Autoreferat przedstawiający opis dorobku i osiągnięć w pracy naukowo-badawczej

Transkrypt

1 Dr Łukasz Lenart Katedra Matematyki Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie Autoreferat przedstawiający opis dorobku i osiągnięć w pracy naukowo-badawczej

2 Spis treści 1 Imię i Nazwisko 3 2 Informacja o wykształceniu i zatrudnieniu w jednostkach naukowych 3 3 Główne osiągnięcie naukowe wynikające z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.) Prezentacja głównego osiągnięcia Szczegółowy opis głównego osiągnięcia Jednowymiarowy model wahań cyklicznych w ujęciu nieparametrycznym Analiza cykli finansowych i koniunkturalnych ujęcie nieparametryczne Wielowymiarowy model wahań cyklicznych w ujęciu nieparametrycznym Zegar cyklu koniunkturalnego ujęcie nieparametrycze Parametryczny model cyklu deterministycznego Parametryczny model cyklu deterministyczno-stochastycznego Nieliniowy cykl stochastyczny i deterministyczny Cykl deterministyczny ze zmienną w czasie amplitudą Modele wahań sezonowych Nieparametryczny test istotności częstotliwości dla zmodyfikowanej próby Wykorzystanie skonstruowanych narzędzi w praktyce gospodarczej projekty: Instrument Szybkiego Reagowania oraz Monitorowanie bieżącej sytuacji gospodarczej w sektorach - badania Omówienie pozostałych (nie wchodzących w skład głównego osiągnięcia naukowego) osiągnięć naukowo-dydaktycznych po uzyskaniu stopnia doktora Publikacje nie wchodzące w skład głównego osiągnięcia naukowego i ich krótki opis Praca w Narodowym Banku Polskim Podsumowanie dorobku naukowego uzyskanego po doktoracie Ilościowe zestawienie publikacji Cytowalność Udział w grantach, projektach i badaniach w latach Nagrody i wyróżnienia Udział w konferencjach

3 1 Imię i Nazwisko Łukasz Lenart 2 Informacja o wykształceniu i zatrudnieniu w jednostkach naukowych W roku 2004 ukończyłem studia jednolite magisterskie na kierunku matematyka, specjalność Matematyka w Ekonomii, Finansach i Ubezpieczeniach na Wydziale Matematyki Stosowanej Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Pracę magisterską z zakresu metod bootstrapowych napisałem pod kierunkiem dr. Adama Ćmiela. W latach pracowałem w Wyższej Szkole Biznesu National-Louis University w Nowym Sączu na stanowisku asystenta w Katedrze Ekonometrii. W 2010 roku rozpocząłem pracę w Katedrze Matematyki Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie na stanowisku asystenta. W roku 2011 na Wydziale Zarządzania Uniwersytetu Ekonomicznego w Krakowie uzyskałem stopień doktora nauk ekonomicznych w dyscyplinie ekonomia, na podstawie pracy doktorskiej napisanej pod kierunkiem dr. hab. Mateusza Pipienia, pt. Procesy stochastyczne prawie okresowo skorelowane w badaniu cykliczności wskaźników makroekonomicznych. Od tego również roku zostałem adiunktem w Katedrze Matematyki i na tym stanowisku jestem zatrudniony do dnia dzisiejszego. 3 Główne osiągnięcie naukowe wynikające z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.) 3.1 Prezentacja głównego osiągnięcia Jako główne osiągnięcie naukowe wynikające z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.) przedstawiam cykl publikacji powiązanych tematycznie pod wspólnym tytułem: Modelowanie wahań o charakterze cyklicznym z wykorzystaniem funkcji okresowych i prawie okresowych. Konstrukcja nowych narzędzi analizy i ich empiryczna weryfikacja, na który składa się: Artykuły w recenzowanych czasopismach naukowych wchodzące w skład głównego osiągnięcia naukowego (1-16): 1. Lenart Ł., (2018b), Bayesian Inference for a Deterministic Cycle with Time-Varying Amplitude: The Case of the Growth Cycle in European Countries, Central European Journal of Economic Modelling and Econometrics, 10(3): (indeksowane w Web of Science oraz Scopus) 3

4 2. Lenart Ł., Pipień M., (2018), Cyclical Properties of the Credit and Production in Selected European Countries - A Comparison of Deterministic and Stochastic Cycle Approach, Acta Physica Polonica A, 133(6): (indeksowane w Web of Science oraz Scopus) 3. Lenart Ł., Pipień M., (2017a), Dynamics of the Credit Cycle in Selected Asian Countries, Folia Oeconomica Cracoviensia, 58: Lenart Ł., Pipień M., (2017b), Non-Parametric Test for the Existence of the Common Deterministic Cycle: the Case of the Selected European Countries, Central European Journal of Economic Modelling and Econometrics, 9(3): (indeksowane w Web of Science oraz Scopus) 5. Lenart Ł., (2017c), Testing for Trading-day Effects in Production in Industry: a Bayesian Approach, Quantitative Methods in Economics (Metody Ilościowe w Badaniach Ekonomicznych), 18(1): Dudek A., Lenart Ł., (2017), Subsampling for Nonstationary Time Series with Non- Zero Mean Function, Statistics & Probability Letters, 129: (indeksowane w Web of Science oraz Scopus) 7. Lenart Ł., (2017b), Examination of Seasonal Volatility in HICP for Baltic Region Countries: Non-Parametric Test versus Forecasting Experiment, Central European Journal of Economic Modelling and Econometrics, 9(1):29-67 (indeksowane w Web of Science oraz Scopus) 8. Lenart Ł., Mazur B., Pipień M., (2016), Statistical Analysis of Business Cycle Fluctuations in Poland Before and After the Crisis, Equilibrium. Quarterly Journal of Economics and Economic Policy, 11(4): (indeksowane w Web of Science) 9. Lenart Ł., Pipień M., (2016), Koncepcja wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego w ujęciu nieparametrycznym, Przegląd Statystyczny, 63(4): Lenart Ł., Mazur B., (2016), On Bayesian Inference for Almost Periodic in Mean Autoregressive Models, Przegląd Statystyczny (Statistical Review), 63(3): Lenart Ł., (2015), Discrete Spectral Analysis: the Case of Industrial Production in Selected European Countries, Dynamic Econometric Models, 15: Lenart Ł., Pipień M., (2015b), Empirical Properties of the Credit and Equity Cycle within Almost Periodically Correlated Stochastic Processes - the Case of Poland, UK and USA, Central European Journal of Economic Modelling and Econometrics, 7(3): (indeksowane w Web of Science) 4

