Parametry systemów klucza publicznego

Transkrypt

1 Parametry systemów klucza publicznego Andrzej Chmielowiec Instytut Podstawowych Problemów Techniki Polskiej Akademii Nauk 24 marca 2010

2 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego Algorytm Punkty stałe przekształcenia Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej

3 Idea klucza publicznego Spis treści Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego 1. Wysyłanie klucza publicznego 2. Wysyłanie wiadomości zaszyfrowanej kluczem publicznym 3. Odszyfrowanie wiadomości przy użyciu klucza prywatnego

4 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego Podpis cyfrowy Uwierzytelnienie serwera WWW przed użytkownikiem (bankowość elektroniczna, sklepy internetowe). Logowanie do systemu informatycznego. Oprogramowanie i sterowniki urządzeń.

5 Algorytmy klucza publicznego Zastosowania algorytmów klucza publicznego Szyfrowanie danych Wymiana symetrycznych kluczy sesyjnych(bankowość elektroniczna, sklepy internetowe). Szyfrowanie wiadomości elektronicznych bez konieczności wcześniejszego uzgadniania klucza. Nawiązywanie bezpiecznych połączeń typu SSH.

6 Algorytm Punkty stałe przekształcenia Opis algorytmu Losowowybieramyliczbypierwszep,qiwyznaczamyN =pq. Znajdujemytakąliczbęe,żeNWD(e,(p 1)(q 1)) =1 iwyznaczamytakied,żeed 1mod (p 1)(q 1). Szyfrowanie(weryfikacja podpisu): Deszyfrowanie(podpisywanie): c m e modn. m c d modn.

7 Bezpieczeństwo problem faktoryzacji Algorytm Punkty stałe przekształcenia Bezpieczeństwo oparte jest na problemie rozkładu liczby N na czynnikipierwsze.łatwozauważyć,żejeśliktośznaliczbypiq takie,żen =pq,tozłatwościąznajdziekluczpubliczny d e 1 mod (p 1)(q 1). Najszybszym znanym algorytmem faktoryzacyjnym jest Sito Ciał Liczbowych(NFS), którego złożoność określa poniższa formuła ( exp c 0 N 1/3 (log(nlog2)) 2/3). Do tej pory nie wykazano, czy problem faktoryzacji i złamania są sobie równoważne.

8 Algorytm Punkty stałe przekształcenia Wydajność generowanie kluczy Najbardziej czasochłonną operacją podczas generowania klucza jest znalezienie dwóch liczb pierwszych p i q. Operacja ta ma złożonośćo(log(p) 4 ) oilestosowanesąprobabilistycznemetody testowania pierwszości. Dodatkowe warunki na czynniki pierwsze dla modułu : 1.p 1 =2p, p +1 =2p, 2.q 1 =2q, q +1 =2q.

9 Wydajność wykonywanie operacji Algorytm Punkty stałe przekształcenia Znajomość czynników liczy N pozwala na przyspieszenie operacji prywatnej. Z twierdzenia chińskiego o resztach wynika bowiem izomorfizm Z/NZ Z/pZ Z/qZ. Powyższy izomorfizm daje możliwość czterokrotnego przyspieszenia obliczeń y x d modn { y x dmod (p 1) modp, y x dmod (q 1) modq.

10 Cotosąpunktystałe Spis treści Algorytm Punkty stałe przekształcenia Punktem stałym przekształcenia nazwiemy taką liczbę x, dla której zachodzi x e xmodn. Łatwozauważyć,żeskorox ed xmodn,to x e xmodn x d xmodn. Oznacza to, że punkt stały przekształcenia publicznego jest również punktem stałym przekształcenia prywatnego.

11 Algorytm Punkty stałe przekształcenia Czy duża liczba punktów stałych jest dobra? Punkty stałe prowadzą do znalezienia czynników x e xmodn x e 1 1modN x e 1 1 0modN (x e 1 2 1)(x e ) 0modN N (x e 1 2 1)(x e ) ZdużymprawdopodobieństwemNWD(N,(x e 1 2 ±1))będzie równeplubq.

12 Algorytm Punkty stałe przekształcenia Oczekiwana liczba punktów stałych dla (1) Jeśli (u,v) U 2,toprawdopodobieństwogranicznetego,że NWD(u,v) =1wynosi P 1 = lim U P(U) = 6 π 2. JeśliponadtoprzezP B oznaczymygraniczneprawdopodobieństwo tego,żenwd(u,v) B,toprawdziwajestnastępującazależność P B =P 1 B d=1 1 d 2.

13 Algorytm Punkty stałe przekształcenia Oczekiwana liczba punktów stałych dla (2) Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch względnie pierwszych liczbzezbioru {1,2,...,N}możemyoszacowaćprzez P 1 + ε N, gdzie ε N <4 lnn N.Natejpodstawiemożemywyrazićoczekiwaną liczbę punktów stałych ( 3(P1 + ε ) N )(2 +lnn) 2 ES =O(ln 2 N) 2 oraz oszacować prawdopodobieństwo trafienia w taki punkt ( ln 2 ) N P =O. N

14 Krzywa eliptyczna Spis treści Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Jednorodne równanie Weierstrassa: E :Y 2 Z +a 1 XYZ +a 3 YZ 2 =X 3 +a 2 X 2 Z +a 4 XZ 2 +a 6 Z 3

15 Grupa punktów krzywej eliptycznej Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Punkty krzywej eliptycznej tworzą grupę.

