Zadania dodatkowe z Matematyki Dyskretnej semestr letni 2015

Transkrypt

1 Zadania dodatkowe z Matematyki Dyskretnej semestr letni Indukcja Zadanie 1.1. Udowodnić indukcyjnie, że mając do dyspozycji nieograniczoną liczbę monet o wartości 2 lub 5 złotych, można zapłacić w automacie (niewydającym reszty za dowolny napój, którego cena wynosi n 5 złotych. Zadanie 1.2. Rozważ grę, w której na początku mamy dwa stosy po n żetonów (n 1. W każdej rundzie kolejno każdy z dwóch graczy bierze dowolną liczbę żetonów z jednego ze stosów. Gracz, który zabierze ostatni żeton wygrywa. Pokaż indukcyjnie, że dla dowolnego n 1 drugi gracz ma strategię wygrywającą (tzn. gdy obaj gracze grają optymalnie, to zawsze drugi wygrywa. Zadanie 1.3. Załóżmy, że każda prostokątna tabliczka czekolady składa się z identycznych kwadratowych kostek. Dowolna taka tabliczka może zostać przełamana tylko wdłuż pionowej lub poziomej linii prostej rozdzielającej kostki. Ile przełamań należy zrobić, aby podzielić dowolną prostokątną tabliczkę czekolady składającą się z n identycznych kwadratowych kostek na n kostek? Odpowiedź uzasadnij korzystając z indukcji. 2 Zasada Szufladkowa Zadanie 2.1. Udowodnij, że w dowolnym wielościanie a. istnieją dwa wierzchołki, z których wychodzi taka sama liczba krawędzi; b. istnieją dwie ściany, które mają tyle samo krawędzi. Zadanie 2.2. W kole o promieniu 1 a. wybrano 8 punktów. Wykaż, że istnieje wśród nich co najmniej jedna para punktów, których odległość nie przekracza 1. b. wybrano 14 punktów, z których żadne 3 nie są współliniowe. Wykaż, że trzy z nich tworzą trójkąt o polu co najwyżej 0.6. Zadanie 2.3. Zadanie 1.19 (z podręcznika 3 Schematy wyboru Zadanie 3.1. Wyznacz liczbę całkowitoliczbowych rozwiązań równania: x 1 + x x 10 = 30, gdy x i 0 dla i = 3,..., 10 oraz a. x 1 3, 0 x 2 2; b. 0 x 1 10, x 2 0; c. 0 x 1 10, 0 x Zadanie 3.2. Alfabet łaciński zawiera 21 spółgłosek i 5 samogłosek. Ile ciągów składających się ze 100 wielkich liter alfabetu łacińskiego zawiera: a. dokładnie 3 samogłoski? b. co najwyżej 3 samogłoski? c. tę samą liczbę spółgłosek co samogłosek? Zadanie 3.3. Ile ciągów a. binarnych; b. ternarnych (składających się ze znaków: 0,1,2; długości 200 zawiera dokładanie 100 zer w 7 seriach? (Serią zer nazywamy ciąg kolenych zer, który nie jest poprzedzony zerem i po którym nie następuje zero, np. ciąg ma trzy serie zer. Zadanie 3.4. Na ile sposobów można usadzić 10 spośród 100 uczestników wesela wokół okrągłego stołu? Dwa ustawienia uznajemy za takie same, jeśli każda osoba przy stole ma tego samego sąsiada po prawej i po lewej w obu ustawieniach. Jak zmieni się odpowiedź, jesli przy stole mają siedzieć obok siebie pan i pani młoda? 1