5 13. Lenart Ł., Pipień M., (2015a), Własności empiryczne cyklu finansowego - analiza porównawcza Czech, Polski, Węgier, Wielkiej Brytanii i USA, Folia Oeconomica Cracoviensia, 56: Lenart Ł., Pipień M., (2013b), Seasonality Revisited - Statistical Testing for Almost Periodically Correlated Stochastic Processes, Central European Journal of Economic Modelling and Econometrics, 5(2): Lenart Ł., Pipień M., (2013a), Almost Periodically Correlated Time Series in Business Fluctuations Analysis, Acta Physica Polonica A, 123(3): (indeksowane w Web of Science oraz Scopus) 16. Lenart Ł., (2013), Non-parametric frequency identification and estimation in mean function for almost periodically correlated time series, Journal of Multivariate Analysis, 115: (indeksowane w Web of Science oraz Scopus) Recenzowane materiały pokonferencyjne wchodzące w skład głównego osiągnięcia naukowego (17-20): 17. Lenart Ł., Mazur B., (2017), Business Cycle Analysis with Short Time Series: a Stochastic versus a Non-stochastic Approach, [W:] Papież M., Śmiech S. (red.), The 11th Professor Aleksander Zelias International Conference on Modelling and Forecasting of Socio-Economic Phenomena: Conference Proceedings, Cracow: Foundation of the Cracow University of Economics, s (indeksowane w Web of Science) 18. Lenart Ł., (2017a), Exponential Smoothing Models with Time-varying Periodic Parameters, [W:] Papież M., Śmiech S. (red.), The 11th Professor Aleksander Zelias International Conference on Modelling and Forecasting of Socio-Economic Phenomena: Conference Proceedings, Cracow: Foundation of the Cracow University of Economics, s (indeksowane w Web of Science) 19. Lenart Ł., (2018a), Bayesian inference for deterministic cycle with time-varying amplitude, [W:] Papież M., Śmiech S. (red.), The 12th Professor Aleksander Zelias International Conference on Modelling and Forecasting of Socio-Economic Phenomena: Conference Proceedings, Cracow: Foundation of the Cracow University of Economics, s Lenart Ł., Wróblewska J. (2018), Nonlinear stochastic cycle model, [W:] Papież M., Śmiech S. (red.), The 12th Professor Aleksander Zelias International Conference on Modelling and Forecasting of Socio-Economic Phenomena: Conference Proceedings, 5

6 Cracow: Foundation of the Cracow University of Economics, s Szczegółowy opis głównego osiągnięcia Po uzyskaniu stopnia naukowego doktora moja praca naukowa koncentrowała sie głównie wokół analizy wahań cyklicznych w miernikach aktywności gospodarczej z wykorzystaniem funkcji okresowych i prawie okresowych. Zdecydowana większość sformułowanych przeze mnie wniosków wynikających z przeprowadzonych analiz empirycznych opierała sie na autorskich narzędziach (testach statystycznych, modelach wahań cyklicznych o charakterze deterministycznym oraz stochastycznym, modelach prognostycznych). Przedstawione główne osiągnięcie zawiera rozwiązania nie tylko jednego problemu natury empirycznej czy teoretycznej lecz kilku poszczególnych problemów, niektórych z nich analizowanych bardziej szczegółowo. Co więcej, nadrzędnym celem podczas konstrukcji przeze mnie tych narzędzi (tj. analizy cyklu koniunkturalnego, finansowego, wahań sezonowych czy wahań związanych z efektem dni roboczych 1 ) była ich potencjalna użyteczność w badaniach empirycznych. Część moich publikacji, zaliczonych do głównego osiągnięcia naukowego, poświęcona była poszukiwaniu nowych narzędzi do analizy cykli koniunkturalnych. W tym miejscu, chciałbym zaznaczyć, że skonstruowane przeze mnie narzędzia analizy wahań koniunkturalnych mogą konkurować (w moim uznaniu) z klasycznymi metodami wśród których bardzo wyraźnie dominują te zakładające stacjonarność wahań cyklicznych o zerowej wartości średniej 2. Moje propozycje odnoszące sie do modelowania cyklu koniunkturalnego nie bazują bowiem na założeniu o zerowej wartości średniej i stochastycznym charakterze wahań cyklicznych. To wyraźnie odróżnia podejścia zaproponowane przeze mnie od tych już istniejących. Przed przejściem do szczegółowej prezentacji osiągnięcia chciałbym zaznaczyć, że jednym z ważniejszych problemów natury empirycznej, rozważanym przeze mnie w pracach stanowiących główne osiągnięcie naukowe, jest szczegółowa analiza cech cyklu finansowego, opierająca się o wahania cykliczne wielkości udzielonego kredytu 3. Analizę tą przeprowadzono odnosząc się do cech cykliczności koniunkturalnej. Rozważono nie tylko gospodarkę polską, ale szereg innych gospodarek, wśród których znalazły się między innymi: Stany Zjednoczone, Wielka Brytania, Czechy, Węgry, Japonia i inne. Szczegółowe badania nad naturą cyklu finansowego zawarte w pracach uwzględnionych w moim głównym osiągnięciu naukowym można uznać (w moim przekonaniu) za pionierskie w odniesieniu do gospodarki polskiej. Nikt bowiem do tej pory nie rozważał problematyki analizy cyklu finansowego dla naszej gospodarki 4. Problematyka ta stała się ważna w ostatnich latach 1 Ang. trading-day effects. 2 Dla przykładu, na założeniach tych bazują metody zaprezentowane w: a. T.M. Trimbur, (2006), Properties of higher order stochastic cycles, Journal of Time Series Analysis, 27(1):1-17 b. C. Croux, M. Forni, L. Reichlin, (2001), A measure of covomement for economic variables: Theory and empirics, The Review of Economics and Statistics, 83(2): Szczegółowy opis tego osiągnięcia przedstawiłem w paragrafie Analizą empiryczną cyklu finansowego zajmowali się między innymi: a. S. Claessens, M. Ayhan Kose, M.E. Terrones, (2011), Financial Cycles: What? How? When?, IMF 6

7 za sprawą dyskusji nad kształtem polityki makroostrożnościowej, w której cykl finansowy (w szczególności kredytowy) odgrywa bardzo istotną rolę. Dokładny opis wykonywanych analiz cyklu finansowego znajduje się w paragrafie Kolejnym ważnym tematem natury empirycznej, którym zajmuję się od momentu uzyskania stopnia naukowego doktora nauk ekonomicznych, jest analiza cech cyklu koniunkturalnego w gospodarce polskiej. Analiza ta jest dokonywana przeze mnie od pewnego czasu na bieżąco. Już od 2011 roku zajmuje się (z niespełna dwuletnią przerwą w latach ) monitorowaniem pozycji cyklicznej w gospodarce polskiej w ujęciu całościowym oraz w jej sektorach. Działania te realizuję w ramach moich obowiązków jako eksperta do spraw sektorowych analiz makroekonomicznych w projektach współfinansowanych przez Unię Europejską. Dokładny opis wykonywanych przeze mnie analiz znajduje się w paragrafie 3.3. W przytoczonych publikacjach, stanowiących główne osiągniecie naukowe, rozważyłem szereg podejść do modelowania wahań cyklicznych 5 z wykorzystaniem funkcji okresowych i prawie okresowych. Dlatego, opis głównego osiągnięcia naukowego został podzielony w większym stopniu tematycznie niż chronologicznie. Podczas opisu głównego osiągnięcia koncentrowałem się jednocześnie na uzyskanych wynikach natury empirycznej oraz na prezentacji zastosowanego narzędzia analizy o ile narzędzie to było mojego autorstwa lub współautorstwa Jednowymiarowy model wahań cyklicznych w ujęciu nieparametrycznym Okres przed doktoratem. Tematyką wahań cyklicznych zająłem się już w swoim doktoracie. W rozprawie doktorskiej zaproponowałem jednowymiarowe równanie charakteryzujące bezwarunkową wartość oczekiwaną obserwowanego agregatu makroekonomicznego mogącego nieść informację o wahaniach cyklicznych w gospodarce. Wahania te nie zostały ograniczone jedynie do wahań o charakterze koniunkturalnym. W równaniu tym uwzględniłem możliwość współistnienia wahań o charakterze koniunkturalnym odnoszących się do zmian aktywności gospodarczej, wahań sezonowych odnoszących się do zmian pór roku oraz innych wahań cyklicznych, np. odnoszących się do efektu dni roboczych, czyli mających związek ze zmienną ilością dni roboczych w miesiącach czy kwartałach. Równanie to nie dotyczyło bezpośrednio dynamiki samego obserwowanego procesu makroekonomicznego Y t, a bezwarunkowej wartości oczekiwanej jego logarytmu naturalnego, tj. E(ln Y t ) 6. Dla jednowymiarowego procesu makroekonomicznego obserwowanego Working Paper, WP/11/76 b. M. Drehmann, C. Borio, K. Tsatsaronis, (2012), Characterising the Financial Cycle: Don t Lose Sight of the Medium Term!, BIS Working Papers, no. 380 c. C. Borio, (2012), The Financial Cycle and Macroeconomics: What Have We Learnt?, BIS Working Papers, no W powyższych pracach oraz wielu innych tu nie wymienionych (poza pracami z ostatnich kilku lat napisanymi przeze mnie we współautorstwie z dr hab. Mateuszem Pipieniem) dotyczących analizy cyklu finansowego nie koncentrowano uwagi na gospodarce polskiej. 5 A dokładniej, koniunkturalnych, finansowych, sezonowych oraz związanych z efektem dni roboczych. 6 Rozważenie logarytmów procesu Y t miało na celu interpretację zidentyfikowanych wahań cyklicznych jako klasycznych cykli odchyleń. 7

