najważniejszą częścią modelu AK jest prawo określające wzrost fazy stałej (reguła wzrostu). Literatura opisuje następujące podejścia do wyznaczenia prędkości wzrostu ziarna przez wykorzystanie: warunku Stefana dla temperatury (1.9) [82] lub stężenia domieszki (1.26) [6,41,67], bilansu masy domieszki na froncie 14 [23,90], teoretycznych modeli KGT, LGK lub LKT [3, 16, 55, 77] oraz zależności prędkości frontu od przechłodzenia kinetycznego [1, 2, 13, 86]. Modele naiwne Doskonałym przykładem modelu naiwnego jest opisany w [21] AK do symulacji wzrostu płatków śniegu. Zastosowano tam dwuwymiarową, heksagonalną siatkę, natomiast przyjęta reguła zmiany stanów jest prostą formułą arytmetyczną, wyrażającą stan danej komórki przez stany komórek z najbliższego otoczenia. Formuła ta nie ma określonej interpretacji fizycznej, ale, jak się okazuje, prowadzi do wyglądających bardzo realistycznie wyników (co jest typowe dla metod naiwnych). Zbliżone koncepcje przedstawiono w [17], gdzie przedmiotem symulacji były tzw. quasi-kryształy. Inny model naiwny przedstawia praca [10], której przedmiotem jest modelowanie trójwymiarowych ziaren dendrytycznych czystego metalu. Rozważane są pojedyncze ziarna podczas wzrostu swobodnego w przechłodzonej cieczy. Każdej komórce trójwymiarowego AK przyporządkowuje się jej temperaturę oraz stan 1 lub 0, w zależności od tego, czy komórka należy odpowiednio do fazy stałej lub ciekłej. Faza stała pojawia się w tych komórkach, które posiadają odpowiednią liczbę zakrzepłych sąsiadów N s, a ich temperatura jest poniżej temperatury krytycznej (zależnej od N s ). Efekt wydzielania się ciepła przemiany fazowej ujmuje się przez podniesienie temperatury krzepnącej komórki do określonej, ustalonej wartości odpowiadającej temperaturze krzepnięcia. Przepływ ciepła w obszarze realizowany jest następującą procedurą: wylicza się średnią temperaturę sześciu najbliższych sąsiadów (sąsiedztwo von Neumanna), a następnie zmienia temperaturę danej komórki w kierunku tej średniej o wartość uzależnioną od współczynnika przewodności cieplnej (schemat postępowania podobny do jawnej metody różnic skończonych dla równania przewodnictwa (1.8)). Podobna metoda, ale dla ziaren dwuwymiarowych, 13 Ponieważ wszystkie omawiane AK mają implementację komputerową, można by bronić tezy, że w każdym przypadku zbiór stanów jest skończony (choć czasem bardzo liczny). 14 Nieco innej postaci niż warunek Stefana, który w istocie jest bilansem strumieni domieszki na granicy międzyfazowej.

34 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 32 została wykorzystana w pracy [12]. Model naiwny, bardzo zbliżony do opisanego powyżej, zastosowano w pracy [9] do symulacji krzepnięcia eutektyki stopu Pb-Sn z uwzględnieniem sprzężonego wzrostu dwóch faz. Oprócz temperatury każda komórka ma przyporządkowaną wartość stężenia domieszki oraz cztery stany dwa dla fazy ciekłej i dwa dla fazy stałej (z rozróżnieniem faz α i β). Inaczej niż w poprzednio omawianej pracy, obszar stopu poddany jest stałemu gradientowi temperatury i nie jest brane pod uwagę ciepło przemiany. Pojawia się za to zależność temperatury krzepnięcia od stężenia domieszki (przyjęto zlinearyzowany diagram fazowy stopu Pb-Sn) oraz dyfuzję składnika, której przebieg obliczany jest niejawnym schematem MRS. Model innego rodzaju zaproponowano w [20]. Stany komórek mogą przyjmować trzy wartości: stan ciekły lub dwa stany odpowiadające fazie stałej różniące się orientacją (ułożeniem głównej osi krystalograficznej ziarna). Zakłada się, że zakrzepły metal posiada nieskończoną przewodność cieplną i stale znajduje się w tej samej temperaturze. Dla komórek ciekłych przyjęto sto możliwych wartości temperatury. Model nie jest deterministyczny wzrost fazy stałej w komórce ciekłej sąsiadującej z przynajmniej jedną komórką zakrzepłą określa się pewnym prawdopodobieństwem. Prawdopodobieństwo to zależy od relacji między kierunkiem wzrostu fazy stałej a orientacją komórki już zakrzepłej oraz temperatury komórki fazy ciekłej. W pracy z powodzeniem odtworzono mikrostrukturę okrągłego odlewu, w tym strefę ziaren kolumnowych. AK wykorzystywano też do modelowania zjawiska rekrystalizacji [38]. W tym modelu komórka może posiadać dwa stany: stan po lub przed rekrystalizacją. Zmiana stanu może odbyć się na skutek zarodkowania (komórka, w której pojawia się zarodek jest wybierana losowo), bądź na skutek wzrostu już istniejącego ziarna. Modele naiwne są bardzo użyteczne, jeśli symulacja tworzenia się mikrostruktury stanowi tylko pewien fragment innych obliczeń i ilościowa precyzja nie jest na tym etapie potrzebna. Tematem pracy [79] jest przewidywanie efektywnej przewodności cieplnej obszarów strefy stało-ciekłej. Wielkość ta zależy nie tylko od udziału fazy stałej, ale również od sposobu rozmieszczenia tej fazy w rozważanym obszarze. Rozkład fazy stałej otrzymano z wykorzystaniem AK, a następnie porównano wyniki z innymi, stosowanymi modelami teoretycznymi. Inną pracą o podobnym charakterze jest [11] gdzie zastosowano model naiwny do obliczenia przepuszczalności porowatych obszarów stopu, powstałych na skutek nałożenia równoosiowych ziaren dendrytycznych. Wadą modeli tego rodzaju jest silna zależność orientacji ziarna i jego symetrii od dyskretyzacji obszaru (typu siatki AK i przyjętej relacji sąsiedztwa). Modele makro Najbardziej znany model tego typu został stworzony przez Rappaza i Gandina [29,30, 77,78]. W algorytmie przyjęto, że obwiednia ziarna jest kwadratem (ośmiościanem foremnym dla obszarów 3D), co jest spełnione tym lepiej, im mniejszy jest tzw. czas inkubacji gałęzi drugiego rzędu. Istnieje możliwość ujęcia różnej orientacji krystalograficznej ziarna poprzez zmianę ułożenia kwadratu względem siatki AK. Główną ideą modelu jest następujący schemat rozrostu ziarna. W centrum komórki A będącej zarodkiem rozpoczyna się wzrost kwadratu, którego jedna z wyróżnionych przekątnych nachylona jest pod kątem θ do poziomej linii siatki. prędkość wzrostu uzależniona

35 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 33 jest od lokalnego przechłodzenia 15 T poprzez prawo KGT [52]: v( T ) = k 1 T 2 + k 2 T 3, (2.23) gdzie k 1, k 2 stałe zależne od krzepnącej substancji. W chwili kontaktu ziarna ze środkami komórek sąsiadujących, co nastąpi, gdy długość połowy przekątnej osiągnie wartość (tzw. długość wzrostu) l θ = l(cos θ + sin θ ), (2.24) gdzie l rozmiar liniowy komórki, wzrost kwadratu o środku w A zostaje zatrzymany i rozpoczyna się analogiczny proces w komórkach sąsiednich. Niestety, algorytm tej postaci nie zachowuje założonej orientacji ziarna i z czasem prowadzi do orientacji zgodnej z osiami siatki AK. Opracowano kilka metod, których celem jest rozwiązanie tego problemu: metodę korekcji wierzchołka (ang. tip correction) [77], algorytm prostokąta (ang. rectangle algorithm) [29], metodę przesuniętego kwadratu (ang. decentered square algorithm) [30]. Wadą metody korekcji wierzchołka jest to, że nie można jej zastosować w przypadku niezerowego gradientu temperatury oraz wymaga globalnego porównywania stanów AK (naruszenie lokalności). Propozycje podane w pracach [36, 90] również zdają się wykraczać nawet poza ramy uogólnionego AK. Do modelowania krzepnięcia z niejednorodnym rozkładem temperatury sformułowano tzw. model CAFE 16, w którym wprowadza się podwójną dyskretyzację odlewu - makroskopowe elementy skończone do obliczeń przepływu ciepła oraz siatkę AK do analizy wzrostu ziaren [29]. Symulacja polega na wzajemnym sprzężeniu tych dwóch poziomów dyskretyzacji - z poziomu AK określa się przyrost fazy stałej i wydzielone ciepło krzepnięcia, które wpływa na temperatury węzłów elementów skończonych. Po wyliczeniu rozkładu temperatury w węzłach, zmienia się temperatura w komórkach automatu (interpolacja). Podobny algorytm, ale sprzęgający AK z metodą objętości kontrolnych (bilansów elementarnych) przedstawiono w pracy [16]. Proces zarodkowania heterogenicznego uwzględniono przez wprowadzenie formuły określającej gęstość ziaren w zależności od przechłodzenia. Wpływ doboru parametrów modelu zarodkowania na końcową strukturę odlewu w modelu makro został przeanalizowany w pracy [18]. Dokonano tam porównania dwóch algorytmów zarodkowania w pierwszym potencjalne miejsca zarodkowania ustalane są z góry, jeszcze przed symulacją, w drugim miejsca zarodkowania nie są znane a priori, a o gęstości zarodków decyduje jedynie przechłodzenie. Model makro może być wykorzystany do przewidywania przejścia od ziaren kolumnowym do równoosiowych w centrum odlewu (ang. CET - columnar to equiaxed transition) [29, 39, 77]. W pracy [26] usprawniono symulacje wykorzystując obliczenia równoległe na platformie wieloprocesorowej. Dodatkowo zaproponowano modyfikację założenia o obwiedni dendrytu tak, by przyjęła ona postać wklęsłą, bardziej zbliżoną do rzeczywistości. Zaletą modeli makro jest możliwość całościowego spojrzenia na strukturę zakrzepłego odlewu i zbadanie wpływu jego kształtu oraz warunków chłodzenia na takie parametry mikrostruktury jak wielkości ziaren, ich końcowy kształt oraz zjawisko przejścia od ziaren kolumnowych do równoosiowych (CET). Do przewidywania własności mechanicznych odlewu zwykle to wystarcza [37, 78], jednak kiedy zachodzi potrzeba bardziej precyzyjnego wyznaczenia mikrostruktury nieodzowne stają się modele mikro. 15 Które utożsamia się z całkowitym przechłodzeniem (1.38). 16 Cellular Automaton Finite Element

36 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 34 Modele mikro Model opisany w pracy [97] pod wieloma względami przypomina propozycje Rappaza i Gandina (uogólnienie modelu do wersji trójwymiarowej podano w [98]). Procedura zarodkowania jest identyczna, prędkość wzrostu determinowana jest prawem KGT (2.23), podobnie ustala się orientację ziarna i długość wzrostu l θ (2.24). Modele różnią się przede wszystkim tym, że struktura ziarna w obecnie omawianym algorytmie wynika z przyjętych reguł (nie jest parametrem wejściowym). Dodatkowo uwzględnia się pole stężenia domieszki, rozdział domieszki na froncie krzepnięcia zgodnie z przyjętym współczynnikiem rozdziału k (patrz (1.21)), dyfuzję domieszki w fazie stałej i ciekłej oraz zlinearyzowany diagram fazowy stopu. Zupełnie nową cechą, charakterystyczną dla modeli mikro, jest ujęcie wpływu krzywizny frontu krzepnięcia na temperaturę równowagi. W omawianej pracy krzywiznę κ frontu w komórce I interfejsu wyznacza się metodą zliczania komórek): n κ = 1 f s (0) + f s (i) x 1 2 i=1 n + 1, (2.25) gdzie: x rozmiar komórki, f s (0), f s (i) odpowiednio udział fazy stałej w komórce I i w i-tej komórce sąsiedniej, n liczba sąsiednich komórek (przyjęto n = 8). Podobne formuły można znaleźć w [13, 67, 82, 90]. Do rozwiązania równań dyfuzji domieszki wykorzystano jawny schemat MRS. Dla pola temperatury wprowadzono podział obszaru na objętości kontrolne (CV), przy czym na jedną CV przypadał obszar komórek AK. Przyjęto, że w ramach objętości kontrolnej temperatura jest jednakowa. Identyczny model autorzy zastosowali do badania przejścia od globularnych do dendrytycznych struktur w stopie Al-Cu (7%Cu) [99]. Wprawdzie w omawianej pracy wzięto pod uwagę różne orientacja krystalograficzne ziaren (48 klas), a prędkość wzrostu fazy stałej jest od orientacji uzależniona, przedstawione tam rezultaty sugerują, że opisany model pozwala na uzyskanie tylko dwóch orientacji - zgodnej z liniami siatki AK lub nachylonej do nich pod kątem 45. Pewne wątpliwości może też budzić zastosowanie prawa KGT. Po pierwsze, wyprowadzono je tylko dla wierzchołka głównej gałęzi dendrytu (a nie dla całej powierzchni ziarna). Po drugie, dotyczy ono wymuszonego wzrostu ziaren (ang. constrained growth). W przypadku wzrostu niewymuszonego (ang. uncostrained growth) a taki także był w pracy analizowany bardziej adekwatny byłby model LKT [56]. W przypadku modeli mikro o wiele bardziej popularne są metody wyznaczania prędkości wzrostu z zasad fundamentalnych, takich jak np. zachowanie masy domieszki w kontrolnej objętości obejmującej front (lub zachowania energii, jeżeli rozważa się dendryty czystych metali). W pracy [67] wykorzystano warunek Stefana dla strumieni domieszki (1.26), który po przekształceniu i numerycznej aproksymacji (MRS) posłużył do obliczenia składowych v x, v y prędkości normalnej frontu. Przyrost udziału fazy stałej g określa się następnie jako: ( ) t t g = v x + v y v x v y x x, (2.26) gdzie: x rozmiar komórki, t krok czasowy. Ostatni człon w nawiasie jest niezbędny do uzyskania właściwej wartości udziału fazy stałej (patrz np. dodatek 1 do [6]).

37 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 35 Krzywiznę frontu szacowano metodą zliczania komórek (2.25), natomiast kąt θ nachylenia wersora normalnego wyliczano z forumuły: θ = arc cos v x v 2 x + v 2 y. (2.27) Kąt ten następnie podstawiano do wzoru typu (1.35) określającego anizotropię napięcia powierzchniowego. Wzrost dendrytycznych ziaren czystego metalu rozpatrzono w [82]. Komórkom przyporządkowano się wartość temperatury oraz stany 0,1,2, odpowiednio ciekły, stały i częściowo zakrzepły. Prędkość wzrostu wyznaczano z warunku Stefana (1.9). Przykładowo dla składowej v x prędkości: v x = 1 L V ( ) T T λ s λ x l, (2.28) s x l przy czym L V jest tutaj ciepłem przemiany na jednostkę objętości. Gradient temperatury na froncie obliczano zakładając, że temperatura T w komórce frontowej wynosi 17 : T = T m Γκ, (2.29) gdzie T m temperatura krzepnięcia czystego składnika przy płaskim froncie. Oszacowanie krzywizny κ osiągnięto metodą zliczania komórek, ale nieco inną niż (2.25)) wykorzystano większe, kołowe otoczenie danej komórki o promieniu 3 x. Przestawione w omawianej pracy rozgałęzione ziarna mają jednoznacznie określoną orientację, zgodną z osiami sieci AK. Autorzy piszą wprost, że wykorzystują anizotropię sieci (efekt de facto numeryczny) do ujęcia fizycznej anizotropii samego ziarna. Wiąże się to jednak z brakiem możliwości analizy wzrostu wielu ziaren o różnej orientacji na jednym obszarze. Publikacja [6] dotyczy modelu 18 krzepnięcia stopu dwuskładnikowego i również bazuje na warunku Stefana, ale dla strumieni domieszki (1.26). Rozkład faz określa pole f s oznaczające udział fazy stałej w danej komórce. Temperaturę komórek frontowych oraz krzywiznę κ wyliczano z zależności: T = T m + mc l Γ(θ)κ, κ = n, (2.30) natomiast wersor n = [cos θ, sin θ] estymowano korzystając z rozkładu fazy stałej: cos θ = N (f s ) f s x, sin θ = N (f s) f s y, N (f s) = ( fs x ) 2 + ( fs y ) 2 1/2 (2.31) Przyrost fazy stałej f s zdefiniowano następującą regułą wzrostu uwzględniającą dodatkowo przypadkowe zaburzenia: f s = v n t l θ [1 + η(1 2p)], (2.32) gdzie v n prędkość normalna frontu otrzymana z warunku Stefana, l θ długość wzrostu (2.24), η amplituda szumu, p liczba losowa z przedziału 0; Porównaj (1.37) dla m = 0 (czysty metal) i µ (brak efektów kinetycznych) 18 Ulepszonej wersji algorytmu opisanego w [5]

