Zebranie KB PAN Kraków, Wymiarowanie konstrukcji z profili giętych na zimno. Wybrane zagadnienia: teoria, badania, praktyka

Transkrypt

1 Zebranie KB PAN Kraków, Wymiarowanie konstrukcji z profili giętych na zimno. Wybrane zagadnienia: teoria, badania, praktyka Leopold Sokół Dr inż., Prof. CHEM Paris SOKOL Consultants 1

2 PODSTAWOWE POJECIE TEORII PRZEKROJÓW CIENKOŚCIENNYCH: SZEROKOŚC EFEKTYWNA ŚCISKANEJ ŚCIANKI PŁASKIEJ

3 Równanie powierzchni wyboczenia cienkościennej płyty prostokątnej Et D y xy x y w N y x w N x w N D 1 y w y x w x w TEORIA

4 Dla płyty z podparciem swobodnym na brzegach "a" z silą N x przyłożoną na brzegu "b", powierzchnia odkształcenia może być przedstawiona w postaci podwójnego szeregu: w m1 n1 a mn sin mx a sin ny b dla którego minimum energii potencjalnej otrzymuje się dla: N x cr a m D m a n b

5 Najmniejsza wartość tego wyrażenia jest otrzymana gdy n=1 (=> jedna pół-fala w kierunku poprzecznym) i gdy a = m*b (=> całkowita ilość półfal o długości b w kierunku a). Warunek ten jest spełniony oczywiście dla płyty nieskończenie długiej, który dotyczy ścianek profili giętych. W tych warunkach wzór dla naprężenia krytycznego przyjmuje postać: cr N t x cr E 11 kt * b (a) gdzie k jest współczynnikiem zależącym od warunków podparcia na brzegach a. Na przykład, dla podparcia swobodnego k=4.

6 W rzeczywistości naprężenie ściskające nie jest równomiernie rozłożone: Można tutaj zauważyć, że im bardziej wzrasta ściskanie tym bardziej zmniejsza się naprężenie wewnątrz ścianki.

7 Równanie w postaci (a) ma małą przydatność praktyczną, von Kàrmàn zaproponował więc następującą interpretację tego równania (193) : Rzeczywisty nierównomierny rozkład naprężeń na szerokości "b" zastąpiony jest stałym naprężeniem f y, działającym na zredukowanej szerokości b e / na obu skrajach ścianki: a b b e / b e / f ya Stan równowagi (a) można więc zapisać w postaci: f y 11 E kt * b e (b)

8 Dzieląc stronami (a) i (b), otrzymujemy po przekształceniach wzór von Kàrmàna na szerokość efektywna (zwaną również szerokością współpracującą): b e b f cr y Ct E f y gdzie: Na tej postaci wzoru na szerokość efektywną kończy się ujęcie czysto teoretyczne, które dla praktycznych zastosowań wymaga korekty empirycznej. C W praktycznych zastosowaniach szerokość efektywna jest najczęściej przedstawiana w postaci ilorazu = b e /b. Wzór von Kàrmàna przyjmuje wtedy postać: be b f cr y

9 PRAKTYKA Główne powody dla których doświadczalna korekta wzoru teoretycznego von Kàrmàna jest niezbędna: 1. Umocnienie plastyczne i przewężenie na zagięciach:. Imperfekcje geometryczne: płaskie ścianki nie są doskonale płaskie (sfalowania) 3. Naprężenia wewnętrzne po procesie gięcia

10 Różne postacie wzorów na szerokość efektywną: Winter: be b f cr y 1 1 f cr y Kod kanadyjski: b e 0.95t ke t fy b ke f y ENV EC3-1-3: EN : dla com,ed = f y / M : p 0,055 p 3 dla com,ed < f y / M : 1 0, ,0 / p,red p p,red 0,18 p,red p 0,6 be b f cr y 1 0. f b / t 35 y p 8,4 k f y N / mm cr p,red p f y f com,ed / cr y M0

11 WYTRZYMAŁOŚĆ BLACH FAŁDOWYCH W UKŁADZIE CIĄGŁYM 11

12 Zasady obliczeń teoretycznych - Układ pracuje w zakresie sprężystym - Stan Graniczny Użytkowalności (pod obciążeniem charakterystycznym) jest określony dopuszczalnym ugięciem - Stan Graniczny Nośności (pod obciążeniem obliczeniowym) jest określony osiągnieciem wytrzymałości w jakimkolwiek przekroju q PS P M Kryteria wytrzymałości: - "PS" Podpora Skrajna: zmiażdżenie środników - "P" Przęsło: moment zginający - "PP" Podpora Pośrednia: moment, reakcja, interakcja Kryterium odkształcenia: - Strzałki ugięcia w połowie przęseł PP