8 T razy w roku (T > 1) w równaniu tym dynamika wartości oczekiwanej E(ln Y t ) była opisana jako suma funkcji prawie okresowej g(ψ, t) ze zbiorem częstotliwości Ψ (0, 2π) (ujmującej w sobie wspomniane wahania o charakterze koniunkturalnym, sezonowym oraz pozostałe wahania) oraz funkcji trendu f(t), będącej wielomianem zmiennej t. Zaproponowane równanie miało zatem postać: E(ln Y t ) = f(t) + g(ψ, t). (1) Dla zbioru częstotliwości Ψ rozważyłem następującą dekompozycję: Ψ = Ψ 1 Ψ 2 Ψ 3, (2) na parami rozłączne zbiory Ψ 1, Ψ 2, Ψ 3, gdzie zbiór Ψ 1 zawierał częstotliwości korespondujące do wahań dłuższych niż półtorej roku, tj. Ψ 1 (0, ). Zbiór Ψ 1,5 T 2 {2kπ/T : 2π k = 0, 1,..., T 1} to zbiór charakteryzujący (mogące potencjalnie występować) wahania sezonowe o charakterze deterministycznym, zaś zbiór Ψ 3 zawierał wszystkie pozostałe częstotliwości zbioru Ψ. Należy zaznaczyć, iż model (1) odnosił się do danych surowych niepoddanych przekształceniu eliminacji wahań sezonowych oraz efektu dni roboczych. Wnioskowanie statystyczne w modelu (1) oparłem na zastosowaniu w pierwszej kolejności odpowiedniego filtru scentrowanej średniej ruchomej oraz odpowiedniej krotności różnicowania dla procesu ln Y t. W ten sposób, nowo otrzymany proces charakteryzuje się prawie okresową funkcją wartości oczekiwanej (co wykazałem). Chciałbym zaznaczyć, że kluczową cechą powyższych dwóch filtracji jest niezmienniczość zbioru Ψ 1, czyli częstotliwości odpowiedzialnych za (między innymi) efekt wahań koniunkturalnych oraz eliminacja wahań o charakterze sezonowym. Sformułowałem problem testowania hipotez, w którym hipoteza zerowa postaci: H 0 : ψ Ψ 1 mówi o braku cyklu deterministycznego 7 o długości 2π/ψ (rozumianego jako cyklu odchyleń). Hipoteza alternatywna, będąca zaprzeczeniem hipotezy zerowej (H 1 : ψ Ψ 1 ), mówi z kolei o występowaniu cyklu deterministycznego o długości 2π/ψ. Ze względu na postać rozkładu statystyki testowej w powyższym problemie testowania hipotez weryfikację tej hipotezy oparto na rozkładzie otrzymanym metodą podpróbkowania (ang. subsampling) 8. Okres po doktoracie. Po obronie mojej pracy doktorskiej kontynuowałem pracę naukową w obrębie tematyki związanej z wykorzystywaniem funkcji okresowych i prawie okresowych w badaniach nad wahaniami cyklicznymi obserwowanymi w miernikach aktywności gospodarczej. Część wyników zainicjowanych w pracy doktorskiej została rozszerzona i opublikowana w anglojęzycznych czasopismach naukowych. W pracy Lenart (2013) przedstawiłem moje główne (autorskie) rezultaty teoretyczne odnoszące się do identyfikacji istotnych częstotliwości w reprezentacji Fouriera prawie okresowej funkcji 7 Poprzez cykl deterministyczny o długości 2π/ψ rozumiemy występowanie w prawie okresowej funkcji wartości oczekiwanej komponentu a sin(ψt) + b cos(ψt), gdzie a 2 + b 2 0. W literaturze przedmiotu w ujęciu parametrycznym model cyklu deterministycznego {c t } opisuje się równaniem c t = a sin(ψt) + b cos(ψt)+ɛ t, gdzie {ɛ t } jest białym szumem (patrz: A.C. Harvey, (2004), Tests for cycles, [W:] A. Harvey, S.J. Koopman, N. Shephard (red.), State space and unobserved component models, s , Cambridge University Press). 8 Patrz: D. Politis, J. Romano, M. Wolf, (1999), Subsampling, New York, Springer-Verlag. 8

9 wartości oczekiwanej, przy zastosowaniu metody podpróbkowania. Ze względu na statystyczny charakter tych wyników rezultaty te opublikowałem w czasopiśmie Journal of Multivariate Analysis, specjalizującym się między innymi w analizie szeregów czasowych. W artykule tym (oprócz wyników teoretycznych zainicjowanych w doktoracie) zaproponowałem nowe podejście do testowania istotności cyklu deterministycznego w oparciu o cykl rocznej stopy wzrostu (tzw. cykl wzrostu). Rozważyłem miesięczną wielkość produkcji przemysłowej wraz z jej wybranymi komponentami w ujęciu r/r dla gospodarki polskiej. Analiza dotyczyła zatem cyklu wzrostu (bez odwołania do modelu (1)). Rozważyłem wielkość produkcji ogółem (górnictwo i wydobywanie, przetwórstwo przemysłowe, elektryczność, gaz, para wodna i gorąca woda) oraz sekcję: B górnictwo i wydobywanie; C przetwórstwo przemysłowe; D wytwarzanie i zaopatrywanie w energię elektryczną, gaz, parę wodną i gorącą wodę. W analizie uwzględniłem również dobra zaopatrzeniowe oraz dobra inwestycyjne. Zidentyfikowałem istotne ze statystycznego punktu widzenia długości wahań cyklicznych (o charakterze deterministycznym) związane ze zmianami koniunktury. W większości analizowanych komponentów (oraz w całym agregacie produkcji przemysłowej) zidentyfikowałem krótki cykl koniunkturalny (tzw. cykl Kitchina), trwający od trzech do pięciu lat. Ponadto, porównałem uzyskane wyniki z wynikami otrzymanymi przy wykorzystaniu istniejących podejść w literaturze przedmiotu do identyfikacji nieznanych częstotliwości. Z kolei w pracy Lenart oraz Pipień (2013a) opublikowałem wspólnie z Mateuszem Pipieniem część wyników teoretycznych i empirycznych zawartych w moim doktoracie i odnoszących się do testowania istotności cyklu deterministycznego opierając się na równaniu (1) i metodzie podpróbkowania. W pracy tej sformułowaliśmy twierdzenia niezbędne do testowania istotności cykli deterministycznych (Twierdzenie 8.1 oraz 8.2). Przeprowadziliśmy dowody tych twierdzeń. W analizie empirycznej zidentyfikowaliśmy istotne długości cykli deterministycznych dla produkcji przemysłowej gospodarki polskiej z uwzględnieniem podziału produkcji względem rodzaju dóbr oraz na sekcje i działy. Łącznie rozważyliśmy aż 32 szeregi czasowe obejmujące okres od 1995 do 2009 roku. Z przeprowadzonych analiz (testów) wynikło, że w większości działach produkcji przemysłowej występuje cykl krótki gospodarki, tj. trwający 3-5 lat. Były to pierwsze wyniki empiryczne dla gospodarki polskiej, w których uwzględniono tak szeroki zakres danych o produkcji przemysłowej 9. Wnioski przez nas sformułowane w tej pracy okazały się bardzo istotne w zrozumieniu dynamiki wahań cyklicznych dla produkcji przemysłowej gospodarki polskiej i zostały wykorzystane przeze mnie w praktyce gospodarczej. W latach byłem głównym wykonawcą w grancie OPUS 5. Projekt ten nosił tytuł: Ekonometria wahań cyklicznych - cykle koniunkturalne i finansowe oraz analiza ich wzajemnych powiązań. Kierownikiem projektu był dr hab. Mateusz Pipień. Projekt ten pozwolił mi na kontynuację badań (rozpoczętych już w doktoracie) odnoszących się do ekonometrycznej analizy wahań cyklicznych przy wykorzystaniu funkcji okresowych 9 Cykl trwający 3-4 lata został zidentyfikowany na podstawie klasycznego podejścia opartego na analizie spektralnej dla wyodrębnionych wahań cyklicznych filtrami pasmowo-przepustowymi w pracy: M. Gradzewicz, J. Growiec, J. Hagemejer, P. Popowski, 2010, Bank i Kredyt 41(5): Wyniki te dotyczyły jednak tylko całego agregatu produkcji przemysłowej i bazowały na założeniu o stacjonarności wahań utożsamianych ze zmianami koniunktury. 9