16 Problem logarytmu dyskretnego Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Niech G będzie grupą cykliczną, w której element g jest generatorem. Logarytmem dyskretnym z elementu h G nazywamy taką liczbę x, dla której spełnione jest równanie g x =h. Znalezienie logarytmu dyskretnego jest w ogólności zadaniem obliczeniowo trudnym. W szczególności najszybsza metoda pozwalająca na jego wyznaczenie w grupie punktów krzywej eliptycznej ma złożoność 2 r/2, gdzie r jest największym dzielnikiem pierwszym rzędu generatora.

17 Algorytm ECDH Spis treści Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Uzgadnianie wspólnego sekretu metodą Diffiego-Hellmana A B g a g b h = ( g b) a =g ab h = (g a ) b =g ab

18 Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Czy każdej krzywej można użyć do celów kryptograficznych? Aby krzywa nadawała się do zastosowań kryptograficznych musi spełnić szereg warunków, które są weryfikowane na podstawie liczby jej punktów. Dlatego też zliczenie punktów krzywej jest pierwszą czynnością, jaka jest wykonywana podczas sprawdzania przydatności krzywej eliptycznej. W szczególności wybierane są tylko te krzywe, których liczba punktów podzielna jest przez dużą liczbę pierwszą.

19 Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Algorytmy zliczania punktów Zliczanie punktów krzywej zdefiniowanej nad ciałem charakterystyki 2 algorytm Satoh, algorytm AGM(Algebraic Geometry Method). Zliczanie punktów krzywej zdefiniowanej nad ciałem charakterystyki p > 3 algorytm Schoofa, algorytm SEA(Schoof-Elkies-Atkin).

20 Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Operacje wykonywane podczas zliczania punktów Znakomita większość operacji podczas zliczania punktów metodą SEA wykonywana jest na wielomianach lub formalnych szeregach potęgowych modulo p. Najbardziej czasochłonna jest faza preobliczeń wstępnych podczas których konieczne jest operowanie na szeregach mających nawet po kilkaset tysięcy współczynników. Dlatego warto zastosować techniki mnożenia bazujące na FFT oraz zastanowić się nad możliwością zrównoleglenia obliczeń.

21 Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Szybka arytmetyka w pierścieniu szeregów potęgowych(1) Równoległe FFT F p1 [[X]]. Z[[X]] F pi [[X]] Z[[X]]. F pk [[X]]

22 Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Szybka arytmetyka w pierścieniu szeregów potęgowych(2)

23 Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Szybka arytmetyka w pierścieniu szeregów potęgowych(3) 1. Współczynniki pojedynczej precyzji: kosztklasycznegomnożeniafft n 2, kosztmnożeniafft-crt 2n Współczynniki podwójnej precyzji: kosztklasycznegomnożeniafft 4n 2, kosztmnożeniafft-crt 4n Współczynniki czterokrotnej precyzji: kosztklasycznegomnożeniafft 16n 2, kosztmnożeniafft-crt 8n Współczynniki ośmiokrotnej precyzji: kosztklasycznegomnożeniafft 64n 2, kosztmnożeniafft-crt 16n 2.

24 Krzywe eliptyczne Zliczanie punktów na krzywej eliptycznej Szybka arytmetyka w pierścieniu szeregów potęgowych(4) Jeśli przyjąć, że n jest liczbą współczynników, a k jest liczbą cyfr jaką ma największy współczynnik, to złożoność zaproponowanego algorytmu jest następująca: c 1 k 2 n +kn(2 +3log(n)) +c 2 k 2 n Jak widać dla dużych k bardziej opłacalne będzie zastosowanie również metody FFT do mnożenia poszczególnych współczynników. Wtedy złożoność wyniesie O(k log(k)n log(n)). Proponowana metoda jest zatem opłacalna jedynie w przypadku współczynników o umiarkowanym rozmiarze.

25 (1) Oszacowanie liczby punktów stałych dla losowych parametrów. Pozwala na oszacowanie z jakim prawdopodobieństwem wylosujemy słaby klucz. Uzyskany wynik może być wykorzystany w praktyce do ograniczenia liczby dodatkowych warunków, które są nakładane na czynniki modułu(możliwość przyspieszenia procesu generowania kluczy).

26 (2) Szybka arytmetyka w pierścieniu szeregów potęgowych. Zwiększa szybkość algorytmu zliczania punktów krzywej. Daje to możliwość szybkiego generowania własnych krzywych eliptycznych. Opracowana technika może mieć zastosowanie również w innego typu obliczeniach, które wykorzystują operacje w pierścieniu szeregów potęgowych. Jej ogromną zaletą jest łatwość zrównoleglania obliczeń.