TWORZENIE I OBLICZANIE MODELI ELEKTRYCZNYCH PERKOLACJI W UKŁADZIE TRÓJWYMIAROWYM

Transkrypt

1 POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 89 Eletrial Engineering 207 DOI /j Piotr FRĄCZAK* TWORZENIE I OBLICZANIE MODELI ELEKTRYCZNYCH PERKOLACJI W UKŁADZIE TRÓJWYMIAROWYM W pray przedstawiono opis próbek walowyh polimerowyh oraz budowę i oblizanie ih modeli elektryznyh perkolaji trójwymiarowyh (perkolaja dla gałęzi na siei). Modele elektryzne perkolaji trójwymiarowyh próbek polimerowyh stanowią obwody elektryzne. Obwody elektryzne składają się z pięiu siei kwadratowyh, usytuowanyh konentryznie i połązonyh ze sobą. Każda sieć ma gałęzie utworzone z rezystorów lub impedanji (odpowiednia kompilaja rezystorów i kondensatorów). Tak zdefiniowany model elektryzny perkolayjny trójwymiarowy przekształono w obwód elektryzny płaski i dostosowano do analizy w programie PSpie. W analizie obwodu elektryznego, zgodnie z teorią perkolaji, uwzględniono losowy sposób zwierania jego gałęzi. Oblizania symulayjnego wartośi natężenia prądu próbek polimerowyh wyznazono na podstawie ih modeli elektryznyh perkolaji trójwymiarowyh, napięia wymuszająego o określonej zęstotliwośi oraz zadeklarowania stosownyh analiz prądowyh w programie PSpie. SŁOWA KLUCZOWE: prąd perkolaji izolatora, symulaja prąd perkolaji izolatora. WSTĘP W pray opisano wybrane struktury materii w układzie trójwymiarowym oraz przedstawiono krytyzną zawartość objętośiową w układah trójwymiarowyh. Ponadto zaprezentowano model elektryzny próbek polimerowyh w układzie trójwymiarowym. Próbka ta składa się z pięiu siei kwadratowyh, usytuowanyh konentryznie i połązonyh ze sobą. Każda sieć ma gałęzie utworzone z rezystorów lub impedanji (odpowiednia kompilaja rezystorów i kondensatorów). Tak zdefiniowany model elektryzny perkolayjny trójwymiarowy przekształono w obwód elektryzny płaski i dostosowano do analizy w programie PSpie. W analizie obwodu elektryznego, zgodnie z teorią perkolaji, uwzględniono losowy sposób zwierania jego gałęzi. Oblizania symulayjnego wartośi natężenia prądu próbki polimerowej wyznazono na podstawie ih modeli elektryznyh perkolaji trójwymiarowyh, napięia siei oraz zadeklarowania stosownyh analiz prądowyh w programie PSpie. * Zahodniopomorskie Centrum Edukaji Morskiej i Politehniznej w Szzeinie.

2 88 Piotr Frązak 2. WYBRANE STRUKTURY MATERII W UKŁADZIE TRÓJWYMIAROWYM 2.. Budowa struktury polimerów Według de Gennesa podzas formowania się łańuhów polimerowyh przy śiankah uwzględnić należy zarówno wpływ sił przyiągająyh, jak i odpyhająyh []. na rysunku 2. przedstawiono profile zagęszzenia łańuhów polimerowyh przy śiankah przyiągająyh (a) i odpyhająyh (b). W pierwszym przypadku zagęszzania łańuhów polimerowyh można rozróżnić trzy obszary: bliski, wrażliwy na wzajemne oddziaływania, środkowy (ozka o podobnej wielkośi), daleki, określony przez kilka dużyh pętli i skrajnyh luźnyh łańuhów. Zagęszzenie (z) w regionie środkowym przedstawić można wzorem: a z (2.) z gdzie: a rozmiar jednego mera (odległość bliska), z odległość od śianki. Całkowita grubość powierzhni międzyfazowej, warunkowana rozmiarem łańuhów polimerowyh, może wynosić dziesiątki nm. W przypadku sił odpyhająyh (rys. 2.b) oddziaływania związane są ze wzajemną długośią łańuhów polimerowyh. Gdy łańuh znajduje się blisko śianki, entropia spada, a w obszarze sąsiadująym obeny jest prawie sam rozpuszzalnik (tzw. warstwa zubożona). W pewnyh zakresah stężenia polimerów połązenie wspomnianyh efektów prowadzi do powstania struktur grzybkowyh []. Środkowy region warstwy polimerowej zaadsorbowanej na powierzhni przyiągająej może zostać przedstawiony za pomoą modelu ukazanego na rys Rozmiar ozka siei, będąy malejąą funkją stężenia polimerów, ujmuje równanie []: z a z (2.2) W odległośi z od śianki polimeru rozmiar ozka obliza się w wyniku podstawienia zależnośi (2.) do wzoru (2.2): a a z z a a a z z z a (2.3)