10 i prawie okresowych. W pracy Lenart (2015), na podstawie modelu (1), powyżej sformułowanego problemu testowania hipotezy o istnieniu cyklu deterministycznego oraz metody podpróbkowania, zająłem się identyfikacją deterministycznych wahań cyklicznych dla produkcji przemysłowej. Nadrzędnym celem tej pracy była identyfikacja cykli deterministycznych korespondujących do częstotliwości z całego zbioru Ψ, czyli zbiorów Ψ 1, Ψ 2 oraz Ψ 3. Rozważyłem miesięczną wielkość produkcji przemysłowej dla wybranych 30 państw europejskich w ujęciu m/m oraz r/r z efektem dni roboczych oraz dla danych po eliminacji tego efektu. Według mojej najlepszej wiedzy jest to pierwsza praca, w której przeprowadzono analizę istotności wahań cyklicznych o charakterze deterministycznym, przyjmując tak szeroki zakres częstotliwości (Ψ (0, 2π)). Głównym wynikiem tej pracy było uzyskanie istotnych częstotliwości we wszystkich zbiorach Ψ 1, Ψ 2 oraz Ψ 3 (w zależności od rodzaju analizowanych danych o produkcji przemysłowej). W przypadku danych w ujęciu m/m hipoteza zerowa o braku poszczególnych częstotliwości sezonowych w zbiorze Ψ 2 została w większości przypadków odrzucona (na przyjętym poziomie istotności testu) co nie było zaskoczeniem. Oznacza to jedynie podstawę do odrzucenia hipotezy mówiącej o braku deterministycznego charakteru wahań sezonowych (czyli stałych efektów sezonowych) na korzyść hipotezy alternatywnej mówiącej o istnieniu takich wahań. Wahania sezonowe okazały się być ważnym elementem w identyfikacji efektu dni roboczych. Dla danych z efektem dni roboczych identyfikacja dominującej częstotliwości tego efektu (równej 2, 187 dla danych miesięcznych 10 ) okazała się wyraźnie zależna od tego czy analizowano dane w ujęciu m/m czy r/r. Znacznie łatwiej identyfikowano dominującą częstotliwość efektu dni roboczych dla danych w ujęciu r/r (znacznie niższa wartość prawdopodobieństwa testowego niż dla danych m/m). Jest to związane z lokalizacją częstotliwości 2, 187 w pobliżu jednej z częstotliwości sezonowych, równej 2 π (w przybliżeniu 2, 094) dla danych w ujęciu m/m. 3 Problem ten rozważono bardziej szczegółowo w pracy Dudek i Lenart (2017) i opisano szerzej w paragrafie Z kolei cykle koniunkturalne (deterministyczne) zostały zidentyfikowane, przy użyciu zaproponowanego testu, tylko w niewielu gospodarkach. Krótki cykl koniunkturalny (trwający od 3 do 5 lat) dla produkcji przemysłowej w ujęciu r/r zidentyfikowano między innymi dla Polski oraz Portugalii. W celu porównania otrzymanych wyników w artykule tym zastosowałem również znaną metodę parametryczną estymacji długości cykli deterministycznych zwaną contraction mapping 11. Metoda ta w odróżnieniu od stosowanego przeze mnie podejścia nieparametrycznego wskazała na występowanie w przeważającej większości przypadków (gospodarek) krótkiego cyklu koniunkturalnego (trwającego od trzech do pięciu lat). Różnice w uzyskanych wynikach podczas identyfikacji deterministycznych cykli koniunkturalnych skłoniły mnie do zaproponowania (w kolejnych pracach) nowych narzędzi analizy cykliczności koniunkturalnej. 10 Wartości teoretyczne częstotliwości efektu dni roboczych przedstawiono między innymi w: D. Ladiray (2012), Theoretical and real trading-day frequencies, [W:] W.R. Bell, S.H. Holan, T.S. McErloy (red.), Economic time Series. Modeling and Seasonality, s , CRC Press. 11 Patrz: Li, T., Song, K. (2002). Asymptotic Analysis of a Fast Algorithm for Efficient Multiple Frequency Estimation, IEEE Transactions on Information Theory, 48(10):