38 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 36 Dzięki dokładniejszej metodzie szacowania krzywizny frontu oraz specjalnie skonstruowanej regule przechwytywania nowych komórek frontowych 19 (ang. trapping rules) w dużej mierze wyeliminowano sztuczną anizotropię wprowadzaną przez sieć AK. Przedstawiono rezultaty symulacji wzrostu ziaren o różnych orientacjach (podczas krzepnięcia objętościowego i kierunkowego) oraz przeprowadzono testy zbieżności wyników przy zagęszczaniu dyskretyzacji obszaru. Metody opisane w [1,2] bazują na zupełnie innej regule wzrostu, wyrażającej prędkość normalną frontu przez przechłodzenie kinetyczne (1.17). Przyrost g fazy stałej określa następująca formuła: g = µ T µ t x = µ(t m + mc l Γκ T ) t x (2.33) Przy zastosowaniu reguły takiej postaci należy specjalnie zadbać o bilans masy domieszki na froncie oraz ujęcie zjawiska segregacji 20. Metoda ma jednak tę zaletę, że może być stosowana do symulacji krzepnięcia zarówno stopów, jak i czystych metali. Model przedstawiony w monografii [13] (jedynej tego rodzaju w języku polskim) jest obecnie jednym z najbardziej dokładnych. Ograniczenie sztucznej anizotropii sieci AK osiągnięto tam dzięki wprowadzeniu klasyfikacji komórek frontowych na kilka podtypów oraz odpowiedniemu rozbudowaniu reguł przechwytywania. W regule wzrostu, podobnej do (2.33), zastąpiono rozmiar komórki x przez długość wzrostu l θ (2.24), a także zastosowano dość złożony algorytm obliczania krzywizny frontu. Kierunek wersora normalnego do granicy międzyfazowej wyznaczono łącząc środek komórki interfejsu ze środkiem masy jej otoczenia, przy czym rolę wag odgrywał udział fazy stałej. Do rozwiązania równań transportu wykorzystano niejawne schematy MRS i metody iteracyjne. Do ciekawszych wyników należy zaliczyć analizę wzrostu pojedynczych ziaren przy różnych przechłodzeniach i współczynnikach kinetycznych, symulację krzepnięcia objętościowego roztworu acetonu w nitrylu kwasu bursztynowego (modelowej substancji organicznej) oraz porównanie wartości przechłodzenia kapilarnego z przechłodzeniem kinetycznym w różnych punktach frontu krzepnięcia. Zdecydowana większość znanych modeli AK nie uwzględnia różnicy gęstości fazy ciekłej i stałej lub wpływu ruchu cieczy na wzrost ziaren. Pewnym wyjątkiem są tutaj prace [55, 86]. W pierwszej z nich badano wzrost pojedynczego ziarna umieszczonego w strumieniu przepływającej cieczy, zaś w drugiej oddziaływanie cieczy z grupą ziaren kolumnowych Zalety i wady metody AK Metoda AK ma wiele zalet, z których najważniejszą jest prostota implementacji, nawet w porównaniu z innymi metodami eulerowskimi (2.2.2, 2.2.3). Stopień dokładności odwzorowania zjawisk można w ramach AK dość łatwo zmieniać, chociaż to ujęcia jakościowe są w przypadku tej techniki szczególnie owocne. Wprawdzie nie osiąga się wtedy ilościowej precyzji, niemniej łatwo można ocenić wpływ poszczególnych zjawisk na kształtowanie struktury ziaren. Zastosowanie reguł wzrostu typu (2.23) lub (2.33) pozwala na oszacowanie lokalnej kinetyki wzrostu ziarna wyłącznie na podstawie stanu jednej komórki i nie jest konieczne 19 W większości modeli (patrz np. [67,82,97]) stosuje się najprostsze reguły przechwytywania z chwilą przejścia komórki w stan stały wszystkie komórki ciekłe z jej otoczenia stają się komórkami frontowymi. 20 Reguły wzrostu oparte na warunku Stefana zapewniają to automatycznie.

39 Automaty komórkowe i modelowanie krzepnięcia 37 rozważanie gradientu temperatury (lub stężenia domieszki) na froncie, co przy niejawnym śledzeniu powierzchni międzyfazowej wymaga dodatkowych aproksymacji i prowadzi do komplikacji procedury. Ponieważ gęstość dyskretyzacji frontu nie musi być tak duża, jak w metodzie pola fazowego, metody AK są znacznie bardziej efektywne numerycznie, nie mówiąc już o większej prostocie koncepcyjnej i pojęciowej. Niestety, wadą AK jest wyraźny efekt sztucznej anizotropii wprowadzany przez sieć komórek, relację sąsiedztwa oraz reguły przechwytywania. Od dyskretyzacji obszaru zależy symetria i orientacja symulowanych ziaren, np. zastosowanie sieci kwadratowej prowadzi do dendrytów o czterech gałęziach głównych zorientowanych zgodnie lub pod kątem 45 do linii sieci AK (może to zależeć od przyjętej relacji sąsiedztwa). Oprócz tak wyraźnego efektu o jakościowym charakterze zniekształcane są również charakterystyki ilościowe, takie jak promień krzywizny wierzchołka gałęzi głównej oraz prędkość wzrostu ziarna [5]. Niwelowanie tego rodzaju efektów wymaga stosowania specjalnych technik np. modyfikacji reguły wzrostu tak, by uwzględnić różne orientacje frontu w stosunku do osi sieci AK, oraz komplikacji reguł przechwytywania [6, 13].

40 Rozdział 3 Cel i zakres pracy Głównym celem pracy było opracowanie i implementacja algorytmu AK symulacji krzepnięcia dendrytycznego stopu dwuskładnikowego. Stworzony przez autora program komputerowy został następnie wykorzystany do badania wpływu warunków chłodzenia na parametry mikrostruktury morfologię ziaren dendrytycznych oraz nierównomierności rozkładu domieszki podczas krzepnięcia objętościowego i kierunkowego. Przedstawiony w rozprawie model zalicza się do grupy mikro (2.3.3). Starano się, by zjawiska istotne dla kształtowania mikrostruktury odwzorować możliwie dokładnie, pozostając w ramach uogólnionej koncepcji AK. Stąd nacisk na stosowanie jawnych schematów MRS do rozwiązywania równań transportu ciepła i masy. Dotychczas znane były tylko dwie metody ograniczenia sztucznej anizotropii wprowadzanej przez sieć AK [6, 13]. Autorowi udało się opracować prosty algorytm, bazujący na pewnej właściwości równania dyfuzji, który niweluje ten efekt, bez konieczności modyfikacji naturalnych reguł przechwytywania. Ponieważ w żadnej z publikacji zjawisko anizotropii sieci nie było należycie przedyskutowane (bądź niewłaściwie identyfikowano jego przyczynę 1 ), przeprowadzenie takiej analizy stało się jednym z celów niniejszej pracy (par. 4.3). Zasadniczą tezę można sformułować następująco: Prezentowany model krzepnięcia dendrytycznego oparty na koncepcji AK umożliwia symulację tworzenia się mikrostruktury stopu dwuskładnikowego przy określonych warunkach odbioru ciepła. Model wykazuje dobrą zgodność z rozwiązaniami analitycznymi i jest przynajmniej jakościowo poprawny pod względem zgodności z doświadczeniem. Zastosowany algorytm redukcji numerycznej anizotropii sieci AK pozwala na badanie wzrostu w jednym obszarze wielu ziaren o różnej symetrii i różnych orientacjach krystalograficznych. W ramach modelu ujęto większość zjawisk omówionych w rozdziale 1 przepływ ciepła (bez konwekcji), wydzielanie ciepła przemiany fazowej, efekty kinetyczne, powierzchniowe, anizotropię właściwości ziarna, segregację i dyfuzję domieszki (w obu fazach). Pominięto różnice gęstości fazy ciekłej i stałej (oraz związany z tym skurcz fazy stałej, formowanie mikroporowatości itp.), ruchy konwekcyjne cieczy, wzajemne oddziaływanie mechaniczne ziaren, zależność właściwości materiałowych (w tym współczynnika dyfuzji) 1 Por. [13, str. 43], gdzie sugeruje się, że związane jest ono z brakiem uwzględnienia przechłodzenia kinetycznego lub wpływu krzywizny frontu na warunki równowagi. 38

41 Cel i zakres pracy 39 od temperatury oraz fluktuacje temperatury i stężenia domieszki 2. Nie rozważano także parametrów mikrostruktury w skali znacznie mniejszej od typowego rozmiaru ziarna. Ze względu na przyjęcie uproszczonej postaci diagramu fazowego stopu, pominięto wzrost eutektyki 3, nie mówi się zatem o takich jej charakterystykach, jak typ przestrzennego rozkładu sprzężonych faz i odległość między nimi. Ponieważ skupiono się na zagadnieniu wzrostu ziaren dendrytycznych, ich rozgałęzianiu oraz wzajemnym oddziaływaniu 4, zjawisko zarodkowania ujęto w sposób bardzo uproszczony. Zarodki umieszczano na początku symulacji w ściśle określonych miejscach (zarodkowanie wstępne) lub dopuszczano, by pojawiały się podczas trwania symulacji z pewnym, określonym prawdopodobieństwem. Obszary rozważane w rozprawie są bardzo niewielkie w porównaniu z typowymi odlewami, rzędu ułamków milimetra kwadratowego. Obliczenia przeprowadzane na komputerze klasy PC trwały jednak dość długo (nawet od kilku do kilkunastu godzin). Większe obszary wymagałaby zaprzęgnięcia wielu procesorów i metod obliczeń równoległych, chociaż symulacja 3D obejmująca cały odlew z precyzją przyjętą w niniejszej pracy leży poza zasięgiem najszybszych obecnie superkomputerów. Jeżeli chodzi o możliwe obecne zastosowania przedstawionego tu modelu, mogą one przykładowo dotyczyć sprzężenia symulacji w mikroskali z klasycznymi symulacjami krzepnięcia odlewów, przy czym analiza mikro związana by była tylko z niektórymi, wybranymi punktami. Prezentowane w pracy obliczenia dla zadanych warunków odbioru ciepła można uważać za realizację takiej koncepcji, zakładając, że sposób chłodzenia obszaru wynika z innych obliczeń przeprowadzonych w skali znacznie większej. 2 Czyli zjawiska, o których była mowa w paragrafie Istnieje możliwość pośredniego ujęcia wzrostu eutektyki przez założenie, że powstaje ona z cieczy o stężeniu większym od C E. 4 Poprzez pola temperatury i stężenia domieszki.

42 Rozdział 4 Opis modelu Celem tej części rozprawy jest podanie dokładnego opisu stworzonego przez autora modelu AK typu mikro. Niektóre z fragmentów metody można było spotkać we wcześniejszych pracach samego autora [57, 60] i innych publikacjach [2, 13]. Nacisk położono na wiarygodność ilościową proponowanych rozwiązań. Tam, gdzie mogłyby się pojawić wątpliwości co do tego aspektu metody, przeprowadzono gruntowne weryfikacje obliczenia dla prostych, modelowych przypadków. 4.1 Podstawowe koncepcje Prezentowany model dotyczy obszarów dwuwymiarowych 1. Sieć AK, macierz prostokątna o wymiarach N M (w szczególności kwadratowa N N), zbudowana jest z kwadratowych komórek. Przyjęto dwa rodzaje sąsiedztwa: von Neumanna dla zjawisk transportu (dyfuzji domieszki i przepływu ciepła) oraz Moore a w pozostałych przypadkach. Proste równoległe do boków komórek nazywane będą liniami sieci (AK). Komórki dzielą się na trzy klasy reprezentujące fazę stałą, fazę ciekłą oraz strefę stałociekłą. Mówi się zatem odpowiednio o komórkach zakrzepłych, ciekłych oraz o komórkach interfejsu (frontowych), przez które przebiega powierzchnia rozdziału faz. Na sieci AK definiuje się trzy podstawowe pola: pole fazowe g wyraża udział fazy stałej w danej komórce; przyjmuje wartości z przedziału 0; 1 ; stan 0 odpowiada komórkom ciekłym, zaś 1 całkowicie zakrzepłym; pole stężenia domieszki C przyporządkowuje każdej komórce procentowe stężenie domieszki w składniku bazowym; pole temperatury T określa bezwzględną temperaturę każdej komórki; dla tego pola użyto podwójnej dyskretyzacji (patrz 4.6). Oprócz wymienionych pól do obliczania prędkości wzrostu wykorzystuje się jeszcze pole φ stosowane w algorytmie redukcji anizotropii sieci (patrz 4.3.2), pełni ono jednak rolę wyłącznie pomocniczą i nie jest generowane dla wszystkich komórek AK. Komórkom frontowym przypisuje się ponadto: wersor normalny do interfejsu n szacowany jest w oparciu o rozkład fazy stałej, gdyż front nie jest jawnie śledzony (par. 4.7); 1 Uogólnienie na obszary 3D nie jest trudne. 40

43 Podstawowe koncepcje 41 Start Obliczenie g Inicjalizacja Zarodkowanie wstępne Zarodkowanie Obliczenie pola φ Wzrost fazy stałej START Wybór komórki interfejsu i Interpolacja temperatury Obliczenie stężenia na froncie Obliczenie krzywizny frontu Wektor normalny (anizotropia) ANRED Obliczenie g i TAK g i > 0 NIE g i g i + g i NIE g i < 1 TAK Zmiana stanu, przechwycenie nowych komórek interfejsu NIE Ostatnia TAK komórka interf. Koniec TAK krzepnięcia NIE Stop Adaptacja t Przepływ ciepła Dyfuzja domieszki Wydzielenie ciepła przemiany Segregacja domieszki Rys. 4.1: Schemat algorytmu AK. Omówienie w tekście.

44 Reguła wzrostu fazy stałej 42 krzywiznę interfejsu κ (par. 4.8) j.w. parametr redukcji prędkości v red patrz 4.3.2; Ogólny przebieg algorytmu przedstawiono na rys Symulacja rozpoczyna się inicjalizacją wszystkich pól, zależnie od początkowego rozkładu fazy stałej (np. zarodków), początkowej wartości stężenia domieszki oraz temperatury. Następnie zaczyna się główna pętla programu obejmująca: zarodkowanie (par. 4.10), inicjalizację pola φ (par ), wzrost fazy stałej (bardziej szczegółowy schemat kolejnych etapów obliczenia przyrostu fazy stałej pokazano w prawej górnej części rysunku)(par. 4.2), segregację domieszki (par. 4.5), dyfuzję domieszki (par. 4.4), przepływ ciepła i wydzielenie ciepła przemiany fazowej (par. 4.6) oraz procedurę adaptacji kroku czasowego (par. 4.11). 4.2 Reguła wzrostu fazy stałej Reguła wzrostu stanowi zasadniczą część algorytmu określa prędkość przyrostu fazy stałej (prędkość v n przemieszczania się powierzchni rozdziału faz) w zależności od lokalnych warunków termodynamicznych. Zdecydowano się na wybór prawa wiążącego v n z przechłodzeniem kinetycznym T µ (1.17) (patrz [1,2,13]) ze względu prostotę takiej reguły oraz dobrą podstawę fizyczną [27]. W przeciwieństwie do często stosowanych reguł opartych na bilansie domieszki, możliwe jest ujęcie krzepnięcia czystych metali lub silnie rozcieńczonych roztworów (patrz też 2.3.4). Wzrost fazy stałej może odbywać się tylko w komórkach frontowych, te z kolei muszą znajdować się w sąsiedztwie Moore a przynajmniej jednej całkowicie zakrzepłej komórki. Reguła przechwytywania ma bardzo naturalną postać stosowaną wcześniej w modelach naiwnych oraz wczesnych modelach mikro. Kiedy udział fazy stałej w komórce frontowej osiągnie wartość 1, stan komórki zmieniany jest na zakrzepły, natomiast wszystkie komórki ciekłe w sąsiedztwie Moore a zostają przechwycone jako nowe komórki frontowe (por. bardziej złożone reguły w pracach [6, 13]). Przechwyconym komórkom przypisuje się klasę orientacji komórki macierzystej (patrz 4.9). Przyrost g fazy stałej dla komórki frontowej o rozmiarze x w kroku czasowym t oblicza się ze wzoru (por. (2.33)): g = v n t x v red, v n = µ(θ) T µ. (4.1) Rolą parametru redukcji prędkości v red jest zmniejszenie przyrostu fazy stałej, jeżeli front krzepnięcia nie jest równoległy do linii sieci AK. Dzięki temu osiąga się znaczne zmniejszenie wpływu sieci AK (dyskretyzacji obszaru) na symetrię i orientację symulowanych ziaren (patrz 4.3). Dla zachowania należytej dokładności symulacji wartość g powinna być możliwie mała ( g 1), zatem przy dużym przechłodzeniu kinetycznym konieczna jest redukcja kroku czasowego (par. 4.11). Przechłodzenie kinetyczne określa formuła powstała z przekształcenia wzoru (1.37) (jego ostatni człon to właśnie T µ ): T µ = T m + mc l Γ(θ)κ T, (4.2) przy czym stężenie Cl domieszki na froncie zależy od wartości pola C dla danej komórki frontowej oraz udziału fazy stałej (patrz 4.5.1). Temperaturę T w komórce otrzymuje się przez interpolację z sieci rzadkiej (patrz 4.6.2).

