Numeryczne modelowanie procesów przepł ywowych

Transkrypt

1 Numeryczne modelowanie procesów przepł ywowych dr inż. Grzegorz Grodzki Temat: Ć wiczenie 3 Numeryczna symulacja ruchu elastycznie umocowanego płata lotniczego umieszczonego w tunelu aerodynamicznym 1. Cel ćwiczenia. Celem ćwiczenia jest numeryczne rozwiązanie równań ruchu uproszczonego modelu elastycznie umocowanego płata lotniczego, pobudzanego wymuszeniem aerodynamicznym. 2. Wprowadzenie. W technice bardzo często spotykamy się z problemem, którego rozwiązaniem nie jest konkretna wartość lecz funkcja. Równanie, którego niewiadomą jest funkcja i które wiąże ją z jej funkcją pochodną nazywamy równaniem różniczkowym. Takie równania są powszechnie wykorzystywane do opisów procesów fizycznych, ekonomicznych itp. Jeśli funkcja niewiadoma zależy od jednej zmiennej, to równanie różniczkowe nazywamy zwyczajnym, jeśli zaś zależy od wielu zmiennych, to nazywamy je cząstkowym. W przypadku, gdy niewiadome występują w pierwszej potędze, to zwykle mamy do czynienia z równaniami liniowymi. Jeśli jednak w równaniach tych podstawowe niewiadome są w potędze drugiej, to nazywamy je nieliniowymi. Nieliniowość równań różniczkowych może również wypływać z zupełnie innych przyczyn. Zdarza się, że rozważana niewiadoma zmienia się liniowo tylko w pewnym wąskim zakresie wartości np. siła sprężystości sprężyny może być traktowana jako wielkość liniowa w przypadku, gdy w całym zakresie odkształcenie sprężyny jest proporcjonalne do działającej siły. Zdarza się jednak, że po przekroczeniu pewnej granicznej wartości, odkształcenie sprężyny może zmieniać się np. proporcjonalnie do kwadratu działającej siły. Mówimy wtedy, że równanie jest liniowe tylko w pewnym ograniczonym zakresie. Obecnie mało jest równań różniczkowych nieliniowych, które jesteśmy w stanie rozwiązać na drodze analitycznej. Przeważnie są to przypadki charakteryzujące się 49

2 dużym stopniem uproszczenia np.: jednowymiarowe przepływy ustalone. Oznacza to, że rozwiązanie równania różniczkowego nieliniowego, możliwe jest jedynie przy zastosowaniu metod numerycznych. Numeryczna analiza równań różniczkowych stosowanych w mechanice płynów polega na ich dyskretyzacji, czyli zamianie na równanie lub układ równań algebraicznych, który następnie jest rozwiązywany metodami algebry liniowej. Dyskretyzacja w ogólnym przypadku powoduje zamianę niewiadomej, którą może być ciągła funkcja współrzędnych przestrzennych i czasu, w dyskretny zbiór liczb opisujący wartość niewiadomej w skończonej liczbie punktów przestrzeni oraz w skończonej liczbie kroków czasowych. Wyobraźmy sobie teraz, że chcemy przeanalizować problem opisany równaniem różniczkowym, którego niewiadoma jest ciągłą funkcją czasu. Można przyjąć, że to co się wydarzy w chwili czasu t jest następstwem zdarzenia zaistniałego w chwili bezpośrednio poprzedzającej t lub w kilku chwilach poprzedzających. Rozwiązanie problemu (równania różniczkowego), polegać więc będzie na oszacowaniu wartości niewiadomej w danym kroku czasowym na podstawie wartości w kroku poprzednim (metody jednokrokowe np. Runge Kutty) lub w kilku poprzednich krokach (metody wielokrokowe np. Adamsa). Obecnie, numeryczne metody rozwiązywania równań różniczkowych znajdują coraz szersze zastosowania w większości rodzajów przemysłu. Niemniej jednak prekursorem było tutaj niewątpliwie lotnictwo, zwłaszcza wojskowe. Przed laty wyścig zbrojeń i okres zimnej wojny wymuszał przyspieszenie rozwoju nowoczesnych technik obliczeniowych i symulacyjnych, które w znaczny sposób mogłyby przyspieszyć proces projektowy i konstrukcyjny, a jednocześnie wydatnie obniżyć koszty danego przedsięwzięcia. Kilka słów o lataniu... Spróbujmy zastanowić się dlaczego samoloty są w stanie lecieć. Rozważmy przypadek, kiedy samolot porusza się w płaszczyźnie poziomej. Otóż na lecący samolot działają dwie grupy sił: ciężkości i aerodynamiczne. Siły ciężkości działają w dół i aby samolot unosił się w powietrzu, jego ciężar musi być równoważony przez skierowaną do góry siłę aerodynamiczną, którą nazywamy siłą nośną. Ponieważ porusza się on również w kierunku poziomym, to pojawia się jeszcze jedna siła aerodynamiczna zwana siłą oporu i aby ją zrównoważyć, musi wystąpić siła ciągu. W samolotach służą do tego śmigła lub dysze silników odrzutowych. 50