3 Tworzenie i oblizanie modeli elektryznyh perkolaji w układzie Z równania (2.3) wynika, że rozmiar ozka siei polimerowej wzrasta w miarę zwiększania odległośi z od śianki polimeru. W odległośi z od śianki polimeru rozmiar ozka siei wynosi z. Wykorzystują długość danego łańuha polimerowego, który składa się z odpowiedniej lizby merów, rozmiar rzezywistego lub modelowego ozka siei polimerowej wyznaza się ze wzoru: A a (2.4) gdzie: A krotność wielkośi rzezywistego lub modelowego ozka siei, a rozmiar monomeru, długość łańuha polimerowego. a ) Ψ ( z ) B lis k a Zagęszzanie Ś r o d k o w a O d le g ło ś ć o d ś ia n k i z D a ls z a b ) Ψ ( z) K o n e n tr a ja p o lim e r ó w Zagęszzanie ξ ξ O d le g ło ś ć o d ś ia n k i z Rys. 2.. Profile zagęszzenia łańuhów polimerów przy śiankah warunkowane długośią łańuhów polimerowyh oraz rodzajem wiązania z powierzhnią: a) przyiągająą ; b) odpyhająą [7] A ξ(ψ) a Siatki: rzezywista i modelowa Rys Sieć polimerowa na powierzhni międzyfazowej: a wielkość monomeru w nm, ξ rozmiar ozka [7]

4 90 Piotr Frązak 2.2. Budowa krystalizna materii Ciasne upakowanie w trzeh wymiarah (3d) może być zrealizowane w następująy sposób. Nieskońzenie roziągła warstwa takih samyh kul, ze środkami leżąymi na jednej płaszzyźnie, jest ułożona tak, jak dla przypadku dwuwymiarowego (rys. 2.3). Następnie kolejna podobna warstwa ułożona jest na tej poprzedniej. Istnieją dwa sposoby osiągania najbliższej odległośi między tymi warstwami. Jeśli zaznazone na rysunku linią iągłą okręgi siei A są pierwszą warstwą, to druga warstwa będzie w najbliższej odległośi do pierwszej, jeśli środki należąyh do niej kul zajmą pozyje międzywęzłowe B lub C (międzywęzłowe dla A), pokazane na rys W obu przypadkah każda z kul jednej warstwy styka się z trzema kulami warstwy sąsiedniej. Gdy pierwsza warstwa tworzy sieć A, a druga sieć B, wówzas trzeia może być ułożona miejsu A lub C. Kontynuaja tej metody prowadzi do upakowania, w którym każda kula styka się dwunastoma innymi. Jest to najbardziej efektywne upakowanie w trzeh wymiarah. Współzynnik upakowania w 3d, zdefiniowany jako ta zęść przestrzeni, która zajmowana jest przez kule, wynosi 74,0% [8]. Rys Krystalizne iasne upakowanie kul. Na warstwie A kładzie się warstw B lub C, jak pokazano na rysunku. Ułożenie warstw w kolejnośi ABCABCABC odpowiada kubiznemu iasnemu upakowaniu, w którym środki sfer tworzą sieć kubizno powierzhniowo entrowaną [8] 2.3. Krytyzna zawartość objętośiową w układah trójwymiarowyh Krytyzną zawartość objętośiową w układah trójwymiarowyh można zilustrować doświadzalnie. Wyobraźmy sobie, że na dnie nazynia szklanego w kształie zlewki umieszzono folię aluminiową (rys. 2.4), która odgrywa rolę elektrody. Następnie w szklanym nazyniu wymieszano ze sobą kulki polimerowe (izolayjne) i metalowe (przewodząe) o tej samej średniy, zapewniają ih przypadkowy rozkład. Tak przygotowana konfiguraja kul znajdująyh się