2 Zadanie 3.5. Mamy do dyspozycji po 20 nierozróżnialnych jabłek, gruszek, kiwi, mango, śliwek, mandarynek i pomarańczy. Na ile sposobów możemy a. ustawić 4 różne z tych owoców w rzędzie od lewej do prawej? b. ustawić 10 (nie koniecznie różnych z tych owoców w rzędzie od lewej do prawej? c. utworzyć koszyk piknikowy składający się z 4 różnych owoców? d. włożyć wszystkie gruszki do 7 ponumerownych koszyków tak, żeby w każdym koszyku była co najmniej jedna gruszka? e. włożyć 7 owoców (po jednym z każdego rodzaju do 4 ponumerowanych koszyków tak, aby w pierwszym koszyku były co najmniej 2 owoce. f. włożyć wszystkie pomarańcze do 9 ponumerownych koszyków tak, aby w pierwszym koszyku były co najwyżej 3 pomarańcze? g. włożyć je wszystkie do 10 ponumerowanych koszyków o niograniczonej pojemności? h. ustawić wszystkie owoce w rzędzie od lewej do prawej? i. uszykować z nich paczkę składającą się z 15 owoców? j. włożyć po (dokładnie jednym owocu do każdego z 16 ponumerownych koszyków? Zadanie 3.6. Ile dodatnich liczb całkowitych mniejszych od ma sumę cyfr równą 9? Zadanie 3.7. Na ile sposobów można umieścić n książek na k różnych półkach a. gdy książki są nierozróżnialnymi kopiami tej samej książki? b. gdy książki są różne i kolejność książek na półce nie jest istotna? c. gdy książki są różne i kolejność książek na półce jest istotna? d. gdy książki są różne, kolejność książek na półce jest istotna i żadna półka nie pozostaje pusta (n k? 4 Zasada włączania i wyłączania Zadanie 4.1. Na ile sposobów można utworzyć n cyfrową liczbę nie zawierającą cyfry 0 tak, aby a. nie wystąpiła w niej liczba nieparzysta lub liczba 2 lub liczba 8; b. pewna z cyfr 1, 2..., 9 nie wystąpiła w utworzonej liczbie. c. każda z cyfr 1, 2..., 9 wystąpiła w utworzonej liczbie. Zadanie 4.2. Pewna pani ma w szafie 100 sukienek. Każdego dnia ubiera dokładnie jedną z nich. Na ile sposobów może wybierać sukienki przez cały rok tak, aby każda z sukienek była wybrana co najmniej raz (zakładamy, że rok ma 365 dni. Zadanie 4.3. Na ile sposobów możemy wybrać 20 kart z talii 52 tak, aby każda wartość blotki (każda z wartości od 2 do 9 była wybrana co najmniej raz. 5 Tożsamości kombinatoryczne Zadanie 5.1. Udowodnij kombinatotycznie następującą tożsamość n ( n + 2 k(n + 1 k =. 3 Zadanie 5.2. Udowodnij kombinatotycznie następującą tożsamość n ( ( ( k n + 1 m =. r r + 1 r + 1 k=1 k=m Zadanie 5.3. Udowodnij kombinatotycznie następującą tożsamość m ( ( n + k n + m + 1 =. k m k=0 2

3 6 Rekurencje Zadanie 6.1. Na ile sposobów można wciągnąć na n metrowy maszt (n 1 flagi, jeśli mamy do dyspozycji nieograniczoną liczbę a. nierozróżnialnych flag w kolorze czerwonym o szerokości 2 metry, nierozróżnialnych flag w kolorze zielonym o szerokości 1 metra i nierozróżnialnych flag w kolorze niebieskim o szerokości 1 metra; b. flag w kolorze białym i czarnym o szerokości 1 metra (flagi w tym samym kolorze są nierozróżnialne, ale żadne dwie białe flagi nie mogą ze sobą sąsiadować na maszcie. Proszę podać rozwiązanie w postaci rekurencyjnej i nie rozwiązywać rekurencji. UWAGA: Ważna jest dla nas kolejność flag na maszcie i ich szerokość, np. w (a dla n = 4 przykładowo można powiesić najpierw jedną czerwoną flagę a po niej dwie zielone i zapełnimy cały maszt. Zadanie 6.2. Niech a n będzie liczbą podzbiorów zbioru [n] bez par typu k, k + 2. Znajdź zależność rekurencyjną na a n. Zadanie 6.3. W populacji królików każda nowo narodzona para królików po miesiącu rodzi 2 nowe pary królików. Po drugim miesiącu życia nie rodzi nic. Natomiast po trzecim i każdym kolejnym miesiącu rodzi jedną parę. W chwili zero są trzy nowo narodzone pary królików. Podaj rekurencję na a n liczbę par królików po n miesiącach. Zakładamy, że króliki nie umierają. Zadanie 6.4. Rozwiąż równania rekurencyjnie: a. a n = 8 3 a n 1 + a n 2, a 0 = 2, a 1 = 4. b. a n = a n a n 2, a 0 = 1 2, a 1 = 1 2. c. a n = 3a n 1 2a n n, a 0 = 4, a 1 = 9. WSKAZÓWKA: Rozwiązanie szczególne jest postaci a (2 n = An2 n. d. a n = 2a n 1 a n 2 6, a 0 = 4, a 1 = 9. WSKAZÓWKA: Rozwiązanie szczególne jest postaci a (2 n = An 2. 7 Podstawowe pojęcia grafowe Zadanie 7.1. Dla każdej podanej niżej pary grafów rozstrzygnij, czy są izomorficzne. Jeśli tak, to podaj izomorfizm. Jeśli nie, to uzasadnij, dlaczego tak sądzisz. a. b. c. d. e. f. Zadanie 7.2. Ile jest grafów oznaczonych o zbiorze wierzchołków {1, 2,..., n} (n oznacza liczbę wierzchołków rozpatrywanego grafu izomorficznych z podanym poniżej grafem (tzn. na ile sposobów możemy ponumerować wierzchołki tego grafu, tak aby za każdym razem uzyskać inny graf? Odpowiedź uzasadnij. 3

