Najprostsze z zadań z prawdopodobieństwa robi się korzystając z dystrybuanty. Zacznijmy od tego - tu mamy rozkład (wyniki pomiarów):

Transkrypt

1 Najprostsze z zadań z prawdopodobieństwa robi się korzystając z dystrybuanty. Zacznijmy od tego - tu mamy rozkład (wyniki pomiarów): Ok. Średnia to środek zbioru. Zazwyczaj mamy podane także odchylenie standardowe. jakby kogoś to interesowało - im mniejsze to odchylenie standardowe jest, tym bardziej strzelista, smukła jest ta krzywa na rysunku. Większe odchylenie standardowe oznacza rozpłaszczenie wykresu. Zazwyczaj szukamy prawdopodobieństwa wystąpienia jakiejś wartości. Na przykład tej, którą uwidoczniłem na rysunku: A konkretnie, szukamy prawdopodobieństwa, że wartość w kolejnej próbce, którą zmierzymy, będzie mniejsza od niej, bądź większa. Załóżmy, że mamy takie zadanie: Jaś hoduje konopie. Średni wzrost rośliny w drugim miesiącu wynosi 1 metr (średnia), przy odchyleniu standardowym 0,25 metra. Rozkład tych wartości zbliżony jest do normalnego. Mamy teraz ten drugi miesiąc. Podaj prawdopodobieństwo, że pierwsza z brzegu roślina z hodowli Jasia, będzie niższa niż 0,8 metra. Oto czego szukamy:

2 Tak się składa, że to pole pod wykresem, to prawdopodobieństwo. Pole pod krzywą, przypominam, liczy się za pomocą całki. gdybyśmy zrobili całkę z całości to byłaby ona równa 1. Ale my nie chcemy całki z całości, tylko chcemy tylko całkę od lewej strony aż do kreski. Ta całka to dystrybuanta. Normalnie, wpisywalibyśmy te dane, tj. wartość szukaną, średnią i odchylenie standardowe do formułki ROZKŁAD.NORMALNY w Excelu. Ręcznie musimy jeszcze sobie znormalizować rozkład. To nic trudnego. Podstawiamy dane do wzoru: nowa wartość szukana = (wartość szukana - średnia) / odchylenie standardowe {nie jestem jeszcze pewien czy ten wzór tak wygląda, pamiętam go tylko jako u=(z-x)/sigma, sprawdźcie sobie w notatkach} To, co nam wyjdzie, to liczba, którą odszukamy w tablicy dystrybuanty (tablicę dostaniemy na kolokwium, no i mieliśmy rozdaną już kiedyś). Odczytamy dla niej dystrybuantę i... już. Jakby ktoś chciał sprawdzić, powinno chyba wyjść coś koło 0,21. Proste? A jak liczyć rzeczy trudniejsze? Np. Podaj prawdopodobieństwo, że roślinki będą wyższe niż 0,8. To akurat proste. Szukamy tego:

3 Jak pewnie pamiętacie, prawdopodobieństwo całości jest równe 1. ponieważ znamy już - albo zaraz poznamy, odczytując dystrybuantę - prawdopodobieństwo tego, czego akurat NIE szukamy, możemy znaleźć i to, co nas w tej chwili interesuje. P(długość roślinki>0,8) = 1 - F(0,8), gdzie P to prawdopodobieństwo którego szukamy, a F - to nasza odczytana dystrybuanta. Czyli szukane prawdopodobieństwo wyniesie gdzieś tak 0,79. {tu małe ale : cały czas rozmawiamy o dystrybuancie lewostronnej, takiej jaką liczy nam excel, i jaką zawsze posługiwaliśmy się na zajęciach. Na tablicach, które otrzymaliśmy jest też prawostronna dystrybuanta, tzn. całka obliczona nie od lewej strony do kreski, lecz od kreski do prawej strony (dla ścisłych matematyków - do nieskończoności). Tak wiec ostatni przykład można rozwiązać inaczej - po prostu od razu odczytując dystrybuantę drugiego rodzaju. W każdym razie radzę uważać, z której tablicy odczytujemy wartość, żeby nam jakiś kosmos z obliczeń nie wyszedł, że niby prawdopodobieństwo wyjdzie równe 2} Na takiej zasadzie można obliczać sobie najrozmaitsze inne przykłady prawdopodobieństwa. Żeby wyjaśnić zasadę tej kombinatoryki, zróbmy sobie jeszcze 1 przykład, odrobinę trudniejszy. Rozmiar kurwików, pojawiających się w oczach Renaty Beger, ma średnią 5mm przy odchyleniu standardowym równym 0,7. Podaj prawdopodobieństwo, że jutro kurwik osiągnie wielkość z przedziału od 4,5 do 5,3mm. Zastanówmy się najpierw, czego tak naprawdę szukamy. Takie są dane:

4 A szukamy po pierwsze prawdopodobieństwa, że wartość będzie większa od 4,5... {tzn. 1 - F(4,5)}

5 ... i jednocześnie mniejsza niż 5,3 {tzn. F(5,3)}: Czyli tak naprawdę szukamy wspólnej części tych zbiorów. Nałóżmy rysunki: Jeśli przyjrzymy się rysunkowi, znajdziemy przynajmniej na przykład taki sposób obliczenia prawdopodobieństwa: P(4,5<x<5,3) = F(5,3) - F(4,5) Czyli kombinujemy za pomocą dodawania i odejmowania tak, żeby otrzymać szukany przedział. Po zapisaniu działania odczytujemy dystrybuanty i podstawiamy. Obliczenie wyniku to formalność Myślę, że temat obliczania prawdopodobieństwa wyczerpałem ;)