WYKORZYSTANIE AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH DO SYMULACJI KRZEPNIĘCIA KIERUNKOWEGO

Transkrypt

1 38/14 Archives of Foundry, Year 2004, Volume 4, 14 Archiwum Odlewnictwa, Rok 2004, Rocznik 4, Nr 14 PAN Katowice PL ISSN WYKORZYSTANIE AUTOMATÓW KOMÓRKOWYCH DO SYMULACJI KRZEPNIĘCIA KIERUNKOWEGO M. MAREK 1 Politechnika Częstochowska, Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, ul. Dąbrowskiego 72, Częstochowa STRESZCZENIE W artykule przedstawiono wyniki zastosowania modelu komórkowego do symulowania przebiegu krystalizacji kierunkowej stopu dwuskładnikowego. W pierwszej części opisano podstawowe założenia modelu, zaś w drugiej przykładowe rezultaty uzyskane za jego pomocą. Keywords: cellular automaton, directional solidification 1. WSTĘP Modele krzepnięcia oparte na idei automatów komórkowych od czasu swego powstania coraz bardziej zyskują na popularności. Można uważać je za doskonały przykład tego, że model uwzględniający dużą liczbę czynników fizycznych wcale nie musi być skomplikowany i trudny w implementacji. W pierwszej fazie istnienia były to bardzo proste modele stawiające sobie za cel jedynie odtworzenie jakościowe wzorców pojawiających się podczas krystalizacji (np. struktur dendrytycznych). Ostatnie wersje prowadzą już do przewidywań ilościowych, znajdujących potwierdzenie w eksperymencie i aktualnie przyjmowanych modelach teoretycznych [1-4]. Klasycznie rozumiany automat komórkowy [8] to sieć tzw. komórek, z których każda może posiadać skończoną liczbę stanów. Stan komórki może zmieniać się w każdym kroku czasowym, a zmiana uzależniona jest od stanu komórek sąsiednich w 1 mgr inż., macmar@imipkm.pcz.czest.pl

2 286 poprzednim kroku czasowym. Powstałe modele krzepnięcia poszerzają nieco p ojęcie automatu komórkowego przez uogólnienie pojęcia stanu i reguły jego transformacji. Model opisany w niniejszym artykule uwzględnia następujące zjawiska: - zarodkowanie homogeniczne - wzrost fazy stałej uzależniony od przechłodzenia - efekty powierzchniowe związane z krzywizną frontu - wyrzut domieszki przez front krzepnięcia i jej dyfuzja w fazie ciekłej - wydzielanie się ciepła krzepnięcia - przepływ ciepła w obszarze stopu Część z tych zjawisk zamodelowano wiernie, pozostałe w sposób dość uproszczony, przyjmując szereg założeń, które zostaną omówione dokładniej w następnym paragrafie. 2. KOMÓRKOWY MODEL KRZEPNIĘCIA Podobnie jak we wielu innych modelach numerycznych procesu krzepnięcia rozważany tutaj model wymaga dyskretyzacji obszaru stopu. Dyskretyzacja ta o dbywa się poprzez wprowadzenie komórek, skończonych obszarów, który rozmiar jest znacznie większy niż rozmiar atomów, ale jest na tyle mały, że niejednorodności w rozkładzie domieszki i temperatury można w zakresie komórki pominąć. Komórki mogą tworzyć sieć kwadratową (taka właśnie została przyjęta w rozważanej wersji) lub heksagonalną. Na wprowadzonej sieci definiuje się trzy pola: -pole fazowe g określające udział fazy stałej w danej komórce; pole to przyjmuje wartości z przedziału [0;1] wartość 0 przyporządkowana jest komórkom zawierającym jedynie fazę ciekłą, zaś wartość 1 komórkom całkowicie zakrzepłym; wartości pośrednie oznaczają komórkę częściowo zakrzepłą, przy czym nie określa się dokładnie rozkładu fazy stałej w obszarze komórki (tym samym położenie powierzchni rozdziału nie jest jawnie zdefiniowane); - pole stężenia domieszki C odpowiada rozkładowi domieszki w obszarze stopu; jego zmiana uwarunkowana jest dwoma czynnikami: odrzucaniem domieszki przez front krystalizacji (przy współczynniku rozdziału k mniejszym niż 1) oraz dyfuzją w fazie ciekłej; dyfuzja w fazie stałej nie jest uwzględniona; ponadto przyjmuje się, że współczynniki dyfuzji nie zależy od temperatury; - pole temperatury T przyporządkowuje każdej komórce określoną temperaturę; zmiany temperatury wynikają z nałożonych warunków chłodzenia, przepływu ciepła oraz wydzielania się ciepła krzepnięcia przy wzroście fazy stałej; Model zbudowany jest na zasadzie automatu komórkowego stan komórek w danej chwili (związany z rozkładem omówionych pół) jednoznacznie wyznacza stan komórek w następnym kroku czasowym. Rozpatrywany model jest zatem w pełni deterministyczny, ale nie ma oczywiście żadnych przeszkód by wprowadzić do niego pewne czynniki losowe związane np. z przypadkowo rozmieszczonymi zanieczyszczeniami, fluktuacjami temperatury itp. Fragment sieci komórek pokazany jest na rys.1.