11 3.2.2 Analiza cykli finansowych i koniunkturalnych ujęcie nieparametryczne W kilku pracach wspólnych z dr. hab. Mateuszem Pipieniem zająłem się tematyką cykli zarówno finansowych, jak i koniunkturalnych oraz analizą ich wzajemnych powiązań. W pracach: Lenart i Pipień (2015a), Lenart i Pipień (2015b), Lenart i Pipień (2017a) oraz Lenart i Pipień (2018) opierając się na specyfikacji (1) podjęliśmy problem testowania istotności cykli deterministycznych w dynamice głównych agregatów niosących informację o cyklu finansowym oraz koniunkturalnym. Analizę empiryczną oparliśmy na teście istotności cyklu deterministycznego z wykorzystaniem metody podpróbkowania. Dodatkowo, w pracy Lenart i Pipień (2018) zaproponowano oraz opracowano autorską (według najlepszej wiedzy autora tego opracowania) konkurencyjną do modelu (1) koncepcję analizy wahań cyklicznych. W koncepcji tej wykorzystano to, że dla stacjonarnego szeregu czasowego (o zerowej wartości oczekiwanej) wariancja wahań cyklicznych o długości korespondującej do danego przedziału częstotliwości jest proporcjonalna do masy pod wykresem gęstości spektralnej w tym przedziale. Wykorzystaliśmy to w celu estymacji masy pod wykresem gęstości spektralnej dla zadanego przedziału częstotliwości. Przeanalizowaliśmy stopień koncentracji masy w zadanych przedziałach i sformułowaliśmy wnioski dotyczące dominującej długości wahań cyklicznych. W pracy tej analizowaliśmy cechy cykli finansowych (opierając się na wielkości udzielonego kredytu) w odniesieniu do cech cykli koniunkturalnych (opierając się na indeksie produkcji przemysłowej) dla wybranych gospodarek europejskich (rozważono 18 państw). Sformułowaliśmy wnioski odnoszące się do cech cykli koniunkturalnych oraz finansowych w rozważanych krajach, jak również wnioski co do zależności pomiędzy tymi cyklami. Z kolei w pracy Lenart i Pipień (2015b) analizie cykli koniunkturalnych i finansowych poddano gospodarkę Polską, Stanów Zjednoczonych oraz Wielkiej Brytanii, zaś w pracy Lenart i Pipień (2015a) rozważono dodatkowo dwa wybrane kraje naszego regionu (Węgry i Czechy), a także podział udzielonego kredytu dla gospodarki Polskiej według kategorii (kredyty dla przedsiębiorstw, kredyty dla gospodarstw domowych, kredyty mieszkaniowe, kredyty konsumpcyjne oraz pozostałe kredyty dla gospodarstw domowych). W pracy Lenart i Pipień (2017a) analizie poddano wybrane kraje Azji. We wszystkich przytoczonych tu pracach dokonaliśmy szczegółowej analizy empirycznej. Sformułowaliśmy szereg wniosków odnoszących się do cech cykli finansowych oraz cykli koniunkturalnych wewnątrz rozważanych gospodarek oraz pomiędzy nimi. W przypadku każdej rozważanej gospodarki zidentyfikowaliśmy istotne ze statystycznego punktu widzenia długości deterministycznych cykli finansowych i koniunkturalnych. Jedna z głównych konkluzji jaka została sformułowana dla większości rozważanych krajów dotyczy długości cyklu finansowego. Wyniki wskazały, że cykle finansowe (w większości przypadków) charakteryzują się dłuższymi wahaniami, które nie występują w wahaniach produkcji przemysłowej 12. Ponadto, cykle finansowe charakteryzują się niższym stopniem synchronizacji pomiędzy różnymi gospodarkami niż cykle 12 Te same wnioski zostały sformułowane (bazując na innych zbiorach danych) w pracach: a. M. Drehmann, C. Borio, K. Tsatsaronis, (2012), Characterising the Financial Cycle: Don t Lose Sight of the Medium Term!, BIS Working Papers, no. 380 b. C. Borio, (2012), The Financial Cycle and Macroeconomics: What Have We Learnt?, BIS Working Papers, no

12 koniunkturalne (patrz: Lenart i Pipień (2018)). Z przeprowadzonych przez nas analiz wynika, iż cechy cyklu finansowego dla gospodarki polskiej nie odbiegają znacząco od cech dla innych gospodarek europejskich Wielowymiarowy model wahań cyklicznych w ujęciu nieparametrycznym W pracy Lenart i Pipień (2017b) uogólniliśmy model (1) na przypadek wielowymiarowy. Sformułowaliśmy i udowodniliśmy odpowiednie twierdzenia umożliwiające testowanie istnienia wspólnych cykli deterministycznych dla wielowymiarowego procesu makroekonomicznego. Wprowadziliśmy definicję funkcji prawie okresowej na zbiorze, co pozwoliło nam na testowanie wspólnych cykli deterministycznych nawet pomimo skokowych zmian w wartościach wskaźników makroekonomicznych w okresie ostatniego kryzysu W analizie empirycznej badaniu poddaliśmy miesięczne wartości indeksu (o stałej podstawie) produkcji przemysłowej w sześciu krajach europejskich. W większości tych państw zidentyfikowaliśmy w produkcji przemysłowej cykl krótki gospodarki (tzw. cykl Kitchina) trwający od 3 do 5 lat. Cykl ten okazał się również cyklem wspólnym (ze statystycznego punktu widzenia na odpowiednim poziomie istotności testu) dla rozważanych gospodarek. Z kolei, w przypadku testowania istnienia wspólnych cykli deterministycznych, opierając analizę na danych bez wyłączenia z analizy obserwacji z okresu wielkiego kryzysu, cykl 3-5 letni nie okazał się być wspólny prawdopodobnie ze względu na skokowe wartości wskaźnika produkcji przemysłowej w okresie ostatniego kryzysu (czyli silny wzrost amplitudy wahań cyklicznych). Wyniki uzyskane na podstawie klasycznej analizy spektralnej, przy założeniu stochastycznego charakteru wahań cyklicznych o zerowej wartości oczekiwanej, okazały się być również uzależnione od sposobu uwzględniania podczas analizy danych z okresu ostatniego kryzysu Przy uwzględnieniu całego zakresu danych (bez wyłączenia z analizy jakichkolwiek obserwacji z okresu ostatniego kryzysu) klasyczna analiza spektralna wskazywała na wyższy stopień synchronizacji wahań cyklicznych, niż w przypadku wyłączenia z analizy pewnych obserwacji z okresu ostatniego kryzysu. W obydwu przypadkach klasyczna analiza spektralna wskazała na występowanie cyklu krótkiego (trwającego 3-5 lat) dla analizowanych gospodarek oraz wspólnego cyklu krótkiego dla większości par państw (spośród analizowanych). W odniesieniu do klasycznej analizy spektralnej skonstruowany przez nas test nieparametryczny pozwolił nam na wyciągnięcie wniosków istotnych ze statystycznego punktu widzenia odnośnie istnienia wspólnych cykli deterministycznych dla dowolnej podgrupy rozważanych państw. Co więcej, według mojej najlepszej wiedzy, skonstruowane przez nas podejście nie było do tej pory przedmiotem rozważań w literaturze Zegar cyklu koniunkturalnego ujęcie nieparametrycze W pracy Lenart i Pipień (2016) zaproponowaliśmy (autorską) koncepcję tzw. wstęgowego zegara cyklu koniunkturalnego, w której uwzględniliśmy niepewność związaną z wyborem parametru wygładzającego metody filtracji Hodricka i Prescotta (w skrócie HP). Konstrukcję tego zegara oparliśmy na równaniu (1). Wykazaliśmy, że przy (1) wartość oczekiwana położenia na osi odciętej i rzędnej punktów zegara cyklu (w kartezjańskim układzie współrzędnych) są funkcjami prawie okresowymi z częstotliwościami ze zbioru 12

