ZALEŻNY, ZŁOŻONY PROCES POISSONA WYZNACZANIE FUNKCJONAŁÓW SKŁADEK I MIAR RYZYKA

Transkrypt

1 Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 8-86 Nr 95 6 Stanisław Heilpern Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu Wydział Zarządzania, Informatyki i Finansów Katedra Statystyki stanislaw.heilpern@ue.wroc.pl ZALEŻNY, ZŁOŻONY PROCES POISSONA WYZNACZANIE FUNKCJONAŁÓW SKŁADEK I MIAR RYZYKA Streszczenie: Praca poświęcona jest złożonemu procesowi Poissona, w którym dopuszcza się występowanie zależności między okresem poprzedzającym szkodę a wielkością tej szkody. Struktura zależności opisana jest za pomocą funkcji łączącej (ang. copula). W pracy wyznaczone zostały w oparciu o dwa pierwsze momenty zagregowanych szkód, wartości składek ubezpieczeniowych. Natomiast miary ryzyka: wartość zagrożona VaR oraz oczekiwany niedobór ES, obliczane są na podstawie znajomości trzech pierwszych momentów. Wielkości te wyznaczono za pomocą dokładnych wzorów, w sposób przybliżony oraz za pomocą symulacji. Wykorzystano również transformaty Laplace a. Rozpatrywano szkody o rozkładzie wykładniczym oraz Pareta. Słowa kluczowe: złożony proces Poissona, zależność, funkcje łączące, składki, miary ryzyka. Wprowadzenie W klasycznym złożonym procesie Poissona, będącym podstawą modelu kolektywnego ryzyka czy zagadnień dotyczących ruiny, zakłada się niezależność wszystkich występujących procesów i zmiennych losowych [Ostasiewicz (red.), ; Rolski i in., 999]. W niniejszej pracy dopuszczono występowanie zależności między okresem poprzedzającym szkodę a jej wielkością. Założenie to, będące osłabieniem warunku niezależności, jest bardziej realistyczne. Umożliwia m.in. modelowanie procesów ubezpieczeniowych, dotyczących szkód katastroficznych, występujących przykładowo podczas trzęsień ziemi [Boudreault i in., 6; Cossete, Marceau, Mari, 8].

2 4 Stanisław Heilpern W artykule rozpatrzono proces określony formułą: S(t) = X + X + + X N(t) gdzie szkody X n >, a N(t) jest procesem Poissona liczącym szkody. Zmienną losową S(t) możemy wtedy interpretować jako zagregowaną szkodę zaobserwowaną do momentu t. Niech T n będą momentami wystąpienia szkód. Wtedy zmienne losowe W = T oraz W n = T n T n- dla n >, przedstawiają okresy między szkodami, a proces liczący szkody określony jest wzorem N(t) = sup{n: T n t}. Natomiast okresy między szkodami W n są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczym z dystrybuantą F W (w) = e -λw. Przyjęto, iż szkody X n są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, wartości oczekiwanej m i dystrybuancie F X (x). Wektory losowe (W n, X n ) są wtedy niezależne, ale w odróżnieniu od klasycznego złożonego procesu Poissona dopuszczono zależność zmiennych losowych W n i X n. Symbolem F(w, x) będziemy oznaczać łączną dystrybuantę tych zmiennych losowych. Praca jest kontynuacją artykułów [Heilpern, ; Heilpern, 4]. W rozdziale przedstawione zostały podstawowe wiadomości, dotyczące funkcji łączących oraz funkcje łączące wykorzystywane w dalszej części pracy. W następnym rozdziale wyznaczono funkcjonały składki ubezpieczeniowej oparte na dwóch pierwszych momentach zagregowanej szkody. Natomiast ostatni rozdział poświęcony został miarom ryzyka VaR i ES zagregowanej szkody. Podano w nim dwa sposoby ich wyznaczania. Jeden oparty na aproksymacji bazującej na trzech momentach, drugi wykorzystuje symulację wartości zagregowanej szkody.. Funkcje łączące Jeśli dopuszczamy zależność okresu między szkodami W n a wielkością następnej szkody X n, to strukturę zależności tych zmiennych losowych możemy opisać funkcją łączącą (ang. copula) C(u, v). Spełnia ona wtedy następujący warunek [Heilpern, 7; Nelsen, 999]: F(w, x) = C(F W (w), F X (x)) Funkcję łączącą możemy również traktować jako dwuwymiarową dystrybuantę zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na odcinku [, ]. Gdy zmienne losowe są niezależne, wtedy odpowiadająca im funkcja łącząca przyjmuje prostą postać: Π(u, v) = uv