3 kierunek ruchu Należy zwrócić uwagę, że siły aerodynamiczne pojawiają się tylko wtedy, środek ciężkości gdy występuje opływ ciała. Jeśli nie ma ruchu powietrza względem ciała - nie α występują siły aerodynamiczne. Siły te zależą od kwadratu prędkości i gęstości przepływającego czynnika. Zależą także kąt natarcia od kształtu ciała, jego wymiarów oraz Rys.1. Poglądowy rysunek opływu płaskiej usytuowania względem kierunku napływu powietrza. płytki z zaznaczonym kątem natarcia Na przykład płaska płytka ustawiona pod pewnym kątem do kierunku napływu powietrza nazywanym kątem natarcia (Rys.1), może wytwarzać siłę działającą w kierunku prostopadłym do kierunku napływu (siła nośna). Siła ta jest wielokrotnie większa od powstającej jednocześnie (a działającej zgodnie z kierunkiem napływu) siły oporu. W zależności od ustawienia płytki w stosunku do płynącego powietrza, możemy uzyskiwać siłę nośną skierowaną do góry lub do dołu. Płaska płytka jako element wytwarzający siłę nośną nie jest jednak rozwiązaniem optymalnym. Po przekroczeniu stosunkowo niewielkiego kąta natarcia, przepływ odrywa się od niej i siła nośna maleje, a siła oporu gwałtownie rośnie (Rys. 2). Jeśli jednak zaokrąglona zostanie przednia krawędź płytki (krawędź natarcia), to może ona Rys.2. Wpływ zmiany kąta natarcia na pracować efektywnie w znacznie szerszym zakresie kątów natarcia. Gdyby wartość współczynnika siły nośnej zaś grubość płytki zmieniała się w pewien określony sposób wzdłuż przepływu, uzyskalibyśmy jeszcze efektywniejszą powierzchnię nośną. Taką płytkę możemy już nazwać skrzydłem, a jej przekrój poprzeczny - profilem lotniczym. Na dolnej powierzchni płytki ustawionej tak, by dawała siłę skierowaną do góry, powstaje nadciśnienie, a na górnej podciśnienie (Rys.3). 51

4 Symetryczny profil lotniczy przy zerowym kącie natarcia siła generowana na górnej powierzchni płata siła generowana na dolnej powierzchni płata Symetryczny profil lotniczy przy dodatnim kącie natarcia siła generowana na górnej powierzchni płata siła generowana na dolnej powierzchni płata Rys.3. Wpływ zmiany kąta natarcia w przypadku profilu symetrycznego na rozkład ciśnień W warunkach lotu skrzydło podlega określonym obciążeniom pochodzącym od strumienia opływającego je powietrza. Na skutek skończonej sztywności mocowania obciążenia te wywołują drgania powodujące odkształcenia oraz silne, dynamiczne obciążenie mocowania skrzydła (Rys.4). 52

5 Istotnym problemem staje się ocena wielkości wychylenia, która pozwala na obliczenie naprężeń tworzących się w obszarze mocowania. Zagadnienie to rozwiązywane jest zazwyczaj metodami analitycznymi, które ze względu na złożoność problemu prowadzą do skomplikowanych operacji matematycznych, nie dających często wyników o wymaganej dokładności. Znacznie bardziej efektywnym narzędziem dla rozwiązania tego typu zagadnienia są metody numeryczne, które pozwalają uwzględnić Rys.4. Przykładowe modele skrzydeł lotniczych większą liczbę czynników w równaniach opisujących zjawisko, prowadzące często do uzyskania dokładniejszych wyników. 3. Model matematyczny analizowanego problemu. Na rys. 5 przedstawiono schematycznie model płata umieszczonego w tunelu aerodynamicznym. Przyjęty model ma odzwierciedlać wpływ zmiennego wymuszania aerodynamicznego na mocowanie płata w kadłubie samolotu. Sztywność mocowania skrzydła została zastąpiona sprężyną o stałej sztywności k, która podtrzymuje ciężar skrzydła. Profil płata jest symetryczny, a zatem siła nośna tworzy się na skutek niezerowego kąta natarcia α 0, natomiast środek ciężkości płata znajduje się w położeniu określonym współrzędną z = 0. Załóżmy ponadto, że płat został umocowany w taki sposób, że możliwy jest jego ruch tylko w kierunku pionowym, a zatem badany układ posiada tylko jeden stopień swobody. W związku z czym, może być opisany układem równań zwyczajnych. Tunel aerodynamiczny pozwala wytworzyć strumień powietrza o poziomej prędkości średniej oraz dodatkowych poziomych i pionowych fluktuacjach o charakterze sinusoidalnym. Ponieważ wektor prędkości średniej może zmieniać kierunek działania, zmieniać się będzie również wartość kąta natarcia α. 53