45 Anizotropia sieci AK 43 Sposób wyznaczania krzywizny κ frontu omówiono w paragrafie 4.8, natomiast uwzględnienie anizotropii współczynnika kinetycznego µ(θ) i współczynnika Γ(θ) w paragrafie 4.9. W pracy [2] wykazano, że reguła wzrostu typu (4.1) prowadzi do wyników niemal identycznych, jak w modelu z ostrym frontem bazującym na warunku Stefana (1.9) oraz (1.13). Temperatura na froncie zbliża się do równowagowej na skutek specyficznego ujemnego sprzężenia zwrotnego jeżeli jest zbyt niska, zwiększa się przechłodzenie kinetyczne, czyli prędkość wzrostu, co prowadzi do wydzielenia większej ilości ciepła przemiany fazowej, a tym samym zwiększenia temperatury. Natomiast jeśli jest zbyt wysoka, krzepnięcie zostaje zahamowane, wydziela się mniej ciepła przemiany i ciągłe chłodzenie obszaru powoduje obniżenie temperatury. 4.3 Anizotropia sieci AK Wiele wczesnych modeli AK, w tym większość modeli naiwnych, ignorowała efekt, który ma znaczący wpływ na strukturę i orientację symulowanych ziaren dendrytycznych. Mianowicie obliczenia na płaskiej sieci kwadratowej 2 prowadziły do ziaren o czterech głównych gałęziach zorientowanych zgodnie lub pod kątem 45 do linii sieci AK. Analogicznie, sieć zbudowana z sześciokątnych komórek wyróżniała ziarna o sześciu głównych odgałęzieniach. Efekt ten, nazywany dalej anizotropią sieci (AK), zakłóca obiektywną, fizyczną anizotropię właściwości kryształu, jeżeli się ją uwzględnia (patrz np. [67]), ale wykorzystywano go też świadomie do jakościowego ujęcia fizycznej anizotropii [82]. Jasne jest jednak, że w modelu ilościowym ten bądź co bądź artefakt numeryczny należy wyeliminować lub przynajmniej ograniczyć jego negatywne oddziaływanie Główne przyczyny efektu Zastosowanie naturalnych reguł przechwytywania (czyli włączenia do ziarna wszystkich komórek ciekłych z najbliższego otoczenia zakrzepłej komórki) prowadzi przy jednostajnym wzroście do dwóch typów ziaren, zależnie od tego, czy przyjęto sąsiedztwo von Neumanna czy Moore a. Na rysunku 4.2 przedstawiono oba te przypadki (odpowiednio po lewej i prawej stronie). W pierwszym ziarno jest kwadratem, którego przekątne są równoległe do głównych linii sieci, w drugim przekątne tworzą z liniami sieci kąt 45. Rys. 4.2: Jednostajny wzrost ziaren ( g = const) dla różnych przypadków sąsiedztwa. Na zewnątrz zakrzepłych komórek zaznaczono obwiednię określającą typ ziarna. Biorąc pod uwagę, że stała prędkość wzrostu na całej powierzchni ziarna powinna wiązać się z jego izotropowym kształtem (kołem), właśnie w tym miejscu objawia się wyraźnie anizotropia sieci. Przyczyną efektu jest abstrahowanie w relacji sąsiedztwa od 2 Dalsze rozważania będą ograniczone do płaskich obszarów.

46 Anizotropia sieci AK 44 własności metrycznych obszaru, którego dyskretyzację stanowi sieć AK. Przykładowo, w przypadku sąsiedztwa Moore a komórki posiadające wspólny bok traktowane są tak samo, jak komórki stykające się jedynie wierzchołkiem, chociaż odległości między środkami komórek są różne. Powoduje to szybszy wzrost w kierunku przekątnych sieci AK i przyjęcie przez ziarno kształtu kwadratowego, a nie okrągłego. Powód wyróżnienia przez sieć kwadratową ziaren o czterech głównych odgałęzieniach ukazuje rysunek 4.3. Uwzględniono, że wzrastające ziarno zawsze znajduje się pod wpływem niejednorodnego pola temperatury i stężenia domieszki (w przypadku stopów), gdyż jego powierzchnia jest źródłem ciepła przemiany fazowej oraz masy składnika stopowego (segregacja przy k < 1). Dla ustalenia uwagi dalsza analiza będzie ograniczona do pola temperatury. Rys. 4.3: Wzrost ziaren znajdujących się pod wpływem pola stężenia lub temperatury. Schematycznie zaznaczono linie sieci oraz przykładowe wartości pola przyporządkowane izoliniom. Okazuje się, że dla niewielkich ziaren izolinie pola przyjmują kształt zbliżony do okręgów, gdyż schemat rozwiązywania równania dyfuzji w niewielkim tylko stopniu zniekształcany jest przez anizotropię sieci 3. Naroża ziarna znajdują się przez to w obszarze o niższej temperaturze (większym przechłodzeniu), niż środki boków. Zastosowanie reguły wzrostu typu (4.1) (ale bez ostatniego czynnika) spowoduje zwiększenie prędkości wzrostu v nar naroży względem prędkości v b, z jaką wzrastają ściany ziarna. W ten oto sposób naroża ziarna przekształcają się w cztery główne odgałęzienia zorientowane zgodnie lub pod kątem 45 do linii sieci (zależnie od typu ziarna). Podobna analiza dla sieci o komórkach sześciokątnych uzasadnia pojawienie się sześciu głównych odgałęzień. Widoczna staje się zatem konieczność modyfikacji reguły wzrostu tak, by choćby niejawnie uwzględnić orientację powierzchni międzyfazowej względem linii sieci. Wprowadzenie długości wzrostu l θ (2.24) (ujmującej w uproszczony sposób własności metryczne obszaru) okazało się niewystarczające, co pokazują wyniki prac [97, 98] oraz badania autora [57]. Dopiero koncepcja długości wzrostu wraz ze zmianą reguł przechwytywania pozwoliła efekt anizotropii sieci znacznie zredukować [6, 13]. Przyczynki do wyróżnienia pewnych osi sieci AK mogą pochodzić także od innych części algorytmu m.in. sposobu obliczania krzywizny frontu (patrz 4.8) oraz segregacji domieszki (patrz 4.5.4) Algorytm redukcji anizotropii (ANRED) Przyjęty przez autora sposób ograniczenia anizotropii sieci AK odbiega w dużym stopniu od dotychczas stosowanych metod. Podstawową ideą nowego algorytmu (nazywanego 3 Cecha ta będzie wykorzystana w następnym paragrafie.

47 Anizotropia sieci AK 45 dalej ANRED 4 ) jest wykorzystanie niewielkiej wrażliwości rozwiązań równania dyfuzji otrzymanych jawnym schematem MRS [14, 62] na rodzaj dyskretyzacji obszaru. Na rysunku 4.4 przedstawiono przykład takiego rozwiązania dla sieci kwadratowej. Jak widać izolinie pola zachowują swój izotropowy charakter, a z innych badań wynika, że własność ta przenosi się także na sieci heksagonalne [58]. Rys. 4.4: Kolejne etapy dyfuzji oraz rozkład izolinii pola dla trzeciego etapu (jawny schemat MRS dla sieci kwadratowej). Fakt ten nasuwa pomysł, aby wykorzystać równanie dyfuzji do wytworzenia pola (oznaczanego dalej przez φ) pilotującego zmiany pola fazowego g. Algorytm, wykonywany w każdym kroku czasowym symulacji, jest następujący: 1. Inicjalizacja pola φ: φ(i) = g(i), dla każdej komórki i, czyli początkowa wartość φ pokrywa się z udziałem fazy stałej. 2. Relaksacja pola φ K-krotna iteracja równania (MRS): φ k+1 m,n = φ k m,n + D rel (φ k m+1,n + φ k m 1,n + φ k m,n+1 + φ k m,n 1 4φ k m,n), (4.3) gdzie dolne indeksy oznaczają współrzędne komórki, górny indeks numer iteracji, D rel parametr określający prędkość relaksacji (odpowiednik współczynnika dyfuzji). 3. Normalizacja: φ(i) = φ(i)/φ m (i), gdzie φ m (i) największa wartość pola φ w otoczeniu Moore a komórki i. 4. Obliczenie dla każdej komórki frontowej i parametru v red redukcji prędkości (patrz (4.1)): v red (i) = β[ φ(i)] γ, (4.4) gdzie β, γ parametry dobrane empirycznie tak, by przy przechłodzeniu kinetycznym stałym na całej powierzchni ziarna przyjęło ono kształt okrągły, zaś prędkość wzrostu równa była (1.17). Nazwa parametru v red pochodzi stąd, że jego zadaniem jest redukcja prędkości przyrostu fazy stałej, jeżeli front krzepnięcia nie jest równoległy do linii sieci AK. Ponieważ v red oblicza się wyłącznie dla komórek frontowych, w zasadzie nie ma potrzeby wyznaczania pola φ dla całej sieci AK. Wystarczy ograniczyć się do otoczenia interfejsu pasma, którego szerokość zależy od liczby K iteracji równania (4.3). 4 ang. grid ANistropy REDuction

48 Anizotropia sieci AK 46 Tab. 4.1: Parametry algorytmu ANRED K 3 D rel 0.2 β 4.85 γ Implementacja i weryfikacja algorytmu ANRED W toku symulacji wstępnych dobrano optymalne wartości parametrów algorytmu AN- RED (tabela 4.1). Okrągły kształt izotropowego wzrastającego jednostajnie ziarna uzyskano 5 dla γ = 3. Wartość β (przywracająca właściwą wartość współczynnika kinetycznego) wynikła z porównania prędkości wzrostu ziarna okrągłego przy β = 1 i typowego ziarna kwadratowego (bez algorytmu ANRED). Badania wykazały, że algorytm tylko w niewielkim stopniu zaburza kinetykę wzrostu ziarna. Obliczona prędkość wzrostu jest co najwyżej o kilka procent większa w porównaniu z analogicznymi obliczeniami dla ziarna kwadratowego, przy promieniu większym niż 100 x (rys. 4.5). Rysunek 4.6 pokazuje kolejne etapy jednostajnego wzrostu izotropowe- Rys. 4.5: Kontury ziaren wzrastających od lewego górnego narożnika kwadratowego obszaru (odpowiednio z redukcją anizotropii i bez). Po prawej porównanie promieni ziaren (wielokrotność x) dla ANRED ( ) i bez ANRED (ciągła linia). go ziarna na sieci kwadratowej o wymiarach komórek. Przyjęto g = 0.03v red. Ziarna przyjęło niemal okrągły kształt, co świadczy o dużym ograniczeniu efektu anizotropii sieci. Na tym samym rysunku przedstawiono dane potwierdzające tę tezę ilościowo odległość komórek frontowych (wyznaczających największy kontur) od środka obszaru. Widać, że jest ona prawie stała, odchylenie standardowe σ wynosi zaledwie 0.5, przy wartości R śr rzędu stu x. Zgodnie z sugestią na końcu paragrafu zastosowano zoptymalizowaną wersję algorytmu, w której pole φ oraz jego zmiany wyliczane są tylko w otoczeniu komórek frontowych. Ze względu na przyjętą liczbę iteracji K, otoczenie stanowi sumę mnogościową obszarów o promieniu 4 x wokół każdej komórki frontowej. Aby jeszcze bardziej zwiększyć efektywność obliczeń, procedura wykrywania komórek należących do wspomnianego otoczenia nie jest przeprowadzana w każdym kroku czasowym (zwykle przyjmowano odstęp dziesięciu kroków). Nie wpływa to na dokładność symulacji, gdyż ze względu na 5 Niestety, autorowi nie udało się uzasadnić teoretycznie, dlaczego ta właśnie wartość jest idealna.

49 Anizotropia sieci AK 47 Rys. 4.6: Wzrost izotropowego ziarna. Po prawej stronie wykres przedstawiający odległość komórek frontowych od środka obszaru (dla ziarna o największym promieniu). Podano wartość R śr średniego promienia oraz σ odpowiednie odchylenie standardowe. narzucone ograniczenia prędkości wzrostu komórka frontowa utrzymuje swój status przez czas rzędu kilkudziesięciu kroków. Dla pełniejszego wykazania zalet wprowadzonego algorytmu zbadano jednostajny wzrost ziaren, przy czym rozmieszczono wstępnie zakrzepłe komórki na odcinkach tej samej długości, ale o różnej orientacji względem linii sieci AK (rys. 4.7). Dokonano następnie porównania kształtów ziaren po upływie tego samego czasu dla wszystkich przypadków. Rys. 4.7: Ziarna otrzymane z początkowego rozkładu zakrzepłych komórek na odcinkach o różnych orientacjach. ANRED (górny rząd) oraz bez ANRED (dolny rząd). Sieć komórek. Widać, że zastosowanie ANRED praktycznie uniezależnia postać wyniku od orientacji względem sieci AK kształt i rozmiar ziaren są w każdym przypadku niemal identyczne. Brak redukcji anizotropii sieci (rys. 4.7, dolny rząd) prowadzi do znacznych zniekształceń kształtu i powierzchni ziarna. Należy podkreślić, że mimo tak dobrych globalnych rezultatów 6, algorytm zachowuje swój lokalny charakter. Wprawdzie na skutek przeprowadzania w jednym kroku czasowym kilku iteracji równania (4.3) efektywne sąsiedztwo nieco się poszerza, jednak nadal jest ono niewielkie w porównaniu z rozmiarem całego obszaru. Problemy z anizotropią sieci AK podczas modelowania różnego rodzaju procesów wzrostu zostały przedyskutowane w pracy [83]. Proponowane tam rozwiązania zakładały niwelację anizotropii przez zastosowanie nieregularnych sieci (grafów losowych) lub wpro- 6 Średnica ziarna z rys. 4.6 sięga 200 x, a inne symulacje wykazały, że udaje się utrzymać okrągły kształt ziarna nawet na dwukrotnie większym obszarze.

50 Dyfuzja domieszki 48 wadzenie tzw. stochastycznych funkcji lokalnych. Okazuje się jednak, że można osiągnąć bardzo dobre efekty w klasycznym, deterministycznym AK. 4.4 Dyfuzja domieszki Transport domieszki, zarówno w fazie ciekłej, jak i stałej, modelowany jest z wykorzystaniem metody bilansów elementarnych (na siatce kwadratowej równoważnej schematowi MRS) [62]. Ponieważ przyjęto stałość współczynnika dyfuzji w obrębie jednej fazy, równania (1.27), (1.28) można aproksymować formułami: C t+1 m,n = C t m,n + D k t ( x) 2 Ci t i O(m,n) 4Cm,n t, (k = l, s), (4.5) które pozwalają wyznaczyć stężenie Cm,n t+1 dla komórki o współrzędnych (m, n) w chwili t + 1 znając wartość tego stężenia w chwili poprzedniej Cm,n t oraz O(m,n) Ci t sumę stężeń domieszki w komórkach sąsiadujących 7 (w sensie von Neumanna): i O(m,n) C t i = C t m 1,n + C t m+1,n + C t m,n 1 + C t m,n+1. (4.6) Trzeba zaznaczyć, że (4.5) dotyczy komórek wewnętrznych (nie brzegowych) i takich, które nie mają w swoim otoczeniu komórek frontowych. Ten ostatni przypadek, jako powiązany z zagadnieniem segregacji domieszki na froncie, zostanie rozpatrzony w paragrafie 4.5. Badania prowadzono zwykle przy zastosowaniu dwóch rodzajów warunków brzegowych dla pola stężenia C: periodycznych i lustrzanych (patrz 2.3.2). Warunek lustrzany równoważny jest ustaleniu izolacji (nieprzepuszczalnej dla masy) na granicy obszaru. Zależnie od typu warunku brzegowego modyfikacji ulega (4.6). Przykładowo, dla warunku periodycznego (sieć N N) C t N+1,1 = C t 0,1, a dla lustrzanego C t N+1,1 = C t N,1. Stabilność numeryczna jawnego schematu (4.5) wymaga spełnienia następującego warunku: D k t ( x) 2 1 4, (4.7) co przy stałej wartości współczynników dyfuzji i rozmiaru komórki x staje się w istocie warunkiem ograniczającym wielkość kroku czasowego. Wzór (4.7) ma zasadnicze znaczenie dla algorytmu doboru kroku (patrz 4.11). 4.5 Segregacja domieszki Modele, w których reguła wzrostu nie bazuje na bilansie strumieni domieszki (omawiany model należy do tej grupy), wymagają specjalnego zapewnienia zachowania masy w układzie oraz utrzymania właściwych stężeń domieszki na froncie krzepnięcia (patrz 1.4.3). Ponieważ ujęcie zjawiska segregacji w tego typu modelu AK nie zostało wystarczająco dokładnie omówione w żadnej publikacji, poniżej przedstawiono i zweryfikowano algorytm segregacji opracowany przez autora. 7 Przy czym zależnie od fazy, do której należy komórka (m, n), należy przyjąć D k = D l lub D k = D s.

