Hydro-Dynamica Rozwiązanie Numeryczne Równań Przepływu Cieczy Nieściśliwej.
|
|
- Dariusz Włodarczyk
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Hydro-Dynamica Rozwiązanie Numeryczne Równań Przepływu Cieczy Nieściśliwej. Maciej Matyka Fizyka Komputerowa V BIS Universytet Wrocławski Wydział Fizyki i Astronomii maq@panoramix.ift.uni.wroc.pl maq 28 lutego 2004 roku Streszczenie Program Hydro-Dynamica rozwiązuje problem przepływu cieczy dla dowolnej geometrii przeszkód oraz źródeł cieczy. Niniejsza dokumentacja opisuje podstawy fizyczne i numeryczne zastosowanego modelu oraz metody rozwiązania. Do pełnego rozwiązania równań nieliniowych przepływu cieczy nieściśliwej użyta została metoda SIMPLE, która mimo nazwy okazuje się wcale nie taka prosta. 1 Wstęp Założeniem programu, który niniejsza dokumentacja będzie opisywać, było, by dać użytkownikowi narzędzie do rozwiązania w miarę dowolnego problemu dwuwymiarowego przepływu cieczy nieściśliwej. Wybór modelu opisującego zachowanie cieczy oraz metody rozwiązania potrzebnych równań nie był prosty. Istnieje bowiem kilka różych podejść m. in. metoda cząstek znaczonych [8, 7], w której Harlow i Welch jako pierwsi podjęli się numerycznego rozwiązania problemów hydrodynamiki nieściśliwej przez bezpośrednie rozwiązanie równań Naviera-Stokesa oraz użycie siatki obliczeniowej Eulera. Wprowadzili oni do modelu bezmasowe pseudo- cząstki, które pozwalają w prosty sposóbśledzićruchpowierzchniswobodnejcieczy 1.Innym podejściem do rozwiązania równań Naviera-Stokesa jest podejście Lagrange a[2], które sprowadza się do śledzenia trajektorii każdej cząsteczki cieczy z osobna. Dla potrzeb programu HydroDynamica wybrałem metodę SIMPLE, której opis w polskiej literaturze występuje m.in. w[2], a dokładniejszy opis algorytmu znaleźć można w angielskojęzycznych pozycjach[1, 4, 5, 6]. Nazwametody- SIMPLE -jestskrótemod Semi Implicit Method for Pressure Linked Equations, co na potrzeby niniejszej dokumentacji przetłumaczmy jako Pseudo Niejawną Metodę dla Równań Łączonych przez Ciśnienie 2.Przyokazji-będęniezmierniewdzięcznyza 1 Patrzrównieżprogram Fluid. 2 SIMPLE=PNMRŁC?:)
2 wszelkie uwagi co do ww tłumaczenia. Metoda SIMPLE wybrana została ze względu na kilka cech, które okazały się być bardzo użyteczne w programie o jakim mowa była na początku ww wstępu: wystarczająca dokładność rozwiązania, użycie metody siatek rozbieżnych(ułatwienie w implementacji), stabilność i dość bezpośrednia oraz intuicyjna konstrukcja warunków brzegowych. 2 RównaniaNaviera-Stokesa Dla potrzeb programu zapiszmy dwuwymiarowe równania Naviera-Stokesawpostacibezwymiarowej: 3 : u t = ( u ) u ϕ+ 1 Re 2 u (1) D= u=0 (2) Zgaduj: (P*) n,(u*) n,(v*) n Rozwiaz równanie Poissona (P ) P n+1 =(P*) n +(P ) Rozwiaz (3),(4) na: (U*) n+1,(v*) n+1 U n+1 =(U*) n +(U ) V n+1 =(V*) n +(V ) Wizualizacja Gdzie równanie(2) jest równaniem ciągłości i musi być spełnione w trakcie całego czasu symulacji. 3 Metody oparte na zmiennych prymitywnych Algorytm SIMPLE, który będziemy opisywać wymaga użycia formuły równań NS opartych na zmiennych prymitywnych. Oznacza to tyle, że używać będziemy formyrównańnszezmiennymiu,v,p,gdzieu=(u,v) jest wektorem prędkości, a p oznacza ciśnienie. Możemy przepisać równania NS w formie różniczkowej dla obu składowych prędkości z osobna: u t = u2 x + uv y p x + 1 u v Re ( 2 x 2+ 2 y2) (3) v t = v2 y + uv x p y + 1 u v Re ( 2 x 2+ 2 y2) (4) Równanie ciągłości przepiszmy w formie: u x + v =0 (5) y Oba powyższe równania użyte zostaną jako punkt wyjścia do rozwiązania metodą SIMPLE. 3.1 AlgorytmSIMPLE Szkic algorytmu SIMPLE rozwiązania równań NS przedstawiony został na rysunku(1). 3 Rozpatrujemyprzepływybezsiłzewnętrznych,np.grawitacji. Rysunek 1: Szkic algorytmu SIMPLE Najpierw zgadujemy początkowe wartości pola ciśnienia 4 (P ) n iustalamy(odgadujemy)polaprędkości -(U ) n,(v ) n.wtedyrównania(3)i(4)sąrozwiązane dlauzyskaniawartości(u ) n+1,(v ) n+1.potychkrokach musimy rozwiązać równanie korekty ciśnienia: 2 p = 1 ( V) (6) t Po tym, używamy prostych relacji, aby uzyskać poprawione wartości pól ciśnienia i prędkości. Przy rozwiązaniu problemów stacjonarnych możemy też sprawdzić w tym miejscu czy rozwiązanie jest zbieżne. 3.2 Metody numeryczne w SIMPLE SiatkaRozbieżna Dla dyskretyzacji równań różniczkowych NS użyjemy siatki rozbieżnej. Na obrazku(2) została przedstawiona siatka rozbieżna prostokątna. Zmienne prymitywne zostały umiejscowione w różnych punktach siatki. Mówiąc w różnych punktach, mamy na myśli, że ciśnienie, prędkość pozioma i prędkość pionowa NIE znajdują się w tym samym punkcie komórki siatki. Stąd tytułowa rozbieżność siatki obliczeniowej. W punkach całkowitych i, j siatki umiejscowione zostały wartości ciśnieniap,wpunktachpołówkowychpoziomo-i+0.5,j 4 Indeksyoznaczająpojedynczykrokobliczeniowy,gdzie n+1 oznacza krok bieżący. 2