6 2 2 U + V - moduł wektora prędkości U - pozioma składowa wektora prędkości V - pionowa składowa wektora prędkości U 2 2 U + V Pionowa składowa siły nośnej V α V Siła nośna z = 0 α 0 Siła bezwładności Siła sprężystości sprężyny Rys.5. Uproszczony model płata umieszczonego na sprężynie o stałej sztywności Jak pokazano na rys.5 pionowy ruch skrzydła z prędkością V może być traktowany jako przepływ powietrza względem nieruchomego skrzydła z tą samą prędkością, lecz w przeciwnym kierunku. Na płat działają trzy rodzaje sił: siła nośna skierowana do góry, siła bezwładności oraz sprężystości sprężyny, przy czym dwie ostatnie skierowane są przeciwnie do siły nośnej. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona: F = m a równanie ruchu dla omawianego układu można zapisać w postaci: Pionowa Sila sila skladowa sprężystości = bezwladności sily nośnej sprężyny Siłę bezwładności oraz siłę sprężystości sprężyny traktujemy jako wielkości liniowe. Natomiast siła nośna charakteryzuje się nieliniowością, ponieważ zależy od współczynnika siły nośnej C L, którego wartość może zmieniać się skokowo przy skrajnych wartościach kąta natarcia (Rys.2). 54

7 4. Program ćwiczenia. W ramach ćwiczenia studenci powinni przeanalizować wpływ zmiennego wymuszania aerodynamicznego na ruch elastycznie umocowanego symetrycznego płata lotniczego. Dla kilku różnych zestawów danych wejściowych należy przy pomocy gotowego oprogramowania przeprowadzić obliczenia, a otrzymane wyniki zapisać w postaci pliku. Jedna z podopcji programu umożliwia przeprowadzenie dodatkowej wizualizacji na podstawie uzyskanych wyników obliczeń. Widok okna omawianego programu przedstawiony jest na rys. 6. Rys.6. Widok okna programu W pierwszym etapie ćwiczenia należy przeprowadzić obliczenia testowe dla domyślnego zestawu parametrów wejściowych, które dołączone są do programu w postaci biblioteki. Ustalenie parametrów testowych uzyskuje się automatycznie po naciśnięciu klawisza Domyślne. Proces obliczeniowy jest inicjowany klawiszem Test. W dalszej części ćwiczenia, należy kilkakrotnie przeprowadzić proces obliczeniowy (klawisz Test ) dla różnego zestawu parametrów początkowych oraz rodzaju ob- 55

8 ciążenia. Zmianę parametrów wejściowych należy przeprowadzić w następującej kolejności: obciążenie układu ustalonym przepływem powietrza, obciążenie układu przepływem powietrza oraz sinusoidalnymi fluktuacjami poziomymi, obciążenie układu przepływem powietrza oraz sinusoidalnymi fluktuacjami pionowymi. W celu wyprowadzenia danych obliczeniowych do pliku należy po zakończeniu obliczeń wcisnąć klawisz Zapisz. Po jego naciśnięciu pojawi się okno dialogowe, w którym należy podać nazwę pliku oraz jego położenie. Pliki zapisywane są jako tekstowe z rozszerzeniem *.dat, i posiadają następującą strukturę: kolumna pierwsza wartość czasu (wielkość bezwymiarowa), kolumna druga wartość przemieszczenia (wielkość bezwymiarowa), kolumna trzecia wartość kąta α. W oparciu o pliki z danymi można sporządzić wykresy przy pomocy dowolnego programu, np.: Microsoft Excel, Microcal Origin, Grapher itp. Na rys. 7 i rys. 8 przedstawione są przykładowe wykresy sporządzone przy pomocy programu Origin. 1,5 1,0 0,5 Z 0,0-0,5-1, T Rys.7. Wykres zależności przemieszczenia Z w funkcji czasu T dla danych testowych 56

9 α T Rys.8. Wykres zależności kąta α w funkcji czasu T dla danych testowych Sprawozdanie Sprawozdanie z przeprowadzonego ćwiczenia powinno zawierać następujące punkty: 1. Krótkie wprowadzenie w rozpatrywane zagadnienie. 2. Cel ćwiczenia. 3. Wykresy sporządzone na podstawie danych pochodzących z obliczeń. 4. Dyskusję otrzymanych wyników za szczególnym uwzględnieniem wpływu oderwania warstwy przyściennej na ruch układu. 57