WPŁYW MOCY WEJŚCIOWEJ ANTENY WSPÓŁOSIOWEJ NA ROZKŁAD TEMPERATURY PODCZAS ŚRÓDMIĄŻSZOWEJ HIPERTERMII MIKROFALOWEJ

Transkrypt

1 ELEKTRYKA 212 Zeszyt 1 (221) Rok LVIII Piotr GAS Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Elektrotechniki i Elektroenergetyki WPŁYW MOCY WEJŚCIOWEJ ANTENY WSPÓŁOSIOWEJ NA ROZKŁAD TEMPERATURY PODCZAS ŚRÓDMIĄŻSZOWEJ HIPERTERMII MIKROFALOWEJ Streszczenie. W niniejszej pracy przedstawiono model będący przykładem zastosowania hipertermii śródmiąższowej działającej miejscowo na chorą tkankę. Źródłem ciepła jest współosiowa antena mikrofalowa (ze szczeliną powietrzną) umieszczona w wątrobie. Ze względu na symetrię osiową modelu dla uproszczenia rozważono model dwuwymiarowy. Przedstawiony problem stanowi sprzężenie pola elektromagnetycznego i pola temperatury. Posługując się metodą elementów skończonych, rozwiązano równanie falowe dla przypadku fali TM, a następnie biologiczne równanie ciepła w przypadku stacjonarnym. Na końcu zestawiono uzyskane wyniki symulacji dla różnych wartości mocy wejściowej anteny. Słowa kluczowe: śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa, biologiczne równanie ciepła, fale TM, metoda elementów skończonych (MES) INFLUENCE OF THE COAXIAL-SLOT ANTENNA'S INPUT POWER ON TEMPERATURE DISTRIBUTION DURING INTERSTITIAL MICROWAVE HYPERTHERMIA Summary. In this paper a model which is an example of interstitial microwave hyperthermia acting locally to diseased tissue is presented. A microwave coaxial-slot antenna placed in the liver tissue is a heat source. Due to the axial symmetry of the model, for simplification a two-dimensional case is considered. The presented issue is therefore a coupling of the electromagnetic field and the temperature field. Using the finite element method, the wave equation for TM wave case and the bioheat equation under steady-state condition have been solved. At the end the obtained simulation results for several levels of the antenna total input power are presented. Keywords: interstitial microwave hyperthermia, bioheat equation, TM waves, finite element method (FEM)

2 112 P. Gas 1. WPROWADZENIE Hipertermia jest metodą leczenia, w której patologiczne tkanki są poddane działaniu wysokiej temperatury przekraczającej o C. Istnieje wiele technik leczenia przy użyciu hipertermii, ale najbardziej korzystna wydaje się hipertermia śródmiąższowa, ponieważ dostarcza ciepło bezpośrednio w miejsce guza i minimalnie wpływa na otaczające zdrowe tkanki. W czasie hipertermii śródmiąższowej w miejsce patologicznych tkanek (znajdujących się głęboko we wnętrzu ciała człowieka) wbijane są elektrody igłowe wytwarzające pola o wysokiej częstotliwości, anteny mikrofalowe, przetworniki ultradźwiękowe, przewodniki światłowodowe lub są wstrzykiwane cząsteczki lub ciecze ferromagnetyczne [1, 2]. Jak udowodniono, ciepło wytworzone na drodze elektromagnetycznej i utrzymywane na odpowiednim wysokim poziomie może doprowadzić do martwicy komórek znajdujących się w odległości 1-2 cm od źródła ciepła. Technika ta jest odpowiednia do leczenia guzów o średnicy mniejszej niż 5 cm [3]. Co więcej, śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa osiągnęła pozytywne wyniki kliniczne w połączeniu z radioterapią i chemioterapią [4, 5]. Metoda ta obecnie zyskuje nowe pola zastosowań, na przykład w leczeniu guzów wątroby, piersi, nerek, kości i płuc [6]. Istnieje wiele badań dotyczących wykorzystania hipertermii w leczeniu raka, co dowodzi, że aspekt ten jest wciąż ważny i są konieczne dalsze badania w tym zakresie [7, 8]. Obecnie, uczeni poszukują nowych technik, które uczynią hipertermię prostszą, bezpieczniejszą, bardziej efektywną i powszechnie dostępną metodą leczenia raka. Obiecujące wydają się próby wykorzystania nanotechnologii w leczeniu ciepłem, a w szczególności hipertermii cieczy magnetycznej (ang. magnetic fluid hyperthermia), która w ostatnim czasie znajduje się w fazie intensywnych badań i z którą wiąże się duże nadzieje [9]. Istotne fakty z historii hipertermii i ich związki ze współczesną medycyną można znaleźć w [1]. W niniejszej pracy przedstawiono model 2-wymiarowy, będący przykładem zastosowania śródmiąższowej hipertermii mikrofalowej, działającej miejscowo w obszarze tkanki wątroby człowieka, następnie wyznaczono rozkłady pola elektromagnetycznego i pola temperatury wytworzone przez antenę współosiową ze szczeliną powietrzną, a na końcu zestawiono uzyskane wyniki symulacji dla różnych wartości mocy wejściowej anteny. 2. PODSTAWOWE RÓWNANIA I MODEL GEOMETRYCZNY Rozważany model anteny współosiowej (rys. 1) składa się z wewnętrznego przewodnika, dielektryka, zewnętrznego przewodnika i plastikowej osłony, która pełni funkcję ochronną dla pozostałych elementów anteny. W zewnętrznym przewodniku znajduje się szczelina powietrzna o wymiarze d. Rozmiary anteny zostały zaczerpnięte z [11] i podane w tab. 1. W rzeczywistości, obszar obliczeniowy jest dużo większy niż pokazano na rys. 1, a szerokość

