Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja. Rastrowa reprezentacja obrazu. Generowanie obrazu rastrowego 2D. Przyk"ad próbkowania

Transkrypt

1 Próbkowanie (ang. sampling) - kwantyzacja Rastrowa reprezentacja obrazu! Próbkowanie - proces zamiany ci!g"ego sygna"u f(x) na sko#czon! liczb$ warto%ci opisuj!cych ten sygna".! Kwantyzacja - proces zamiany ci!g"ej warto%ci na warto%& dyskretn!.! Rekonstrukcja - zamiana dyskretnych próbek na ci!g"! funkcj$ f(x). Rados"aw Mantiuk Wydzia" Informatyki Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny kwantyzacja próbkowanie Courtesy of MIT (Lecture Notes 6.837) Generowanie obrazu rastrowego 2D Przyk"ad próbkowania! Idealny obraz 2D opisany jest ci!g"! funkcj! F(x,y), przyjmuje ona warto%ci koloru dla dowolnych parametrów (po"o'enia) x,y. Courtesy of MIT (Lecture Notes 6.837) Funkcja ci!g"a F(x,y) Funkcja próbkuj!ca Obraz rastrowy Obraz komputerowy jest macierz! warto%ci koloru. Uzyskujemy j! poprzez spróbkowanie ci!g"ej funkcji F(x,y). Punkty macierzy to piksele. Próbkowanie ci!g"ej funkcji obrazu: grafika komputerowa oblicza próbki (piksele) obrazu. Cyfrowy aparat fotograficzny ca"kuje (integruje) obszar obrazu odpowiadaj!cy wielko#ci punktu sensora. Z jak! cz$stotliwo%ci! trzeba próbkowa& F(x,y), aby móc pó(niej odtworzy& oryginalny przebieg funkcji? Images from ACM SIGGRAPH education materials.

2 Cz$stotliwo%& próbkowania Cz$stotliwo%& próbkowania musi by& dwa razy wi$ksza od cz$stotliwo%ci sygna"u, aby by"a mo'liwo%& rekonstrukcji oryginalnego sygna"u (prawo Nyguista). Obraz 2D a grafika komputerowa Do próbkowania lub integracji/ca"kowania obrazu mog! s"u$y& np. czujniki #wiat"oczu"e (CCD, CMOS). W grafice komputerowej generuje si% spróbkowan! posta& obrazu. Liczba próbek musi by& taka, aby mo$liwa by"a rekonstrukcja sygna"u obrazu. Wi%ksza liczba próbek to wi%cej oblicze'. Idealna cz%stotliwo#& odpowiada podwójnej cz%stotliwo#ci widzialnej fali elektromagnetycznej. zbyt ma"a cz$stotliwo%& próbkowania Graniczn! maksymaln! cz%stotliwo#ci! mo$e by& rozdzielczo#& ludzkiego oka. Cz"owiek widzi okre#lon! liczb% cykli na stopie' k!towy (percepcja). W praktyce warto#ci! graniczn! s! mo$liwo#ci monitorów rastrowych. From Robert L. Cook, "Stochastic Sampling and Distributed Ray Tracing", An Introduction to Ray Tracing, Andrew Glassner, ed., Academic Press Limited, 1989 Reprezentacja cz$stotliwo%ciowa obrazu Obraz jest z"o'eniem sygna"ów okresowych (sinusoidalnych) o okre%lonych cz$stotliwo%ciach i amplitudach. Dziedzina cz$stotliwo%ci: Transformata Fourier'a Ka$dy obraz ma swoj! reprezentacj% w dziedzinie cz%stotliwo#ci. Transformata Fourier a - konwersja pomi$dzy dziedzin! normaln! a dziedzin! cz$stotliwo%ci. Ka'dy sygna" okresowy mo'na wyrazi& jako sum$ sygna"ów sinusoidalnych. Obraz jest dwuwymiarowym sygna"em okresowym. Okresowo%& sygna"u symulowana jest poprzez powielenie obrazów do niesko#czono%ci. Courtesy of George Wolberg, Columbia University

3 Reprezentacja cz$stotliwo%ciowa Dziedzina cz$stotliwo%ci (1) Obraz w przestrzeni cz$stotliwo%ci sk"ada si$ z cz%sci fazowej i amplitudowej (warto%& piksela zamieniana jest na liczb$ zespolon!). amplituda faza Cze%& amplitudowa pokazuje jakie cz$stotliwo%ci wyst$puj! w obrazie. Dziedzina cz$stotliwo%ci (2) Dziedzina cz$stotliwo%ci (3) Cz$%& amplitudowa mówi o tym jakie cz$stotliwo%ci wyst$puj! w obrazie, cz$%& fazowa gdzie s! one po"o'one. Efekt brzegowy Brak zmiany wykresu amplitudowego pomimo zmiany fazy.