3 Różniczka Schemat Różnicowy Typ, dokładność u t u n+1 u n t w przód, O(h) numeryczne schematy obliczeniowe[1]. Równania(3), (4) zdyskretyzowane na siatce rozbieżnej zapisać możemy wformie 56 : 2 u x 2 u 2 x u i+1,j 2 u i,j+u i 1,j ( x) 2 centralny,o(h 2 ) u 2 i+1,j u2 i 1,j (2 x) centralny,o(h 2 ) u n+1 i+0.5,j =un i+0.5,j+ t (A ( x) 1 (p i+1,j p i,j )) (7) v n+1 i,j+0.5 =un i,j t (B ( y) 1 (p i,j+1 p i,j )) (8) gdzie A i B zostały zdefiniowane jako: A= a 1 +(Re) 1 (a 3 +a 4 ) (9) p x p i+1,j p i,j ( x) w przód, O(h) B= b 1 +(Re) 1 (b 3 +b 4 ) (10) p y p i,j+1 p i,j ( x) w przód, O(h) odpowiednio zapisujemy też: Tabela 1: Schematy dyskretyzacji użyte w algorytmie SIMPLE. a 1 = (u2 ) n i+1.5,j (u2 ) n i 0.5,j (u v)n i+0.5,j+1 (u v) n i+0.5,j 1 2 x 2 y (11) oraz w punktach połówkowych pionowo- i, j+0.5 położone zostały wartości prędkości odpowiednio u oraz v. Tak zdefiniowana siatka rozbieżna pozwala na użycie prostych dyskretyzacji i osiągnięcie dokładności drugiego rzędu[8,4,5,6]. b 1 = (v2 ) n i,j+1.5 (v2 ) n i,j 0.5 (v u)n i+1,j+0.5 (v u) n i 1,j y 2 x (12) (a 3 )= un i+1.5,j 2 un i+0.5,j +un i 0.5,j ( x) 2 (13) p 0,0 v 0,0.5 u 0.5,0 v i,j-0.5 (a 4 )= un i+0.5,j+1 2 un i+0.5,j +un i+0.5,j 1 ( y) 2 (14) u i-0.5,j p i,j v i,j+0.5 u i+0.5,j (b 3 )= vn i,j vn i,j+0.5 +vn i,j 0.5 ( y) 2 (15) (b 4 )= vn i+1,j vn i,j+0.5 +vn i 1,j+0.5 ( x) 2 (16) Teraz mamy zapisane prawie wszystko. Pozostało zdefiniować prędkości z kropką : u=0.5 (u i 0.5,j +u i 0.5,j+1 ) (17) Rysunek 2: Siatka rozbieżna: pełne kółka P, kółka puste U prędkość x, krzyż V składowa y-prędkości. u=0.5 (u i+0.5,j +u i+0.5,j+1 ) (18) Dyskretyzacja Pierwszym krokiem przy rozwiązaniu numerycznym równań NS będzie przeprowadzenie dyskretyzacji na siatce obliczeniowej. W tabeli 1 przedstawione zostały wszystkie schematy użyte do dyskretyzacji równań dynamiki. Używając zaprezentowanych schematów wyprowadzić możemy v=0.5 (v i,j+0.5 +v i+1,j+0.5 ) (19) v=0.5 (v i,j 0.5 +v i+1,j 0.5 ) (20) 5 W książce [1] należy uważać na błędy drukarskie w wyprowadzonych schematach numerycznych. 6 W ogólności przedstawione zostały tylko ogólne schematy całkowania równań, dla potrzeb algorytmu SIMPLE należy oczywiście uzupełnić je o wszelkie indeksy lub*. 3
4 3.2.3 RównaniePoissona Dla równania użyjemy prostej metody iteracyjnej wyprowadzonej wprost ze schematów numerycznych dyskretyzacji. Na obrazku(3) zostały zaznaczone punkty użytedoiteracjidlakażdegopunktu(i,j)nasiatce. P i,j-1 P i-1,j P i,j P i+1,j P i,j+1 Rysunek 3: Punkty na siatce różnicowej użyte do rozwiązania iteracyjnego równania Poissona. Użyłem schematu 4-ro punktowego dla przybliżenia operatora Laplace a. Bezpośrednio z [1] wyrażenie na pojedynczy krok rozwiązania równania Poissona zapisujemy jako: p i,j = a 1 (b (p i+1,j +p i 1,j )+c (p i,j+1 +p i,j 1 )+d) (21) gdzie: [ 1 a=2 t 1 ] x 2+ y 2 (22) b= t x 2 (23) c= t y 2 (24) d= 1 x [u i+0.5,j u i 0.5,j ]+ 1 y [v i,j+0.5 v i,j 0.5 ](25) Używamy równania (21) dla wszystkich punktów wewnętrznych na siatce. Następnie sprawdzamy czy otrzymane rozwiązanie zbiegło odpowiednio blisko do wartości dokładnej (inaczej mówiąc sprawdzamy największą różnicę między starym a nowym polem ciśnienia). Jeśli różnica ta jest mniejsza od pewnego skończonego ǫ > 0, rozwiązanie uznajemy za dostatecznie dokładne. 4
5 4 ProgramHydro-Dynamica Program Hydro-Dynamica rozwiązuje równania Naviera-Stokesa na siatce prostokątnej, dwuwymiarowej przy zadanych warunkach brzegowych oraz rozkładu źródeł cieczy. Jak wspomniałem we wstępie do dokumentacji, założeniem było, by użytkownik był w stanie w prosty sposób definiować problem hydrodynamiczny do rozwiązania. 4.1 Interfejsużytkownika Obsługa programu sprowadza się do zaprojektowania siatki obliczeniowej. Projekt rozpoczynamy od zdefiniowania ogólnych właściwości siatki. Następnie przy pomocy myszki oznaczamy odpowiednie komórki siatki jako komórki wyełnione cieczą, komórki wpływowe/ wypływowe lub komórki brzegowe. Program pozwala użytkownikowi na zdefiniowanie sposobu wizualizacji oraz rodzaj pliku wynikowego(oddzielne klatki lub animacja). Interfejs użytkownika podzielony został na dwa oddzielne okna Okno Główne Programu Okno główne programu podzielone zostało na dwie części(rysunek 4). Rysunek 4: Okno główne programu. Po stronie lewej widoczny jest prostokątny obszar z naszkicowaną siatką obliczeniową. W obszarze tym przy pomocy myszki zaznaczać możemy poszczególne komórki siatki obliczeniowej i zmieniać ich rodzaj. Rodzaj komórki wybieramy zczęściprawejokna(zakładka Cells ).Dowyborumamynastępującerodzajekomórek 7 : Slip Boundary - komórki brzegowe z warunkiem pełnego poślizgu cieczy No Slip Boundary - komórki brzegowe z warunkiem braku poślizgu cieczy Move Boundary - komórki brzegowe z ustaloną prędkością przesuwu Inflow - komórki wpływu cieczy(z możliwością określenia kierunku wpływu) 7 Opisbazujenawersjiangielskojęzycznejprogramu,przyczymbezpośrednioodnosisięrównieżdowersjipolskiej. 5