5 Tworzenie i oblizanie modeli elektryznyh perkolaji w układzie... 9 w nazyniu zostaje przykryta elektrodą w kształie folii aluminiowej. Wymienione elektrody podłązono do źródła prądu E. Przez p oznazono stosunek lizby kulek metalowyh do lizby wszystkih kulek w nazyniu. Dla p (p = ) wartość natężenia prądu I (p ) płynąego w obwodzie jest maksymalna. W wyniku zmniejszania zawartośi kulek metalowyh w obwodzie wartość natężenia prądu maleje i przy p 2 (p = 0,75) wynosi I 2 (p 2 ). Z kolei gdy p osiągnie wartość krytyzną dla zawartośi kulek metalowyh p (p = 0,27), wartość natężenia prądu w obwodzie jest równa zeru. Analizują przejśie perkolayjne, można rozpatrywać dwa przypadki. Pierwszy polega na odzytaniu rosnąyh wartośi prądu perkolayjnego (od p do p ), odpowiadająyh zwiększaniu lizby kul metalowyh, a drugi na odzytaniu malejąyh wartośi, odpowiadająyh zmniejszaniu lizby tyh kul. Pojawienie się prądu bądź jego zanik w układzie jest związany z utworzeniem drogi perkolaji (lub klastra perkolayjnego) łąząej obie elektrody. Próg perkolaji p dla struktury dyskretnej w układzie trójwymiarowym oraz współzynnik wypełnienia υ określają krytyzną zawartość objętośiową. Jej wartość w d wymiarah dla prostej siei j (gdy połązenia istnieją tylko między najbliższymi sąsiadami) definiuje się następująym wzorem [, 2, 9]: j, d j, d p j, d gdzie: p j, d próg perkolayjny, j, d siei równymi i stykająymi się kulami (d wymiarowymi). (2.5) współzynnik wypełnienia Rys Struktura dyskretna stanowiąa model perkolaji: a) shemat zastępzy obwodu elektryznego:, 2 elektrody, 3 nazynie szklane, 4 kula polimerowa, 5 kula metalowa; b) zależność prądu I(p) od lizby kul metalowyh p

6 92 Piotr Frązak Środki kul stanowią węzły siei, w związku z tym próg perkolayjny p dla węzłów dowolnej siei można zastąpić wartośią krytyznej zawartośi objętośiowej. Ponadto stwierdzono, że wartość nie zależy od struktury siei w danym wymiarze d (tabela.). Wartość progu perkolayjnego p w przypadku wiązań dowolnej siei można zastąpić wartośią krytyznej zawartośi objętośiowej według wzoru: j, d z j, d p j, d (2.6) gdzie: p (j, d) próg perkolayjny dla wiązań siei, z (j, d) lizba koordynayjna dla siei w d wymiarah. Na podstawie wzorów (2.5) i (2.6) stwierdzono, że wartośi krytyzne zawartośi objętośiowej i nie zależą od struktury siei w danym wymiarze. Ponadto zauważono, że w przypadku dowolnej siei krytyzna zawartość objętośiowa dla węzłów wystąpi szybiej niż dla wiązań. Jest to sytuaja odwrotna niż w przypadku perkolaji dla wiązań p i węzłów p.. 3. OBLICZENIA SYMULACYJNE PRĄDU UPŁYWU PRÓBKI POLIMEROWEJ W UKŁADZIE TRÓJWWMIAROWYM 3. Model próbki polimerowej w układzie 3d W elu przeprowadzenia oblizeń symulayjnyh prądu upływu próbki polimerowej stworzono jej model. Z kolei model elektryzny perkolayjny próbki w 3d przekształono w obwód elektryzny płaski i dostosowano do analizy w programie PSpie. W analizie obwodu elektryznego, zgodnie z teorią perkolaji, uwzględniono losowy sposób zwierania jego gałęzi. Rys. 3.. Model próbki polimerowej w układzie 3d

