ZASTOSOWANIE METODY PSO W OPTYMALIZACJI RUCHU SAMOCHODU OSOBOWEGO

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 216 nr 58, ISSN X ZASTOSOWANIE METODY PSO W OPTYMALIZACJI RUCHU SAMOCHODU OSOBOWEGO Krzysztof Augustynek 1a, Kornel Warwas 1b 1 Katedra Informatyki i Automatyki, Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej a kaugustynek@ath.bielsko.pl, b kwarwas@ath.bielsko.pl Streszczenie W pracy przedstawiono metodę optymalizacji ruchu samochodu osobowego podczas jazdy po nawierzchni o zmiennej przyczepności. Model matematyczny pojazdu sformułowano, korzystając w zapisie z transformacji jednorodnych oraz współrzędnych złączowych. Podczas optymalizacji dobierano przebieg momentów hamujących działających na poszczególne koła pojazdu, tak aby zapewnić utrzymanie się pojazdu w szerokości jezdni. Do rozwiązania zadania optymalizacji dynamicznej zastosowano nowatorską metodę PSO (Particle Swarm Optimisation). Metoda ta, w odróżnieniu od klasycznych gradientowych metod optymalizacji, umożliwia znajdowanie rozwiązań globalnie optymalnych. W pracy przedstawiono wnioski wypływające z uzyskanych wyników oraz zastosowanej metody optymalizacji. Słowa kluczowe: samochód osobowy, modelowanie komputerowe, optymalizacja dynamiczna, Particle Swarm Optimization AN APPLICATION OF PSO METHOD IN A MOTION OPTIMIZATION OF A PASSENGER CAR Summary The paper presents a method of passenger car motion optimisation while driving on the road surface with variable friction. A mathematical model of the vehicle has been formulated with using homogenous transformation and joint coordinates. In order to maintenance position of the vehicle in the width of the road optimisation problem has been formulated and solved. During optimisation braking torques courses applied to each wheel of the car have been determined. In order to solve dynamic optimisation problem an innovative Particle Swarm Optimisation (PSO) method has been applied. This method, in contrast to the classical gradient optimisation methods, allows us to find global optimal solution. Results obtained during numerical simulations have been presented and discussed. Keywords: passenger car, numerical simulation, dynamic optimisation, Particle Swarm Optimization 1. WSTĘP Podczas projektowania pojazdów szczególny nacisk kładzie się na bezpieczeństwo oraz komfort kierowcy i pasażerów. Zaprojektowanie pojazdu spełniającego te kryteria wymaga wykonania szeregu testów drogowych oraz badań stanowiskowych, co się wiąże z dodatkowymi kosztami. Przygotowanie wirtualnych modeli pojazdów w pierwszym etapie prac projektowych pozwala zmniejszyć koszty oraz dokonać wstępnej oceny zachodzących zjawisk [1, 2, 3, 21]. W wielu przypadkach symulacje komputerowe są jedynym możliwym sposobem otrzymania rozwiązania. Sytuacja taka zachodzi na przykład przy rekonstrukcji przebiegu kolizji lub w symulacjach sytuacji krytycznych. Tworzone w tym zakresie modele powinny odzwierciedlać rzeczywistość, a czas obliczeń 5

2 ZASTOSOWANIE METODY PSO W OPTYMALIZACJI RUCHU SAMOCHODU OSOBOWEGO powinien być stosunkowo krótki, aby możliwe było prowadzenie analiz wariantowych [2, 23]. W literaturze można spotkać wiele pozycji poświęconych modelowaniu pojazdów jako układów wieloczłonowych. Do opisu tych układów wykorzystuje się współrzędne absolutne, naturalne lub złączowe. Najczęściej wykorzystuje się współrzędne absolutne, które prowadzą do układów równań różniczkowo-algebraicznych. Wyprowadza się je, korzystając z równań Lagrange a I rodzaju lub równań Newtona-Eulera [2, 6]. Istnieją również prace, w których do opisu ruchu pojazdu stosuje się