13 Szczególną uwagę należy zwrócić na wytrzymałość przekroju nad podpora pośrednia, z jednoczesnym działaniem momentu i reakcji. Chodzi tu ogólnie o wytrzymałość przekroju na który działa jednocześnie moment i poprzeczna skupiona siła liniowa. Wytrzymałość ta określona jest równaniami: M M Ed c,rd + F R Ed w,rd 1,5 1.5M i,rd M i,ed M Ed / M c,rd 1 F Ed / R w,rd 1 M i,rd 0.5M i,rd R i,ed R i,rd R i,rd 1.5R i,rd W układach wieloprzęsłowych: interakcja moment-reakcja jest najczęstszym kryterium wymiarującym.

14 Zasady obliczeń opartych na badaniach: - Stan Graniczny Użytkowalności (pod obciążeniem charakterystycznym) jest określony:. dopuszczalną strzałką ugięcia,. osiągnięciem 90% wytrzymałości na podporze pośredniej PP Wytrzymałość "PP" jest określona doświadczalnie Układ pracuje w zakresie sprężystym

15 Badanie wytrzymałości i zależności M- na podporze pośredniej

16 M M 0 = M *M c,rd,max Wytrzymałość M-R na podporze pośredniej M c,rd,max M c,rd,min R R w,rd,min R w,rd,max R 0 = α R *R w,rd,max M E / M c,r,max 1 F E / R w,r,max 1 M M E 0 F R E 0 1

17 - Stan Graniczny Nośności (pod obciążeniem obliczeniowym) określony jest:. wytrzymałością na podporze skrajnej "PS",. wytrzymałością na moment zginający w przęśle "P",. obrotem na podporze pośredniej moment (kn*m/m) * * 1 kn = 4.45 kips 1 m = feet rotation (rad) M/R=19.50 cm (7.86 in.) M/R=19.50 cm (7.86 in.) M/R=19.50 cm (7.86 in.) M/R=5.75 cm (10.38 in.) M/R=5.75 cm (10.38 in.) M/R=5.75 cm (10.38 in.) M/R=3.00 cm (1.90 in.) M/R=3.00 cm (1.90 in.) M/R=38.5 cm (15.4 in.) M/R=38.5 cm (15.4 in.) M/R=44.50 cm (17.94 in.) M/R=44.50 cm (17.94 in.) Zależność "M-" oraz wytrzymałości "PS" i "P" są określone doświadczalnie

18 zespolonego o dużej rozpiętosci (6 m) Widok stanowiska badawczego w początkowej fazie obciążenia Fala wyboczenia górnej półki w końcowej fazie obciążenia 18

19 Układ ciągły po uplastycznieniu przekroju na jednej lub wielu podporach ma zachowanie nieliniowe, z przegubami plastycznymi o zmiennej sztywności na podporach w zależności od obrotu K M K() K() L 1 L L 3 1 = 1 +

20 PRZYPADEK SZCZEGÓLNY: Belki z ciągłym bocznym podparciem górnej półki Chodzi tu ogólnie o płatwie lub rygle ścienne o przekrojach Z, C lub, z jedną półką podpartą przez połać dachową lub obudowę ścienną z blachy fałdowej. Przyjmując, że dzięki pracy przeponowej blachy górna półka przejmuje tylko składową obciążenia prostopadłą do dachu, płatew jest zginana wokół osi y równoległej do dachu, niezależnie od położenia osi głównych. Dodatkowo występuje wyboczenie oraz boczne zginanie pasa dolnego, które również należy uwzględnić w obliczeniach. Na tych założeniach oparty jest zaproponowany w końcu lat 70. i przyjęty w Eurokodzie model obliczeniowy ([1]) który będzie przedstawiony w skrócie. Na końcu prezentacji podane są publikacje źródłowe, które będą pomocne dla pełniejszego zapoznania się z tym tematem. 0

21 Stateczność pasa dolnego należy sprawdzić w strefach momentu ujemnego (=> ściskanie pasa dolnego) Lt Lt Lt Lt Lt Lt Lt