7 Tworzenie i oblizanie modeli elektryznyh perkolaji w układzie Oblizania symulayjnego wartośi natężenia prądu upływu próbki polimerowej wyznazono na podstawie jej modelu, napięia siei oraz zadeklarowania stosownyh analiz prądowyh w programie PSpie. 3.2 Wyniki oblizeń symulayjnyh prądu upływu próbki polimerowej w układzie 3d Rys Wynik oblizeń symulayjnyh prądu upływu w układzie 3d 5. WNIOSKI W wyniku przeprowadzonyh oblizeń symulayjnyh wartośi natężenia prądu upływu próbki polimerowej w 3d za pomoą jej modelu elektryznego perkolaji stwierdzono: Teorię perkolaji (perkolaja dla gałęzi na siei) można zastosować do oblizeń symulayjnyh prądu upływu próbek polimerowyh. Na otrzymanyh harakterystykah symulayjnyh prądu upływu w funkji lizby zwieranyh gałęzi widać stopniowe narastanie wartośi natężenia prądu upływu i nagły wzrost o kilka rzędów wielkośi. Próg p [7]. (perkolaja dla gałęzi na siei) w rozpatrywanym modelu perkolaji próbki odpowiada jej napięiu. LITERATURA [] Chrzan K.L.: Prąd upływu na naturalnie zabrudzonyh izolatorah porelanowyh i silikonowyh, Przegląd Elektrotehnizny 2008, vol. 84, nr 0, s [2] Flisowski Z.: Tehnika wysokih napięć, wyd. 5, Warszawa, WNT 2005, ISBN

8 94 Piotr Frązak [3] Frązak P.: Creation and appliation of eletrial perolation models, Poznań University of Tehnology Aademi Journals, Computer Appliations in Eletrial Engineering, Volume 2, Publishing House of Poznan University of Tehnology, Poznań 204, ISSN , s [4] Frązak P.: Prąd upływnośiowy powierzhniowy izolatora eramiznego podzas eksploataji w ujęiu teorii perkolaji, Poznań University of Tehnology Aademi Journals, Eletrial Engineering Issue 78 Computer Appliations in Eletrial Engineering 204, Publishing House of Poznan University of Tehnology, Poznań, ISSN , s [5] Król A., Mozko J.: PSpie Symulaja i optymalizaja układów elektroniznyh, Wydawnitwo Nakom, Poznań 999, ISBN [6] Pilling J., Berndt L., Katib M., Seeling T., Der Fremdshihtuebershlag von Isolatoren mit gleihmaessinger Vershmutzung bei Wehselpannung. Wissenshaftlihe Berihte, Sonderheft der Sektion Elektroenergieversorgung und Automatisierung. Tehnishe Hohshule Zittau, Heft 23, Juli 990, S [7] Sperling L.H.: Introduktion to physial polymer siene, 3th ed., New York, Wiley 200, ISBN [8] Zallen R.: Fizyka iał amorfiznyh, Warszawa, WN PWN 994, ISBN CREATING AND CALCULATION OF PERCOLATION ELECTRIC MODELS IN THE THREE DIMENSIONAL SYSTEM The paper presents a desription of polymer ylindrial samples of polymer and the onstrution and alulation of their three dimensional perolation eletri models (perolation for the branh network). The three dimensional perolation eletri models of polymer samples are the eletrial iruits. The eletrial iruits are omposed of five square networks, arranged onentrially and onneted together. Eah network has branhes of resistors or impedane (appropriate ompilation of resistors and apaitors). The defined three dimensional perolation model eletri has been transformed into flat eletri iruit and then adapted to the analysis in the PSpie software. In the analysis of eletri iruit, aording to the perolation theory, the randomly way of losing its branhes has been applied. The simulation alulations of the polymer samples urrent were determined based on their three dimensional perolation eletrial models, the foring voltage of a speifi frequeny and delaring relevant urrent analyzes in PSpie software. (Reeived: , revised: )