współrzędne złączowe [1, 21, 23, 25]. Dynamiczne równania ruchu pojazdu w tych współrzędnych najczęściej formułuje się, bazując na równaniach Lagrange a II rodzaju. Takie podejście prowadzi do układów o mniejszej liczbie równań, niejednokrotnie bez definiowania dodatkowych równań więzów [1, 1, 2, 24, 25]. W pracach [1, 7, 2, 21, 23, 24] autorzy przedstawili sposób modelowania pojazdów osobowych i wieloczłonowych o różnym stopniu skomplikowania, adaptując metody stosowane w robotyce. Do transformacji współrzędnych zastosowano metodę przekształceń jednorodnych, umożliwiającą łatwe modelowanie pojazdów, traktując je jako otwarte łańcuchy kinematyczne o strukturach drzewa. Wirtualne modele pojazdów można wykorzystać do symulacji ruchu pojazdów w sytuacjach niebezpiecznych takich jak wymijanie, wyprzedzanie, jazda po łuku czy jazda po jezdni o obniżonym współczynniku przyczepności. Szereg artykułów związanych z modelowaniem i optymalizacją ruchu pojazdu w sytuacjach krytycznych przedstawiono w [11, 12]. W pracy [13] omówiono ważniejsze aspekty związane z modelowania bezpieczeństwa pojazdów samochodowych. Autor wśród głównych przyczyn wypadków występujących na drogach wymienia niedostosowanie prędkości pojazdu do warunków drogowych. W tym przypadku wirtualny model pojazdu może stanowić podstawę do sygnalizacji zagrożeń przy wykonywaniu różnych manewrów w tym jazdy po łuku. Powszechnie w wielu ośrodkach realizowane są badania dotyczące metod poprawy skuteczności układów hamulcowych, zmierzające m.in. do poprawy ich konstrukcji. Autorzy pracy [22] przedstawiają wyniki badań, z których wynika, że stan nawierzchni oraz stopień jej zanieczyszczenia wpływają znacząco na długość drogi hamowania. Sprawny układ hamulcowy może okazać się niedostatecznie skuteczny, gdy pojazd porusza się po drodze zanieczyszczonej. Dlatego też istotne są systemy wspomagające, działające niezależnie od woli kierowcy. Projektowanie takich systemów jest bardzo trudne. Zależy od wielu czynników zewnętrznych i istnieje wiele możliwych wariantów sytuacji drogowych, w których taki układ powinien zareagować. Występuje zatem potrzeba kalibracji oraz walidacji istniejących systemów wspomagających, która może być wykonana poprzez wykorzystanie wyników uzyskanych z optymalizacji dynamicznej. Metody optymalizacji do rozwiązywania zadań z zakresu sterowania układami pojazdów samochodowych stosowano w między innymi w pracach [7, 23, 24]. Autorzy wykorzystali algorytmy o różnym stopniu skomplikowania do doboru momentów hamujących działających na koła pojazdu w sytuacjach krytycznych w samochodach wieloczłonowych. Do rozwiązania zadania optymalizacji dynamicznej ruchu pojazdu najczęściej stosowane są klasyczne gradientowe lub bezgradientowe metody optymalizacji [23, 24]. Wadą tych metod jest ich zbieżność do ekstremów lokalnych, w zależności od wybranego punktu startowego. Wolnymi od tych wad są metody ewolucyjne oraz metoda PSO (ang. Particle Swarm Optimization). Oba podejścia umożliwiają znajdowanie ekstremów globalnych i rozpoczynają obliczenia z wielu punktów początkowych [4, 8, 15, 18, 19]. Niezależenie od zastosowanej metody rozwiązania zadania optymalizacji dynamicznej dużym problem pozostaje długi obliczeń. Uniemożliwia to wykorzystanie takiego modelu bezpośrednio w sterowniku urządzenia. Podejmowane są jednak próby sterowania układami pojazdu w czasie rzeczywistym [12]. W tym zakresie najczęściej wykorzystuje się sztuczne sieci neuronowe, dla których zbiorem uczącym mogą być np. wyniki rozwiązań szeregu zadań optymalizacji dynamicznej [23, 24]. W pracach [5, 14] wskazano, że taki układ sterowania może być wyzwalany w momencie, gdy następuje zmiana warunków kontaktu koła ogumionego z nawierzchnią drogi, poprzez śledzenie wartości siły stycznej działającej na oponę. 2. MODEL MATEMATYCZNY SAMOCHODU W analizowanym modelu typowego samochodu wyróżniono trzy podzespoły: nadwozie, zawieszenia oraz koła (rys. 1). Rys. 1. Współrzędne uogólnione pojazdu Nadwozie traktowane jest jako bryła sztywna i posiada sześć stopni swobody względem układu inercjalnego: = (1) 6