22 Przyjęty model pracy przekroju:

23 ==> Problem do rozwiazania: obliczenie długości wyboczeniowej pasa dolnego traktowanego jak ściskana belka na podłożu sprężystym

24 Schemat statyczny układu dla którego obliczana jest siła krytyczna qo q l P x y anti-sag bar normal force diagram L=Lt /(n+1) anti-sag bar n = number of anti-sag bars Odkształcenie Obc. poprzeczne Obc. normalne Podłoże sprężyste L EI Ei y" dx f Eq qxdx y' dx P P 0 1 L L 0 x 1 E P y' dx L 0 E e L y dx 0 4

25 Energia całkowita układu: E E E E E t i e q P L EI f (y'') lql 0 y x L 1 1 x 1 (y') PPy' dx L Równanie to przedstawia funkcjonał typu: Jy F(x,y,y") dx który osiąga minimum gdy jego pierwsza wariacja jest = 0, co jest wyrażone równaniem Eulera-Poissona: F d dx F d ' dx F " y y y 0 F skąd otrzymujemy równanie F F F F ' F " y y' y" y y y d 4 y 4 d y dy Ky l P l l d d d w którym parametr określa siłę krytyczną 5

26 Dla znalezienia wartości tego parametru założono rozwiązanie w postaci szeregu: n y ai sin i i1 Poszukując minimum błędu przy pomocy metody Galerkina otrzymano układ równan liniowych, którego najmniejsza wartość własna określa siłę krytyczną: cr która z kolei określa długość wyboczeniową N N e cr L f / L cr 6

27 Drogą poszukiwań znaleziono, że funkcja określająca długość wyboczenia w zależności od sztywności podłoża sprężystego przedstawionej parametrem 4 może być przedstawiona z bardzo dobrą dokładnością w postaci funkcji K 3 4 (1 K ) F 1 posiadającej następujacy kształt Lf/ L K L 4 EI f (Lf/L)num (Lf/L)anal K 7

28 Na tej bazie, metodą najmniejszych kwadratów, przy pomocy specjalnego programu komputerowego otrzymano szereg rozwiązań ktore posłużyły do opracowania tabel wartości współczynników dla różnych praktycznych przypadków ([5,6]): Simple Multi-span span End span Intermediate span Load Up-lift Up-lift Down Up-lift Down Anti-sag bars Curve Enveloping curve ,6938 5,4463 1,733-0,1680 0,8000 6,7481 1,4843-0, ,3059 0,33 0,744-0, ,4139 1,718 1,1073-0, ,901 8,5456,1783-0, ,5956,350 1,1484-0, ,5144 1,545 0,8679-0, ,6574 8,1695,10-0,1071 Powyższe dane zostały wykorzystane w Tab. 10 Eurokodu

29 W celu uzyskania większej dokładności obliczeń, w publikacjach [7,8] zaproponowano wzięcie pod uwage dodatkowego czynnika związanego z energią odksztaścenia skrętnego wobec wymuszonej osi obrotu R: a) b) R R y R z o r z R y R r z o z R y o G F y o G F u d u u r u d u ur Składa się on z dwóch członów: jeden związany z naprężeniami normalnymi spowodowanymi skręcaniem nieswobodnym i drugi z naprężeniami ścinającymi spowodowanymi skręcaniem swobodnym L L EIRRr d u GIsRr du Eir dx dx z dx z dx R 0 Uwzględnienie tego czynnika w obliczeniach numerycznych zostało przyjęte w klauzuli 10.1.(5) Eurokodu R 0 9

30 Dla uzupełnienia wracamy jeszcze do wspomnianego na początku bocznego zginania wolnej półki. Dla swobodnie zginanych belek: - gdy środek ścinania nie pokrywa się z punktem przyłożenia obciążenia, zachodzi skręcanie przekroju - gdy kierunek obciążenia nie pokrywa się z główna osią bezwładności, zachodzi ukośne zginanie przekroju. Jeśli jedna z półek zginanego przekroju jest podparta i środek obrotu jest wymuszony warunkami zewnętrznymi, to następuje zwichrzenie przekroju na skutek bocznego ugięcia wolnej półki, wynikającego z niezrównoważonego przepływu naprężeń ścinających na styku miedzy wolna półką i środnikiem. Zjawisko to jest uwidocznione na następujących zdjęciach z badań: 30