6 Outflow - komórki wypływu cieczy Dla komórek brzegowych poruszających się oraz dla komórek wpływowych można również określić prędkość domyślną wkomórce. Przed przystąpieniem do definiowania własnych układów przeszkód/ źródeł cieczy, proponuję zapoznać się z zamieszczonymi przykładami(pliki.grid). Istnieje bowiem kilka ogólnych zasad, których należy się trzymać by otrzymać rozwiązanie stabilne problemu. Przede wszystkim definiowany problem musi być rozsądny - losowe rozmieszczenie komórek brzegowych i wpływowych/ wypływowych na siatce na pewno nie da dobrych wyników. Podstawowe zasady, których należy się trzymać przy definiowaniu własnego problemu: Rozmiarysiatkiwybieraćtak,bynx>=ny Oznaczyć komórki na brzegach siatki(najbardziej na lewo/prawo/do góry/na dół) jako: Komórkę brzegową Komókę Wpływową Komórkę Wypływową Komórki brzegowe wewnątrz obszaru symulacji stawiać podwójnie (pojedyncze ściany brzegowe przenoszą informacje) W zakładce Simulation Properties możemy określić liczbę charakteryzującą rodzaj badanego przepływu (bezwymiarowa liczba Reynoldsa), a także krok czasowy symulacji. W przypadku wystąpienia niestabilności należy krok czasowy zmniejszać. Dodatkowo istnieje w programie również opcja ustawienia wartości prędkości początkowej ( odgadnięcie pola prędkości) przez ręczne ustawienie prędkości poziomej i pionowej w zakładce Simulation Properties. Ustawienie prędkości poziomej = 1.0 przydaje się w przypadku badania przepływów typu ciało w tunelu aero dynamicznym OknoObliczeń Po stworzeniu siatki obliczeniowej używając przycisku z wykrzyknikiem lub przycisku Calculate It przechodzimy do okna obliczeń(rysunek 5), gdzie definiujemy sposób wizualizacji oraz zapisu plików wynikowych. Rysunek 5: Okno Obliczeniowe. Do wyboru użytkownika pozostaje sposób wizualizacji przepływu, gdzie można dowolnie łączyć wybrane sposoby wizualizacji(patrz sekcja z rezultatami). 6
7 Również wielkość obrazka dla plików wynikowych może być przez użytkownika zmieniana przez zmianę wartości w polu Output Size. W przypadku rozdzielczości > 1 procedura do wizualizacji interpoluje wartości z siatki obliczeniowej dla uzyskania rozmytego powiększenia. Pole Save Frame Interval służy do ustalania co która klatka symulacji ma zostać zapisana w procesie tworzenia animacji/zapisywania klatek. Uwaga: W przypadku wystąpienia błędu przy próbie zapisania animacji w formacie.avi należy zmniejszyć wielkość obrazka wynikowego( Output Size ). 5 Nakoniec.. Program Hydro-Dynamica napisany został w języku C++. Przy odrobinie silnej woli kod programu może zostać przekompilowanypodsystememlinux.przenośnośćkoduuzyskanazostałaprzezużyciebibliotekifox 8 dostworzenia interfejsu użytkownika. Program w wersji wykonywalnej rozpowszechniany będzie na zasadzie freeware i dostępny będzie na mojej stronie domowej 9. Na płycie CD którą oddaję znajduje się program w dwóch wersjach językowych, przykłady siatek obliczeniowych, niniejsza dokumentacja, animacje wygenerowane programem oraz kod źródłowy programu. Proszę o nie rozpowszechnianie kodu źródłowego dołączonego do programu. Życzę owocnej pracy z programem. 6 Rezultaty W tej części dokumentacji prezentowane są wybrane problemy hydrodynamiki rozwiązane przy pomocy programu Hydro-Dynamica maq 7
8 Rysunek 6: Klasyczny problem testowy- jaskinia z poruszającą się górną płytą. Charakterystyczne dwa wiry powstają dla liczby Re=400. Problem w oryginalnym nazewnictwie znany jako Driven Cavity. Rysunek 7: Przepływ cieczy o niskiej liczbie Reynoldsa = 10 przez konfigurację trzech szczelin. Wizualizacja przez linie prądu oraz pola prędkości poziomej(kolor czerwony) i pionowej(kolor zielony). 8
9 Rysunek 8: Przepływ turbulentny cieczy dla Re=400 w przypadku opływu przez krążek. Ciecz za ciałem opływanym tworzy charakterystyczne wiry, znane w literaturze tematu jako Vortex Karman Street. 9
10 Literatura [1] John D. Anderson, Jr. Computational Fluid Dynamics: The Basics with Applications, McGraw-Hill Inc, [2] Ryszard Grybos, Podstawy mechaniki plynow (Tom 1 i 2), PWN [3] David Potter Metody obliczeniowe fizyki, PWN [4] James D. Bozeman, Charles Dalton, Numerical Study of Viscous Flow in Cavity, Journal of Computational Physics, vol. 12, [5] J.C. Tannehill, D.A. Anderson, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Second Edition, Series in Computational and Physical Processes in Mechanics and Thermal Sciences. [6] C.A.J. Fletcher, Computational Techniques for Fluid Dynamics, Volume 2, Springer. [7] F.H.Harlow,JohnP.Shannon, TheSplashofLiquidDrop,JournalofAppliedPhysics(vol.38,n.10Sept. 1967). [8] J. Welch, F. Harlow, J. Shannon, The MAC Method, Los Alamos Scientific Laboratory of the University of California(1965). [9] N.Foster, D.Metaxas, Realistic Animation of Liquids, Center for Human Modeling and Simulation. 10
Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL
Mgr inż. Wojciech Chajec Pracownia Kompozytów, CNT Mgr inż. Adam Dziubiński Pracownia Aerodynamiki Numerycznej i Mechaniki Lotu, CNT SMIL We wstępnej analizie przyjęto następujące założenia: Dwuwymiarowość
Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych.
Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych. Jedną z metod symulacji dynamiki cieczy jest zastosowanie metody siatkowej Boltzmanna.
Ruchome Piaski v1.0. Maciej Matyka email: maq@panoramix.ift.uni.wroc.pl
Ruchome Piaski v1.0 Maciej Matyka email: maq@panoramix.ift.uni.wroc.pl Uniwersytet Wrocławski Wydział Fizyki i Astronomii Fizyka II BIS 16 lutego 2002 roku Spis treści 1 Teoria 4 1.1 Ogólne założenia.........................................
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: MODELOWANIE PROCESÓW ENERGETYCZNYCH Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: specjalności obieralny Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Od żłobka do przedszkola - mini szkolenie z użytkowania pakietu OpenFOAM. Karol Wędołowski 06.04.2011
Od żłobka do przedszkola - mini szkolenie z użytkowania pakietu OpenFOAM Karol Wędołowski 06.04.2011 Część 2. Struktura case'u na przykładzie przepływu w zagłębieniu 1. Potrzebne katalog i pliki W tej
OPIS PRZEDMIOTU/MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS)
Załącznik nr 2 do zarządzenia Nr 33/2012 z dnia 25 kwietnia 2012 r. OPIS PRZEDMIOTU/MODUŁU KSZTAŁCENIA (SYLABUS) 1. Nazwa przedmiotu/modułu w języku polskim Symulacje komputerowe dynamiki płynów 2. Nazwa
WYZNACZANIE RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI NA SIATKACH NAKŁADAJĄCYCH SIĘ
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISNN 896-77X 3, s. 67-7, Gliwice 006 WYZNACZANIE RUCHU CIECZY LEPKIEJ METODĄ SZTUCZNEJ ŚCIŚLIWOŚCI NA SIATKACH NAKŁADAJĄCYCH SIĘ ZBIGNIEW KOSMA BOGDAN NOGA PRZEMYSŁAW MOTYL Instytut
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr zimowy 2017/2018 Tomasz Chwiej 22 stycznia 2019 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów
Ćwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika)
Ćwiczenie 2 Numeryczna symulacja swobodnego spadku ciała w ośrodku lepkim (Instrukcja obsługi interfejsu użytkownika) 1 1 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest rozwiązanie równań ruchu ciała (kuli) w ośrodku
dr inż. Cezary Żrodowski Wizualizacja Informacji WETI PG, sem. V, 2015/16
Zadanie 3 - Karuzela 1. Budowa geometrii felgi i opony a) Szkic i wyciagnięcie obrotowe korpusu karuzeli (1 pkt) b) Szkic i wyciagnięcie liniowe podstawy karuzeli (1pkt) 1 c) Odsunięta płaszczyzna, szkic
Z52: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania, zagadnienie brzegowe.