3 Wpływ mocy wejściowej anteny nie przekracza 2 mm. Ze względu na symetrię osiową w modelu są używane współrzędne walcowe r, z,, a do analizy przypadku wystarczający jest model 2-wymiarowy, obejmujący tylko połowę struktury anteny i otaczającej ją tkanki wątroby. W takim przypadku 3-wymiarowy model anteny otrzymamy przez obrót modelu 2-wymiarowego wzdłuż osi anteny, czyli wzdłuż osi z dla r =. obszar obliczeniowy oś symetrii wewnętrzny przewodnik dielektryk tkanka d szczelina powietrzna r 4 r 3 r 2 r 1 plastikowa osłona zewnętrzny przewodnik Rys. 1. Schemat poglądowy modelu anteny współosiowej ze szczeliną powietrzną (po lewej) oraz jej przekrój poprzeczny wraz z wymiarami geometrycznymi (po prawej) Fig. 1. Schematic view of the part of the coaxial antenna with the air slots (left) and cross section of the antenna with geometrical dimensions (right) Tabela 1 Wymiary geometryczne anteny współosiowej Elementy anteny promień centralnego przewodnika wewnętrzny promień zewnętrznego przewodnika zewnętrzny promień zewnętrznego przewodnika promień plastikowej osłony rozmiar szczeliny powietrznej Wymiary anteny [mm] r 1 =,145 r 2 =,47 r 3 =,595 r 4 =,895 Wyprowadzenie podstawowych zależności rozpoczęto od równań Maxwella w dziedzinie częstotliwości, zdefiniowanych jako: d = 1 H J j D (1) E jb (2) gdzie E i H są odpowiednio zespolonymi wektorami natężenia pola elektrycznego i magnetycznego, ω stanowi pulsację pola elektromagnetycznego, a J jest zespolonym wektorem gęstości prądu, który w ośrodku przewodzącym jest dany prawem Ohma w postaci:

4 114 P. Gas J E (3) gdzie σ jest przewodnością elektryczną danego ośrodka. Co więcej, D i B są odpowiednio zespolonymi wektorami indukcji elektrycznej i magnetycznej danymi w postaci zależności D E E (4) r B H H (5) gdzie ε i μ stanowią odpowiednio przenikalność elektryczną i magnetyczną danego ośrodka, r a ε i μ przenikalność elektryczną i magnetyczną próżni. Po uwzględnieniu zależności od (3) do (5) równania Maxwella przyjmują postać: j j H r E (6) E j H (7) gdzie εr i μr są odpowiednio względną przenikalnością elektryczną i magnetyczną danego ośrodka. Działając operatorem rotacji na obie strony równania (6) oraz po podstawieniu zależności (7) do tak otrzymanego równania, można wyprowadzić następujące równanie wektorowe opisujące rozkład pola magnetycznego w badanym obszarze: r 1 2 r j H rk H (8) gdzie k jest liczbą falową dla próżni zdefiniowaną jako k (9) Ponieważ wektor natężenia pola magnetycznego w dziedzinie czasu jest powiązany z amplitudą zespoloną Hr ˆ () równaniem j H( r, t) Re H Re ˆ ( )e H r t (1) więc równanie (8) można zapisać w postaci zawierającej amplitudy zespolone jako: 1 2 ˆ ˆ r H k r H (11) gdzie εr jest zespoloną względną przenikalnością elektryczną danego ośrodka zdefiniowaną jako r r j. (12) Podobnie zespolony wektor natężenia pola elektrycznego posiada amplitudę zespoloną, którą można wyznaczyć ze wzoru