51 Segregacja domieszki Stężenie względne Koncepcja stężenia względnego ma źródło w następujących rozważaniach. Zgodnie z par na froncie krzepnięcia dochodzi do rozdziału domieszki. Stosunek stężenia C s w fazie stałej do stężenia C l w fazie stałej określony jest współczynnikiem rozdziału k (1.21). Przyjmując wartość stężenia C s w komórkach zakrzepłych i C l w ciekłych, należy określić stężenie C f w znajdującej się między nimi komórce frontowej (strefie stało-ciekłej) jako pewną wartość pośrednią. Różnice stężeń w komórkach sąsiadujących prowadziłyby jednak, zgodnie z równaniem (4.5), do dyfuzji domieszki i zaburzenia stanu równowagi. Wprowadza się zatem pojęcia C s f oraz C l f (stężenia względne), które można rozumieć jako stężenie C f widziane odpowiednio od strony fazy stałej i fazy ciekłej (rys. 4.8). Definiuje się je tak, by w stanie równowagi C s f = C s, C l f = C l. Rys. 4.8: Rozkład stężenia domieszki w okolicy frontu F (stan ustalony). Komórki zakrzepłe oznaczono przez S, ciekłe przez L. Naturalnym współczynnikiem wagowym określającym wartość C f pośrednią między C s i C l jest udział fazy stałej: C f = C l (1 g) + C s g = C l (1 g) + kc l g, (4.8) co po przekształceniu przyjmie postać: C l = C f 1 + g(k 1). (4.9) Tę właśnie wartość przyjmuje się jako stężenie względne C l f. Podobnie, uwzględniając definicję współczynnika rozdziału, wyprowadza się drugie ze stężeń względnych. Ostatecznie 8 : C l f = C f 1 + g(k 1), Cs f = kc f 1 + g(k 1). (4.10) W tym momencie można uogólnić (4.5) tak, by opisać dyfuzję z udziałem komórek frontowych (F ). Jeżeli komórka (m, n) jest zakrzepła (S), to przy przepływie typu S F należy za stężenie w komórce frontowej podstawić Cf s i przyjąć D k = D s. Analogicznie, przy przepływach L F (ciecz-front) stosuje się podstawienia Cf l C f, D l D k. W przypadku przepływu F F przyjęto dla obu komórek Cf s C f oraz efektywny współczynnik 8 Porównaj [27, str. 113], gdzie identyczne wzory pojawiają się w kontekście segregacji równowagowej (przy pełnej dyfuzji składników).

52 Segregacja domieszki 50 dyfuzji D eff : D eff = D l (D s D l )(g 1 + g 2 ), (4.11) gdzie g 1, g 2 to udziały fazy stałej odpowiednio w pierwszej i drugiej komórce frontowej. Wspomniane uogólnienie ma postać: Cm,n t+1 = Cm,n t + t ( m,n) D ( x) 2 k C t k C t, (4.12) k O(m,n) gdzie k O(m,n) oznacza sumę po sąsiedztwie komórki (m, n). Jako stężenie domieszki w fazie ciekłej przy froncie krzepnięcia, czyli wielkość C l w regule wzrostu (4.1), przyjmuje się C f l, czyli: C l = C f 1 + g(k 1). (4.13) Segregacja przy ruchomym froncie Używanie pojęcia równowagowego współczynnika rozdziału k w sytuacji, gdy powierzchnia międzyfazowa się przemieszcza, możliwe jest tylko przy niewielkiej prędkości frontu 9. W dalszej części rozprawy przyjęto to przybliżenie (lokalna równowaga, patrz 1.4.3). Zjawisko odrzucania domieszki przez przemieszczający się front (por. (1.22)) zostało ujęte w następujący sposób. Przyrost fazy stałej g prowadzi do zmiany stężenia C [57]: C = C l f(1 k) g. (4.14) Stężenie C f w komórce frontowej obniżane jest o wartość C, natomiast stężenie w sąsiednich komórkach ciekłych odpowiednio jest podnoszone (z zachowaniem bilansu masy). W przypadku sieci jednowymiarowej schemat jest prosty: C f C f C, C l C l + C, (4.15) gdzie C l jest stężeniem w sąsiedniej (jedynej) komórce ciekłej. Rys. 4.9: Segregacja składnika do najbliższych komórek ciekłych na sieci 2D. Segregacja na sieci dwuwymiarowej znacznie się komplikuje, gdyż komórka frontowa może mieć wielu sąsiadów ciekłych. Do najprostszych metod należy równomierny rozdział masy do wszystkich sąsiednich komórek cieczy (rys. 4.9): C f C f C, C k l C k l + C n, (4.16) przy czym n jest tutaj liczbą ciekłych sąsiadów, zaś C k l oznacza stężenie domieszki w k- tej sąsiedniej komórce. Postać wyrażeń (4.15), (4.16) automatycznie zapewnia zachowanie masy składnika w całym obszarze. 9 W ogólności współczynnik rozdziału jest funkcją prędkości k(v) i dąży do 1 przy dużej liczbie Pecleta, co oznacza zmniejszenie efektu segregacji (ang. solute trappping) [27, 51].

53 Segregacja domieszki Weryfikacja algorytmu segregacji W pierwszej kolejności zbadano działanie algorytmu dla sieci jednowymiarowej. Dokonano porównania wyników ze znanymi rozwiązaniami analitycznymi. Następnie przeprowadzono testy dla sieci dwuwymiarowych (z wykorzystaniem algorytmu ANRED). Obszary 1D Przedmiotem badań był obszar jednowymiarowy składający się z 300 komórek o rozmiarze x = 10 5 m. Przyjęto współczynnik dyfuzji w fazie ciekłej D l = m 2 /s (dyfuzję w ciele stałym pominięto). Stężenie początkowe C 0 wynosiło 10 1%. Początkowy stan wszystkich komórek jest ciekły poza jedną, brzegową komórką, od której rozpoczyna się wzrost fazy stałej. Celem pierwszej serii symulacji było wykazanie, że przyjęty algorytm poprawnie odtwarza znane efekty segregacji przy jednostajnym przemieszczaniu się frontu. a) b) Rys. 4.10: Rozkład stężenia domieszki w obszarze dla k = 0.33, v n = m/s stan ustalony (a). Po prawej stronie (b) zależność stosunku Cs /Cl (zmierzonego) od współczynnika rozdziału k w stanie ustalonym ( ). Linią ciągłą oznaczono wartości wynikające z definicji k. Na rys. 4.10a) przedstawiono rozkład stężenia w chwili gdy zakrzepła połowa obszaru. Ponieważ stężenie w fazie stałej osiągnęło wartość wyjściową, stan ustalony został osiągnięty (tzw. II faza wzrostu [27]) i przed frontem uformowała się stała, przemieszczająca się strefa wzbogacona w domieszkę warstwa dyfuzyjna. Zachowany jest także właściwy stosunek stężeń po obu stronach frontu dla szerokiego zakresu wartości współczynnika rozdziału (rys. 4.10b). Weryfikacji ilościowej poprawności otrzymanych rozkładów dokonano z wykorzystaniem analitycznych formuł dla stężenia domieszki w fazie stałej i ciekłej [27, 51]. Stężenie domieszki w cieczy po osiągnięciu stanu ustalonego można opisać zależnością: ( C l = C 0 + C 0 exp v nx D l ), C 0 = (1 k)c 0 k, (4.17) gdzie x współrzędna liczona od frontu w kierunku fazy ciekłej. Na rys. 4.11b pokazano porównanie wyników symulacji dla trzech różnych prędkości frontu z wartościami wyliczonymi z formuły (4.17), przy czym ze względu na postać formuły na osi stężenia zastosowano skalę logarytmiczną. Zgodność można uznać za doskonałą. 10 Wartości procentowe dotyczące stężenie domieszki należy odtąd rozumieć jako procenty wagowe.

54 Segregacja domieszki 52 Rozkład stężenia w fazie stałej (przy D s = 0) opisuje się zwykle przybliżoną zależnością: ( C s = C 0 [1 (1 k) exp kv )] nx, (4.18) D l gdzie x jest tym razem odległością od brzegu obszaru. Porównanie przewidywań tej formuły z wynikami symulacji przedstawiono na rys. 4.11a. Dla większej przejrzystości zaznaczono tylko punkty odpowiadające skrajnym wartościom prędkości v n. a) b) Rys. 4.11: Stężenie domieszki w fazie stałej (a) oraz ciekłej (b, skala logarytmiczna) dla różnych prędkości frontu v n [m/s] : ( ), ( ), ( ). Ciągłymi liniami oznaczono wartości wynikające z modelu teoretycznego. Inaczej niż w poprzednim przypadku, zgodność nie jest już tak dobra, lecz można ją uznać za zadowalającą. Trudno powiedzieć, czy rozbieżności wynikają z małej dokładności algorytmu w pierwszym etapie wzrostu (stanie nieustalonym), kiedy warstwa dyfuzyjna w cieczy nie jest w pełni rozwinięta 11, czy są one efektem przybliżonego charakteru równania (4.18). Rys. 4.12: Osiąganie stanu równowagi przy nieruchomym froncie. Objaśnienia w tekście. Wyniki testu działania algorytmu segregacji przy nieruchomym froncie przedstawiono na rys W stanie początkowym połowę obszaru zajmowały komórki fazy stałej, natomiast rozkład domieszki przyjęto jednorodny (C 0 = 1%). Ponieważ taki rozkład narusza lokalną równowagę na froncie, następował przepływ składnika z ciała stałego do cieczy. 11 Patrz

55 Segregacja domieszki 53 Dla lepszego zobrazowania procesu przyjęto równe wartości współczynników dyfuzji D l = D s = [m 2 /s] oraz, ponieważ kinetyka nie była tu istotna, przeskalowano oś czasu na wykresie (t t). Po osiągnięciu stanu równowagi stężenie w obrębie każdej z faz się ustaliło, natomiast stosunek Cs /Cl zdążał do przyjętej wartość współczynnika rozdziału (k = 0.33). Badania wykazały, że zachodzi to dla wszystkich wartości k, niezależnie od udziału fazy stałej w komórce frontowej rozdzielającej fazy. Obszary 2D Weryfikacji algorytmu segregacji dla obszarów dwuwymiarowych dokonano przez porównanie z analogicznymi wynikami dla obszarów 1D. Symulacje przeprowadzono na sieci kwadratowej o rozmiarze komórek, przy czym początkowy rozkład komórek odpowiadał płaskiemu frontowi. Każdy z brzegów zaizolowano pod względem przepływu masy (warunek lustrzany). Wybrano dwie różne orientacje frontu w stosunku do linii sieci równoległą (0 ) oraz pochyloną pod kątem 22 (zwane dalej odpowiednio typami A i B). Podobnie jak w poprzednim ustępie, krzepnięcie odbywało się ze stałą prędkością, jednak tym razem niezbędne było zastosowanie algorytmu ANRED (dla orientacji typu B). a) b) Rys. 4.13: Segregacja w obszarze 2D front płaski (a)(równoległy lub nachylony do linii sieci AK). Po prawej stronie (b) porównanie rozkładów stężenia dla obu przypadków na linii prostopadłej do frontu (patrz tekst). Na rys. 4.13a przedstawiono rozkład stężenia w obszarze po osiągnięciu stanu ustalonego. W przypadku frontu typu A każdy przekrój rozkładu prostopadły do linii frontu był identyczny z rozkładami typowymi dla obszarów 1D. Natomiast pochylenie frontu względem linii sieci, a tym samym względem brzegów obszaru, łamało symetrię i stężenie domieszki zmieniało się wzdłuż linii rozdzielającej fazy. Ten brzegowy efekt był do pomięcia w środkowej części obszaru. Porównania zmienności stężenia na liniach prostopadłych do frontu 12 dla obu typów dokonano na rys. 4.13b. Linia ciągła odpowiada frontowi typu A (oraz modelowi 1D), zaś znakami oznaczono wyniki dla frontu typu B. Zgodność jest zasadniczo bardzo dobra, pewne rozbieżności w okolicy frontu wytłumaczyć można niedoskonałością dyskretyzacji Przecinających go w punkcie środkowym. 13 Dokładniejsze testy wykazywały zmniejszanie się tego błędu przy zagęszczaniu sieci AK.

56 Przepływ ciepła Uwagi Przedstawiony algorytm segregacji ma wiele zalet: zapewnia zachowanie masy w układzie, utrzymanie właściwego stosunku stężeń domieszki po obu stronach frontu (w równowadze pełnej lub lokalnej) niezależnie od stanu komórek frontowych oraz właściwie odtwarza znane efekty towarzyszące jednostajnemu wzrostowi przy płaskiej powierzchni międzyfazowej (osiąganie stanu ustalonego, tworzenie się warstwy dyfuzyjnej itp.). Należy jednak mieć na uwadze, że prosty schemat odrzucania domieszki do sąsiednich komórek (4.5.2) może być uznany za poprawny tylko wtedy, gdy prędkość wzrostu v n nie jest zbyt duża. Ściśle rzecz biorąc powinien być spełniony warunek 14 : x < δ c, δ c = 2D l v n (w stanie ustalonym), (4.19) gdzie δ c jest zastępczą szerokością warstwy dyfuzyjnej [27, 51]. Należy przyjąć zasadę, że najmniejsza warstwa dyfuzyjna powinna obejmować przynajmniej kilka komórek AK. Pewien problem może sprawiać I etap wzrostu (stan nieustalony), kiedy nawet mimo gęstej dyskretyzacji warunek (4.19) bywa naruszany, gdyż warstwa dyfuzyjna nie jest wtedy w pełni rozwinięta (δ c < 2D l /v n ). Sposób segregacji domieszki do sąsiednich komórek w obszarach 2D może mieć znaczenie dla zagadnienia anizotropii sieci. Wybór postaci sąsiedztwa powoduje wyróżnienie pewnych kierunków na sieci AK tak samo, jak w przypadku reguły wzrostu. Jest to szczególnie istotne, gdy rozmiar warstwy dyfuzyjnej niewiele odbiega od rozmiaru komórki automatu i dyfuzja nie jest na tyle szybka, by wyrównać stężenia w pobliżu frontu. 4.6 Przepływ ciepła Ze względu na formalne podobieństwo równania przewodnictwa ciepła do równania dyfuzji, schemat obliczania pola temperatury T jest bardzo podobny do tego, opisanego w 4.4. Niestety, typowe wartości współczynnika dyfuzji D l oraz współczynnika wyrównywania temperatury a l = λ l /(cρ) różnią się znacznie tak, że liczba Lewisa Le = a l /D l przyjmuje wartości rzędu Praktycznie uniemożliwia to obliczanie pól stężenia i temperatury schematem jawnym MRS przy tej samej dyskretyzacji obszaru w obu przypadkach 15. W wielu pracach uciekano się zatem do różnego rodzaju metod niejawnych (przykładowo iteracyjnych w [13], kierunków naprzemiennych w [6]). Ponieważ metody te naruszają zasadę lokalności AK, w niniejszym modelu zdecydowano się na utrzymanie metod jawnych, wprowadzając za to podwójną dyskretyzację obszaru dla pola temperatury. Idea jest następująca. Na właściwą sieć AK nakłada się kolejną sieć (nazywaną dalej siecią rzadką) o kilkakrotnie większym rozmiarze komórek x T (rys. 4.14). Na każdą komórkę sieci rzadkiej przypada kwadratowy blok n T n T komórek sieci właściwej (nazywanej w tym kontekście gęstą). Pole temperatury definiuje się zasadniczo na sieci rzadkiej i na tej sieci rozwiązywane jest równanie przewodnictwa w każdym kroku czasowym. Natomiast wartości temperatury dla komórek sieci gęstej oblicza się omówionym dalej schematem interpolacji. Zastosowanie rozrzedzonej dyskretyzacji dla pola temperatury można uzasadnić tym, że wartości temperatury zmieniają się tylko nieznacznie w obszarze mikroskopowym 14 Można go rozumieć jako ograniczenie wielkości numerycznej dyfuzji przez dyfuzję fizyczną. 15 Mówi się, że zagadnienie jest sztywne z punktu widzenia metod numerycznych (typ stiff.)