13 Ψ 1 czyli utożsamianymi ze zmianami aktywności gospodarczej lub z dłuższymi wahaniami. Zaproponowane podejście ilustruje (w sposób graficzny) zamiast jednej trajektorii cyklu odnoszącej się do jednego parametru wygładzającego metody filtracji HP cały ich przedział z zadanego zakresu. Pozwala to na interpretację wyników dla całego rozważanego zakresu parametru wygładzającego bez zarzutu jego arbitralnego wyboru, co najczęściej ma miejsce w praktyce i jest obiektem krytyki 13. Co więcej, w pracy tej wprowadzono pojęcie tzw. wstęgowego wykresu fazy cyklu, gdzie w sposób graficzny ilustruje się fazę cyklu koniunkturalnego jednocześnie dla całego przedziału parametrów wygładzających metody HP. Analiza dynamiki wstęgowego zegara cyklu oraz wstęgowego wykresu fazy cyklu dla szerokiego spektrum parametru wygładzającego metody HP pozwala na jednoczesne interpretowanie dynamiki cykli krótkich w gospodarce (tzw. cykli Kitchina) oraz tych dłuższych (np. odnoszących się do tzw. cykli Juglara). Mając na uwadze, że konstrukcję zaproponowanych narzędzi oparto na równaniu modelu (1), możliwe jest jednoczesne odniesienie się do istotnych ze statystycznego punktu widzenia długości cykli deterministycznych, związanych ze zmianą koniunktury (wahań korespondujących do częstotliwości zawartych w zbiorze Ψ 1 ). W analizie empirycznej pracy rozważyliśmy produkt krajowy brutto dla Polski, Belgii, Czech, Estonii, Francji, Niemiec i Bułgarii. Uzyskane przez nas wyniki empiryczne wskazują jednoznacznie (według uznania autora tego opracowania) na użyteczność skonstruowanych narzędzi w procesie oceny fazy cyklu koniunkturalnego. Warto tu zaznaczyć, że obydwa te narzędzia wykorzystuję w praktyce gospodarczej o czym wspominam w paragrafie Parametryczny model cyklu deterministycznego Prace nad estymacją cyklu deterministycznego w ujęciu parametrycznym zostały podjęte w Lenart i Mazur (2016). W pracy tej zaproponowaliśmy model autoregresyjny o prawie okresowej postaci funkcji wartości oczekiwanej, mającej na celu uchwycenie efektu wahań o charakterze cyklicznym. Przyjęliśmy założenie, że funkcja wartości oczekiwanej szeregu czasowego {Y t } jest sumą skończonej ilości funkcji prawie okresowych o poszczególnych częstotliwościach λ 1, λ 2,..., λ F (0, π), tzn: µ(t) = E(Y t ) = µ 0 + F a k sin(λ k t) + b k cos(λ k t), (3) k=1 gdzie µ 0, a k, b k R, k = 1, 2,..., F 1. Dodatkowo, w modelu tym przyjęliśmy, że odchylenia od powyższej wartości oczekiwanej mają charakter autoregresyjny, tzn: L(B)(Y t µ(t)) = ɛ t, (4) gdzie L(B) jest wielomianem charakterystycznym części autoregresyjnej, zaś {ɛ t } jest białym szumem gaussowskim. Stosując podejście bayesowkie (w obserwacyjnie równoważnym modelu L(B)Y t = L(B)µ(t) + ɛ t do modelu (4)) przy odpowiednich (sprzężonych) rozkładach a priori wyprowadziliśmy postać analityczną jądra gęstości brzegowej (a posteriori) 13 Patrz dla przykładu: A. Harvey, T. Trimbur, (2008), Trend Estimation and the Hodrick-Prescott Filter, J. Japan Statist. Soc., 38(1):

14 dla wektora częstotliwości Λ = (λ 1 λ 2... λ F ) (0, π) F. Jądro to nie jest jądrem żadnego ze znanych rozkładów prawdopodobieństwa (według najlepszej wiedzy autora tego opracowania). Analityczna postać jądra tego rozkładu pozwoliła nam na przeprowadzenie symulacji, w których zbadaliśmy wybrane własności tego rozkładu. Analiza symulacyjna wskazała na związki pomiędzy jądrem rozkładu a posteriori dla wektora częstotliwości Λ, a klasycznym periodogramem dla analizowanych danych. Wielomodalność badanego w symulacjach rozkładu skłoniła nas do zaproponowania funkcji proponującej dla wektora częstotliwości Λ (w kroku Metropolisa-Hastingsa) w próbniku dla rozkładu a posteriori parametrów modelu (4). W części empirycznej pracy analizie poddaliśmy komponenty produkcji przemysłowej w ujęciu r/r dla gospodarki polskiej, wykorzystując przy tym skonstruowany przez nas próbnik. Przedstawiony przykład empiryczny miał służyć jedynie prostej ilustracji działania skonstruowanego próbnika. Zaproponowana w tej pracy koncepcja cyklu deterministycznego w ujęciu parametrycznym wraz z estymacją w podejściu bayesowskim została wykorzystana w opisanych poniżej dwóch pracach natury (w przeważającej części) empirycznej. W pracy Lenart (2017c) powyższa koncepcja modelu autoregresyjnego z prawie okresową postacią funkcji wartości oczekiwanej (4) została wykorzystana do analizy efektu dni roboczych w miesięcznej wielkości produkcji przemysłowej (w ujęciu r/r) wybranych gospodarek europejskich. Celem tej pracy była identyfikacja przy użyciu modelu (4) wahań o dominującej częstotliwości związanej z efektem dni roboczych równej około 2, 187 dla danych obserwowanych z częstotliwością miesięczną. Rozważyłem dane surowe, tj. nieoczyszczone z efektu dni roboczych (w przypadku których częstotliwość ta powinna odgrywać istotną rolę) oraz dane oczyszczone z efektu dni roboczych (w przypadku których częstotliwość ta nie powinna odgrywać istotnej roli). Warto tu zaznaczyć, że dane o produkcji przemysłowej r/r (zarówno surowe, jak i po eliminacji efektu dni roboczych) zaczerpnięto bezpośrednio z Eurostatu. W celu zbadania wpływu tej częstotliwości na dynamikę produkcji przemysłowej zaproponowałem metodę opartą na jądrze rozkładu a posteriori dla częstotliwości w modelu (4), przy F = 1. Analizie poddałem stopień z jakim masa prawdopodobieństwa rozkładu a posteriori dla częstotliwości koncentruje się w pobliżu wartości 2, 187. Zasadnicza konkluzja wynikająca z przeprowadzonej analizy mówi, że znaczna koncentracja masy w obrębie tej częstotliwości (2, 187 ± 0, 005) może mieć miejsce nawet dla danych dotyczących produkcji przemysłowej po eliminacji efektu dni roboczych (w przypadku, których nie powinniśmy się spodziewać takiej koncentracji). Jednak sama koncentracja tej masy w obrębie częstotliwości 2, 187 nie mówi nic o wielkości udziału wahań o długości korespondującej do tej częstotliwości w dynamice rozważanych wielkości produkcji. W pracy tej nie zbadano bowiem rozkładu a posteriori dla amplitudy tych wahań. Może się bowiem okazać, iż koncentracja te jest pozostałością stosowanej procedury eliminacji wahań efektu dni roboczych a wpływ owej koncentracji masy na całą dynamikę wahań wskaźnika produkcji r/r może okazać się niewielki. Prace w tym kierunku nie zostały jednak kontynuowane. Z kolei w pracy Lenart, Mazur i Pipień (2016) badaniom poddaliśmy cechy cyklu koniunkturalnego gospodarki polskiej rozważając różne zakresy danych o wielkość produkcji przemysłowej. Analizowaliśmy dane do okresu ostatniego kryzysu oraz dane z uwzględnieniem tego okresu, poprzez dołączanie do analizy kolejnych okresów (rocznych bądź półrocznych) aż do grudnia 2014 r., przy czym najkrótsza próbka obejmowała dane 14