5 Wpływ mocy wejściowej Eˆ j H ˆ. (13) W przedstawionym modelu wykorzystano fale TM (ang. transverse magnetic), zatem nie występują żadne zmiany pola w kierunku osi z. Natężenie pola magnetycznego H posiada tylko składową a natężenie pola elektrycznego E rozchodzi się w płaszczyźnie r-z. Wobec czego można zapisać: r H ˆ H 1 (14) E ˆ E 1 E 1 (15) r r z z gdzie 1r, 1z, 1 są wersorami w kierunku odpowiednich osi układu współrzędnych walcowych. Uwzględniając powyższe związki, w omawianym modelu osiowo symetrycznym równanie falowe ostatecznie przyjmuje następującą postać skalarną 1 2 r j H rk H. (16) Pełne zdefiniowanie modelu wymaga określenia odpowiednich warunków brzegowych dla pola elektromagnetycznego. Dla wszystkich metalowych powierzchni określono warunki brzegowe jak dla idealnego przewodnika (PEC ang. perfect electric conductor) ˆ 1 n E. (17) Co więcej, zewnętrzne brzegi obszaru obliczeniowego, które nie stanowią brzegu fizycznego (z wyjątkiem osi symetrii anteny z, gdzie Er = ) posiadają tak zwane warunki brzegowe dopasowane (ang. matched boundary conditions), które czynią je zupełnie nieodbijającymi. Przyjmują one następującą postać: j 1 ˆ n E H 2 H (18) gdzie Hϕ jest polem wejściowym anteny danym jako H 1 ZPin. (19) Z r ln( r / r ) W powyższym równaniu Pin jest całkowitą mocą wejściową anteny, natomiast r1 i r2 są odpowiednio wewnętrznym i zewnętrznym promieniem dielektryka. Ponadto, Z oznacza impedancję falową dielektryka, zdefiniowaną równaniem 2 1 Z Z (2) r r gdzie Z jest impedancją falową próżni.

6 116 P. Gas Punkt wejściowy anteny, znajdujący się na zewnętrznej granicy dielektryka, jest modelowany przy użyciu warunku brzegowego dla portu z ustalonym poziomem mocy Pin. W przedstawionej symulacji pole elektromagnetyczne jest sprzężone z polem temperatury. Zjawisko przepływu ciepła w tkankach biologicznych opisał Pennes [12], który w połowie XX wieku wyprowadził tzw. biologiczne równanie ciepła (ang. bioheat equation). W przypadku stacjonarnym wyraża się ono następującym wzorem k T bcbb ( Tb T) Qext Qmet (21) gdzie: T temperatura tkanki K, k przewodność cieplna tkanki W/(m 2 K), Tb temperatura krwi w naczyniach krwionośnych K, ρb gęstość krwi kg/m 3, ωb prędkość przepływu krwi 1/s, Cb ciepło właściwe krwi J/(kg K). Co więcej, opisany model uwzględnia zarówno ciepło generowane przez procesy metaboliczne komórek Qmet W/m 3, jak również ciepło wytworzone przez zewnętrzne źródła ciepła, Qext W/m 3. To ostatnie odpowiada za zmianę temperatury wewnątrz przewodzącego ciała zgodnie z równaniem 1 2 * 1 Q ˆ ˆ ˆ ext E E E. (22) 2 2 Ponieważ obszar obliczeniowy jest ograniczony tylko do wycinka tkanki wątroby, zatem można założyć, że wymiana ciepła między częściami tej samej tkanki nie występuje, a warunek brzegowy opisujący ten proces jest następujący: n k T 1 (23) gdzie 1n jest wersorem normalnym prostopadłym do brzegu obszaru obliczeniowego. 3. WYNIKI SYMULACJI W analizowanym przykładzie tkanka wątroby i antena są rozpatrywane jako ośrodki jednorodne z uśrednionymi parametrami materiałowymi. Antena działa na częstotliwości f = 2,45 GHz. Parametry elektryczne poszczególnych elementów anteny [11] i tkanki [13] zestawiono w tab. 2, a parametry krwi użyte w modelu podano w tab. 3. Ponadto, założono przewodność cieplną tkanki k =,56 W/(m 2 K) oraz ciepło metabolizmu Qmet = 3 W/m 3.