57 Przepływ ciepła 55 (patrz wyniki symulacji w pracach [13,57]). Często rozważa się wzrost ziaren w warunkach izotermicznych [41, 47]. Rys. 4.14: Podwójna dyskretyzacja obszaru. Schemat interpolacji z sieci rzadkiej na gęstą Zmiana pola temperatury Analogicznie do równania (4.12) nową wartość temperatury T t+1 m,n w komórce (m, n) sieci rzadkiej dla chwili t + 1 wylicza się z formuły: Tm,n t+1 = Tm,n t + t ( x T ) 2 k O(m,n) a k ( T t k T t m,n) + ( T L m,n) t, (4.20) gdzie a k jest średnim współczynnikiem wyrównywania temperatury określanym dla każdej pary sąsiednich komórek: (m, n) oraz k O(m, n). Człon ( T L m,n) t odpowiada wydzielaniu się ciepła przemiany fazowej. Wartość a k oblicza się jako średnią harmoniczną 16 współczynników wyrównywania temperatury dla komórek (m, n) i a k odpowiednio a m,n, a k : a k = 2a m,na k a m,n + a k, (4.21) współczynniki te z kolei wyznaczone są przez średnie wartości parametrów dla fazy stałej i ciekłej, z udziałem fazy stałej g T w komórce sieci rzadkiej jako współczynnikiem wagowym: a m,n = g T a s + (1 g T )a l, g T = g / (n T ) 2, (4.22) gdzie g oznacza sumę udziałów fazy stałej w komórkach sieci AK należących do bloku przyporządkowanego komórce (m, n) sieci rzadkiej ((n T ) 2 jest liczbą komórek w tym bloku). Podobnie określa się wielkość a k. Pozostaje jeszcze wyjaśnić sposób obliczania wielkości ( Tm,n) L t. Uwzględniając (1.8), (1.16): ( T L m,n) t = L c g T, (4.23) 16 Por. [62, str. 89].

58 Wersor normalny do frontu 56 gdzie g T oznacza przyrost fazy stałej w komórce sieci rzadkiej. Biorąc pod uwagę definicje wielkości g T oraz n T, przyczynek (δtm,n) L t do przyrostu temperatury dla przyrostu g fazy stałej w komórce sieci gęstej można obliczyć ze wzoru: ( x ) 2 g, (4.24) (δt L m,n) t = L c x T przy czym wielkość c jest odpowiednio uśredniona. W przypadku pola temperatury stosowano cztery rodzaje warunków brzegowych: sztywne, lustrzane, periodyczne (por. 4.4) oraz odpowiednik warunku II rodzaju dla równań różniczkowych (1.40). Ten ostatni stosowany dla brzegu, na którym następował ciągły odbiór ciepła (stałym strumieniem). Przy założeniu, że brzegiem tym jest zbiór komórek o współrzędnych (m, 0), temperaturę na brzegu oblicza się ze wzoru: T t m,0 = T t m,1 q x T λ, (4.25) gdzie q oznacza strumień cieplny, zaś λ przewodność cieplną komórki brzegowej Interpolacja temperatury Aby otrzymać wartości pola temperatury w komórkach sieci gęstej, stosuje się następujący schemat interpolacji z sieci rzadkiej. Dla każdej komórki K sieci gęstej wyznacza się cztery komórki sieci rzadkiej takie, że komórka K leży wewnątrz kwadratu zbudowanego na środkach tychże komórek. Następnie określa się współrzędne (x, y) komórki K w odpowiednio skonstruowanym lokalnym układzie współrzędnych (rys. 4.14). Należy zaznaczyć, że jako długość jednostkową w tym układzie przyjęto x T. Środki komórek sieci rzadkiej o temperaturach T 00, T 01, T 10, T 11, mają zatem współrzędne odpowiednio (0,0), (0,1), (1,0), (1,1), natomiast x oraz y 0; 1. Jako bazowe funkcje interpolacji ψ ij (x, y) (funkcje kształtu) wybrano (rys. 4.15): ψ 00 = xy x y + 1 ψ 10 = x xy ψ 01 = y xy ψ 11 = xy (4.26) Wartość temperatury T xy dla komórki sieci rzadkiej oblicza się z następującej formuły interpolacyjnej: T xy = ψ ij (x, y)t ij = ψ 00 T 00 + ψ 10 T 10 + ψ 01 T 01 + ψ 11 T 11. (4.27) 0 i,j 1 Jeżeli komórka K leży na tyle blisko brzegu obszaru, że wspomniane cztery komórki sieci rzadkiej nie mogą być dla niej wyznaczone bezpośrednio, stosuje się lustrzany warunek brzegowy (przedłuża sieć rzadką poza granice obszaru tak, że brzeg jest osią symetrii rozszerzonej sieci). 4.7 Wersor normalny do frontu Jak już wspominano, powierzchnia międzyfazowa w modelu AK nie jest jawnie śledzona i położenie frontu może być oszacowane pośrednio jedynie na podstawie rozkładu

59 Wersor normalny do frontu 57 Rys. 4.15: Bazowe funkcje interpolacji. fazy stałej (pola fazowego) w otoczeniu danej komórki frontowej. Ustalenie położenia frontu było istotne w modelach ograniczających anizotropię sieci AK za pomocą pojęcia długości wzrostu (2.24). Przy zastosowaniu algorytmu ANRED nie jest już to konieczne, jednak znajomość wersora normalnego n do frontu przydaje się do narzucenia fizycznej anizotropii właściwości ziarna (patrz 4.9). W omawianym modelu przyjęto rozwiązanie bardzo podobne do przedstawionego w pracy [13] i zasadniczo równoważne numerycznej aproksymacji pierwszego z równań (2.12). Współrzędne n x i n y wersora normalnego oblicza się z zależności: n x = δg x (δg x ) 2 + (δg x ) 2, n y = δg y (δg x ) 2 + (δg x ) 2, (4.28) przy czym (patrz rys. 4.16) δg x = g NE +g E +g SE g NW g W g SW, δg y = g NW +g N +g NE g SW g S g SE, (4.29) gdzie g IJ, g I (I, J indeksy kierunków) oznaczają wartości pola fazowego w odpowiedniej komórce sąsiedniej (por. rys. 2.2). Rys. 4.16: Wersor normalny do frontu oraz wartości pola fazowego g w otoczeniu komórki frontowej. Wielkości δg x, δg y w równaniach (4.29) są (z dokładnością do pewnego stałego czynnika) przybliżeniem współrzędnych wektora gradientu g pola fazowego. Poprawność algorytmu generowania wersorów normalnych przetestowano dla różnych rozkładów fazy stałej. Przykładowy wynik tego typu testu przedstawiono na rys ( komórek). Jak widać, niezależnie od kierunku pochylenia linii frontu wersor normalny wyznaczany jest poprawnie. Jeżeli obie wielkości δg x, δg y są równe zeru, wartości n x, n y są niezdefiniowane. Jest to jednak na tyle rzadka sytuacja (w przypadku komórek frontowych), że przyjęcie pewnego, z góry określonego wersora (np. n x = 1, n y = 0) nie powinno mieć znaczącego wpływu na dokładność obliczeń.

60 Krzywizna frontu 58 Rys. 4.17: Wersory normalne wygenerowane dla zadanego rozkładu fazy stałej (ciemniejszy obszar odpowiada komórkom zakrzepłym). Rozkład ten otrzymano w symulacji jednostajnego wzrostu płaskiego frontu z niewielkim zaburzeniem na środku. 4.8 Krzywizna frontu Algorytm obliczania krzywizny Podobnie jak w przypadku wersora normalnego, krzywizna frontu może być jedynie oszacowana na podstawie stanu komórek sąsiadujących z komórką frontową. Jako podstawowy wzór definicyjny wykorzystano zależność 17 : κ = n, (4.30) gdzie n jest polem wersorów normalnych do frontu w otoczeniu komórki frontowej. Aproksymacji numerycznej równania (4.30) dokonano następująco. Dla każdego naroża komórki frontowej K wyznaczono wersor normalny n k (patrz rys. 4.18), podobnie jak opisano w 4.7. Dla przykładu przedstawiony zostanie sposób obliczenia współrzędnych wektora n 2 (w pozostałych przypadkach postępuje się podobnie). Rys. 4.18: Wersory normalne wykorzystywane do obliczenia krzywizny frontu w komórce frontowej K oraz wielkości potrzebne do wyznaczenia wersora n 2. Analogicznie do (4.28): (n 2 ) x = δ(g x ) 2 [δ(g x ) 2 ] 2 + [δ(g x ) 2 ] 2, (n 2) y = δ(g y ) 2 [δ(g x ) 2 ] 2 + [δ(g x ) 2 ] 2, (4.31) δ(g x ) 2 = g NE + g E g N g K, δ(g y ) 2 = g N + g NE g K g E. (4.32) Po znalezieniu wersorów n 0, n 1, n 2, n 3, oszacowanie dywergencji (4.30) pola n przeprowadza się za pomocą formuły: κ = 1 ( [(n3 ) x (n 0 ) x ] + [(n 2 ) x (n 1 ) x ] + [(n ) 1) y (n 0 ) y ] + [(n 2 ) y (n 3 ) y ]. (4.33) x Por. (2.12), (2.30)

61 Krzywizna frontu 59 Ponieważ dyskretyzacja obszaru uniemożliwia ujęcie struktur o skali mniejszej niż rozmiar komórki, maksymalna wartość krzywizny wynosi 1/ x (minimalna: 1/ x). Jeżeli z pewnych względów wyliczona z równania (4.33) wartość wykracza poza ten przedział, przyporządkowuje się krzywiźnie odpowiednią wartość graniczną Weryfikacja algorytmu Poprawność algorytmu przetestowano przyjmując specjalny rozkład fazy stałej w obszarze (patrz rys. 4.19a g = R/R 0, gdzie R jest odległością danej komórki od środka obszaru 18, a R 0 długością połowy jego przekątnej. Założono, że każda komórka obszaru jest komórką frontową i porównano wartości krzywizny κ obliczone opisanym algorytmem z wartościami poprawnymi κ pop, przy czym κ pop = 1/R. Wykres zmian błędu względnego: δ κ = κ κ pop κ pop (4.34) przedstawiono na rys. 4.19b. Widoczna jest wyraźna anizotropia δ κ, szczególnie dla niewielkich promieni krzywizny (rzędu kilku x). Spowodowane jest to szczególną postacią schematu różnicowego (4.33). Dla lepszego zobrazowania efektu na rys. 4.19c ukazano zmiany błędu względnego na prostych nachylonych do linii sieci odpowiednio pod kątem 0 i 45. Jak widać, na pierwszej z tych prostych krzywizna jest niedoszacowana, zaś na drugiej - przeszacowana, przy czym maksymalny błąd sięga 15% dla niewielkich promieni krzywizny, lecz szybko zdąża do zera przy promieniach większych niż 5 x. a) b) c) Rys. 4.19: Test poprawności algorytmu. Przyjęty rozkład fazy stałej (a), wartości błędu względnego obliczonej krzywizny w różnych punktach obszaru (b) oraz wykres zmian błędu względnego na prostych nachylonych pod kątem 0 i 45 do linii sieci. Ponieważ przedmiot zasadniczych badań stanowiło krzepnięcie w warunkach niestabilności frontu, istotna była wystarczająca wrażliwość algorytmu na niewielkie zaburzenia powierzchni. Test rozdzielczości algorytmu, czyli poprawności jego działania dla elementarnego (o rozmiarach jednej komórki) zaburzenia płaskiego frontu, przedstawiono na rys Zaburzenie składało się z dwóch, oddalonych o x zakrzepłych komórek umieszczonych na prostoliniowym froncie. Widać, że wartości krzywizny zostały wyznaczone prawidłowo. Komórce frontowej znajdującej się między komórkami stanowiącymi zaburzenie przyporządkowana została 18 Co odpowiada promieniowi krzywizny izolinii pola g.

62 Anizotropia właściwości fizycznych 60 Rys. 4.20: Test rozdzielczości algorytmu zależność obliczonej krzywizny od położenia na płaskim froncie z dwoma zakrzepłymi komórkami oddalonymi o x ( x = 1). krzywizna ujemna (o właściwej wartości), natomiast samym komórkom zaburzenia, jako skierowanym wypukłością w stronę cieczy krzywizna dodatnia (porównaj rys. 1.8). 4.9 Anizotropia właściwości fizycznych Po wyeliminowaniu sztucznej anizotropii wprowadzanej przez sieć AK, możliwe staje się uwzględnienie obiektywnej anizotropii wynikającej z krystalicznej natury ziaren. Dla omawianego modelu największe znaczenia ma anizotropia energii powierzchniowej (współczynnika Gibbsa-Thomsona, patrz 1.4.4) oraz współczynnika kinetycznego µ. Przyjęto następujące zależności [13, 41, 67]: Γ(θ) = Γ 0 (1 + ɛ Γ cos(m k θ)), µ(θ) = µ 0 (1 ɛ µ cos(m k θ)), (4.35) gdzie Γ 0, µ 0 oznaczają średnie wartości odpowiednio współczynnika Gibbsa-Thomsona i współczynnika kinetycznego, ɛ Γ, ɛ µ amplitudy zmian tych wielkości, m k krotność osi symetrii ziarna, natomiast θ jest kątem między wersorem normalnym a kierunkiem odniesienia. Składniki oscylujące ze wzorów (4.35) różnią się znakiem, ponieważ kierunkom o największej energii powierzchniowej odpowiada najmniejszy współczynnik kinetyczny. Niech n ref będzie wersorem określającym kierunek odniesienia (orientację krystalograficzną danego ziarna). Kąt między wersorem normalnym n a wersorem n ref znajduje się ze wzoru: θ = arc cos(n n ref ). (4.36) Zakładając, że n = [n x, n y ] oraz n ref = [(n ref ) x, (n ref ) y ]: θ = arc cos [n x (n ref ) x + n y (n ref ) y )], (4.37) przy czym składowe wersora n wyznacza się algorytmem opisanym w paragrafie 4.7. Orientacje krystalograficzne podzielono na klasy, dzięki czemu można było je opisać zmienną dyskretną. Klasie o numerze n kl odpowiada kierunek obrócony o kąt θ ref = (n kl 1)π/30 względem głównej linii sieci AK. Ponieważ przyjmowano zwykle m k = 4, szesnasta klasa (obrót o kąt π/2) równoważna była klasie pierwszej (siedemnasta drugiej, itd.). Stąd jedynie 15 klas uznawano za różne.

63 Zarodkowanie 61 Rys. 4.21: Równowagowe anizotropowe ziarna o różnych orientacjach względem sieci AK (klasy 1 9). Na rys przedstawiono wyniki symulacji wzrostu ziaren przy anizotropowym współczynniku kinetycznym (ɛ µ = 0.2, rozmiar obszaru komórek). Założono stałe przechłodzenie kinetyczne. W przeciwieństwie do wyników z par (rys. 4.5, 4.6), ziarna nie są okrągłe, lecz mają wyraźnie zarysowane ściany. Widać, że niezależnie od orientacji ziarna względem linii sieci AK, otrzymywane struktury są do siebie zbliżone 19. Dostarcza to kolejnego przykładu weryfikującego algorytm ANRED Zarodkowanie Jak już wspomniano w rozdziale 3, dokładne ujęcie procesu zarodkowania nie leżało w zakresie rozprawy, poświęconej głównie zagadnieniu wzrostu ziaren dendrytycznych. Siłą rzeczy zarodkowanie potraktowano w sposób uproszczony. Reguła wzrostu (4.1) definiuje przyrost fazy stałej w komórkach frontowych. Rozpoczęcie krzepnięcia w danym obszarze możliwe jest zatem dopiero wtedy, gdy pojawi się w nim co najmniej jedna komórka frontowa. Proces wprowadzania nowych komórek interfejsu (niezależnie od reguły wzrostu) związany jest właśnie z zarodkowaniem. Przyjęto dwa schematy postępowania: zarodkowanie wstępne rozmieszczenie zarodków na początku symulacji, przy czym nie uwzględnia się możliwości pojawiania się nowych zarodków; schemat ten można usprawiedliwić dominującą rolą zarodkowania heterogenicznego oraz rzadkim rozmieszczeniem podkładek (patrz 1.3); stosuje się go typowo przy badaniu wzrostu pojedynczego ziarna (zarodek umieszcza się na środku obszaru); zarodkowanie sukcesywne dopuszczenie wprowadzenia nowych zarodków w trakcie trwania symulacji (niezależnie od zarodkowania wstępnego); założono, że nowy zarodek może pojawić się tylko w miejscach o dodatnim przechłodzeniu kinetycznym, a prawdopodobieństwo jego kreacji jest niewielkie (uzależnione od przechłodzenia); schemat ten stanowi jedyny element probabilistyczny całego modelu. Przez zarodek w modelu AK rozumie się zakrzepłą komórkę Z wraz z otaczającymi ją komórkami frontowymi. Orientacja krystalograficzna komórki Z (kierunek n ref, patrz 4.7) może być zdefiniowana sztywno przez wybór określonej klasy orientacji lub określona w sposób losowy (zazwyczaj z jednostajnym rozkładem prawdopodobieństwa). 19 Niewielki różnice rozmiarów są konsekwencją różnic czasu trwania symulacji, którą przerywano w momencie osiągnięcia brzegu.