Z5: Algebra liniowa Zagadnienie: Zastosowania algebry liniowej Zadanie: Operatory różniczkowania zagadnienie brzegowe Dyskretne operatory różniczkowania Numeryczne obliczanie pochodnych oraz rozwiązywanie
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną. Tomasz Chwiej 9 sierpnia 18 1 Wstęp 1.1 Dyskretyzacja n y V V 1 V 3 1 j= i= 1 V 4 n x Rysunek 1: Geometria układu i schemat siatki obliczeniowej
Całkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Poniżej omówione zostanie kilka metod przybliżania operacji całkowania i różniczkowania w szczególności uzależnieniu pochodnej od jej różnic skończonych gdy równanie różniczkowe mamy
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1
Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod Numerycznych - semestr 1 Tomasz Chwiej 6 czerwca 2016 1 Równania różniczkowe zwyczajne Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz
dr inż. Cezary Żrodowski Wizualizacja Informacji WETI PG, sem. V, 2015/16
Zadanie 4 - Holonur 1. Budowa geometrii felgi i opony a) Szkic i wyciągnięcie obrotowe dyszy (1pkt) b) Zaokrąglenie krawędzi natarcia dyszy (1pkt) 1 c) Wyznaczenie płaszczyzny stycznej do zewnętrznej powierzchni
dr inż. Cezary Żrodowski Wizualizacja Informacji WETI PG, sem. V, 2015/16 b) Operacja wyciągnięcia obrotowego z dodaniem materiału - uchwyt (1pkt)
Zadanie 5 - Jacht 1. Budowa geometrii koła sterowego a) Szkic (1pkt) b) Operacja wyciągnięcia obrotowego z dodaniem materiału - uchwyt (1pkt) 1 c) Operacja wyciagnięcia liniowego z dodaniem materiału obręcze
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1
J. Szantyr Wykład nr 19 Warstwy przyścienne i ślady 1 Warstwa przyścienna jest to część obszaru przepływu bezpośrednio sąsiadująca z powierzchnią opływanego ciała. W warstwie przyściennej znaczącą rolę
Inżynierskie metody numeryczne II. Konsultacje: wtorek 8-9:30. Wykład
Inżynierskie metody numeryczne II Konsultacje: wtorek 8-9:30 Wykład Metody numeryczne dla równań hiperbolicznych Równanie przewodnictwa cieplnego. Prawo Fouriera i Newtona. Rozwiązania problemów 1D metodą
Laboratorium komputerowe z wybranych zagadnień mechaniki płynów
FORMOWANIE SIĘ PROFILU PRĘDKOŚCI W NIEŚCIŚLIWYM, LEPKIM PRZEPŁYWIE PRZEZ PRZEWÓD ZAMKNIĘTY Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia będzie analiza formowanie się profilu prędkości w trakcie przepływu płynu przez
Informatyka I Lab 06, r.a. 2011/2012 prow. Sławomir Czarnecki. Zadania na laboratorium nr. 6
Informatyka I Lab 6, r.a. / prow. Sławomir Czarnecki Zadania na laboratorium nr. 6 Po utworzeniu nowego projektu, dołącz bibliotekę bibs.h.. Największy wspólny dzielnik liczb naturalnych a, b oznaczamy
Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie
Zastosowanie wybranych metod bezsiatkowych w analizie przepływów w pofalowanych przewodach Streszczenie Jednym z podstawowych zagadnień mechaniki płynów jest analiza przepływu płynu przez przewody o dowolnym
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI.
OBLICZANIE POCHODNYCH FUNKCJI. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ RÓŻNICZKOWYCH. ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH. Obliczanie pochodnych funkcji. Niech będzie dana funkcja y(x określona i różniczkowalna na przedziale
Algorytmy sztucznej inteligencji
www.math.uni.lodz.pl/ radmat Przeszukiwanie z ograniczeniami Zagadnienie przeszukiwania z ograniczeniami stanowi grupę problemów przeszukiwania w przestrzeni stanów, które składa się ze: 1 skończonego
Nowoczesne narzędzia obliczeniowe do projektowania i optymalizacji kotłów
Nowoczesne narzędzia obliczeniowe do projektowania i optymalizacji kotłów Mateusz Szubel, Mariusz Filipowicz Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie AGH University of Science and
WYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA 1/17
WYKŁAD 8 RÓWNANIE NAVIERA-STOKESA /7 Zaczniemy od wyprowadzenia równania ruchu dla płynu newtonowskiego. Wcześniej wyprowadziliśmy z -ej Zasady Dynamiki ogólne równanie ruchu, którego postać indeksowa
Studentom zostaną dostarczone wzory lub materiały opisujące. Zachęcamy do wykonania projektów programistycznych w postaci apletów.
W niniejszym dokumencie znajdują się propozycje projektów na rok 2008. Tematy sformułowane są ogólnie, po wyborze tematu i skontaktowaniu z prowadzącym zostaną określone szczegółowe wymagania co do projektu.
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Podstawy procesów przepływowych Kierunek: ENERGETYKA Rodzaj przedmiotu: obieralny specjalności Rodzaj zajęć: wykład, laboratorium Fundamentals of modeling of fluid flow processes Forma
Przegląd 4 Aerodynamika, algorytmy genetyczne, duże kroki i dynamika pozycji. Modelowanie fizyczne w animacji komputerowej Maciej Matyka
Przegląd 4 Aerodynamika, algorytmy genetyczne, duże kroki i dynamika pozycji Modelowanie fizyczne w animacji komputerowej Maciej Matyka Wykład z Modelowania przegląd 4 1. Animation Aerodynamics 2. Algorytmy
Politechnika Poznańska
Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych-Projekt Prowadzący: Dr hab. Tomasz Stręk prof. nadzw. Wykonali : Grzegorz Paprzycki Grzegorz Krawiec Wydział: BMiZ Kierunek: MiBM Specjalność: KMiU Spis
POLITECHNIKA POZNAŃSKA METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH LABORATORIA
POLITECHNIKA POZNAŃSKA METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH LABORATORIA Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonanie: Magdalena Winiarska Wojciech Białek Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Mechanika
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: Wprowadzenie do numerycznej mechaniki płynów Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności: Inżynieria cieplna i samochodowa Rodzaj zajęć: wykład,
MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW
1. WSTĘP MODELOWANIE NUMERYCZNE POLA PRZEPŁYWU WOKÓŁ BUDYNKÓW mgr inż. Michał FOLUSIAK Instytut Lotnictwa W artykule przedstawiono wyniki dwu- i trójwymiarowych symulacji numerycznych opływu budynków wykonanych
Obliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Projekt 9: Dyfuzja ciepła - metoda Cranck-Nicloson.
Projekt 9: Dyfuzja ciepła - metoda Cranck-Nicoson. Tomasz Chwiej stycznia 9 Wstęp n y ρ j= i= n x Rysunek : Siatka węzłów użyta w obiczeniach z zaznaczonymi warunkami brzegowymi: Diricheta (czerwony) i
Projekt. Filip Bojarski, Łukasz Paprocki. Wydział : BMiZ, Kierunek : MiBM, Rok Akademicki : 2014/2015, Semestr : V
Projekt Prowadzący: Dr hab. Tomasz Stręk Wykonali: Adam Piątkowski, Filip Bojarski, Łukasz Paprocki Wydział : BMiZ, Kierunek : MiBM, Rok Akademicki : 2014/2015, Semestr : V 1 2 SPIS TREŚCI SPIS TREŚCI...
