WYZNACZANIE PRDKOCI PRZEPŁYWU METOD ANALIZY WIDMA FAZOWEGO FUNKCJI KORELACJI WZAJEMNEJ OBRAZÓW TOMOGRAFICZNYCH

Transkrypt

1 Z E S Z Y T Y N A U K O W E P O L I T E C H N I K I Ł Ó D Z K I E J Nr 78 ELEKTRYKA, z. 2 2 WŁODZIMIERZ MOSOROW Wydział Elektrotechniki, Elektroniki, Informatyki i Automatyki Politechniki Łódzkiej WYZNACZANIE PRDKOCI PRZEPŁYWU METOD ANALIZY WIDMA FAZOWEGO FUNKCJI KORELACJI WZAJEMNEJ OBRAZÓW TOMOGRAFICZNYCH Recenzent: dr in. Mariusz Rzsa Maszynopis dostarczono:.. 2 Zaproponowano metod umoliwiajc pomiar prdkoci przepływu z wiksz dokładnoci w porównaniu z klasycznymi metodami korelacyjnymi. Wstpne wyniki eksperymentalne zostały uzyskane dla przepływu grawitacyjnego przy wykorzystaniu systemu pojemnociowej tomografii elektrycznej, jednak metoda ta moe by uyta równie dla innych metod tomograficznych. Zastosowanie tej metody w przyszłoci pomoe w tworzeniu dokładniejszych urzdze do bada przepływów.. WPROWADZENIE Tomografia procesowa znajduje szerokie zastosowanie do monitorowania i badania procesów przemysłowych (Williams Beck, 995). Jednym z jej zastosowa jest pomiar prdkoci przepływu gaz/ciało stałe za pomoc dwupłaszczyznowego systemu tomograficznego oraz technik korelacji wzajemnej (Beck Plskowski, 987). Jednak techniki korelacyjne, oparte na wyszukiwaniu wartoci, przy których funkcja korelacyjna odpowiadajcych

2 92 Włodzimierz Mosorow sobie pikseli z dwu płaszczyzn osiga maksimum, w rzeczywistoci s ograniczone ze wzgldu na ich mał dokładno. Zaproponowana metoda pozwala mierzy czas przemieszczania si substancji z wiksz dokładnoci. Metoda ta wykorzystuje do wyznaczania przesunicia czasowego faz gstoci widmowej obliczonej z funkcji korelacji wzajemnej. 2. OPIS METODY Niech x n (it) i y n (it) oznaczaj chwilowe zmiany koncentracji otrzymywane z okresem próbkowania T, dla n-tego pixela i-tego obrazu odpowiednio przekrojów X i Y uzyskanych z dwupłaszczyznowego tomografu. Jeli x n (it) i y n (it) s modelowane jako procesy statystyczne, to funkcja korelacji wzajemnej (FKW) R xy moe by uyta do oszacowania czasu przemieszczania si czstek pomidzy X i Y. Jednak uycie FKW moe okaza si nieefektywne w przypadku, gdy funkcja korelacji nie ma wyranego maksimum lub ma kilka maksimów. Zakładajc, e ruch pomidzy dwoma płaszczyznami jest równoległy do osi rury, chwilowe zmiany koncentracji w płaszczynie X i Y mog by wyraone jako y n (it-pt) = x n (it)+r(it), () gdzie p oznacza nieznane przesunicie natomiast r(it) jest wartoci okrelajca błdy przy rekonstrukcji oraz szum pomiarów. Wzajemna gsto widmowa (WGW) S xy (j) jest, wic definiowana przez czasow dyskretn transformat Fouriera (DFT) funkcji korelacji wzajemnej: S ( jω) = F { R ( mt )} = F { R (( m + p) T )}, m =...,,,,... xy d xy (2) gdzie: F d { } - oznacza dyskretn transformat Fouriera, R x (mt) - oznacza autokorelacj funkcji x n (it). Jak wiadomo przesunicie w dziedzinie czasu odpowiada obrotowi w dziedzinie czstotliwoci: jω p T jω p T S ( jω) = e F { R ( mt )} = e S ( jω) (3) xy gdzie: S x (j) jest gstoci widmow dla próbkowanych wartoci x n (it). Ze wzoru (3) argument () funkcji S xy (j) moe by wyraony jako: d d x x () = arg[s xy (j)] = p T (4) Std wyznaczenie nieznanego dotd parametru p w dziedzinie czasu zostanie sprowadzone do okrelenia linii prostej opisujcej argument () wzajemnej gstoci widmowej S xy (j). x