64 Adaptacja kroku czasowego Adaptacja kroku czasowego Zastosowanie jawnego schematu numerycznego łączy się z górnym ograniczeniem kroku czasowego t, koniecznym dla zapewnienia stabilności obliczeń numerycznych. Innym kryterium wpływającym na wielkość t wynika z tego, że dokładność symulacji wymaga, by w jednym kroku czasowym przemieszczenie frontu krzepnięcia stanowiło niewielki ułamek rozmiaru x komórki AK. Przyjęty algorytm wzrostu zakłada, że proces krzepnięcia komórki frontowej kończy się, gdy udział fazy stałej g osiągnie wartość 1. W konsekwencji nadwyżka g + g (gdzie g obliczono z (4.1)) ponad wartość 1 zostaje pominięta 20. Za pracą [13] założono kryterium g el 0.01; 0.1 ( g el elementarny przyrost g). Co więcej, badania wykazały, że algorytm ANRED działa najlepiej, gdy g el < Niestety, relacja między g a t nie jest jednoznaczna, gdyż zgodnie z (4.1) g zależy także od przechłodzenia kinetycznego T µ, a ta wielkość zmienia się nie tylko od punktu do punktu, ale również w czasie symulacji. Zdecydowano się zatem na adaptacyjny dobór kroku czasowego. W skrócie, idea algorytmu jest następująca. Przyjmuje się jako początkową wartość t największą wartość dopuszczalną przez kryterium stabilności. Przeprowadza się jeden krok symulacji, znajduje maksymalny przyrost fazy stałej g m, a następnie w oparciu o znajomość g m zmienia się t tak, by spełnione było kryterium poprawności ( g 1). Wszelkie redukcje kroku czasowego są natychmiastowe, zaś do procedury zwiększania t (poprawiającej efektywność obliczeń) wprowadza się pewną bezwładność, co zapobiega dużym wahaniom t. Nowa wartość t obowiązuje w następnym kroku symulacji (nie przeprowadza się ponownych obliczeń w kroku bieżącym). Niech g max będzie największą dopuszczalną wartością przyrostu fazy stałej w jednym kroku czasowym (przyjmowano zwykle g max = 0.03). Niech także (por. (4.7)): t stab = min { ( x) 2 4D l, ( x)2, ( x T ) 2, ( x T ) 2 } 4D s 4a l 4a s, t max = 0.9 t stab, (4.38) gdzie t stab odpowiada granicznej wartości t związanej ze stabilnością schematów różnicowych, zaś t max przyjętej maksymalnej wartości t, której w żadnym przypadku nie można przekroczyć (90% granicy stabilności). Oto szczegóły postępowania: 1. Początkowa wartość kroku czasowego t 0 = t max. 2. Przeprowadzenie jednego kroku symulacji. Wyznaczenie maksymalnego przyrostu fazy stałej g m (wynikającego z (4.1)): g m = max { g i}. Ω 3. Obliczenie t new = t k g max / g m, gdzie t k oznacza aktualną wartość kroku czasowego. 4. Jeżeli t new < t k, nowa wartości kroku czasowego t k+1 = t new. W przeciwnym wypadku: t k+1 = t k + min{χ 1 ( t new t k ), χ 2 ( t max t k )}, (4.39) 20 Rozważano poprawienie algorytmu tak, by wspomniana nadwyżka była przenoszona do sąsiednich komórek, ale przy niewielkich przyrostach g prowadziło to do niemal identycznych wyników, a komplikowało implementację.

65 Bezwymiarowa postać równań 63 przy czym przyjęto χ 1 = 0.01, χ 2 = 0.1. Ostatni składnik równania (4.39) zapewnia, że przyrost kroku czasowego nie będzie większy niż część χ 2 różnicy między t max a aktualną wartością t k. Przykładowy wykres zmienności kroku czasowego przedstawiono na rys. 4.22, na którym zaznaczono wartość t (bezwymiarowy odpowiednik t, patrz 4.12) w każdym kroku symulacji (50000 kroków). Rys. 4.22: Zmienność kroku czasowego. Linia przerywana oznacza granicę stabilności. Widoczne jest zmniejszenie t względem granicy stabilności w początkowym etapie symulacji, gdy prędkość krzepnięcia jest największa i kryterium poprawności stanowi główny czynniki limitujący (punktom nagłego obniżenia wykresu odpowiada pojawienie się nowych zarodków). W końcowym etapie krzepnięcie jest na tyle powolne, że przyjmuje się wartość t na granicy stabilności numerycznej Bezwymiarowa postać równań Sformułowanie podstawowych równań w postaci bezwymiarowej nie tylko je upraszcza, ale również ogranicza liczbę niezależnych parametrów modelu. Przyjęto te same wielkości podstawowe 21, co w pracy [2]. Skalę długości określa tzw. długość kapilarna l c, skalę czasu wielkość τ c, a temperatury T c : T c = m C 0, C 0 = C 0 (1 k)/k, l c = Γ/T c = Γ/ m C 0, (4.40) τ c = lc/d 2 l = Γ 2 / [m 2 ( C 0 ) 2 D l ]. Bezwymiarowe odpowiedniki (oznaczane dalej daszkiem nad odpowiednim symbolem) długości l, czasu t oraz temperatury T zdefiniowane są następującymi równościami: l = l/l c, t = t/τ c, T = T/T c. (4.41) Stosownie do tych definicji, określa się bezwymiarowe odpowiedniki pozostałych wielkości wymiarowych. Przykładowo, bezwymiarową prędkość wzrostu v (por. (4.1)) oblicza się ze wzoru: v = v τ c l c = µ [ Ω + sgn(m) Ĉ κ], (4.42) 21 Opisywane tu podejście można zastosować tylko do stopów. Rozważając krzepnięcie czystych metali należałoby przyjąć inną charakterystyczną skalę temperatury, np. T c = L/c.

66 Bezwymiarowa postać równań 64 gdzie µ = µγ/d l bezwymiarowy współczynnik kinetyczny, sgn(x) = x/ x funkcja znaku (równa 1 dla x > 0 oraz -1 dla x < 0), Ĉ = Ĉ l Ĉ0 znormalizowane przesycenie (stężenia normalizuje się do wielkości C 0 : Ĉ = C/ C 0), κ = κl c bezwymiarowa krzywizna. Wielkość Ω oznacza bezwymiarowe przechłodzenie: Ω = T T c = T m + mc 0 T m C 0, (4.43) przy czym przez T rozumie się tu różnicę między początkową temperaturą równowagową stopu (front płaski) a temperaturą rzeczywistą T danej komórki. Reguła wzrostu (4.1) w postaci bezwymiarowej przyjmuje zatem formę (dla m < 0): g = µ [ Ω Ĉ κ] t x v red, (4.44) gdzie t = t/τ c, x = x/l c to odpowiednio bezwymiarowy krok czasowy i bezwymiarowy rozmiar komórki. Równania dyfuzji domieszki w fazie ciekłej (pole Ĉl) i stałej (pole Ĉs) można zapisać w postaci: Ĉl t = 2Ĉl, Ĉs t = D sl 2Ĉs, D sl = D s D l, (4.45) przy czym = [ / x, / ŷ]. Do opisu temperatury wybrano wielkość Ω, dlatego równania przepływu ciepła przyjmują następującą postać w poszczególnych fazach: Ω l t = Le l 2 Ω l, Ω s t = Le s 2 Ω s, (4.46) gdzie Le k = a k /D l jest liczbą Lewisa dla fazy k. Schematy różnicowe przedstawione w paragrafach oraz należy odpowiednio zmodyfikować. Ich forma bezwymiarowa jest następująca: Ĉm,n t+1 = Ĉt m,n + t (Ĉt D ( x) 2 k k m,n) Ĉt, (4.47) k O(m,n) gdzie (patrz w kwestii oznaczeń): 1 dla L L lub L F, D k = D sl dla S S lub S F, 1 + 1( D 2 sl 1)(g 1 + g 2 ) dla F F. (4.48) Natomiast zmiany pola przechłodzenia Ω opisywane są schematem: Ω t+1 m,n = Ω t m,n + t ( m,n) Le ( x T ) 2 k Ω t k Ω t ( Ω L m,n) t, (4.49) gdzie (por ): k O(m,n) Le k = 2Le m,nle k Le m,n + Le k, Le m,n = g T Le s + (1 g T )Le l, (4.50)

67 Bezwymiarowa postać równań 65 ( Ω L m,n) t = Θ g T, Θ = L ct c, (4.51) zaś bezwymiarowa wielkość (δ Ω L m,n) t będąca odpowiednikiem (δt L m,n) t wyraża się równaniem: (δ Ω L m,n) t = Θ ( x x T ) 2 g. (4.52) Zmiana znaku ostatniego składnika równania (4.49) wynika z definicji Ω, w której T występuje z ujemnym znakiem. Łatwo też tę zmianę (w porównaniu z (4.20)) zinterpretować uwzględniając znaczenie wielkości Ω wydzielanie ciepła przemiany zwiększa temperaturę, ale zmniejsza przechłodzenie. Postać bezwymiarowa równań rządzących zjawiskiem krzepnięcie została wykorzystana przy implementacji komputerowej prezentowanego w tym rozdziale modelu AK.

68 Rozdział 5 Krzepnięcie dendrytyczne - symulacje numeryczne Opisany w rozdziale 4 algorytm wykorzystano do przeprowadzenia szeregu symulacji komputerowych. W pierwszej kolejności zbadano wzrost pojedynczych ziaren, zgodność wyników z pewnymi rozwiązaniami analitycznymi oraz stopień zależności otrzymanych struktur od dyskretyzacji obszaru (wielkości komórki, orientacji ziarna względem linii sieci AK). Obiektem dalszych badań było wzajemne oddziaływanie ziaren wzrastających w tym samym obszarze, zjawisko mikrosegregacji i formowanie się mikrostruktury stopu podczas krzepnięcia objętościowego oraz kierunkowego. Jeżeli nie zaznaczono wyraźnie inaczej, wartości fizycznych parametrów modelowego stopu (zbliżonego do Fe-C 0.6%C) przyjmowano takie, jak w tabeli 5.1 [51]. Tab. 5.1: Parametry fizyczne modelowego stopu T m 1811 [K] C [%] m -65 [%/K] k 0.35 bezwym. Γ [Km] D l [m 2 /s] D s [m 2 /s] c l [J/(m 3 K)] c s [J/(m 3 K)] ρ l [kg/m 3 ] ρ s [kg/m 3 ] λ l 35 [W/(Km)] λ s 33 [W/(Km)] L [J/m 3 ] µ [m/(ks)] ɛ µ 0.2 bezwym. ɛ Γ 0.6 bezwym. m k 4 bezwym. Wartość współczynnika kinetycznego założono jako [m/(ks)], co wynika z formuły (1.19) dla rozważanego stopu (η = [Pa s], S = [J/(m 3 K)], 66

69 Wzrost pojedynczych ziaren 67 V m = [m 3 /mol] dane dla Fe), zaś stopień anizotropii tego współczynnika (oraz anizotropii napięcia powierzchniowego) przyjęto za pracą [13]. Podana tam wartość 1 ɛ σ = 0.04, prowadzi zgodnie ze wzorem (1.34) do zależności ɛ Γ = (m 2 k 1)ɛ σ, co przy m k = 4 daje ɛ Γ = 0.6. Charakterystyczne skale l c, τ c, T c (oraz C 0 ) dla stopu o parametrach z tab. 5.1 zebrano w tab Tab. 5.2: Skale charakterystyczne l c [m] τ c [s] T c 72.4 [K] C [%] 5.1 Wzrost pojedynczych ziaren Symulację wzrostu pojedynczych (izolowanych) ziaren przeprowadzono na kwadratowym obszarze o rozmiarze komórek (150µm 150µm, x 0.8µm, n T = 20). Zarodek w postaci zespołu zakrzepłych komórek umieszczono wstępnie na środku obszaru. Za przykładem prac [13, 41] wybrano orientację krystalograficzną ziarna niezgodną z żadnym głównym kierunkiem sieci 2 AK (5. klasa orientacji θ = 22.5 ). Temperaturę początkową ustalono zgodnie z temperaturą likwidusu modelowego stopu T r = T m + mc 0 = 1772K. Ze względu na niewielką odległość frontu krzepnięcia od granic obszaru (szczególnie pod koniec symulacji), w celu uniknięcia efektów brzegowych narzucono stałą temperaturę w komórkach leżących na okręgu O b stycznym do brzegów sieci AK. Dzięki temu rozkład temperatury wewnątrz okręgu O b tylko w niewielkim stopniu zależał od orientacji ziarna. Wyniki symulacji dla różnych wartości przechłodzenia obszaru przedstawiono na rys. 5.1 w postaci zmian pola fazowego (ciemniejszym odcieniem oznaczono komórki zakrzepłe). Zgodnie z wprowadzoną fizyczną anizotropią ziarna posiadają cztery odgałęzienia główne (prostopadła do obszaru oś symetrii ziarna jest czterokrotna). Przy niewielkim przechłodzeniu (rys. 5.1a), rzędu kilku kelwinów, odgałęzienia drugiego rzędu praktycznie się nie rozwijają (w danym czasie symulacji). Dopiero przechłodzenie bliskie trzydziestu kelwinom prowadzi do charakterystycznego zaburzenia powierzchni ziarna i pojawienia się zalążków odgałęzień (rys. 5.1b), które przy jeszcze większym obniżeniu temperatury przekształcają się w pełni rozwinięte odnogi (rys. 5.1c można się nawet dopatrzeć zalążków odgałęzień trzeciego rzędu). Chociaż anizotropia sieci AK została ograniczona na tyle, że możliwe jest uzyskanie dowolnej orientacji ziarna, postać odgałęzień wyższych rzędów wskazuje na wyróżnienie pewnych kierunków, szczególnie przy większych przechłodzeniach. Pierwsze zaburzenie odgałęzienia głównego (pojawiające się u jego podstawy) powstaje tylko po jednej jego stronie (patrz rys. 5.1c, drugi wykres od góry). Ten początkowy objaw asymetrii wzrostu pogłębia się z czasem, gdyż odgałęzienia wychodzące z jednej strony danej gałęzi 1 We wspomnianej pracy oznaczano tę wielkość przez δ γ. 2 Przez kierunki główne sieci rozumie się kierunki wyznaczone przez linie sieci AK lub przez przekątne komórek.