Rozwiązywanie równań nieliniowych
Rozwiązywanie równań nieliniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Przykłady wyznaczania miejsc zerowych funkcji f : f(ξ) = 0. Wyszukiwanie miejsc zerowych wielomianu n-tego stopnia. Wymiar tej przestrzeni wektorowej
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne. Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych
Mechatronika i inteligentne systemy produkcyjne Modelowanie systemów mechatronicznych Platformy przetwarzania danych 1 Sterowanie procesem oparte na jego modelu u 1 (t) System rzeczywisty x(t) y(t) Tworzenie
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I
Metody Numeryczne w Budowie Samolotów/Śmigłowców Wykład I dr inż. Tomasz Goetzendorf-Grabowski (tgrab@meil.pw.edu.pl) Dęblin, 11 maja 2009 1 Organizacja wykładu 5 dni x 6 h = 30 h propozycja zmiany: 6
Modelowanie i Animacja
Maciej Matyka Uniwersytet Wrocławski Maciej Matyka Plan wykładu Dlaczego animujemy używając komputera? Dlaczego animujemy używając komputera? Wyciąg z minimum programowego fizyki w liceum... Kinematyka
Politechnika Poznańska
Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych Mechanika i Budowa Maszyn Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonali: Maria Kubacka Paweł Jakim Patryk Mójta 1 Spis treści: 1. Symulacja
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
5.4. Tworzymy formularze
5.4. Tworzymy formularze Zastosowanie formularzy Formularz to obiekt bazy danych, który daje możliwość tworzenia i modyfikacji danych w tabeli lub kwerendzie. Jego wielką zaletą jest umiejętność zautomatyzowania
Rys.1. Technika zestawiania części za pomocą polecenia WSTAWIAJĄCE (insert)
Procesy i techniki produkcyjne Wydział Mechaniczny Ćwiczenie 3 (2) CAD/CAM Zasady budowy bibliotek parametrycznych Cel ćwiczenia: Celem tego zestawu ćwiczeń 3.1, 3.2 jest opanowanie techniki budowy i wykorzystania
Badanie zjawisk zachodzących w cieczach nieściśliwych metodą cząstek znaczonych
Uniwersytet Wrocławski Instytut Fizyki Teoretycznej Praca magisterska Badanie zjawisk zachodzących w cieczach nieściśliwych metodą cząstek znaczonych Maciej Matyka Opiekun pracy: dr Janusz Szwabiński 5
y i b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta
b) metoda różnic skończonych nadal problem nieliniowy 2 go rzędu z warunkiem Dirichleta przedział (a,b) dzielimy na siatkę, powiedzmy o stałym kroku: punkty siatki: u A y i w metodzie strzałów używamy
WERYFIKACJA KODU CFD DLA SYMULACJI PRZEPŁYWU CIECZY WOKÓŁ PĘKU RUR PRZY UŻYCIU METODY DPIV
XVI Krajowa Konferencja Mechaniki Płynów Waplewo 2004 WERYFIKACJA KODU CFD DLA SYMULACJI PRZEPŁYWU CIECZY WOKÓŁ PĘKU RUR PRZY UŻYCIU METODY DPIV Witold SUCHECKI, Krzysztof WOŁOSZ Instytut Inżynierii Mechanicznej,
Te i wiele innych cech sprawia, że program mimo swej prostoty jest bardzo funkcjonalny i spełnia oczekiwania większości klientów.
Instrukcja użytkownika OFERTOWANIE 3.0 Program OFERTOWANIE 3.0 to intuicyjne i łatwe w użyciu narzędzie do szybkiego przygotowania i wydrukowania profesjonalnie wyglądającej oferty dla klienta, Program
x y
Przykłady pytań na egzamin końcowy: (Uwaga! Skreślone pytania nie obowiązują w tym roku.). Oblicz wartość interpolacji funkcjami sklejanymi (przypadek (case) a), dla danych i =[- 4 5], y i =[0 4 -]. Jaka
PRZEWODNIK PO ETRADER ROZDZIAŁ XII. ALERTY SPIS TREŚCI
PRZEWODNIK PO ETRADER ROZDZIAŁ XII. ALERTY SPIS TREŚCI 1. OPIS OKNA 3 2. OTWIERANIE OKNA 3 3. ZAWARTOŚĆ OKNA 4 3.1. WIDOK AKTYWNE ALERTY 4 3.2. WIDOK HISTORIA NOWO WYGENEROWANYCH ALERTÓW 4 3.3. DEFINIOWANIE
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
Nazwa przedmiotu: PODSTAWY MODELOWANIA PROCESÓW WYTWARZANIA Fundamentals of manufacturing processes modeling Kierunek: Mechanika i Budowa Maszyn Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy na specjalności APWiR Rodzaj
Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB
Rozkład temperatury na powierzchni grzejnika podłogowego przy wykorzystaniu MEB W artykule przedstawiono wyniki eksperymentu numerycznego - pola temperatury na powierzchni płyty grzejnej dla wybranych
WYKONANIE APLIKACJI OKIENKOWEJ OBLICZAJĄCEJ SUMĘ DWÓCH LICZB W ŚRODOWISKU PROGRAMISTYCZNYM. NetBeans. Wykonał: Jacek Ventzke informatyka sem.