3 KRZYSZTOF AUGUSTYNEK, KORNEL WARWAS gdzie:,, współrzędne nadwozia względem układu inercjalnego,,, - kąty Eulera ZYX. Zawieszenia przednie pojazdu są traktowane jako nieza- swobody w leżne i każde z nich posiada dwa stopnie ruchu względem nadwozia. Wektor współrzędnych uogólnionych można zapisać w postaci:, =,,,= =1,2 (2) W dalszej części pracy analizowany jest ruch pojazdu po łuku. W trakcie ruchu następuje zmiana rodzaju na- przyczepności wierzchni z nawierzchni o współczynniku ) * na ) +, gdzie ) +,) *, w rezultacie czego pojazd wypada poza jezdnię. Celem optymalizacji jest taki dobór momentów hamujących działających na poszczeaby spadek gólne koła pojazdu podczas manewru, prędkości był jak najmniejszy, a jednocześnie pojazd utrzy- (rys. mał trajektorię w granicach jezdni 2). W przedstawionym problemie zmienne decyzyjne okre- w dyskretnych ślają wartości momentów hamujących chwilach czasowych: =1 1 EF ' (6) gdzie 2 3 jest liczbą dyskretnych chwil czasowych. gdzie:, - ugięcie zawieszenia,, - kąt skręcenia koła. Zawieszenie tylne zostało zamodelowane jako zależne i jego ruch jest opisany następującym wektorem współrzędnych uogólnionych: = (3) gdzie: - ugięcie zawieszenia, - kąt obrotu belki tylnego zawieszenia. Koła w ruchu względnym posiadają jeden stopień swo- body,, =1,,4 będący kątem obrotu względnego: =,,,,. 4 Dynamiczne równania ruchu pojazdu wyprowadzono z równań Lagrange a II rodzaju korzystając w zapisie z przekształceń jednorodnych [1, 7, 25]. Macierzową postać tych równań można przedstawić następująco:! "# $ %=& # $ '! =( gdzie: macierz mas, = ' - wektor współrzędnych uogólnionych pojazdu, # $ macierz więzów, % - wektor niewiadomych reakcji, & wektor zawierający siły odśrodkowe, girosko- więzów. powe, Coriolisa oraz zewnętrzne, ( wektor prawych stron równań Siły oddziaływania jezdni na koła pojazdu wyznaczane są na podstawie modelu opony Dugoffa-Fenchera-Segelaz modyfikacją Uffelmanna [1, 21, 23]. Model ten charak- teryzuje się małą liczbą współczynnikóww empirycznych, które można dobierać na podstawie podobieństwa do innych opon. Zalety modelu wpłynęłyy na jego częste wykorzystywanie w autorskich programach [1, 7, 2, 21, 23]. 3. SFORMUŁOWANIE OPTYMALIZACJI 5 ZADANIA Rys. 2. Trajektoria pojazdu poruszającego się po łuku Do otrzymania funkcji ciągłej zmiennych decyzyjnych zastosowano funkcje sklejane pierwszego stopnia. Dodat- określające kowo przyjęto ograniczenia nierównościowe minimalne i maksymalne wartości momentów hamujączy pojazd znajduje się cych oraz warunki sprawdzające, w granicach jezdni. Ogólną postać ograniczeń można zapisać następująco: gdzie: =1,,2 6, 4 5 (7) liczba ograniczeń nierównościowych. Wszystkie te ograniczenia uwzględniono w zadaniu optymalizacji poprzez zewnętrzną funkcję kary [16, 17]: 7 =8 :, ; < =,>6 > gdzie :,,:, są wagami dobieranymi empirycznie. W przedstawionym zadaniu funkcja celu zawiera skład- pojazdu w czasie niki określające spadek prędkości wykonywania manewru oraz ograniczenia (11):?,!=:v A BC D " dla 4 5 dla 4 G H (8) E J 7 K min (9) gdzie: C A prędkość początkowa pojazdu, C D prędkość pojazdu po zakończeniu symulacji, : waga dobierana empirycznie. Aby zapisać ograniczenia określające, czy dany pojazd znajduje się w granicach jezdni, zastosowano przekształ- względem cenie, w którym położenie pojazdu układu 7