3 Wyznaczanie prdkoci przepływu metod analizy widma fazowego 93 Funkcja () w dyskretnej dziedzinie czstotliwoci wyraa si wzorem: k [ k] = 2π p k=,...,n- (5) N gdzie: N jest liczb próbek obu sygnałów dyskretnych, a k jest indeksem czstotliwoci. W praktyce liczba indeksów k moe by zredukowana do M=int[N/n max ], gdzie n max jest liczb ramek odpowiadajcych maksymalnemu moliwemu przesuniciu, int[] wyznacza warto całkowit z wartoci w nawiasach kwadratowych. W celu wyznaczenia wartoci p najpierw uyto estymatora najmniejszych kwadratów (ang. linear least-squares) do aproksymacji funkcji Φ (k) : d dp M k= 2πk ( k) p N 2 = gdzie Φ (k) jest argumentem funkcji wzajemnej gstoci widmowej obliczonym dla rzeczywistych sygnałów x n (it ) i y n (it ) obarczonych zakłóceniami i szumem pomiarowym, i ostatecznie uzyskano wzór do oszacowania przesunicia p jako 3 N p = π M ( M + ) (2M + ) M k= (6) k ( k). (7) 3. WERYFIKACJA METODY Zaproponowan metod zastosowano do wyznaczenia czasu przesunicia a zatem prdkoci swobodnego opadania czstek plastikowych za pomoc systemu dwupłaszczyznowej pojemnociowej tomografii elektrycznej ECT.

4 94 Włodzimierz Mosorow Schemat urzdzenia pokazany został na rys.. Wypełniony zbiornik Zawór 58 9 Górna płaszczyzna X Dolna płaszczyzna Y Wylot Rys.. Schemat urzdzenia do bada prdkoci opadania podczas przepływu grawitacyjnego Okrelona objto (fragment rury o rednicy wewntrznej ok. 5 cm) została wypełniona plastikowymi czstkami o rednicy 3 mm i gstoci 9 kg/m 3. Czstki wstpnie s wstrzymane przez zawór. Kady z sensorów składa si z omiu elektrod podłczonych do systemu ECT. Szybko obrazowania tomografu wynosi klatek na sekund. Odległo midzy płaszczyznami sensorów wynosi 9mm. Do celów rekonstrukcji obrazów uyty został zmodyfikowany iteracyjny algorytm Landwebera (Isaksen 996, Wajman i inni 26). Rozdzielczo kadego obrazu wynosiła 32x32 piksele. Korek z czstek przechodzcy przez rur pod wpływem grawitacji został uyty do oceny czasu przejcia zarówno klasyczn metod korelacji wzajemnej jak i proponowan metod. W celu porównania obydwu metody, oszacowuje si najpierw teoretyczn prdko v T opadajcych czstek: Cd ρa A 2 vt ( it ) = vt (( i ) T ) + g vt (( i ) T ) T, vt () =, i =,... 2 m (8) gdzie: m masa czstki (,3-5 kg), g przyspieszenie ziemskie (9,8 m/s 2 ), C d współczynnik tarcia (,5), A powierzchnia czołowa czstki (7, -6 m 2 ), a gsto powietrza (,29 kg/m 3 ).

5 Wyznaczanie prdkoci przepływu metod analizy widma fazowego 95,35,3 koncentracja w górnej płaszczynie koncentracja w dolnej płaszczynie koncentracja wzgldna,25,2,5,, numer ramki a) 5 metoda korelacy jna proponowana metoda prdko teorety czna 4,5 4 3,5 prdko (m/s) 3 2,5 2,5, numer ramki b) Rys. 2. Wykres koncentracji (a) i prdkoci (b) podczas przepływu grawitacyjnego w rodkowym punkcie jako funkcja numerów ramek