70 Wzrost pojedynczych ziaren 68 a) b) c) Rys. 5.1: Kolejne etapy wzrostu ziaren dendrytycznych przy różnych przechłodzeniach: a) Ω = 0.1 ( T = 7.2K), b) Ω = 0.35 ( T = 25.2K), c) Ω = 0.8 ( T = 57.6K). Założoną stałą temperaturę T b w komórkach leżących na okręgu stycznym do brzegu obszaru ( T = T r T b, gdzie T r jest temperaturą równowagową stopu). Rozmiar obszaru komórek (150µm 150µm). Liczby na krawędziach wykresu służą identyfikacji współrzędnych komórek sieci. głównej blokują wzrost odgałęzień bocznych na sąsiedniej gałęzi głównej. Podobne efekty, powodujące wyróżnienie pewnej skrętności ziarna (jeżeli nie jest ono zorientowane zgodnie z głównymi kierunkami sieci) można zauważyć w pracach [6, 13]. Autorzy publikacji [6] próbowali tłumaczyć zaburzenie symetrii ziarna oddziaływaniem z brzegiem obszaru (mającym inne osie symetrii niż ziarno), jednak zastosowany tutaj sposób chłodzenia wskazuje, że wyjaśnienia trzeba szukać gdzie indziej (np. resztkowej anizotropii

71 Wpływ dyskretyzacji na strukturę ziarna 69 sieci AK patrz par. 5.2). 5.2 Wpływ dyskretyzacji na strukturę ziarna Zależność wyników otrzymywanych dzięki modelom AK od dyskretyzacji obszaru (w tym od orientacji ziarna względem linii sieci AK) nie była dotąd wystarczająco przebadana 3. Jedynie w pracy [6] rozważano oddziaływanie gęstości dyskretyzacji na takie parametry jak np. promień krzywizny wierzchołka gałęzi głównej lub prędkość jej wzrostu. Poniżej przedstawiono podobne badania dla przyjętego algorytmu (patrz też par. 5.3) Wpływ orientacji ziarna Małe przechłodzenie Wyniki porównania kształtu ziaren różniących się jedynie orientacją względem linii sieci AK przedstawiono na rys Symulacje przeprowadzono na sieci komórek, przy przechłodzeniu Ω = Zastosowano identyczny warunek brzegowy jak w par Zarodek (grupę czterech zakrzepłych komórek) o ustalonej orientacji krystalograficznej (klasy 1,5 lub 9) umieszczono na środku obszaru. Ograniczono się tylko do trzech klas, gdyż klasy 1 i 9 odpowiadają głównym kierunkom sieci AK, zaś klasa 5 jest dobrym reprezentantem kierunków pośrednich (liczba niezależnych kierunków zmniejsza się też dzięki symetrii ziarna). Największe rozbieżności występują między klasami 1 i 9. Prędkość wzrostu ziarna klasy 9 jest nieco mniejsza zgodnie z rys. 5.2 różnica sięga kilku procent. Jednak zasadniczo ziarna posiadają tę samą strukturę, brak odgałęzień, na wszystkich występują natomiast niewielkie zaburzenia powierzchni gałęzi głównych, o podobnej skali dla wszystkich klas. Duże przechłodzenie Te same badania, co w poprzednim punkcie, powtórzono przy większym przechłodzeniu Ω = 0.5, dzięki czemu można było przeanalizować oddziaływanie dyskretyzacji na proces rozgałęziania ziarna. Wyniki przedstawiono na rys. 5.3 (dla tych samych klas). Ponieważ struktura ziaren jest znacznie bardziej skomplikowana, zrezygnowano z porównania przez nałożenie ich konturów. Uzyskane wyniki wskazują, że rozgałęzianie dendrytu jest bardzo czułe na zmiany orientacji. Chociaż skala zaburzeń gałęzi głównych jest podobna we wszystkich przypadkach, wielkość i kształt odgałęzień bocznych zmienia się znacznie pomiędzy klasami 1 i 5 oraz 5 i 9, przy czym najmniejsze odgałęzienia główne wykazuje klasa 9. Ponieważ natura rozgałęziania nie jest do końca znana 4, trudno jednoznacznie określić przyczynę wspomnianej czułości. Nie powinna ona w zasadzie dziwić, ze względu na silną nieliniowość zjawiska. Niestety, zgodnie z wiedzą autora, zależność rozgałęziania od orientacji ziarna nie była badana w żadnej pracy. Analizie poddawano ziarna zorientowane zgodnie bądź to z głównymi kierunkami sieci (patrz np. [7, 43, 45, 47, 91]), bądź to z kierunkami pośrednimi, ale przy małych przechłodzeniach (bez wyraźnych odgałęzień 3 Trudno się temu dziwić modele przynajmniej jakościowo niezależne od sieci AK pojawiły się dopiero niedawno. 4 Patrz Dodatek.

72 Wpływ dyskretyzacji na strukturę ziarna 70 Rys. 5.2: Trzy ziarna wzrastające w tych samych warunkach i tym samym czasie, ale różnie zorientowane względem linii sieci AK (górne rysunki) klasy 1,5 i 9. Na dole porównanie kształtu ziaren (po sprowadzeniu do jednej orientacji i nałożeniu). Rys. 5.3: Trzy ziarna wzrastające w tych samych warunkach i tym samym czasie, ale różnie zorientowane względem linii sieci AK (przechłodzenie Ω = 0.5). II rzędu) [6, 41] lub przy przechłodzeniach większych, ale za to przy jednej, ustalonej orientacji [13]. Omawiane zaburzenie wyników świadczy o tym, że anizotropię sieci wyeliminować jest niezwykle trudno, niezależnie od metody przyjętej do ograniczenia tego efektu w procesie wzrostu gałęzi głównych (tak jak w tym przypadku algorytmu ANRED).

73 Wpływ dyskretyzacji na strukturę ziarna Wpływ gęstości sieci Wpływ stopnia zagęszczenia dyskretyzacji (wielkości elementarnej komórki) przeanalizowano przez przeprowadzenie symulacji na sieci komórek, a następnie powtórzenie obliczeń w tych samych warunkach, ale przy ponad dwukrotnie mniejszej komórce AK (sieć komórek). Stosunek rozmiarów komórki sieci rzadkiej i gęstej (n T = x T / x) utrzymywano na tym samym poziomie (n T = 20). Małe przechłodzenie Zgodnie z wynikami przedstawionymi na rys. 5.4 zagęszczenie sieci AK praktycznie nie zmienia struktury ziarna (kontury ziaren dla obu przypadków niemal się pokrywają - rys. 5.4c). Potwierdza to numeryczną wiarygodność algorytmu przy niewielkich przechłodzeniach. a) b) c) Rys. 5.4: Porównanie wyników dla różnych wielkości komórek: a) x = 318 ( x 0.8µm), b) x = 150 ( x 0.4µm), c) nałożone kontury ziaren a i b. Przechłodzenie Ω = Duże przechłodzenie Badania wykonane dla przechłodzeń na tyle dużych, że powierzchnia gałęzi głównych traci stabilność, wykazały wyraźną zależność rozgałęziania ziarna od gęstości dyskretyzacji. Porównanie wyników dla dwóch różnych rozmiarów komórek przedstawiono na rys Podobnie jak na rys. 5.1c, odgałęzienia boczne cechują się pewną asymetrią ich rozmiar po obu stronach gałęzi głównych nie jest jednakowy. Niech A oznacza mniej rozwiniętą stronę gałęzi głównej, zaś B bardziej rozwiniętą. Okazuje się, że odgałęzienia po stronie A przy zagęszczaniu sieci zmieniają swój charakter tylko w niewielkim stopniu w porównaniu z odgałęzieniami po stronie B. Ich odstęp (λ 2 ) pozostaje niemal identyczny, zwiększają natomiast swoją długość tak, że zbliżają się pod tym względem do gałęzi po stronie A. Liczba tych drugich zwiększa się, tym samym maleje odstęp między nimi, co sugeruje dużą rolę dyskretyzacji obszaru w generowaniu odgałęzień II rzędu. Wyniki badań pokazują jednak, że wzrost tych dodatkowych odgałęzień jest dość szybko wytłumiony przez odgałęzienia sąsiednie. Ostateczna wartość λ 2 po stronie B (jeżeli pominąć gałęzie wytłumione w pierwszym etapie wzrostu) w przybliżeniu równa jest wartości przy dyskretyzacji rzadszej.

74 Wpływ dyskretyzacji na strukturę ziarna 72 a) b) Rys. 5.5: 10.9 Porównanie wyników dla różnych wielkości komórek: a) x = 318 ( x 0.8µm), b) x = 150 ( x 0.4µm). Przechłodzenie Ω = Ziarna o sześciokrotnej symetrii Aby sprawdzić zdolność przyjętego modelu do odtworzenia wzrostu ziaren o symetrii innej, niż dotychczas rozważana, zbadano ewolucję ziarna z sześcioma odgałęzieniami głównymi 5 (m k = 6). Wyniki przedstawiono na rys a) b) c) Rys. 5.6: Ziarna o sześciu głównych odgałęzieniach (m k = 6). Klasa 1 (a) oraz 5 (b). Porównanie ziaren przez nałożenie i sprowadzenie do jednej orientacji (c). Jak widać, chociaż symetria ziarna różni się od symetrii sieci AK, jego struktura jest prawidłowa i to przy różnych orientacjach względem linii sieci. Także w tym przypadku daje się jednak zauważyć wpływ orientacji na budowę odgałęzień II rzędu, asymetrię gałęzi głównych oraz niewielkie wahania kinetyki ich wzrostu, zależnie od ukierunkowania względem sieci AK. Fakt możliwości wykorzystania opisywanego modelu AK do symulacji ewolucji ziaren tego typu wart jest podkreślenia, gdyż do tej pory uzyskiwano takie wyniki dla modeli AK o komórkach sześciokątnych, a orientacja ziarna była wyznaczona jednoznacznie przez główne kierunki sieci (patrz np. [58, 81]). 5 Tego typu kryształy pojawiają się przy krzepnięciu np. cynku, kadmu, a także wody (płatki śniegu). W tym ostatnim przypadku dendryty mają jednak zupełnie inny charakter, niż ziarna metali (tzw. dendryty ścianowe).

75 Gałąź główna promień krzywizny wierzchołka Gałąź główna promień krzywizny wierzchołka Interesującym wydaje się porównanie jednej z podstawowych charakterystyk otrzymanych ziaren promienia krzywizny wierzchołka głównej gałęzi z przewidywaniami modelu teoretycznego opisanego pokrótce w par Nie należy oczekiwać tutaj dużego podobieństwa wyników, gdyż model teoretyczny obarczony jest wieloma uproszczeniami. Nie uwzględniono w nim np. anizotropii ziarna, przechłodzenia kinetycznego, zaś efekty powierzchniowe (charakteryzowane współczynnikiem Gibbsa-Thomsona Γ) odgrywają rolę jedynie w kryterium selekcji (2.7). Pierwsze obliczenia przeprowadzono dla sieci o rozmiarze komórek ( x = 318.6), przy przechłodzeniu Ω = Po rozwinięciu się głównych gałęzi i osiągnięciu stanu ustalonego (rys. 5.7a), dla profilu wybranego odgałęzienia dopasowano optymalny 6, przewidywany przez teorię profil paraboliczny (rys. 5.7b). a) b) Rys. 5.7: Ziarno wybrane do porównań z rozwiązaniami analitycznymi (a) oraz parabola dopasowana do profilu jednej z gałęzi (b). Symbole oznaczają kolejne punkty interfejsu. Współczynniki paraboli y = ax 2 + bx + c mają wartości: a = , b = , c = Jak widać, paraboliczne czoło gałęzi jest prawidłowo przez model odtwarzane. Krzywiznę wierzchołka obliczono ze wzoru [6]: κ = d 2 y/dx 2, (5.1) [1 + (dy/dx) 2 ] 3/2 gdzie y = y(x) równanie paraboli (rys. 5.7). Przy danym x = xl c m otrzymuje się wartość zmierzonego promienia krzywizny R zm : R zm = 1 κ zm m. (5.2) Aby obliczyć teoretyczną wartość promienia R te krzywizny z kryterium selekcji (2.7), należy najpierw wyznaczyć gradient G C stężenia domieszki i temperatury G przed frontem krzepnięcia. Wykres zmian stężenia i temperatury na osi przechodzącej przez czoło dendrytu przedstawiono na rys Gradienty stężenia i temperatury oszacowano z następujących przybliżonych zależności (wyliczając zmiany pól w najblższym sąsiedztwie frontu): G C C x, 6 W sensie metody najmniejszych kwadratów. G T x, (5.3)

76 Gałąź główna promień krzywizny wierzchołka 74 a) b) Rys. 5.8: Zmienność stężenia domieszki w fazie ciekłej przed czołem dendrytu (a) oraz zmienność temperatury (b) po obu stronach frontu (komórka 108). przy czym C = 0.02[%], T = 0.13[K]. Kryterium selekcji daje zatem teoretyczną wartość promienia krzywizny równą: Γ R te = 2π mg C G m. (5.4) Biorąc pod uwagę komentarz na wstępie tego paragrafu zgodność R zm i R te można uznać za całkiem dobrą. Dla porównania z formułą (2.2) wyznaczono przechłodzenie kinetyczne T µ = 1.44K na wierzchołku gałęzi, a następnie stężeniową liczbę Pecleta: P C = vr zm 2D l = µ T µr zm 2D l = (5.5) oraz wartość funkcji Iwancowa (2.4) i przesycenie Ω C (2.1) stopu (przy C l = 0.73[%]): I(P c ) 0.15, Ω C = (5.6) Mimo wyraźnej różnicy tych wielkości są one tego samego rzędu, a takiej dokładności należałoby oczekiwać w przeprowadzonym porównaniu. Rys. 5.9: Zależność zmierzonego promienia krzywizny R zm od bezwymiarowego rozmiaru komórki x. Celem następnej serii symulacji było zbadanie zależności zmierzonego promienia krzywizny R zm od gęstości dyskretyzacji (por. podobne badania w [6]). Przyjęto przechłodzenie Ω = 0.35 oraz wartości x równe w kolejnych etapach odpowiednio 743, 446, 172

77 Mikrosegregacja 75 i 117 (co odpowiadało przejściu od sieci do sieci komórek). Wyniki przedstawiono na rys Algorytm można uznać za poprawny, jeśli w trakcie zagęszczania dyskretyzacji otrzymane wartości (w tym przypadku R zm ) tworzą ciąg zbieżny. Uzyskany rezultat wskazuje, że taka zbieżność została osiągnięta. 5.4 Mikrosegregacja Ważną cechą modeli ujmujących krzepnięcie w skali mikroskopowej jest możliwość przewidywania rozkładu domieszki w zakrzepłym stopie. Na skutek mikrosegregacji początkowo jednorodne pole stężenia składnika osiąga stan silnie nierównowagowy, redukowany dopiero przez dyfuzję w fazie stałej (ewentualnie przyspieszaną dzięki obróbce cieplnej). Zdolność omawianego modelu do tego rodzaju przewidywań zostanie najpierw zademonstrowana na przykładzie regularnego, izotropowego ziarna. Następnie analizie zostaną poddane efekty mikrosegregacji w typowych ziarnach dendrytycznych Ziarno izotropowe Symulację przeprowadzono na sieci komórek (150µm 150µm), przy stałej prędkości wzrostu v n = [m/s] na całej długości frontu, dzięki czemu ziarno przyjęło okrągły kształt (rys. 5.10). Rys. 5.10: Rozkład stężenia domieszki w sąsiedztwie oraz wewnątrz ziarna izotropowego. Po lewej przestrzenny wykres ukazujący warstwę dyfuzyjną w sąsiedztwie interfejsu. Segregacja domieszki na froncie oraz ograniczona szybkość dyfuzji prowadzą do niejednorodnego składu chemicznego ziarna i do utworzenia wzbogaconej warstwy dyfuzyjnej (omawianej już w par ) w cieczy sąsiadującej z frontem. Chociaż izolinie stężenia wewnątrz ziarna są niemal okrągłe, na kierunkach równoległych do linii sieci widoczne są niewielkie zaburzenia kolejny przejaw anizotropii sieci AK. Szczegółowe badania wykazały, że efekt ten nasila się przy zmniejszaniu szerokości warstwy dyfuzyjnej 7 (D l /v 0), a można go ograniczyć przez odrzucanie nadmiarowej domieszki do komórek ciekłych w sąsiedztwie von Neumanna o promieniu 2 (patrz 4.5.2). 7 Por

78 Mikrosegregacja Pojedyncze ziarna dendrytyczne Przechłodzenie obszaru, związane bezpośrednio z prędkością wzrostu, ma decydujący wpływ na pole stężenia domieszki w sąsiedztwie i wewnątrz ziarna. Na rys przedstawiono zmiany wartości pola C dla ziaren wzrastających w warunkach niewielkiego (a) i dużego przechłodzenia (b) (strukturę ziaren opisano już w par. 5.1). a) b) Rys. 5.11: Rozkład stężenia domieszki dla ziaren opisanych w par. 5.1 (przypadki a i c ). Silniej przechłodzone ziarno charakteryzuje się znacznie mniejszą szerokością warstwy dyfuzyjnej oraz większym zróżnicowaniem stężenia wewnątrz odgałęzień (w porównaniu z przypadkiem mniejszego przechłodzenia). Osie gałęzi głównych oraz faza stała, która narosła w najbliższym sąsiedztwie zarodka, mają mniejsze stężenie domieszki niż inne punkty ziarna. Widoczne jest także szczególne nagromadzenie domieszki w przestrzeniach międzygałęziowych, co w połączeniu z niskim stężeniem w samych gałęziach jest

79 Mikrosegregacja 77 zasadniczym źródłem nierównomiernego rozkładu domieszki w zakrzepłym stopie Oddziaływanie dwóch ziaren Badanie oddziaływania dwóch ziaren wzrastających w tym samym obszarze przeprowadzono w nieco innych niż dotychczas warunkach. Na brzegach obszaru komórek nałożono periodyczny warunek brzegowy (dla wszystkich pól), zaś wewnątrz umieszczono dwa zarodki o różnych orientacjach (klasy 5 i 14). Zastosowano także równomierne chłodzenie na całej powierzchni przyjmując, że wielkość Ω w każdej komórce zwiększa się w każdym kroku czasowym o wartość Ω = t, którą należy uwzględnić w równaniu przepływu ciepła (4.49). Zmienność średniej temperatury obszaru 8 w czasie symulacji ukazano na rys. 5.12a (krzywa chłodzenia). a) b) Rys. 5.12: Krzywa chłodzenia dla ziaren z rys (a) oraz przykładowy wykres obrazujący mikrosegregację (b) zmienność stężenia domieszki na linii utworzonej przez komórki (i, j), gdzie i = 43 (0 j 180). Chociaż ziarna nie oddziałują na siebie mechanicznie 9, widoczny jest ich wzajemny wpływ poprzez pola temperatury i stężenia domieszki (rys część górna). W chwili, gdy gałęzie niemal się spotykają, na skutek utworzenia strefy wzbogaconej w składnik stopowy temperatura równowagowa ulega obniżeniu, zmniejsza się lokalne przechłodzenie, a tym samym maleje prędkość wzrostu fazy stałej. Także w efekcie wydzielania się ciepła przemiany temperatura rzeczywista zwiększa się, co również owocuje zmniejszeniem przechłodzenia. W obszarze pomiędzy ziarnami widoczny jest brak odgałęzień drugiego rzędu. Zjawisko mikrosegregacji zilustrowano na wykresach przedstawionych w dolnej części rys Szczególnie interesujący jest ostatni wykres obrazujący ostatni etap krzepnięcia, kiedy udział fazy stałej w całym obszarze osiąga wartość bliską 1. Jak widać, stężenie domieszki w resztkowej fazie ciekłej ponad czterokrotnie przekracza stężenie początkowe. Przykładowy rozkład domieszki na wybranej linii prostej (dla tego etapu krzepnięcia) przedstawia rys. 5.12b. 8 Średniej arytmetycznej wartości pola temperatury wziętej po wszystkich komórkach sieci rzadkiej. 9 Pominięto tego rodzaju oddziaływania (patrz par oraz rozdz. 3).