4 ZASTOSOWANIE METODY PSO W OPTYMALIZACJI RUCHU SAMOCHODU OSOBOWEGO inercjalnego jest określone za pomocą współrzędnych geodezyjnych. Jak wykazały numeryczne badania symulacyjne, trajektoria pojazdu poruszającego ze stałym skrętem kół może być przybliżona za pomocą krzywej eliptycznej. Położenie dowolnego punktu P leżącego na takiej krzywej względem układu inercjalnego można zapisać zależnością wektorową: % Q =% A "%R Q S (1) gdzie: % A wektor określający położenie początku układu {U}, związanego z elipsoidą, względem układu inercjalnego {}, S S S %R Q =RQ R Q ' wektor określający położenie punktu P względem układu {U} związanego z elipsoidą. S Elementy wektora %R Q można wyznaczyć następująco [9]: gdzie: X= ` abc = def = g X YZ[ S %R Q =W 1B; cos_ (11) promień krzywizny, ;=1Bh i `j pierwszy mimośród, kąt nachylenia prostej normalnej do elipsy przechodzącej przez punkt P. Rys. 4. Zapis współrzędnych punktu w układzie pomocniczym Znając kąt nachylenia normalnej 2 do osi k t, można zdefiniować funkcję określającą położenie punktów znajdujących na przecięciu normalnej z elipsami proporcjonalnymi do toru referencyjnego: gdzie: Xv = Xv YZ[B; %R t u v=w1b;v cos_ (14) `wx abcx = def = g promień krzywizny, ;v=1bh iwx `wx j pierwszy mimośród. Elipsy proporcjonalne do toru referencyjnego można wykorzystać w zapisie ograniczeń sprawdzających, czy pojazd znajduje się w granicach jezdni. Ograniczenia te można zapisać następująco: y%r t t u [ 3E y5y%r t Q y5y%ru [ 3`r y (15) gdzie: [ 3E, [ 3`r odległość dolnej i górnej krawędzi jezdni względem toru referencyjnego. Ponadto momenty hamujące muszą przyjmować wartości z założonego zakresu: 4. METODA PSO 3E 55 3`r (16) Rys. 3. Zapis współrzędnych punktu w układzie eliptycznym Znając współrzędne punktu P w układzie {U}, można wyznaczyć kąt nachylania normalnej do elipsy względem osi k S z następującej zależności: gdzie l E =h` q i j or p =lmyn4l E (12) rr p q jest współczynnikiem kierunkowym normalnej do elipsy w punkcie P. Aby wyznaczyć granice jezdni odpowiadające punktowi P trajektorii, wprowadzono układ {s} równoległy do układu {U}, którego początek znajduje się w miejscu przecięcia normalnej z osią k S (rys. 4). Współrzędne punktu P, w układzie {s} można wyznaczyć z zależności: %R Q t =RQ S B; RQ S ' (13) Metoda PSO (Particle Swarm Opitmization) należy do grupy stochastycznych metod optymalizacji nieliniowej [4, 15, 18]. Metoda ta po raz pierwszy została przedstawiona w 1995 roku przez Eberharta oraz Kennedy ego. Inspiracją do opracowania metody były zachowania stadne ptaków i ryb. W algorytmie PSO potencjalne rozwiązanie, nazywane również cząstką, porusza się po przestrzeni stanu, biorąc pod uwagę aktualne w danej iteracji rozwiązania optymalne (rys. 5). Rozwiązania początkowe są generowane w sposób losowy w przestrzeni stanu, analogicznie jak w metodach ewolucyjnych [19]. Każda cząstka jest opisana przez jej pozycję oraz prędkość. Cechy te są aktualizowane w każdym kroku algorytmu, a wielkość tej zmiany jest zależna od wartości rozwiązania optymalnego w danej iteracji oraz we wszystkich dotychczas wykonanych krokach (rys. 6). Prędkość i pozycję cząstki w kolejnym kroku można wyznaczyć z zależności [4, 15]: 8