WYKONANIE APLIKACJI OKIENKOWEJ OBLICZAJĄCEJ SUMĘ DWÓCH LICZB W ŚRODOWISKU PROGRAMISTYCZNYM NetBeans Wykonał: Jacek Ventzke informatyka sem. VI 1. Uruchamiamy program NetBeans (tu wersja 6.8 ) 2. Tworzymy
Nowe funkcje w programie Symfonia Faktura w wersji
Symfonia Faktura 1 / 6 Nowe funkcje w programie Symfonia Faktura w wersji 2011.1 Spis treści: 1. Korzyści z zakupu nowej wersji... 2 2. Zmiany w słowniku Stawki VAT... 2 3. Zmiana stawki VAT w kartotece
Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle
231 Prace Instytutu Mechaniki Górotworu PAN Tom 7, nr 3-4, (2005), s. 231-236 Instytut Mechaniki Górotworu PAN Numeryczna symulacja rozpływu płynu w węźle JERZY CYGAN Instytut Mechaniki Górotworu PAN,
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie
Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych metodą elementów skończonych - wprowadzenie Wprowadzenie Metoda Elementów Skończonych (MES) należy do numerycznych metod otrzymywania przybliżonych rozwiązań
Przepływy Taylora-Couetta z wymianą ciepła. Ewa Tuliszka-Sznitko, Kamil Kiełczewski Wydział Maszyn Roboczych i Transportu
Przepływy Taylora-Couetta z wymianą ciepła Ewa Tuliszka-Sznitko, Kamil Kiełczewski Wydział Maszyn Roboczych i Transportu Typowy przepływ Taylora-Couetta to przepływ lepki pomiędzy dwoma koncentrycznymi
Systemy. Krzysztof Patan
Systemy Krzysztof Patan Systemy z pamięcią System jest bez pamięci (statyczny), jeżeli dla dowolnej chwili t 0 wartość sygnału wyjściowego y(t 0 ) zależy wyłącznie od wartości sygnału wejściowego w tej
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
etrader Pekao Podręcznik użytkownika Strumieniowanie Excel
etrader Pekao Podręcznik użytkownika Strumieniowanie Excel Spis treści 1. Opis okna... 3 2. Otwieranie okna... 3 3. Zawartość okna... 4 3.1. Definiowanie listy instrumentów... 4 3.2. Modyfikacja lub usunięcie
ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI
Budownictwo 18 Mariusz Poński ZASTOSOWANIE RACHUNKU OPERATORÓW MIKUS- IŃSKIEGO W PEWNYCH ZAGADNIENIACH DYNAMIKI KONSTRUKCJI 1. Metody transformacji całkowych Najczęściej spotykaną metodą rozwiązywania
Ściśliwa magnetyczna warstwa graniczna jako prosty model Tachokliny we wnętrzu Słońca. Krzysztof Mizerski,
Ściśliwa magnetyczna warstwa graniczna jako prosty model Tachokliny we wnętrzu Słońca Krzysztof Mizerski, Univ. Leeds, School of Maths, Woodhouse Lane, Leeds, UK przy współpracy z: Davidem Hughes 23 Czerwca
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA
KARTA MODUŁU KSZTAŁCENIA I. 1 Nazwa modułu kształcenia Metody obliczeniowe Informacje ogólne 2 Nazwa jednostki prowadzącej moduł Państwowa Szkoła Wyższa im. Papieża Jana Pawła II,Katedra Nauk Technicznych,
Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja)
Nasyp przyrost osiadania w czasie (konsolidacja) Poradnik Inżyniera Nr 37 Aktualizacja: 10/2017 Program: Plik powiązany: MES Konsolidacja Demo_manual_37.gmk Wprowadzenie Niniejszy przykład ilustruje zastosowanie
narzędzie Linia. 2. W polu koloru kliknij kolor, którego chcesz użyć. 3. Aby coś narysować, przeciągnij wskaźnikiem w obszarze rysowania.
Elementy programu Paint Aby otworzyć program Paint, należy kliknąć przycisk Start i Paint., Wszystkie programy, Akcesoria Po uruchomieniu programu Paint jest wyświetlane okno, które jest w większej części
Metoda elementów skończonych-projekt
Metoda elementów skończonych-projekt Ziarniak Marcin Nawrocki Maciej Mrówczyński Jakub M6/MiBM 1. Analiza odkształcenia kierownicy pod wpływem obciążenia W pierwszym zadaniu przedmiotem naszych badań będzie
METODA ELEMENTÓW SKOŃOCZNYCH Projekt
METODA ELEMENTÓW SKOŃOCZNYCH Projekt Wykonali: Maciej Sobkowiak Tomasz Pilarski Profil: Technologia przetwarzania materiałów Semestr 7, rok IV Prowadzący: Dr hab. Tomasz STRĘK 1. Analiza przepływu ciepła.
INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7
KATEDRA MECHANIKI STOSOWANEJ Wydział Mechaniczny POLITECHNIKA LUBELSKA INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA NR 7 PRZEDMIOT TEMAT OPRACOWAŁ LABORATORIUM MODELOWANIA Przykładowe analizy danych: przebiegi czasowe, portrety
Do korzystania ze strony elektronicznej rekrutacji zalecamy następujące wersje przeglądarek internetowych:
Nabór CKU Przeglądanie oferty i rejestracja kandydata Informacje ogólne Do korzystania ze strony elektronicznej rekrutacji zalecamy następujące wersje przeglądarek internetowych: Internet Explorer wersja
Metody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
SYSTEMY OPERACYJNE I SIECI KOMPUTEROWE
SYSTEMY OPERACYJNE I SIECI KOMPUTEROWE WINDOWS 1 SO i SK/WIN 006 Wydajność systemu 2 SO i SK/WIN Najprostszym sposobem na poprawienie wydajności systemu, jeżeli dysponujemy zbyt małą ilością pamięci RAM
Excel - użycie dodatku Solver
PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym
Wzór Żurawskiego. Belka o przekroju kołowym. Składowe naprężenia stycznego można wyrazić następująco (np. [1,2]): T r 2 y ν ) (1) (2)
Przykłady rozkładu naprężenia stycznego w przekrojach belki zginanej nierównomiernie (materiał uzupełniający do wykładu z wytrzymałości materiałów I, opr. Z. Więckowski, 11.2018) Wzór Żurawskiego τ xy
Tworzenie pliku źródłowego w aplikacji POLTAX2B.