4 Zadanie 7.3. Jak wygląda macierz przyległości prostego grafu dwudzielnego? Zaproponuj mniejszą macierz określającą przyległość w takim grafie. Zadanie 7.4. Znajdź liczbę spacerów długości k między i dwoma różnymi wierzchołkami grafu K4 ; ii dwoma różnymi nieprzyległymi wierzchołkami w K3,3 ; iii dwoma przyległymi wierzchołkami K3,3. Uwzględnij następujące wartości k: a. 2 b. 3 c. 4 d. 5. Zadanie 7.5. Prawdziwe jest następujące twierdzenie: Niech A będzie macierzą przyległości grafu prostego G o zbiorze wierzchołków [n] oraz niech Ak = Bk = {bij }i,j [n]. Wtedy bij jest równe liczbie spacerów długości k o początku w i oraz końcu w j. Korzystając z tego twierdzenia rozwiąż poprzednie zadanie w przypadku k = 2 i k = 3. Zadanie 7.6. Dany jest graf G o 12 wierzchołkach i 56 krawędziach. a. Ile najmniej i najwięcej składowych może mieć G? b. Ile najmniej i najwięcej składowych może mieć Gc? Odpowiedz na powyższe pytania w przypadku, gdy dodatkowo założymy, że graf G ma minimalny stopień większy od 1 Zadanie 7.7. Odpowiedzi krótko uzasadnij (a Ile krawędzi ma dopełnienie grafu prostego na 9 wierzchołkach i o 22 krawędziach? (b Co możesz powiedzieć o prostym grafie o 3 składowych spójności, w którym mamy dokładnie 2 wierzchołki stopnia 1 a pozostałe wierzchołki są stopnia 2? (c Narysuj wszystkie nieizomorficzne spójne grafy proste na czterech wierzchołkach. (d Narysuj graf prosty na 5 wierzchołkach, który jest grafem Hamiltona a nie jest grafem Eulera. (e Ile jest drzew na zbiorze wierzchołków {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, dla których wierzchołek 2 ma stopień 6? Zadanie 7.8. Udowodnij, że w każdym grafie na n wierzchołkach istnieją co najmniej dwa wierzchołki o tym samym stopniu. 8 Drzewa Zadanie 8.1. Udowodnij indukcyjnie, że w każdym drzewie na n, n 2, wierzchołkach istnieją co najmniej dwa wierzchołki o stopniu jeden. Zadanie 8.2. Narysuj wszystkie nieizomorficzne drzewa na siedmiu wierzchołkach o maksymalnym stopniu równym 3. Zadanie 8.3. Korzystając z tw lub tw znajdź liczbę drzew rozpiętych grafów podanych poniżej. Zadanie 8.4. Ile jest różnych drzew o zbiorze wierzchołków {1,..., 12} i ciągu stopni podanym poniżej (wskazówka: skorzystaj z kodu Prüfera a. (4,4,4,2,1,1,1,1,1,1,1,1? b. (5,3,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1? Odpowiedź uzasadnij. Zadanie 8.5. Graf G ma 225 rozpiętych drzew. Po usunięciu pewnej jego krawędzi e okazało się, że graf G e ma już tylko 25 drzew rozpiętych. Niech G będzie grafem otrzymanym z grafu G przez podział krawędzi e nowym wierzchołkiem. Ile drzew rozpiętych ma G? 4