5 KRZYSZTOF AUGUSTYNEK, KORNEL WARWAS z w =z ": m = gdzie: ": m { } B "z + B " w (17) (18) = 1,, 2~, 2~ liczba cząstek w roju, numer iteracji, z = CD DK,,E - wektor prędkości cząstki iteracji, = D DK,,E - wektor pozycji cząstki w w iteracji, + najlepsza pozycja cząstki uzyskana w iteracjach 1, { } najlepsza pozycja cząstki uzyskana w iteraiter cjach 1, m, m liczby losowe generowane w iteracji dla cząstki, :, : współczynniki uczenia. Rys. 6. Schemat blokowy działania metody PSO Metoda PSO wykazuje wiele podobieństw do algorytalgory mów genetycznych i ewolucyjnych, choć występują pewne różnice [15, 18, 19]: a) metoda PSO nie posiada operatorów genetyczgenetyc nych takich jak krzyżowanie i mutacja, w metodzie PSO nie ma wymiany informacji między osobnikami tak jak w algorytmach algorytm ewolucyjnych, w algorytmie PSO cała populacja jak jedna grupa porusza się w kierunku punktu optymaloptyma nego, w metodzie PSO tylko najlepsza cząstka jest wykorzystywana podczas modyfikacji cech wszystkich pozostałych, natomiast w przypadprzypa ku algorytmów ewolucyjnych nowe osobniki pop siadają cechy osobnika najlepszego, jak również cechy hy osobników mniej przystosowanych, przystosowanych w metodzie PSO cząstki posiadają swoją pap mięć,, co jest wykorzystywane w procesie aktuakt alizacji parametrów, cykl życia cząstek jest taki, taki jak czas realizacji algorytmu. Wśród podobieństw można wymienić: b) Rys. 5. Etapy znajdowania rozwiązania metodą PSO: PSO a) początkowy, b) końcowy zbiór rozwiązań w obu metodach przeszukiwanie przestrzeni stanu bazuje na grupie osobników (algorytm genetyczny populacja, metoda PSO rój) populacja (rój) początkowa jest generowana w sposób losowy, oba algorytmy są stochastyczne i nie ma jednojedn znacznego dowodu na ich zbieżność, ale praktyka potwierdza ich skuteczność w znajdowania optimów globalnych [18,, 24] WYNIKI SYMULACJI Algorytmy umożliwiające możliwiające formułowanie, rozwiązywanie równań dynamiki oraz symulację ruchu pojazdu osobowego oraz procedury optymalizacji zostały zaimplemenzaimpleme towane we własnym programie komputerowym napisanapis 9

6 ZASTOSOWANIE METODY PSO W OPTYMALIZACJI RUCHU SAMOCHODU OSOBOWEGO nym w języku C++. Rozważano przypadek, w którym pojazd poruszający się z pewną prędkością początkową wykonuje manewr jazdy po łuku. Przedmiotem badań było wyznaczenie optymalnych momentów hamujących zapewniających bezpieczeństwo pojazdu w czasie wykonywania manewru. W symulacjach numerycznych przyjęto, że manewr trwał 1 s, a po upływie 3 s współczynnik przyczepności nawierzchni zmienia się z wartości,9 na,2. Przedstawiona sytuacja odpowiada przypadkowi, w którym pojazd wjeżdża z suchej drogi asfaltowej na powierzchnię pokrytą śniegiem. W symulacjach przyjęto, że samochód porusza się po drodze krajowej klasy A, na której szerokość pojedynczego pasa ruchu, zgodnie z rozporządzeniem Ministra Infrastruktury i Rozwoju [1], wynosi 3,5 m. Założono prędkość początkową pojazdu równą 5 km/h. Parametry fizyczne pojazdu osobowego przyjęto z pracy [7]. W obliczeniach założono, że liczba dyskretnych chwil czasowych, w których wyznaczane są wartości momentów hamujących, wynosi 21. Do całkowania równań ruchu w każdym kroku procesu optymalizacji zastosowano stałokrokową metodę Rungego-Kutty 6. rzędu [17]. Wartości minimalne i maksymalne momentów hamujący stanowiących ograniczenia nierównościowe dla przednich kół przyjęto: 1 3E = X i 1 3`r =11 X, natomiast odpowiednie momenty graniczne tylnych kół pojazdu są następujące: 1 3E = X i 1 3`r =1 X. Do optymalizacji metodą PSO przyjęto parametry opisane w tabeli 1. Tabela 1 Parametry metody PSO używane podczas symulacji Nazwa parametru Wartość Liczba cząstek 3 Liczba iteracji 1 Współczynnik bezwładności,729 Współczynnik kognitywny 1,49445 Współczynnik społeczny 1,49445 Prawdopodobieństwo śmierci cząstki,1 y (1) [m] x (1) [m] Rys. 7. Przebieg trajektorii pojazdu: 1) przed optymalizacją, 2) po optymalizacji, 3) granice jezdni W wyniku optymalizacji prawdopodobieństwo kolizji jest mniejsze, a pojazd wraca na wyjściowy tor. Jednakże komfort kierowcy w czasie jazdy po optymalnym torze może być mniejszy wskutek drgań nadwozia pojazdu (rys. 8 i 9). ϕ (1) [ ] ) 2) Rys. 8. Przebieg kąt przechylenia 1) przed optymalizacją, 2) po optymalizacji ) 2) t [s] 1) 2) 3) Na rys. 7 przedstawiono przebieg trajektorii pojazdu bez momentów hamujących oraz z momentami wyznaczonymi w procesie optymalizacji. Jak można zauważyć, w przypadku zastosowania optymalnych momentów hamujących samochód nie wykracza poza granice jezdni oraz wraca na pierwotny tor. Strata prędkości wypadkowej na płaszczyźnie jezdni wskutek działania momentów hamujących jest niewielka i wynosi około 6%. θ (1) [ ] t [s] Rys. 9. Przebieg kąta pochylenia 1) przed optymalizacją, 2) po optymalizacji Wartości zmiennych decyzyjnych. czyli momentów hamujących uzyskane w procesie optymalizacji dynamicznej działających na poszczególne koła pojazdu, przedstawiono na rys. 1. 1

7 KRZYSZTOF AUGUSTYNEK, KORNEL WARWAS M [Nm] Rys. 1. Przebieg optymalnych momentów hamujących działających na poszczególne koła 1-4 Na podstawie przedstawionych przebiegów można zauważyć, że wartości momentów hamujących nie przekraczają 25 Nm, z wyjątkiem koła trzeciego, w którym moment hamujący w 4 s wyniósł około 7 Nm. Otrzymane wartości są zatem znacznie niższe od przejętych granicznych wartości momentów hamujących dla kół przednich i tylnych. 6. PODSUMOWANIE t [s] 1) 2) 3) 4) W pracy przedstawiono rozwiązanie zadania doboru momentów hamujących działających na koła pojazdu umożliwiających bezpieczne wykonanie manewru jazdy po łuku. Analizowano przypadek, w którym pojazd porusza się po drodze o zmiennym współczynniku przyczepności. W wyniku rozwiązania zadania optymalizacji dynamicznej otrzymano optymalne przebiegi momentów hamujących umożlwiających utrzymanie trajektorii pojazdu w granicach drogi. Stosowany podczas optymalizacji model pojazdu uwzględnia ruch nadwozia jako bryły sztywnej, ruch kół oraz podatność zawieszeń zależnych i niezależnych. Zadanie optymalizacji rozwiązano z użyciem metody PSO wywodzącej się z metod inteligencji obliczeniowej. Dużą zaletą tej metody jest możliwość otrzymania rozwiązania globalnie optymalnego w danym zbiorze dopuszczalnym. Metoda ta, mimo dużej liczby losowych rozwiązań początkowych, jest szybkozbieżna, a czas rozwiązania zadania jest znacznie krótszy w porównaniu z klasycznymi metodami ewolucyjnymi [24]. Mimo to wyznaczenie momentów hamujących poprzez rozwiązanie zadania optymalizacji dynamicznej jest czasochłonne i nie może być zastosowane w rzeczywistym urządzeniu sterującym. Wyniki dotyczące optymalizacji można natomiast wykorzystać do przygotowania zbioru uczącego dla sieci neuronowej, która mogłaby być zaimplementowana w sterowniku. Otrzymane z optymalizacji dynamicznej wyniki można również wykorzystać do weryfikacji istniejących rozwiązań zapewniających bezpieczeństwo pojazdu. Literatura 1. Adamiec-Wójcik I.: Modelling dynamics of multibody systems using homogenous transformations. Bielsko-Biała: Wyd. ATH, Bauchau O. A.: Flexible multibody dynamics, solid mechanics and its applications. Springer Netherlands, Chodnicki P., Guzek M., Lozia Z., Mackiewicz W., Stegienka I.: AutoPW wirtualne środowisko badań kierowców. Czasopismo Techniczne, Mechanika,28, z. 1 (15), z. 6-M/28, s Clerc M.: From theory to practice in particle swarm optimization. Handbook on Swarm Intelligence, 21, Vol. 8,, p Gajek A., Walczak