4 Dziedzina cz$stotliwo%ci (4) Dziedzina cz$stotliwo%ci (5) Niskie cz$stotliwo%ci na %rodku obrazu. Prawy obraz rozmyty horyzontalnie - wykres amplitud sygna"u cz$stotliwo%ciowego wskazuje na zmniejszenie wyst$powania wysokich cz$stotliwo%ci w kierunku horyzontalnym. Po"o'enie kraw$dzi decyduje o kierunku pasm na wykresie aplitudy. Kierunek pasm na wykresie aplitudy. Wiele elementów o jednakowych rozmiarach Dziedzina cz$stotliwo%ci (6) Dziedzina cz$stotliwo%ci (7) Lena Pasmo od kapelusza Filtr dolnoprzepustowy Filtr górnoprzepustowy

5 Dziedzina cz$stotliwo%ci (8) Rekonstrukcja obrazu w monitorze Monitory dokonuj! rekonstrukcji sygna"u obrazu: piksel ma niesko'czenie ma"e rozmiary, dzi%ki filtrowi zyskuje pewien wymiar (równy np. wielko#ci plamki monitora), obraz jest próbkowany ze zbyt ma"! cz%stotliwo#ci!, nale$y wi%c przefiltrowa& go filtrem dolnoprzepustowym (rozmy&). Monitory maj! wbudowane filtry dolnoprzepustowe. Filtr wyostrzaj!cy Monitor wy%wietla piksel w postaci punktu o malej!cej intensywno%ci. Spadek intesywno%ci odpowiada funkcji Gaussa. Aliasing (ang. spatial aliasing) (1) Efekt powstaj!ca na skutek braku mo'liwo%ci zarejestrowania i wy%wietlenia sygna"u z odpowiedni! cz$stotliwo%ci! (pliki graficzne nie mog! by& zbyt du'e, monitor ma ograniczon! rozdzielczo%&). Aliasing - b"$dy (2) Artefakty wywo"ana zbyt ma"! cz$stotliwo%ci! próbkowania. Poszarpane brzegi (ang. jaggies) Znikanie szczegó"ów Don Mitchel Zmniejszenie rozdzielczo#ci k!towej. Za ma"o próbek na dany k!t. Images from ACM SIGGRAPH education materials.

6 Aliasing - b"$dy (3) Artefakty wywo"ana zbyt ma"! cz$stotliwo%ci! próbkowania. B"$dy teksturowania Antialiasing (1) metoda najbli'szego s!siada (ang. nearest neighbour) Filtr prostok!tny (ang. box filter) aproksymuje wy%wietlane warto%ci na podstawie warto%ci danego piksela. Filtr ten powinien odpowiada& cz$stotliwo%ci dwa razy mniejszej od cz$stotliwo%ci próbkowania. Antyaliasing - ograniczanie efektu aliasingu Dziedzina obrazu. Taki filtr powoduje efekt blokowy (aliasing). Tzn. nawet dostateczna cz%stotliwo#& próbkowania nie gwarantuje poprawno#ci odtworzenia sygna"u. Images from ACM SIGGRAPH education materials. Antialiasing (2) Filtr sinc Idealny filtr dolnoprzepustowy. Antialiasing (3) Interpolacja dwuliniowa (ang. bilinear interpolation) Filtr trójk!tny (ang. triangle filter lub tent filter). O warto#ci punktu decyduj! piksele z najbli$szego otoczenia danego piksela. Rozci!ga si$ do niesko#czono%ci (zak"ada powtarzalno%& obrazów) - ograniczenie prowadzi do powstania efektu Gibbs a (ringing artifacts). Nawet ograniczony do jednego obrazu wymaga zsumowania wszystkich pikseli obrazu w celu obliczenia warto%ci danego punktu. Kompromis pomi$dzy dok"adno%ci! i liczb! oblicze#.

7 Literatura Andrew S. Glassner, "Principles of Digital Image Synthesis", The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics, 2 Volume Set, ISBN-10: , 1st edition 1995 Materia"y edukacyjne organizacji ACM SIGGRAPH Ryszard Radeusiewicz, Przemys"aw Korohoda, Komputerowa analiza i przetwarzanie obrazów, Wydawnictwo Fundacji Post$pu Telekomunikacji, Kraków 1997 J.D. Foley, A. van Dam, S.K. Feiner, J.F. Hughes, R.L. Phillips, Wprowadzenie do grafiki komputerowej, WNT, Warszawa 1995, ISBN