Obja±nienia intuicyjne w matematyce

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Obja±nienia intuicyjne w matematyce"

Justyna Bielecka
6 lat temu
Przeglądów:

1 Obja±nienia intuicyjne w matematyce Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl Kraków 2019 Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

2 Wst p Plan Intuicja matematyczna. Konteksty: odkrycia, uzasadnienia, przekazu. Obja±nienia intuicyjne: przykªady. Poni»sze reeksje oparte s na do±wiadczeniach dydaktycznych jedynie na poziomie uniwersyteckim, uzyskanych podczas prowadzenia kursów dotycz cych matematycznych podstaw kognitywistyki oraz matematycznych metod rozwi zywania problemów. Dobiegaj ca ju» ko«ca posªuga dydaktyczna prelegenta obejmowaªa te» kilka dekad nauczania logiki matematycznej. Odczyt przygotowano w ramach projektu badawczego NCN 2015/17/B/HS1/02232 Aksjomaty ekstremalne: aspekty logiczne, matematyczne i kognitywne. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

3 Intuicja matematyczna Pogl dy lozofów: Kartezjusz (poj cia oczywiste, ±wiatªo rozumu), Kant (naoczno±, czas i przestrze«w procesie poznania),... Pogl dy matematyków: Poincaré (postrzeganie zmysªowe, indukcja matematyczna, intuicja liczby), Gödel (intuicja matematyczna daje umysªowi dost p do plato«skiego ±wiata obiektów matematycznych),... Pogl dy dydaktyków: Krygowska (wnioskowania empiryczne, intuicyjne, formalne), Sierpi«ska (wyja±nianie, rozumienie, przeszkody epistemologiczne), Tall (trzy ±wiaty matematyki),... Stratykacja intuicji: Protointuicje: zwi zane z naszym uposa»eniem poznawczym. Intuicje wyksztaªcane na drodze przemocy symbolicznej szkoªy. Intuicje profesjonalnych matematyków. Dynamika intuicji matematycznych: nowe wyniki, paradoksy, programy badawcze,... Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

4 Trzy konteksty Kontekst odkrycia i kontekst uzasadnienia Kontekst odkrycia Hadamard: Psychologia odkrycia matematycznego. Lakatos: Proofs and refutations. Rola intuicji w kontek±cie odkrycia. Matematyka: tworzona czy odkrywana? Badania empiryczne: rozumienie poj, pi kno w matematyce. Kontekst uzasadnienia Dowód w logice i w matematyce. Drogi do dowodu matematycznego. Czy poj cie dowodu matematycznego jest niezmienne? Rola antynomii, paradoksów, patologii. Bª dzenie w matematyce. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

5 Trzy konteksty Kontekst przekazu Kontekstem przekazu nazwiemy nast puj ce sfery obecno±ci matematyki w kulturze: Uczenie si i nauczanie matematyki. Popularyzacja matematyki. Wykorzystanie matematyki w sztuce. W kontek±cie przekazu nast puje uzyskanie wiedzy, umiej tno±ci, kompetencji matematycznych. Znaczenie poj matematycznych: jest wyznaczone przez teori. Rozumienie w matematyce: jest wynikiem procesu, w którym znaczenie poj ª czy si z obja±nieniami intuicyjnymi. Obja±nienia intuicyjne: s wskazówkami naprowadzaj cymi na uchwycenie znaczenia. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

6 Obja±nienia intuicyjne Obja±nienia werbalne Granica, ci gªo±, itd.: naddatki lingwistyczne w czytaniu denicji (dowolnie maªy dodatni ε), terminy dotycz ce ruchu (d»y, przebiega, zbli»a si ), itp. Werbalny opis rysunków, diagramów, itp. Diagramy Venna nie pozwalaj np. na dystynkcj : wyró»nianie i odró»nianie. Mówienie o zbiorach (dystrybutywne i kolektywne, nieostre, itp.). Problemy z przykªadami z»ycia. Obrazowo± terminologii matematycznej (np. zbiór nigdzieg sty, spójno±, zwarto±, lemat o przelewaniu, itp.). Rola metafor w obja±nieniach werbalnych. Uwaga na nietrafne metafory (por. zwodnicze u»ycia The Basic Metaphor of Innity)! Czy eksplikacje j zykowe mog utrudni zrozumienie w matematyce? Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

7 Obja±nienia intuicyjne Odwoªania do percepcji Rysunki: rola tªa, sugestywno±, rola konwencji (np. w reprezentacji bryª na rysunkach). Modele 3D. Przyrz dy. Filmy, piosenki, barwy, itd. Software, np.: Geogebra, Mathlab, Mathematica, itd. Rola notacji matematycznej. We are in a class of the fourth grade. The teacher is dictating: `A circle is the position of the points in a plane which are at the same distance from an interior point called the centre.' The good pupil writes this phrase in his copy-book and the bad pupil draws faces, but neither of them understands. Then the teacher takes the chalk and draws a circle on the board. `Ah', think the pupils, `why didn't he say at once, a circle is a round, and we should have understood.' Poincaré Science and method. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