S.: Analiza możliwości oceny współczynnika przyczepności między kołem a jezdnią podczas hamowania prostoliniowego. Archiwum Motoryzacji, 26,nr 2, p García de Jalón J., Bayo E.: Kinematic and dynamic simulation of multibody systems: the real-time challenge. New York: Springer-Verlag, Grzegożek W., Adamiec-Wójcik I., Wojciech S.: Komputerowe modelowanie dynamiki pojazdów samochodowych. Kraków: Wyd. Pol. Krak., Hassan R., Cohanim B., De Weck O., Venter G.: Comparison of particle swarm optimization and the genetic algorithm. In: 46th AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Materials Conference, Texas, Ligas M., Banasik P.: Conversion between Cartesian and geodetic coordinates on a rotational ellipsoid by solving a system of nonlinear equations. Geodesy and Cartography, 211, Vol. 6, No 2, p Lozia Z.: Modele symulacyjne ruchu i dynamiki dwóch pojazdów uprzywilejowanych. Czasopismo Techniczne, 212, z. 8, Mechanika, zeszyt 3-M/212, s

8 ZASTOSOWANIE METODY PSO W OPTYMALIZACJI RUCHU SAMOCHODU OSOBOWEGO 11. Lozia Z.: Szacowanie wystąpienia zagrożenia wypadkiem w postaci przewrócenia się pojazdu kołowego na bok. Autobusy: Technika, eksploatacja, systemy transportowe 215, nr 6, s Lundahl K.: Modeling and optimization for critical vehicle maneuvers. Linköping studies in science and techno- logy thesis, 213, No Michalski R.: Modelowanie bezpieczeństwa pojazdów samochodowych. Logistyka, 21, 4, [CD]. ność : Maintenance and Reliability, 212, No. 2, Vol. 14, s Parczewski K., Wnęk H.: Wykorzystanie przyczepności podczas hamowania pojazdu. Eksploatacja i Niezawod- 15. Parsopoulos K., Vrahatis M.: Particle swarm optimization and intelligence: advances and applications, IGI Global, Pedregal P.: Introduction to optimization. Springer-Verlag Inc., Press W., Teukolsky W., Vetterling S., Flannery W. B.: Numerical recipes: the art of scientific computing.3 rd ed. Cambridge: Cambridge University Press, Sahnehsaraei M., Mahmoodabadi M., Taherkhorsandi M., Castillo K., Yazdi S.: A hybrid global optimization algorithm: particle swarm optimization in association with a genetic algorithm. Complex System Modelling and Control Through Intelligent Soft Computations. Springer, 215, IX.863, p Sivanandam S.N., Deepa S. N.: Introduction to genetic algorithms. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, Szczotka M., Tengler S., Wojciech S.: Numerical effectiveness of models and methods of integration of the equa- Corporation, tions of motion of a car. Differential Equations and Nonlinear Mechanics, Hindawi Publishing 27, Article ID 49157, 13 pp. 21. Szczotka M., Wojciech S.: Application of joint coordinates and homogeneous transformations to modeling of vehicle dynamics. Nonlinear Dynamics 28, Vol. 52, Iss. 4, p Szumska E., Młodzińska D., Jurecki R.: Wpływ stanu nawierzchni drogi na skuteczność hamowania pojazdu. Logistyka 214, 6, s Warwas K.: Analiza i sterowanie ruchem pojazdów wieloczłonowych z uwzględnieniem podatności elementów. Praca doktorska. Bielsko-Biała: ATH, 29. vanced Computing Systems: Technology and Applications 215, Vol. 1, p Warwas K., Augustynek K.: Dynamic optimisation of articulated vehicle motion for control of stability in criti- cal situation. In: IDAACS 215: 8th IEEE International Conference on Intelligent Data Acquisition and Ad- 25. Wittbrodt E., Adamiec-Wójcik I., Wojciech S.: Dynamics of flexible multibody systems, rigid finite element method. Springer 26. Ten artykuł dostępny jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3. Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów. Treść licencji jest dostępna na stronie /pl/ 12