15 do czerwca 2006 r. W analizie przyjęliśmy koncepcję cyklu deterministycznego w podejściu nieparametrycznym (1) oraz koncepcję cyklu deterministycznego w podejściu parametrycznym (4) tu przy założeniu jednej częstotliwości (F = 1). Dodatkowo, rozważyliśmy znaną w literaturze metodę estymacji częstotliwości w wartości średniej zwaną contraction mapping, której źródło przytoczono już w paragrafie Wyniki otrzymane w podejściu nieparametrycznym (przy użyciu metody podpróbkowania w testowaniu hipotezy o występowaniu cyklu deterministycznego) okazały się zbieżne z wynikami uzyskanymi przy zastosowaniu koncepcji (4) oraz bayesowskiego wnioskowania statystycznego, gdzie analizie poddano koncentrację masy brzegowego rozkładu a posteriori dla częstotliwości λ 1. Wyniki jakie uzyskaliśmy wskazały, że okres ostatniego kryzysu nie wywołał istotnych zmian w długościach zidentyfikowanych cykli dla produkcji przemysłowej. We wszystkich trzech rozważanych podejściach zidentyfikowano krótkie cykle koniunkturalne, trwające od trzech do pięciu lat. Dodatkowo, w podejściu nieparametrycznym opartym na (1) oraz parametrycznym opartym na (4) zidentyfikowano cykle o długościach ok. dwóch lat oraz ok. 7-8 lat. Według mojej wiedzy, to jedyna praca w której zbadano wpływ ostatniego kryzysu (lat ) na długość cyklu w produkcji przemysłowej gospodarki polskiej Parametryczny model cyklu deterministyczno-stochastycznego Koncepcja cyklu stochastycznego 14 jest częściej stosowana w praktyce niż koncepcja cyklu deterministycznego, ze względu na powszechne przekonanie o niewielkiej użyteczności wynikającej z tej drugiej koncepcji. Wyjściem poza założenie o istnieniu samego komponentu cyklu deterministycznego albo samego komponentu cyklu stochastycznego w modelu wahań cyklicznych jest podeście zaprezentowane w materiale pokonferencyjnym Lenart i Mazur (2017). W pracy tej zaproponowaliśmy konstrukcję modelu parametrycznego, w którym to modelu ujęto zarówno koncepcję cyklu deterministycznego, jak również cyklu stochastycznego. Efekt ten osiągnęliśmy poprzez uwzględnienie w kowariancyjnie stacjonarnym modelu autoregresji wielokrotnego pierwiastka zespolonego oraz prawie okresowej postaci funkcji wartości oczekiwanej. Rozważyliśmy model postaci: (1 φ 1 L)(1 φ 2 L)Ψ n (ρ, ω)(l)(y t µ(t)) = ɛ t, (5) 14 Koncepcja cyklu stochastycznego zakłada stacjonarny charakter wahań cyklicznych z zerową wartością oczekiwaną. Powszechnie znana konstrukcja cyklu stochastycznego opiera się (w uproszczeniu) na uwzględnieniu w modelu autoregresji wielokrotnego pierwiastka zespolonego, patrz: a. A.C. Harvey, (1985), Trends and Cycles in Macroeconomic Time Series, Journal of Business & Economic Statistics, 3(3): b. A.C. Harvey, T.M. Trimbur, (2003), General model-based filters for extracting cycles and trends in economic time series, Review of Economics and Statistics, 85(2): c. T.M. Trimbur, (2006), Properties of higher order stochastic cycles, Journal of Time Series Analysis, 27(1):1-17 d. A. Luati, T. Proietti, (2010), Hyper-spherical and elliptical stochastic cycles, Journal of Time Series Analysis, 31:

16 gdzie µ(t) jest opisane poprzez równanie (3) w przypadku gdy F = 1, zaś wielomian Ψ n (ρ, ω) (L) (stopnia 2n) wpływa (poprzez cześć autoregresyjną modelu) na koncentrację masy gęstości spektralnej w okolicy częstotliwości ω (0, π). Parametry n N oraz ρ ( ρ < 1) wpływają z kolei na stopień koncentracji tej masy. Dokładniej rzecz ujmując, gęstość spektralna modelu autoregresyjnego o wielomianie charakterystycznym w części AR postaci Ψ n (ρ, ω) (L) osiąga jedyne maksimum w punkcie ω (na przedziale (0, π)). W celu estymacji tego modelu zaproponowaliśmy podejście bayesowskie. W części empirycznej naszej pracy modelowaniu poddaliśmy wielkość kwartalnego produktu krajowego brutto (w ujęciu r/r) dla gospodarki polskiej. Udało się nam pokazać (upraszczając), że w przypadku gospodarki polskiej dynamika wahań cyklicznych w PKB może być opisana zarówno poprzez charakterystyki cyklu stochastycznego (poprzez częstotliwość ω i stopień koncentracji masy, tj. parametry n oraz ρ), jak również poprzez charakterystyki cyklu deterministycznego (równanie (3)). Wyniki, które uzyskaliśmy (dla gospodarki polskiej) stanowią krok poza klasyczny paradygmat, mówiący że wahania koniunkturalne (ze względu na swoje cechy) powinny być modelowane przy użyciu koncepcji cyklu stochastycznego, która zakłada stochastyczny charakter wahań cyklicznych o zerowej wartości oczekiwanej Nieliniowy cykl stochastyczny i deterministyczny Kolejnym wyjściem poza koncepcję cyklu deterministycznego jest praca Lenart i Wróblewska (2018). W pracy tej, bazując na prostej idei cyklu deterministycznego A sin(λ(h + t)) (6) (o długości wahań 2π/λ, amplitudzie A i przesunięciu w fazie 15 H) oraz idei modeli wygładzania wykładniczego 16, zaproponowaliśmy nowy (autorski według najlepszej wiedzy autora tego opracowania) model parametryczny wahań cyklicznych. W modelu tym przyjęto stochastyczny charakter zarówno amplitudy wahań oraz przesunięcia w fazie. Zaproponowany model ma postać: { Yt =(A + A t 1 ) sin[λ(t + H + H t 1 )] + µ + ɛ t A t =ψ A A t 1 + α A ɛ t odchylenia od amplitudy A (7) H t =ψ H H t 1 + α H ɛ t odchylenia od przesunięcia w fazie H, gdzie A, H, µ, α A, α H, ψ A, ψ H R, ψ A < 1, ψ H 1, λ (0, π) oraz {ɛ t } jest gaussowskim białym szumem. Jak zapisano powyżej, odchylenia A t od amplitudy A są stacjonarnym procesem autoregresji rzędu pierwszego. Podstawową cechą powyższej konstrukcji (7) jest to, że pozwala interpretować w łatwy sposób amplitudę wahań cyklicznych oraz ich fazę poprzez bezpośrednią interpretację A t oraz H t 17. W pracy tej wykazaliśmy, że 15 Poprzez przesunięcie w fazie rozumiemy w tej pracy przesunięcie (liczone w jednostkach czasu t na osi rzeczywistej) pomiędzy sygnałem opisanym poprzez równanie (6), a sygnałem opisanym ruchem sinusoidy A sin λt. 16 Patrz: R. Hyndman, A. Koehler, J. Ord, R. Snyder, (2008), Forecasting with exponential smoothing. The State Space Approach, Springer, Berlin. 17 W klasycznym podejściu do konstrukcji cyklu stochastycznego opierającym się na modelu autoregresyjnym z wielokrotnym pierwiastkiem zespolonym interpretacja amplitudy wahań oraz przesunięcia 16