31 Badane przekroje Badanie przekroju Z 31

32 Badanie przekroju 3

33 Badanie przekroju

34 Ujęcie teoretyczne: uogólniony schemat analizowanego przekroju ([9]) Z K K R r p t q S G G Y S G S 34

35 Zależności geometryczne związane z uogólnionym przemieszczeniem przekroju Z R'' R S'' G'' Y S G 35

36 36 Równania równowagi 0 qsin cos r y EI p IV S z 0 qcos sin r z EI p IV S y 0 t K r r q q GI EI Sz py Sy pz Sz y Sy z '' d IV ó

37 Równanie różniczkowe niejednorodne: IV '' 4 EI m R GI EI d R I I sin ( ) y z S R I S Iy cos Iz sin I 4 K EI R m I y cos cos S Iz sin sin qs I cos I sin y z S t 37

38 Postać rozwiązania tego równania ([9]) okazuje się jednak zbyt skomplikowana dla zastowania normatywnego. Toteż, ponieważ jego wpływ choć niepomijalny jest stosunkowo niewielki, więc w EN jest on uwzględniony z uproszczeniem w postaci fikcyjnego obciążenia bocznego q h ([3]) zależącego od odległości między środkiem ścinania i punktem przyłożenia siły oraz od kąta obrotu osi głównych. 38

39 Powyżej opisana metoda obliczeń płatwi została od początku lat 90 powszechnie zastosowana jako "méthode Sokol" i następnie wprowadzona do Eurokodu Należy tutaj zwrócić uwagę na to, że wartości tabelaryczne współczynników zostały określone dla stałych przęseł i dla obciążenia równomiernie rozłożonego ([5,6]). Jeśli zachodzi jeden z poniższych przypadków: - nierówne przęsła, - obciazenie poprzeczne nierówno rozłożone - obciążenie poprzeczne skupione - obecność obciążenia normalnego - ciągłość na podporach uzyskana przy pomocy nakładek lub zakładów wartości tabelaryczne współczynników nie są dokładne i układ należy obliczyć przy zastosowaniu przyjętego modelu, ale na podstawie rzeczywistego rozkładu momentów. Aby uwzględnić obroty przekrojów na podporach z ciągłością uzyskana przy pomocy nakładek lub zakładów, należy wykonać badania typu "M-" (moment-obrót). 39

40 Badanie wytrzymałości i zależności M- na podporze 40

41 Faza zaawansowana obciążenia 41

42 Styki profili sąsiednich przęseł po obrocie na podporze 4

43 moment (kn*m) Diagr. Moment-Rotation Wykres M rotation (rad) 43

44 Badanie sztywności utwierdzenia w blasze 44

45 Modelowanie układu dla obliczeń numerycznych ev. reinforcing member, C- section Uciąglenie przy pomocy zakładow F 1v F1h a 1 a a 3 a 3 M s1 Ms M f1 M f Uciąglenie przy pomocy nakładek 45

46 Publikacje źródlowe dla metody obliczeń płatwi przyjętej w EC3-1-3 [1] Sokol L. - Calcul des pannes en section Z. Construction Métallique N [] Sokol L. - Calcul de la longueur de flambement de la semelle comprimée des pannes en Z. Construction Métallique N [3] Sokol L. - Flexion latérale de la semelle libre inférieure des pannes Z et C. Construction Métallique N [4] Sokol L., Specific Aspects of Design of Purlins in Z-sections. Der Metallbau im Konstructiven-Ingenieurbau. Karlsruhe, Februar 1988 [5] Sokol L. - Stabilité des pannes formées à froid, maintenues par bac acier. Construction Métallique N [6] Sokol L. - Lateral Stabilization by Steel Sheeting of Structural Members Thin Walled Structures, Vol 5, No 3, pp.07-17, 1996 [7] Sokol L. - Flambement des barres par torsion autour d'un axe de rotation imposé. Construction Métallique N [8] Sokol L. - Lateral Buckling of Prismatic Members About an Imposed Axis of Rotation. Fifteenth International Specialty Conference on Cold-Formed Steel Structures. St. Louis, Missouri U.S.A, October 19-0, 000 [9] Sokol L. - Combined Bending and Torsion of Laterally Restrained Thin Walled Steel Beams, 4 th European Conference on Steel and Composite Structures June 8-10, 005 Maastricht - Eurosteel

47 Dziękuję za uwagę 47