5 9 Cykle Hamiltona/obchody Eulera Zadanie 9.1. Udowodnij, że jeśli graf G ma ścieżkę Hamiltona, to dla dowolnego niepustego podzbioru S V (G mamy ω(g S S + 1 Zadanie 9.2. Pokaż, że graf Petersena nie ma cyklu Hamiltona. Zadanie 9.3. W spójnym grafie G wierzchołek v ma trzech sąsiadów stopnia 2. Czy graf ten może mieć cykl Hamiltona. Zadanie 9.4. Czy każdy graf, który posiada obchód Eulera ma parzystą liczbę krawędzi? Jeśli tak, to podaj uzasadnienie. Jeśli nie, to podaj kontrprzykład. Zadanie 9.5. Udowodnij, że każdy spójny graf zawiera obchód (domknięty spacer, który przechodzi przez każdą krawędź dokładnie dwa razy. Podaj potrzebne definicje i twierdzenia. Wskazówka: Popatrz na przejście przez krawędź dokładnie dwa razy jak na jej sklonowanie (zdublowanie. 10 Algorytmy grafowe Zadanie Do grafu na poniższym rysunku zastosuj algorytmy przeszukiwania wszerz (BFS i w głąb (DFS zaczynając od wierzchołka a i rozpatrując wierzchołki w kolejności alfabetycznej. Narysuj uzyskane drzewa i podaj w jakiej kolejności rozpatrujesz wierzchołki. Zadanie Pomóż literce X wydostać się z labiryntu. W tym celu wykorzystaj reprezentację grafową dla tego problemu i zastosuj jeden z poznanych algorytmów. Zadanie Opisz prosty algorytm (bazujący na BFS lub DFS, który określa, czy podana krawędź w grafie G (podanym macierzą przyległości jest krawędzią cięcia. Dla grafu podanego macierzą przyległości poniżej sprawdź, czy krawędź v 1 v 8 jest krawędzią cięcia Zadanie Po zastosowaniu algorytmu Dijkstry dla pewnego grafu o zbiorze wierzchołków {a, b,..., i} poszukującego najkrótszych ścieżek z wierzchołka a do pozostałych wierzchołków otrzymano na końcu następujące wektory etykiet: wektor długości ścieżek (etykiety lewe: l = (0, 17, 15, 3, 5, 5, 7, 16, 2, wektor poprzedników (etykiety prawe: p = (, c, g, i, i, a, a, c, a. Na tej postawie wyznacz najkrótsze ścieżki z a do b oraz z a do d. Znajdź wagi każdej z krawędzi na tych ścieżkach. Zadanie Odkoduj ciąg (3, 3, 1, 2, 4, 2, 5, otrzymany za pomocą kodowania Prüfera. Sprawdź wynik kodując otrzymane drzewo. 5

6 Zadanie Korzystając z algorytmu Kruskala znależć optymalne drzewo w grafie o macierzy wag: W = Planarność/kolorowania Zadanie Określ liczbę chromatyczną grafów na rysunku. Zadanie Dla każdego grafu na rysunku określ, czy zawiera on K 3,3 lub K 5, lub ich podział. Rozstrzygnij, czy graf jest planarny. Jeśli tak, to narysuj jego graf płaski. Jeśli nie, to uzasadnij, dlaczego tak sądzisz. Zadanie Udowodnij wzór Eulera indukcją ze względu na liczbę ścian. Zadanie Spójny prosty graf 3 regularny o 8 wierzchołkach jest planarny. Ile ścian ma płaska reprezentacja tego grafu? Zadanie Spójny prosty graf płaski o 30 krawędziach ma 20 ścian. Wyznacz liczbę wierzchołków tego grafu. Zadanie Czy spójny graf prosty bez trójkątów na 15 wierzchołkach i o 27 krawędziach może być planarny? 6