7 Wpływ mocy wejściowej Tabela 2 Parametry elektryczne użyte w symulacji Elementy modelu εr μr σ [S/m] tkanka wątroby 43,3 1 1,69 dielektryk 2,2 1 plastikowa osłona 2,6 1 szczelina powietrzna Parametry krwi uwzględnione w równaniu Pennesa Tabela 3 Tkanka ρb [kg/m 3 ] Cb [J/(kg K)] Tb [K] ωb [1/s] krew ,15,4 Równania (16) i (21) wraz z odpowiednimi warunkami brzegowymi zostały rozwiązane przy użyciu metody elementów skończonych (MES). Wyniki symulacji zebrano na rys x H [A/m] x E [V/m] oś z [m] oś z [m] x1-3 oś r [m] x1-3 oś r [m] Rys. 2. Linie ekwipotencjalne modułu natężenia pola magnetycznego (po lewej) oraz modułu natężenia pola elektrycznego (po prawej) Fig. 2. Equipotential lines of the modulus of the magnetic field strength (left) and the modulus of the electric field (right)

8 118 P. Gas x1-3 Qext [W/m^3] x1-3 T [ o C] oś z [m] oś z [m] x1-3 oś r [m] x1-3 oś r [m] Rys. 3. Gęstość mocy dostarczana przez antenę mikrofalową (po lewej) oraz rozkład izoterm wewnątrz obszaru obliczeniowego (po prawej) Fig. 3. Power density delivered by the microwave antenna (left) and isothermal lines inside the computational domain (right) Na rysunkach 2 3 zestawiono wykresy konturowe, reprezentujące rozmieszczenie linii ekwipotencjalnych w badanym obszarze, odpowiednio dla modułu natężenia pola magnetycznego H, modułu natężenia pola elektrycznego E, gęstości mocy wytwarzanej przez antenę Qext oraz temperatury T, dla mocy wejściowej anteny ustalonej na poziomie Pin = 3 W. 56 Temperatura T [degc] Pin =.5 W Pin = 1. W Pin = 2. W Pin = 3. W oś r [m] Rys. 4. Rozkłady temperatury dla różnych wartości mocy wejściowej anteny współosiowej wzdłuż ścieżki z =,16 m Fig. 4. Temperature distributions for different values of the coaxial-slot antenna s input power along the path z =.16 m

9 Wpływ mocy wejściowej Dla lepszej przejrzystości wykresy zostały wyskalowane do wartości wynoszących odpowiednio Hcut = 15 A/m, Ecut = V/m oraz Qext cut =,5 W/cm 3. Kolejne ryciny przedstawiają rozkłady temperatury dla różnych wartości Pin, wzdłuż dwóch ścieżek przechodzących przez tkankę wątroby prostopadle do anteny na wysokości szczeliny powietrznej z =,16 m (rys. 4) oraz wzdłuż osi anteny w odległości 2,5 mm od niej (rys. 5). Zgodnie z przewidywaniami temperatura tkanki maleje wraz z odległością od osi anteny, a największe jej wartości występują w bezpośrednim sąsiedztwie szczeliny powietrznej. 55 Temperatura T [degc] 45 Pin =.5 W Pin = 1. W Pin = 2. W Pin = 3. W oś z [m] Rys. 5. Rozkłady temperatury dla różnych wartości mocy wejściowej anteny współosiowej wzdłuż ścieżki r =,25 m Fig. 5. Temperature distributions for different values of the coaxial-slot antenna s input power along the path r =.25 m 4. PODSUMOWANIE Śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa stanowi inwazyjną metodę leczenia raka, w której ciepło dostarczane przez antenę mikrofalową jest wykorzystywane do niszczenia patologicznych komórek, znajdujących się głęboko w ciele człowieka. Metody numeryczne są często używane do obliczeń dozymetrycznych dla wielu ważnych zagadnień bioelektromagnetycznych. Analiza cieplna omawianego problemu przy użyciu MES pozwala na ocenę temperatury w określonym obszarze. Mimo że przyjęty model 2-wymiarowy stanowi uproszczenie rzeczywistości, to z powodzeniem może być wykorzystany do szacowania rozkładu temperatury w przypadku 3-wymiarowym. Przedstawione wykresy pokazują, że temperatura gwałtownie maleje wraz z odległością od anteny mikrofalowej. Terapeutyczny obszar działania ( r dla T > o C) może być z łatwością modyfikowany przez zmianę mocy wejściowej anteny. Dla Pin <,5 W temperatura w badanym obszarze nie przekracza o C, zatem efektu leczniczego nie obserwuje się. Dla,5 W < Pin < 2 W temperatura jest optymalna dla hipertermii (,5 cm < r < 1 cm), a zatem następuje śmierć patologicznych komórek. Z kolei, dla Pin > 2 W