Tworzenie pliku źródłowego w aplikacji POLTAX2B. Po utworzeniu spis przekazów pocztowych klikamy na ikonę na dole okna, przypominającą teczkę. Następnie w oknie Export wybieramy format dokumentu o nazwie
Microsoft EXCEL SOLVER
Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Pasek menu. Ustawienia drukowania
Polecenie Ustawienia drukowania... z menu Plik pozwala określić urządzenie drukujące poprzez jego wybór z pola kombi. Urządzenie można skonfigurować poprzez przycisk właściwości. Otwiera się wówczas okno
METODY OBLICZENIOWE. Projekt nr 3.4. Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03
METODY OBLICZENIOWE Projekt nr 3.4 Dariusz Ostrowski, Wojciech Muła 2FD/L03 Zadanie Nasze zadanie składało się z dwóch części: 1. Sformułowanie, przy użyciu metody Lagrange a II rodzaju, równania różniczkowego
Jak ustawić cele kampanii?
Jak ustawić cele kampanii? Czym są cele? Jest to funkcjonalność pozwalająca w łatwy sposób śledzić konwersje wygenerowane na Twojej stronie www poprzez wiadomości email wysłane z systemu GetResponse. Mierzenie
LABORATORIUM MECHANIKI PŁYNÓW
Ćwiczenie numer 2 Pomiar współczynnika oporu liniowego 1. Wprowadzenie Stanowisko służy do analizy zjawiska liniowych strat energii podczas przepływu laminarnego i turbulentnego przez rurociąg mosiężny
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne......................
Do korzystania ze strony elektronicznej rekrutacji zalecamy następujące wersje przeglądarek internetowych:
Rejestracja- MDK Przeglądanie oferty i rejestracja kandydata Informacje ogólne Do korzystania ze strony elektronicznej rekrutacji zalecamy następujące wersje przeglądarek internetowych: Internet Explorer
Kinematyka płynów - zadania
Zadanie 1 Zadane jest prawo ruchu w zmiennych Lagrange a x = Xe y = Ye t 0 gdzie, X, Y oznaczają współrzędne materialne dla t = 0. Wyznaczyć opis ruchu w zmiennych Eulera. Znaleźć linię prądu. Pokazać,
Instrukcja do wykonania symulacji numerycznych CFD w programie PolyFlow 14.0 przepływu płynów nienewtonowskich o właściwościach lepkosprężystych
Instrukcja do wykonania symulacji numerycznych CFD w programie PolyFlow 14.0 przepływu płynów nienewtonowskich o właściwościach lepkosprężystych 1. Uruchamianie programu PolyFlow W ramach projektu symulacje
Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki
Metody Obliczeniowe Mikrooptyki i Fotoniki https://www.igf.fuw.edu.pl/pl/courses/lectures/metody-obliczen-95-021c/ Podstawy metody różnic skończonych (Basics of finite-difference methods) Podstawy metody
Karta (sylabus) przedmiotu
Karta (sylabus) przedmiotu [Budownictwo] Studia I stopnia Przedmiot: Metody obliczeniowe Rok: III Semestr: VI Rodzaj zajęć i liczba godzin: Studia stacjonarne Studia niestacjonarne Wykład 15 16 Ćwiczenia
Politechnika Poznańska. Metoda Elementów Skończonych
Politechnika Poznańska Metoda Elementów Skończonych Mechanika i Budowa Maszyn Gr. M-5 Prowadzący: dr hab. Tomasz Stręk, prof. nadzw. Wykonali: Damian Woźniak Michał Walerczyk 1 Spis treści 1.Analiza zjawiska
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM
Elektrodynamika Część 1 Elektrostatyka Ryszard Tanaś Zakład Optyki Nieliniowej, UAM http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Spis treści 1 Literatura 3 2 Elektrostatyka 4 2.1 Pole elektryczne....................
Definicje i przykłady
Rozdział 1 Definicje i przykłady 1.1 Definicja równania różniczkowego 1.1 DEFINICJA. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n nazywamy równanie F (t, x, ẋ, ẍ,..., x (n) ) = 0. (1.1) W równaniu tym t jest
Rysunek 1: Okno timeline wykorzystywane do tworzenia animacji.
Ćwiczenie 5 - Tworzenie animacji Podczas tworzenia prostej animacji wykorzystywać będziemy okno Timeline domyślnie ustawione na dole okna Blendera (Rys. 1). Proces tworzenia animacji polega na stworzeniu
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów
Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe
Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska. Strona:
Modelowanie komputerowe w zagadnieniach środowiska Wykład 30 godzin + Laboratorium 30 godzin Strona: http://www.icm.edu.pl/~aniat/modele/wdw1 Literatura Modelowanie Urszula Foryś, Matematyka w biologii,
Po naciśnięciu przycisku Dalej pojawi się okienko jak poniżej,
Tworzenie wykresu do danych z tabeli zawierającej analizę rozwoju wyników sportowych w pływaniu stylem dowolnym na dystansie 100 m, zarejestrowanych podczas Igrzysk Olimpijskich na przestrzeni lat 1896-2012.
1. Korzyści z zakupu nowej wersji... 2. 2. Poprawiono... 2. 3. Zmiany w słowniku Stawki VAT... 2. 4. Zmiana stawki VAT w kartotece Towary...
Symfonia Handel 1 / 6 Nowe funkcje w programie Symfonia Handel w wersji 2011.1a Spis treści: 1. Korzyści z zakupu nowej wersji... 2 2. Poprawiono... 2 Nowe funkcje w programie Symfonia Handel w wersji
Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania
Politechnika Poznańska Wydział Budowy Maszyn i Zarządzania Kierunek : Mechanika i Budowa Maszyn Profil dyplomowania : Inżynieria mechaniczna Studia stacjonarne I stopnia PROJEKT ZALICZENIOWY METODA ELEMENTÓW
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Informatyka I stopień (I stopień / II stopień) ogólno akademicki (ogólno akademicki / praktyczny) podstawowy (podstawowy / kierunkowy / inny HES)
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Modelowanie i wizualizacja procesów fizycznych Nazwa modułu w języku angielskim
Metoda Różnic Skończonych (MRS)
Metoda Różnic Skończonych (MRS) METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek () Równania różniczkowe zwyczajne