7 Wskazówki/odpowiedzi do niektórych zadań 2.2. podziel koło jak pizzę 3.1. a ( ( ( ( 8 b 39 ( 9 28 ( 9 c 39 ( ( a ( b ( a ( ( ( 7 6 b 151 ( ( ; 2 ( a. (7 4 b c. ( 7 4 d. ( e f. ( ( g. [( ] h. 140! (20! 7 i. ( j ( a ( n+k 1 n b k n c (n + k 1!/(k 1! d n! (n 1 a. 8 n + 8 n + 4 n 3 n 3 n 7 n + 2 n b. 9 k=1 ( 1k 1( 9 k (9 k n c. 9 k=0 ( 1k( 9 k (9 k n 100 k=0 ( 1k( 100 k 8 k=0 ( 1k( 100 k (100 k 365 ( 52 4k 20 k Wskazówka: Ile jest 3 elementowych podzbiorów zbioru [n+2], które mają środkowy co dowielkości wyraz równy k + 1? 5.2. Wskazówka: Ile jest (r+1 elementowych podzbiorów zbioru [n + 1], których największy elemenent jest większy niż m? 5.3. Wskazówka: Ile jest ciągów binarynch z n + 1 jedynakmi i m zerami, które zaczynają się ciągiem m k zer po którym jest zaraz jedynka? lub Ile jest rozwiązań równania x x m+1 k = n + 2, w których m k ostatnich składników jest równych a. a 1 = 2, a 2 = 5, a n = 2a n 1 + a n 2 dla n 3 b. a 1 = 2, a 2 = 3, a n = a n 1 + a n 2 dla n a 1 = 2, a 2 = 4, a 3 = 6, a 4 = 9, a n = a n 1 + a n 3 + a n 4 dla n a 0 = 3, a 1 = 9, a 2 = 21, a n = 3a n 1 2a n 2 + a n 3 dla n a. a n = 3 n 3( 1 3 n dla n 0; 7

8 b. an = (1 + n( 21 n+1 dla n 0; c. an = (1 + 2n2n + 3 dla n 0; d. an = 3n2 + 8n + 4 dla n (uwaga dodane podpunkty nieizomorficzne: a,b,c,d; izomorficzne: e,f a 5040 b 360 c 9!/2 d (i (3k + ( 1k+1 /4 (ii 3k 1 dla k parzystych, 0 dla pozostałych k (iii 3k 1 dla k nieparzystych, 0 dla pozostałych k 7.6. a ω(g = 1 b 2 ω(gc 8 w przypadku dodatkowego pytania odpowiedź się nie zmieni a14 b2 cykle i jedna ścieżka cjest ich 6 d C5 z przekątną e wsk: zasada szufladkowa 8.2. Jest ich a (uwaga - zmiana rysunku b ! 8.4. a (uwaga - zmiana ciągu !3!3!1! b ! 4 4!2!1!1!1!1! NIE. Nie zapomnij o uzasadnieniu NIE. Nie zapomnij o kontrprzykładzie wierzchołki: kwadraty, krawędzie między kwadratami między którymi można przejść. zastosuj DFS na wyżej opisanym grafie, zaczynając od wierzchołka (kwadratu z literką X ścieżka z a do b: agcb, waga: 17, w(a, g = 7, w(g, c = 8, w(b, c = 2 ścieżka z a do d: aid, waga: 3, w(a,i=2, w(i,d= ścieżka: adebc, waga: a 3 b 3 c 2 d 4 e 3 f 3 g a nie - izomorficzny z K3,3 b tak c nie - zawiera podział K5 d tak e nie - zawiera podział K3,3 f nie - zawiera podgraf izomorficzny z K3,3 g nie - zawiera podział K3,3 h tak NIE - spójny prosty graf planarny na co najmniej 3 wierzchołkach bez cykly długości 3 powinien spełniać nierówność ε 2ν 4. 8