17 w przypadku, gdy H t jest również stacjonarnym procesem autoregresji rzędu pierwszego (czyli przy założeniu ψ H < 1) zaproponowany model charakteryzuje się prawie okresową postacią funkcji wartości oczekiwanej (patrz Twierdzenie 2.2 w Lenart i Wróblewska (2018)). W przypadku, gdy H t jest błądzeniem przypadkowym (czyli dla ψ H = 1), model (7) jest z kolei kowariancyjnie stacjonarny. Jak wykazano w pracy, wartość oczekiwana Y t jest w takim przypadku zerowa, zaś funkcję autokowariancji cechuje gasnąca cykliczność o długości wahań związanej z częstotliwością λ charakteryzującą okres wahań cyklicznych (patrz Twierdzenie 2.1 w pracy Lenart i Wróblewska (2018)). Zaznaczmy, że powyższy model nie jest modelem nieobserwowalnych komponentów, ponieważ w równaniu na A t oraz H t pojawia się ten sam składnik losowy {ɛ t }, który występuje w równaniu pierwszym. Ważnym elementem pracy są wyniki teoretyczne, które trzeba było samodzielnie opracować od podstaw. Zaproponowana konstrukcja modelu cyklicznego jest bowiem nowa i wymagała skonstruowania własnego aparatu narzędziowego w dowodach powyżej wymienionych twierdzeń. Kluczowym założeniem, na którym bazuje część dowodowa, jest założenie o normalności rozkładu składnika losowego {ɛ t }. Prawdopodobnie założenie to można by osłabić, jednak w pracy Lenart i Wróblewska (2018) problem ten nie został poruszony. Jeśli chodzi o mój wkład w powstanie tej pracy, to chciałbym zaznaczyć, że byłem pomysłodawcą powyższego modelu oraz autorem wspomnianych twierdzeń. Odpowiadam również w całości za przeprowadzenie dowodów słuszności tych twierdzeń. Panią dr Justynę Wróblewską (współautorkę pracy Lenart i Wróblewska (2018)) zaprosiłem do współpracy (już po uzyskaniu przeze mnie powyższych wyników) jako znaną specjalistę w zakresie podejścia bayesowskiego w tego typu modelach. Chciałbym zaznaczyć, że materiał pokonferencyjny Lenart i Wróblewska (2018) nie został do chwili obecnej opublikowany w wersji rozszerzonej w żadnym czasopiśmie naukowym. Niewątpliwie warto rozważać dalsze prace nad rozwojem zaproponowanego modelu w kierunku zarówno estymacji (w ujęciu bayesowskim) modelu (docelowo) wielowymiarowego, jak również w kierunku konstrukcji prognoz w ramach tego modelu (ze względu na adaptacyjny charakter modeli wygładzania wykładniczego). Chciałbym zaznaczyć, że konstrukcja przedstawiona przeze mnie i współautorkę w pracy Lenart i Wróblewska (2018) jest pierwszą (znaną mi) alternatywną konstrukcją cyklu stochastycznego w odniesieniu do tej już istniejącej od dziesięcioleci i opierającej się na wielokrotnym pierwiastku zespolonym w części AR modelu ARMA Cykl deterministyczny ze zmienną w czasie amplitudą Kolejną koncepcję modelowania wahań aktywności gospodarczej zaproponowałem w Lenart (2018a) i Lenart (2018b). Chciałbym na wstępie zaznaczyć że praca Lenart (2018a) stanowi jedynie materiał pokonferencyjny i została w bardzo znaczący sposób rozszerzona do wersji opublikowanej w czasopiśmie naukowym Central European Journal of Economic Modelling and Econometrics (patrz Lenart (2018b)). Mając na uwadze, że materiał pokonferencyjny Lenart (2018a) zawiera jedynie bardzo wstępne wyniki w dalszej kolejności skupię się jedynie na znacznie rozszerzonych wynikach zawartych w pracy Lenart (2018b). Inspiracja do napisania tej pracy wynikła z obserwacji amplitudy wahań cyklu w fazie nie jest tak oczywista (patrz: G. Rünstler, (2004), Modelling phase shifts among stochastic cycles, Econometrics Journal, 7: ). 17

18 rocznej stopu wzrostu produkcji przemysłowej gospodarki między innymi polskiej (ale nie wyłącznie), gdzie zauważyć można wyraźne zmniejszenie amplitudy wahań od roku Nadrzędnym celem tej pracy była konstrukcja modelu opierającego się na idei cyklu deterministycznego, który byłby dostatecznie giętki, aby uchwycić zmienną w czasie dynamikę amplitudy wahań koniunkturalnych dając przy tym łatwą interpretację długości wahań cyklicznych. W tym celu w pracy Lenart (2018b) rozważyłem pewną modyfikację funkcji prawie okresowej a sin(λt) + b cos(λt), polegającą na uzmiennieniu w czasie amplitudy wahań, tj. uzależnienie parametrów a oraz b od czasu t. W szczególności, rozważyłem model postaci m Y t = g j (λ j, t) + µ(t) + ɛ t, (8) gdzie j=1 g j (λ j, t) = a j (t) sin(λ j t) + b j (t) cos(λ j t), a j (t) oraz b j (t) są funkcjami sklejanymi lub są funkcjami związanymi z dynamiką krzywych Béziera, µ(t) jest wielomianem zmiennej t, zaś {ɛ t } jest białym szumem. W powyższym modelu funkcje g j (λ j, t) mają na celu uchwycenie zmiennej w czasie amplitudy cyklu koniunkturalnego o długości 2π/λ j. Z kolei funkcja µ(t) ma na celu uchwycenie długookresowych tendencji, czyli linii trendu. W pracy tej zaproponowałem estymację modelu w ujęciu bayesowskim. Przyjąłem założenie o równo oddalonych węzłach funkcji sklejanych oraz o rozkładzie gaussowskim składnika losowego {ɛ t }. Przy sprzężonych rozkładach a priori wyznaczyłem (poprzez analogię do wyników zawartych w pracy Lenart i Mazur (2016)) jądro brzegowego rozkładu a posteriori dla wektora częstotliwości (λ 1 λ 2... λ m ). W analizie empirycznej rozważyłem agregat miesięcznej produkcji przemysłowej w ujęciu r/r dla unii europejskiej, strefy euro oraz trzydziestu dwóch gospodarek europejskich w okresie Przyjąłem jedną częstotliwość w modelu (8) oraz stopień wielomianu µ(t) równy co najwyżej dwa. Rozważyłem stałą wartość amplitudy w funkcji g 1 (λ 1, t) oraz zmienną w czasie amplitudę poprzez uwzględnienie różnej liczby punktów węzłowych funkcji sklejanych, począwszy od dwóch punktów aż do dziesięciu. Spośród wszystkich specyfikacji wybrałem tą o maksymalnej wartości brzegowej gęstości wektora obserwacji. Dla tak wybranej specyfikacji modelu przedstawiłem dynamikę (w czasie) wartości oczekiwanej (a posteriori) dla g 1 (λ 1, t) + µ(t) wraz z cyklem wahań wyodrębnionym (klasycznym) filtrem pasmowo-przepustowym. Dynamika owej wartości oczekiwanej w większości analizowanych przypadków była bardzo zbliżona do dynamiki wyodrębnionego cyklu. Skonstruowałem zatem podejście opierające się na wnioskowaniu bayesowskim, które jest w stanie konkurować z klasycznym podejściem bazującym na metodach nieparametrycznej filtracji filtrami pasmowo-przepustowymi. W dalszej kolejności analizie poddałem rozkłady a posteriori dla częstotliwości λ 1 i udział w tych rozkładach częstotliwości korespondujących do długości wahań odpowiadających cyklom krótkim w gospodarce, tzn. trwającym od trzech do pięciu lat (tzw. cykle Kitchina). Otrzymane wyniki wskazały, że w przypadku agregatu produkcji przemysłowej r/r dla obszaru unii europejskiej, jak również obszaru strefy euro dominującym cyklem (w okresie ) jest cykl krótki. Cecha ta nie jest jednak wspólna dla wszystkich analizowanych gospodarek, w przypadku których dominująca długość cyklu okazała się być zróżnicowana (od dwóch do nawet 7-8 lat). Jednak, dla agregatu produkcji unii europejskiej, strefy euro oraz dla większości ana- 18