10 12 P. Gas temperatura jest charakterystyczna dla termoablacji ( r < 1,25 cm), a zniszczeniu ulegają zarówno chore, jak i zdrowe komórki. Warto dodać, że śródmiąższowa hipertermia mikrofalowa osiągnęła pozytywne wyniki kliniczne w połączeniu z radio- i chemioterapią. Metoda ta obecnie zyskuje nowe pola zastosowań w leczeniu guzów wątroby, piersi, nerek, kości i płuc. Niemniej jednak konieczne są dalsze badania, które uczynią, że hipertermia stanie się prostsza, bezpieczniejsza, bardziej efektywna i powszechnie dostępną metodą leczenia raka. BIBLIOGRAFIA 1. Habash R.W.Y., Bansal R., Krewski D., Alhafid H.T.: Thermal Therapy, Part 2: Hyperthermia Techniques. Critical Reviews in Biomedical Engineering 26, vol. 34 no.6, p Hurter W., Reinbold F., Lorenz W.J.: A Dipole Antenna for Interstitial Microwave Hyperthermia. IEEE Transaction on Microwave Theory and Techniques 1991, vol. 39, no. 6, p Baronzio G.F., Hager E.D.: Hyperthermia in Cancer Treatment: A Primer. Landes Bioscience and Springer Science + Business Media, New York Hiraoka M., Mitsumori M., Hiroi N., Ohno S., Tanaka Y., Kotsuka Y., Sugimachi K.: Development of RF and Microwave Heating Equipment and Clinical Applications to Cancer Treatment in Japan. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques 2, vol. 48, no. 11, p McPhee S.J., Papadakis M.A., Rabow M.W.: Current Medical Diagnosis and Treatment 212. McGraw-Hill Lin J.C., Wang Y.J.: Interstitial Microwave Antennas for Thermal Therapy. International Journal of Hyperthermia 1987, vol. 3, no. 1, p Gas P.: Temperature inside Tumor as Time Function in RF Hyperthermia. Electrical Review 21 vol.86 no.12 p Kurgan E., Gas P.: Estimation of Temperature Distribution inside Tissues in External RF Hyperthermia. Electrical Review 21, vol. 86, no. 1, p Miaskowski A., Sawicki B., Krawczyk A., Yamada S.: The Application of Magnetic Fluid Hyperthermia to Breast Cancer Treatment. Electrical Review 21, vol. 86, no. 12, p Gas P.: Essential Facts on the History of Hyperthermia and their Connections with Electromedicine. Electrical Review 211, vol. 87, no. 12b, p Saito K., Taniguchi T., Yoshimura H., Ito K.: Estimation of SAR Distribution of a Tip- Split Array Applicator for Microwave Coagulation Therapy Using the Finite Element Method. IEICE Transaction on Electronics 21, vol. E84-C, no. 7, p

11 Wpływ mocy wejściowej Pennes H.H.: Analysis of Tissue and Arterial Blood Temperatures in the Resting Human Forearm. Journal of Applied Physiology 1948, vol. 1, no. 2, p Gabriel C., Gabriel S., Corthout E.: The Dielectric Properties of Biological Tissues: I. Literature Survey. Physics in Medicine and Biology 1996, vol. 41, no. 11, p Wpłynęło do Redakcji dnia 12 grudnia 211 r. Recenzent: Prof. dr hab. inż. Marian Pasko Mgr inż. Piotr GAS AGH Akademia Górniczo-Hutnicza, Katedra Elektrotechniki i Elektroenergetyki Al. Mickiewicz 3, 3-59 KRAKÓW tel. (12) ; gas@agh.edu.pl