3 287 Rys.1 Przykładowy rozkład pola fazowego na sieci dziewięciu komórek. Fig.1 Example of phase field distribution in the system of nine cells. Przebieg symulacji jest następujący: 1. W każdej komórce rozważanego obszaru ustala się początkową wartość każdego z pól pole fazowe otrzymuje wartość zerową, stężenie domieszki wartość wyjściową, jednakową w całym obszarze (przyjmujemy, że stop jest jednorodną cieczą); analogicznie definiowane jest pole temperatury; określenie warunków chłodzenia będzie miało duży wpływ na typ krystalizacji np. w przypadku odbioru ciepła przez jedną ze ścianek ograniczających obszar preferowana będzie krystalizacja kierunkowa. 2. Etap zarodkowania dla każdej komórki obliczana jest prędkość zarodkowania I [5,6]: I exp 16 [ ] ck, cm s 3 kbs ( Tr T ) T gdzie: - lepkość dynamiczna, c,k - napięcie powierzchniowe granicy międzyfazowej, k B - stała Boltzmanna, S- entropia krystalizacji, T r - temperatura równowagowa, Tprzechłodzenie. Dla uproszczenia przyjęto, że zarodkowanie odbywa się w taki sam sposób, jak w czystym metalu. Pominięto także możliwość zarodkowania heterogenicznego. Na podstawie wyliczonej wartości I znajduje się prawdopodobieństwo powstania zarodka w danej komórce. Dla komórki, w której powstał zarodek, przyjmuje się wartość pola fazowego równą Etap wzrostu kryształu w każdej częściowo zakrzepłej komórce (g z przedziału (0;1) ) lub w takiej, która sąsiaduje z komórką całkowicie zakrzepłą, obliczany jest przyrost fazy stałej g, przy założeniu, że prędkość normalna powierzchni rozdziału jest proporcjonalna do przechłodzenia, a linię likwidus można przyliżyć linią prostą [2]:

4 288 t t g T Tm T mcl x x gdzie: - współczynnik kinetyczny, t- krok czasowy, x - rozmiar liniowy komórki, T m - temperatura topnienia czystego składnika, T temperatura w danej komórce, m współczynnik kierunkowy linii likwidus, C i - stężenie domieszki w danej komórce, - współczynnik Gibbsa-Thomsona, - krzywizna powierzchni międzyfazowej. Krzywizna ta estymowana jest (bardzo zgrubną metodą) dla każdej komórki z wykorzystaniem wartości pola fazowego w komórkach sąsiednich [1]. 4. Wyznaczony w poprzednim kroku przyrost fazy stałej pozwala określić ilość ciepła krzepnięcia wydzieloną w rozpatrywanej komórce. Na podstawie znajomości stężenia domieszki w krzepnącej komórce i średniego stężenia w sąsiednich komórkach ciekłych wyliczana jest ilość domieszki odrzucanej przez front do przyległej fazy ciekłej. Korzysta się przy tym z równowagowego współczynnika rozdziału k, równego stosunkowi stężenia domieszki w fazie stałej do stężenia domieszki w fazie ciekłej w stanie równowagi między fazami. 5. Dyfuzja domieszki i przepływ ciepła zmiana stężenia domieszki związana z jej dyfuzją w fazie ciekłej wyznaczana jest schematem jawnym metody różnic skończonych. Ze względu na bardzo dużą różnicę współczynnika dyfuzji domieszki i współczynnika wyrównywania temperatury, dla zachowania stabilności i efektywności algorytmu przepływ ciepła obliczany jest schematem niejawnym [7]. Proces ten należy powtarzać, aż do całkowitego zakrzepnięcia stopu. 3. KRZEPNIĘCIE KIERUNKOWE Symulacja krzepnięcia kierunkowego została przeprowadzano na kwadratowym obszarze o rozmiarze 110x110 komórek, przy czym rozmiar liniowy komórki przyjęto jako 1m. Modelowany stop to Al5%wtCu [1]. Początkowa temperatura obszaru: 900K. Trzy z boków obszaru są zaizolowane cieplnie, natomiast z czwartego odbiór ciepła zdefiniowany jest warunkiem III rodzaju. Ze względu na mały rozmiar próbki otrzymanie wyraźnego gradientu temperatury możliwe było tylko przy założeniu bardzo dużej wartości współczynnika wnikania ciepła (rzędu 10 4 ). Wyniki symulacji przedstawiono na rys. 2, gdzie pokazany jest rozkład domieszki w stopie dla trzech różnych chwil czasu. Łączny czas symulacji to 4000 kroków, przy czym jeden krok czasowy to 5*10-7 s. Ponieważ możliwość rożnej orientacji ziaren nie została uwzględniona w modelu, każde z ziaren ma taką samą orientację podyktowaną symetrią przyjętej siatki. Jest to efekt negatywny, konsekwencja braku śledzenia przebiegu frontu krzepnięcia w każdej z komórek. Jak już wspomniano, przyjęty diagram fazowy stopu został uproszczony do dwóch linii prostych likwidusu i solidusu. Przy niewielkich stężeniach domieszki jest to założenie całkowicie akceptowalne, jednak, jak widać na rysunkach, istnieją w obszarze punkty,

5 Rys.2 Trzy wybrane etapy wzrostu fazy stałej; rysunek po prawej pokazuje rozkład domieszki przy całkowitym zakrzepnięciu obszaru. Fig.2 The three chosen stages of solid state growth; figure on the right depicts solute distribution when the solidification is completed

6 290 których stężenia znacznie przekraczają stężenie eutektyczne dla rozważanego stopu (33.3%). Wskazane jest zatem rozbudowanie modelu w celu uwzględnienia możliwości wzrostu eutektyki. W pierwszym przybliżeniu można przyjąć, że komórki o dużym stężeniu domieszki zawierają eutektykę. LITERATURA [1] M. F. Zhu, C.P.Hong: A Modified Cellular Automaton Model for the Simulation of Dendritic Growth in Solidification of Alloys, ISIJ International, Vol.41(2001), No.5 [2] A. Artemev, J. Goldak: Computer simulation of dendrite growth in alloys, Simulation of Materials Processing..., Huetink & Baaijens, Balkema, Rotterdam, 1998 [3] S. G. R. Brown: Simulation of diffusional composite growth using cellular automaton finite difference method, Journal of Materials Science 33(1998) [4] Y. H. Shin, C.P. Hong: Modeling of Dendritic Growth with Convection Using a Modified Cellular Automaton Model with a Diffuse Interface, ISIJ Internation, Vol.42 (2002), No.4. [5] E. Fraś: Krystalizacja metali, WNT, Warszawa [6] W. Kurz, D.J.Fisher: Fundamentals of solidification, Trans Tech Publications, Switzerland, 1989 [7] B. Mochnacki, J.S.Suchy: Numerical Methods in Computations of Foundry Processes, Polish Foundrymen s Technical Association, Kraków 1995 [8] K. Kułakowski: Automaty komórkowe, OEN AGH, Kraków 2000 APPLICATION OF CELLULAR AUTOMATON MODEL TO DIRECTIONAL SOLIDIFICATION MODELLING SUMMARY Results of application of cellular automaton model to simulation of directional solidification of binary alloy are shown in this paper. In the first part the model itself is described, in the second one some example results obtained with the use of the model. Recenzowała Prof. Ewa Majchrzak