8 Obja±nienia intuicyjne Modele zyczne Archimedes: modele mechaniczne (traktowane jako heurystyki) versus metoda wyczerpywania (dostarczaj ca matematycznego dowodu). Poincaré o pracy Kleina: wykorzystanie modelu zycznego (przepªyw pr du) do badania osobliwo±ci funkcji. Fizyka ludowa i zªudzenia, np. tor pocisku w spiralnej rurze. Levi: Mathematical Mechanic. Wspomaganie rozumienia dowodów matematycznych poprzez odwoªania do stosownych zjawisk zycznych. Ghrist: Topology and linkages. Wykorzystanie linkages do wizualizacji tworów wielowymiarowych: Any smooth compact manifold is dieomorphic to the conguration space of some planar linkage. Klein: Mogªoby si wydawa,»e silna naiwna intuicja przestrzenna jest wªa±ciwo±ci rasy teuto«skiej, natomiast umysª czysto logiczny, krytyczny jest bardziej rozwini ty u ras ªaci«skich i semickich. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

9 Obja±nienia intuicyjne Modele zyczne Niespodzianki: Galperin: bilard i π. Ustalanie rozwini cia dziesi tnego π poprzez zderzenia kul. Drabina osuwaj ca si po ±cianie. Je±li proponowany model matematyczny prowadzi do absurdu zycznego, to zmieniamy model. Szereg harmoniczny: mrówka na linie, podró» przez pustyni, maksymalny nawis, ucieczka przed zboczenic, pragnienie arcybiskupa, itd. Eksperymenty: igªa Buona, paradoks Bertranda. Problemy wariacyjne. Brachistochrona. Czy ±wiat jest matematyczny? Dlaczego matematyka jest skuteczna w opisie ±wiata? Czy model zyczny mo»e dostarcza zªych intuicji matematycznych? Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

10 Obja±nienia intuicyjne Do±wiadczenie potoczne Topologia: obiekty z gumy lub plasteliny oraz ich przeksztaªcenia. Ruchy sztywne, przesuni cia, obroty oraz odpowiadaj ce im przeksztaªcenia. Podarty trójk t: wizualizacja wªasno±ci geometrycznych. Ser salami, nó» spr»ynowy i zatyczka. Liczby ujemne: temperatura, pi tra, skacz ce»aby. Do czego odwoªujemy si, obja±niaj c mno»enie liczb caªkowitych? Gry. Ciekawy przypadek z Armi Conwaya: czy dowód matematyczny stanowi ostateczne wyja±nienie (zaskakuj cego) faktu? Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

11 Obja±nienia intuicyjne Eksperymenty my±lowe Supertasks: Mucha i PKP: zaªo»enia idealizuj ce. Lampa Thomsona, kule Laraudogoitii, itp. Wyobra¹nia wykraczaj ca poza percepcj : Niesko«czono±. Elementy idealne. Ci gªo±. Wielowymiarowo±. Granice intuicji matematycznej oraz granice obja±nie«intuicyjnych. Przekorne (?) dictum Johna von Neumanna: Young man, in mathematics you don't understand things. You just get used to them. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

12 Obja±nienia intuicyjne Obja±nienia wewn trzne Geometryczne reprezentacje w arytmetyce. Np.: liczby trójk tne, czworok tne, itd. Interpretacje poj cia pochodnej. Topologia algebraiczna: zastosowania algebry dla charakterystyki poj topologicznych. Funkcja Mertensa jako zmienna losowa (i wykorzystanie tego zaªo»enia w ustaleniu,»e hipoteza Riemanna jest prawdziwa z prawdopodobie«stwem 1). Wymuszanie w teorii mnogo±ci i rozszerzenia przest pne ciaª. Aksjomaty ekstremalne w teorii mnogo±ci. Po cz ±ci intuicyjna argumentacja za porzuceniem aksjomatów ograniczenia a przyjmowaniem aksjomatów istnienia du»ych liczb kardynalnych. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

13 Uwagi ko«cowe Wnioski Matematyka: nauka o wzorcach (regularno±ciach, symetriach, itp.) i sztuka rozwi zywania problemów (wedle ustalonych kanonów). Agnostycyzm matematyczny: praktyka badawcza matematyki wydaje si by niezale»na od deklaracji wiary w istnienie ±wiata plato«skiego obiektów matematycznych. Rozumienie w matematyce jako wynik procesu ª czenia znaczenia z obja±nieniami intuicyjnymi. Porównanie: intuicja w kontek±cie odkrycia i w kontek±cie uzasadnienia (analogia: denicje projektuj ce i sprawozdawcze). Terapia matematyczna: nauczanie matematyki dla dorosªych. Przezwyci»anie traumatycznych do±wiadcze«szkolnych. Mo»liwo± u±wiadomienia sªuchaczom roli intuicji. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

14 Bibliograa Pogonowski, J Kontekst przekazu w matematyce. Annales Universitatis Paedagogicae Cracoviensis. Studia ad Didacticam Mathematicae Pertinentia 8, Pogonowski, J Paradox resolution as a didactic tool. In: Bªaszczyk, P., Pieronkiewicz, B. (Eds.), Mathematical Transgressions 2015, Universitas, Kraków, Pogonowski, J Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej. W: Murawski, R., Wole«ski, J. (Red.) Problemy lozoi matematyki i informatyki. Wydawnictwo Naukowe UAM, Pozna«, Sierpi«ska, A Understanding in Mathematics. The Falmer Press, London. Tall, D How Humans Learn to Think Mathematically. Exploring the Three Worlds of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge. Jerzy Pogonowski (MEG) Obja±nienia intuicyjne w matematyce Kraków / 14

Podobne dokumenty

Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej

Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej Jerzy Pogonowski Zakªad Logiki i Kognitywistyki UAM pogon@amu.edu.pl FMiI V, 2016 Jerzy Pogonowski (MEG) Intuicje a nabywanie wiedzy matematycznej FMiI V, 2016