80 Mikrosegregacja 78 Rys. 5.13: Wzrost dwóch ziaren w jednym obszarze. Struktura ziaren (u góry) oraz rozkład stężenia domieszki (dolne rysunki). Dokładne omówienie w tekście.

81 Wymiar fraktalny ziarna dendrytycznego Wymiar fraktalny ziarna dendrytycznego Jak wspomniano w par. 1.2, wymiar fraktalny może być jednym z parametrów charakteryzujących stopień rozgałęzienia dendrytu. Do obliczeń wybrano kontury trzech ziaren przedstawionych na rys Zgodnie z definicją pudełkowego wymiaru fraktalnego d f : N(ɛ) cɛ d f [71], gdzie N(ɛ) jest liczbą komórek o rozmiarze ɛ pokrywających dany kontur, zaś c jest pewną stałą. Zatem: log(n) = log(c) d f log(ɛ) (5.7) i wymiar fraktalny d f można znaleźć przez znalezienie nachylenia prostej obrazującej zależność N(ɛ) na wykresie logarytmicznym 10. Przykład zastosowania takiej procedury do obrazów wybranych ziaren widać na rys. 5.14, przy czym odrzucono skrajne wyniki pomiarów odpowiadające komórkom bardzo dużym (pokrywającym kontur w całości) oraz bardzo małym (rzędu paru pikseli). a) b) c) Rys. 5.14: Trzy typy ziaren dendrytycznych, dla których wyznaczono wymiar fraktalny ich konturów. Poniżej wykresy zależności log(n) = log(c) d f log(ɛ) (symbole ) oraz ich aproksymacja liniowa: a) log(n) = log(ɛ), b) log(n) = log(ɛ), c) log(n) = log(ɛ), przy czym współczynnik korelacji r wynosi odpowiednio , i Metodą najmniejszych kwadratów dopasowano do uzyskanych wyników zależności liniowe, dzięki czemu otrzymano następujące wymiary fraktalne ziaren: a) d f = 0.96, b) d f = 1.15, c) d f = Pierwsza z wartości (bliska 1) oznacza, że kontur ziarna jest regularny, niewiele odbiegający od klasycznej krzywej (o wymiarze 1), natomiast ostatnia wartość (znacznie większa od 1) wskazuje już na dużą złożoność i cechy fraktalne ziarna. 10 Z podanej formuły wynika zależność (1.2).

82 Krzepnięcie objętościowe Krzepnięcie objętościowe Symulację krzepnięcia objętościowego przeprowadzono na obszarze o rozmiarze komórek (280µm 280µm). Zastosowano zarodkowanie wstępne poprzez przypadkowe rozmieszczenie siedmiu zarodków (o przypadkowych orientacjach), przy czym dopuszczono także pojawienie się nowych zarodków w trakcie symulacji. Na brzegi obszaru nałożono periodyczne warunki brzegowe. Obliczenia wykonano w dwóch wariantach nazywanych dalej odpowiednio wolnym i szybkim chłodzeniem. W oby przypadkach obszar chłodzony był podobnie, jak w przykładzie 5.4.3, przy czym dla wolnego chłodzenia Ω = t oraz prawdopodobieństwo zarodkowania w komórce ciekłej, dla której T µ > 0, przyjęto na poziomie p z = (patrz par. 4.10). Dla szybkiego chłodzenia wybrano wartości kilkakrotnie większe, czyli: Ω = t, p z = Wolne chłodzenie Wyniki symulacji przedstawiono na rys (zmiana struktury ziaren) oraz rys (rozkład stężenia domieszki). Na tym drugim rysunku ukazano także krzywą chłodzenia rozważanego obszaru (wyznaczoną tak, jak w i wykres zmian t. Rys. 5.15: Zmiana struktury ziaren podczas krzepnięcia objętościowego (wolne chłodzenie). Kolejne etapy odpowiadają chwilom czasu: 0.2, 1.0, 2.6, 4.3, 7.2, 10.7 ( 10 2 s). Jak widać, przyjęta szybkość chłodzenia była na tyle mała, że gałęzie II rzędu rozwinęły się tylko w niewielkim stopniu. Nie bez znaczenia był też wzajemny wpływ ziaren największe odgałęzienia można zaobserwować gałęziach głównych najbardziej oddalonych od gałęzi innych ziaren. Wraz z postępem krzepnięcia stężenie domieszki w fazie ciekłej systematycznie się podnosi tak, że w końcowej fazie osiąga wartość znacznie większą niż stężenie wyjściowe.

83 Krzepnięcie objętościowe 81 Rys. 5.16: Zmiany rozkładu stężenia domieszki podczas krzepnięcia objętościowego (wolne chłodzenie). Kolejne etapy odpowiadają chwilom czasu: 0.2, 1.0, 2.6, 4.3, 7.2, 10.7 ( 10 2 s). Na dole: krzywa chłodzenia oraz zmiany bezwymiarowego kroku czasowego w trakcie symulacji.

84 Krzepnięcie objętościowe 82 Rysunki obrazujące ostatni etap wskazują, że najmniejszym stężeniem cechują się rdzenie odgałęzień (oraz samego ziarna). Wynika to z tego, że skład wnętrza gałęzi określany jest stężeniem cieczy w sąsiedztwie wierzchołka, a wartość ta jest tam z reguły mniejsza niż w innych punktach frontu. Z wykresu zmian kroku czasowego t wynika, że jego wielkość ustala się pod koniec krzepnięcia na granicy stabilności, natomiast w ostatnim etapie, kiedy pozostają już tylko pojedyncze komórki fazy ciekłej, t doznaje dość dużych wahań Szybkie chłodzenie Wyniki badań identycznych jak w 5.6.1, ale przy większej szybkości chłodzenia 11, pokazano na rys oraz rys Rys. 5.17: Zmiana struktury ziaren podczas krzepnięcia objętościowego (szybkie chłodzenie). Kolejne etapy odpowiadają chwilom czasu: 0.8, 3.3, 4.6, 7.2, 11.6, 17.0 ( 10 3 s). Przede wszystkim, w porównaniu z chłodzeniem wolnym, rzuca się w oczy bardziej złożona struktura ziaren oraz znacznie mniejszy czas krzepnięcia. Widoczne jest także pojawienie się nowych zarodków. Oba te czynniki spowodowały wyraźnie większe rozdrobnienie struktury stopu. Szybsze chłodzenie nie pozostało też bez wpływu na rozkład stężenia domieszki. Dzięki zmniejszonym warstwom dyfuzyjnym ziaren skład fazy ciekłej jest mniej jednorodny niż w poprzednio omawianym przypadku. Zróżnicowanie stężenia cieczy można zauważyć nawet w końcowych etapach krzepnięcia. Rozdrobnienie struktury owocuje bardziej pogłębioną mikrosegregacją (rys. 5.19). 11 Oraz przy innym rozkładzie zarodków (także przypadkowym).

85 Krzepnięcie objętościowe 83 Rys. 5.18: Zmiany rozkładu stężenia domieszki podczas krzepnięcia objętościowego (szybkie chłodzenie). Kolejne etapy odpowiadają chwilom czasu: 0.8, 3.3, 4.6, 7.2, 11.6, 17.0 ( 10 3 s). Na dole: krzywa chłodzenia oraz zmiany bezwymiarowego kroku czasowego w trakcie symulacji.

86 Krzepnięcie kierunkowe 84 a) b) Rys. 5.19: Porównanie efektów mikrosegregacji dla różnych prędkości chłodzenia: a) chłodzenie wolne, b) chłodzenie szybkie. Przedstawiono zmienność stężenia na linii przechodzącej przez środek obszaru komórki (170, j), gdzie 0 j 340. Ciekawą cechą modelu jest ujęcie zjawiska koalescencji gałęzi II rzędu [27]. Objawia się ono zwiększeniem parametru λ 2 wraz z czasem krzepnięcia, co jest konsekwencją łączenia sąsiednich odgałęzień. Podobny efekt można zaobserwować także w wynikach zebranych w par Krzepnięcie kierunkowe Ze względu na naturę krzepnięcia kierunkowego, jako domenę symulacji wybrano obszar prostokątny o wymiarach komórek (150µm 300µm). Górny brzeg obszaru zaizolowano cieplnie oraz pod względem przepływu domieszki (lustrzany warunek brzegowy), na brzegi boczne nałożono periodyczny warunek brzegowy, natomiast z brzegu dolnego odbierano ciepło stałym strumieniem. Na początku symulacji rozmieszczono przy dolnym brzegu w sposób losowy 30 zarodków o przypadkowych orientacjach. Stały odbiór ciepła zrealizowano zgodnie z opisem przy końcu par (warunek II rodzaju). Wzór (4.25) daje następującą formułę na brzegowe wartości przechłodzenia: Ω (i,0) = Ω (i,1) + q x T λt c. (5.8) Podobnie jak w poprzednim paragrafie symulacje przeprowadzono w dwóch wariantach, przy czym w pierwszym (zwanym analogicznie wolnym chłodzeniem) przyjęto q = [W/(m 2 )], natomiast w drugim wartość trzykrotnie większą q = [W/(m 2 )] (szybkie chłodzenie) Wolne chłodzenie Wyniki symulacji przedstawiono na rys oraz Na pierwszym z nich widać, że mimo przypadkowej orientacji zarodków pojawia się uprzywilejowany kierunek wzrostu skierowany w przybliżeniu prostopadle do dolnego brzegu obszaru. Wyselekcjonowane zostają te orientacje, które nie są tłumione przez wzrost ziaren sąsiednich (ang. grain competition) oraz są zgodne z kierunkiem gradientu temperatury. Przypadkowo zorientowane ziarna na brzegu obszaru można uważać za należące do strefy ziaren zamrożonych

87 Krzepnięcie kierunkowe 85 (ang. outer equiaxed zone), zaś ściśle zorientowane ziarna wyrastające z tego podobszaru do strefy ziaren kolumnowych (ang. columnar zone) [27, 51, 73]. Także między ziarnami kolumnowymi można zauważyć elementy konkurencji. Tylko co trzecie z ziaren osiągnęło granicę połowy obszaru, a kolejne zostało wytłumione niedaleko za nią. Związane jest to z dość szeroką strefą dyfuzyjną przy danej szybkości chłodzenia. Otrzymane ziarna kolumnowe cechują się dużą liczbą odgałęzień, szczególnie z dala od ich podstawy. Jednak ze względu na niewielką dostępną przestrzeń (ograniczoną przez sąsiednie ziarna) nie rozwijają się one w pełni i pozostają w postaci zwartych zalążków. Rys. 5.20: Zmiana struktury ziaren podczas krzepnięcia kierunkowego (wolne chłodzenie). Kolejne etapy odpowiadają chwilom czasu: 1.3, 2.2, 3.9, 6.6, 12.7, 16.3 ( 10 2 s). Zmiany pola stężenia domieszki pokazano na rys Kierunkowość krzepnięcia powoduje, że daleko od frontu (przyjmującego formę komórkowo-dendrytyczną) izolinie po-

88 Krzepnięcie kierunkowe 86 la są niemal równoległe do dolnego brzegu. Największe zaburzenia występują w okolicy wierzchołków ziaren. Rys. 5.21: Zmiany rozkładu stężenia domieszki podczas krzepnięcia kierunkowego (wolne chłodzenie). Kolejne etapy odpowiadają chwilom czasu: 1.3, 2.2, 3.9, 6.6, 12.7, 16.3 ( 10 2 s) Szybkie chłodzenie Na rys oraz 5.23 zebrano wyniki symulacji w wariancie szybkiego chłodzenia. Można zauważyć mniejsze współzawodnictwo ziaren kolumnowych w początkowym etapie wzrostu. Większa ich część dociera do granicy połowy obszaru, gdzie wzrost kolejnych dwóch ziaren zostaje zablokowany. Gęstość odgałęzień II rzędu jest nieco większa niż w przypadku wolnego chłodzenia. Także udział fazy stałej w dolnej części obszaru jest większy w chwili, gdy wierzchołki dendrytów osiągają przeciwległy brzeg.

89 Krzepnięcie kierunkowe 87 Rys. 5.22: Zmiana struktury ziaren podczas krzepnięcia kierunkowego (szybkie chłodzenie). Kolejne etapy odpowiadają chwilom czasu: 0.4, 0.9, 2.2, 3.0, 3.8, 5.2 ( 10 2 s). Rozkład stężenia domieszki w obszarze dla kolejnych etapów krzepnięcia pokazano na rys Widać, że szerokość warstwy dyfuzyjnej uległa zmniejszeniu i zwiększył się gradient stężenia w przestrzeniach międzygałęziowych. W dolnej części rys przedstawiono porównanie struktur i rozkładu stężenia domieszki dla obu wariantów chłodzenia w ostatnim etapie krzepnięcia, przy zbliżonym udziale fazy stałej. Także tutaj można wyciągnąć podobny wniosek, jak w przypadku krzepnięcia objętościowego: zwiększenie szybkości chłodzenia prowadzi do większego rozdrobnienia struktury mniejsza jest nie tylko odległość λ 1 między gałęziami głównymi (ziarnami kolumnowymi), ale zwiększa się także gęstość odgałęzień II rzędu (mniejsze λ 2 ).

90 Krzepnięcie kierunkowe 88 Rys. 5.23: U góry: zmiany rozkładu stężenia domieszki (szybkie chłodzenie). Kolejne chwile czasu: 0.4, 0.9, 2.2, 3.0, 3.8, 5.2 ( 10 2 s). Na dole: porównanie finalnych struktur przy wolnym i szybkim chłodzeniu.

91 Jakościowa weryfikacja doświadczalna modelu Jakościowa weryfikacja doświadczalna modelu Pewnej weryfikacji otrzymanych wyników mogą dostarczyć efekty badań różnego rodzaju substancji modelowych, krzepnących na sposób dendrytyczny. Oczywiście, ze względu na duże różnice właściwości takich substancji i właściwości metali nie należy oczekiwać tutaj pełnej zgodności. Zaletą stosowania substancji modelowych jest jednak to, że zdecydowanie łatwiej poddają się bieżącej obserwacji oraz, mimo różnic ilościowych, nie zatraca się istoty zjawiska. Porównanie struktur otrzymanych w symulacjach (m k = 6) z wynikami doświadczeń przeprowadzonych w Katedrze Odlewnictwa Politechniki Częstochowskiej przedstawiono 12 na rys i a) b) Rys. 5.24: Krzepnięcie objętościowe: a) struktura obliczona, b) struktura obserwowana doświadczalnie (azotan potasu). a) b) Rys. 5.25: Krzepnięcie kierunkowe: a) struktura obliczona, b) struktury obserwowane doświadczalnie (azotan potasu). Widoczne niewielkie różnice w budowie ziaren mogą brać się nie tylko z odmiennych właściwości, ale również z innego sposobu chłodzenia (por. wyniki z rozdziału 5). Bardziej szczegółowe badania nie leżały jednak w zakresie tej pracy. 12 Dzięki uprzejmości mgra J. Swadowskiego oraz prof. Z. Konopki. Autor pragnie też wyrazić wdzięczność panu W. Konarskiemu (DKF Rumcajs) za pomoc w cyfryzacji taśmy filmowej.