6 96 Włodzimierz Mosorow Z równania (8) wynika, e czstki powinny dociera do niszej płaszczyzny znajdujcej si ok. 58 cm od zaworu w czasie,35 sekundy, a ich prdko powinna osiga warto 3,2m/s. Rys. 2a przedstawia zmiany koncentracji w rodkowym pikselu obu płaszczyzn jako funkcj numerów ramki dla jednego z przeprowadzonego eksperymentów. Na rys. 3 pokazane s obrazy tomograficzne rozkładu materiału podczas przepływu grawitacyjnego dla wybranych ramek. Rys. 2b przedstawia zmiany prdkoci obliczonej za pomoc obu metod podczas spadania czstek. Prdkoci obliczone na podstawie obu metod s zblione, jednak prdko obliczona na podstawie proponowanej metody jest blisza wartoci teoretycznej v T. górna płaszczyzna X dolna płaszczyzna Y #54 #545 #575 Rys. 3. Obrazy tomograficzne rozkładu materiału przepływu grawitacyjnego (pokazanego na rys. 2a) dla wybranych ramek Rys. 4a przedstawia funkcj korelacji wzajemnej obliczon dla numerów ramek dla okna N=64 ramek. Energetyczna i fazowa reprezentacja gstoci widmowej funkcji FKW dla 2 pierwszych harmonicznych jest pokazana na rys. 4b,c (zakładajc, e n max =5 ramek i M=int[64/5]=2). Warto, przy której FKW przyjmuje maksimum równa 2,98, została obliczona metod aproksymacji wielomianem (ang. polynomial fitting method), a obliczona odpowiednio prdko wynosi:

7 Wyznaczanie prdkoci przepływu metod analizy widma fazowego 97 v=d/p T=,9/2,98,= 3,2 m/s. Natomiast obliczona z równania 7 warto przesunicia p o =2,79 daje prdko równ,9/2,79,=3,22 m/s co dobrze odpowiada wartoci teoretycznej v T.=3,2 m/s. 4. PODSUMOWANIE Zaproponowana metoda umoliwia pomiar prdkoci przepływu z wiksz dokładnoci w porównaniu z klasyczn metod korelacyjn. Wstpne wyniki eksperymentalne zostały uzyskane dla przepływu grawitacyjnego przy wykorzystaniu systemu pojemnociowej tomografii elektrycznej, jednak metoda ta moe by uyta równie dla innych metod tomograficznych. Zastosowanie tej metody w przyszłoci pomoe w tworzeniu dokładniejszych urzdze do bada przepływów. funkcja korelacji wzajemnej,,9,8,7,6,5,4,3,2, numer ramki a)

8 98 Włodzimierz Mosorow energia,3,275,25,225,2,75,5,25,,75,5, numer harmonicznej b),6,4,2 faza (rad),8,6,4, numer harmonicznej c) Rys. 4. Funkcja korelacji obliczona dla ramek o numerach (a), energetyczna (b) i fazowa (c) reprezentacja wzajemnej gstoci widmowej pierwszych 2 harmonicznych dla (a) LITERATURA [] Beck M.S., Plskowski A.: Cross correlation flowmeters their design and application, Adam Hilger, Bristol, 987. [2] Isaksen O.: A review of reconstruction techniques for capacitance tomography. Measur. Sci. Tech., 7, 996, pp

9 Wyznaczanie prdkoci przepływu metod analizy widma fazowego 99 [3] Wajman R., Banasiak R., Mazurkiewicz Ł., Dyakowski T., Sankowski D.: Spatial imaging with 3D capacitance measurements, Meas. Sci. Technol., Vol. 7 ( 8), 26, pp [4] Williams R. A., Beck M. S.: Process Tomography: Principles, Techniques and Applications, Oxford: Butterworth-Heinemann, 995. FLOW VELOCITY ESTIMATION METHOD UTILIZING THE PHASE OF THE CROSS SPECTRAL DENSITY OF TOMOGRAPHIC IMAGES Abstract A method permitting the flow velocity to be measured with higher accuracy comparing with classical correlation methods, is presented. The preliminary results were obtained for gravity drop flow using an ECT system, however, the method can also be used for another tomographic modality. Future application of this method will help to develop more accurate flowmeters. Politechnika Łódzka Katedra Informatyki Stosowanej