3 Zależny, złożony proces Poissona 5 Drugim, skrajnym przypadkiem są współmonotoniczne zmienne losowe z funkcją łącząca równą [Heilpern, 7; Nelsen, 999]: M(u, v) = min{u, v} Zmienne losowe są wtedy ściśle zależne. Zachodzi bowiem między nimi funkcyjna zależność: X = l(w) gdzie l(w) = F X ( FW ( w)) jest funkcją rosnącą. Funkcja łącząca M jest dystrybuantą łącznego rozkładu zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [, ], skupionego na przekątnej kwadratu [, ]. Natomiast łączny rozkład współmonotonicznych zmiennych losowych W oraz X jest rozkładem syngularnym skupionym na krzywej D = {(x, t): x = l(t)}. S Funkcja łącząca Spearmana C θ [Heilpern, 7; Hürlimann, 4], będąca kombinacją wypukłą funkcji łączącej niezależności Π i współmonotoniczności M: S C θ (u, v) = ( θ)π(u, v) + θm(u, v) gdzie θ, umożliwia modelowanie całej gamy dodatnich zależności między zmiennymi losowymi. Współczynnik kombinacji θ oddaje stopień zależności między zmiennymi losowymi. Jest on bowiem równy współczynnikowi korelacji Spearmana. Dla θ = mamy niezależność, a dla θ = ścisłą, dodatnią zależność, czyli współmonotoniczność. Funkcja łącząca Spearmana umożliwia m.in. badanie zależności wartości charakterystyk zagregowanej szkody S(t) od stopnia zależności zmiennych losowych W oraz X. Łączna dystrybuanta zmiennych W i X jest wtedy równa: F(w, x) = ( θ)π(f W (w), F X (x)) + θm(f W (w), F X (x)) Inną funkcją łączącą o tej własności jest funkcja łącząca Claytona [Heilpern, 7; Nelsen, 999] określona wzorem: C C θ (u, u ) = (u -θ + u -θ ) -/θ gdzie θ >. I w tym przypadku parametr θ oddaje stopień zależności między zmiennymi losowymi. Współczynnik korelacji Kendala τ jest wtedy równy τ = θ/(θ + ). Graniczna wartość θ = odpowiada niezależności, a nieskończoność ścisłej zależności. Natomiast modelowanie małych stopni zależności zarówno dodatnich, jak i ujemnych, umożliwia funkcja łącząca Farlie-Gumbel-Morgensterna (FGM): F C θ (u. u ) = u u + θu u ( u )( u ) gdzie θ. Współczynnik korelacji Spearmana ρ jest wtedy równy ρ = θ/, czyli zachodzi zależność / ρ /.

4 6 Stanisław Heilpern Znajomość funkcji łączącej C umożliwia nam wygenerowanie losowych wartości dwuwymiarowego wektora losowego (W, X), potrzebnych do symulacji wartości zmiennej losowej S(t). Symulację wartości pary zmiennych losowych (W, X), której struktura zależności opisana jest funkcją łączącą C, można przeprowadzić na podstawie algorytmów, o których mówią R.B. Nelsen [999] oraz S. Heilpern [7]. Natomiast symulacja wartości zmiennej losowej S(t) polega na wygenerowaniu niezależnie m par wartości (w i, x i ), gdzie i =,,, n, takich, że T n = i t n n i = w, a T n+ > t. Wtedy s = xi i = możemy traktować jako realizację zmiennej S(t). Powtarzając tę procedurę m razy dla ustalonej wartości t, otrzymujemy m wartości s j wygenerowanych z rozkładu zmiennej S(t).. Wyznaczanie funkcjonałów składki ubezpieczeniowej Przedstawimy teraz podstawowe składki ubezpieczeniowe, oparte na momentach zmiennej losowej S(t), przedstawiającej zagregowaną stratę do momentu t. Składki te przyjmować będą postać [Ostasiewicz (red.), ; Rolski i in., 999]: π(t) = E(S(t)) + L(t) Wartość oczekiwana E(S(t)) jest traktowana jako tzw. składka netto, a funkcja L(t) jako obciążenie ryzykiem. Rozpatrzymy w pracy trzy postaci obciążenia ryzykiem, oparte na pierwszych momentach zagregowanej straty: L E (t) = ce(s(t)), L V (t) = cv(s(t)), L σ (t) = c V ( S( t)) gdzie c jest współczynnikiem bezpieczeństwa, a V(X) wariancją zmiennej losowej X. W ten sposób określone zostały trzy podstawowe rodzaje składek: zasadę wartości oczekiwanej π E (t), wariancji π V (t) oraz odchylenia standardowego π σ (t). Chcąc wyznaczyć wspomniane powyżej składki ubezpieczeniowe, należy znać dwa pierwsze momenty zmiennej losowej S(t). W niektórych przypadkach, dla wybranych funkcji łączących i rozkładów wielkości szkód X, możemy podać dokładne wzory [Barges i in., ; Heilpern, 4]. W pozostałych sytuacjach należy zastosować metody symulacyjne. W pracy [Barges i in., ] wyprowadzone zostały wzory na momenty N ( t) δ zdyskontowanej, zagregowanej szkody ( ) = W n Sδ t n = e X n. Wartość oczekiwana zagregowanej, niezdyskontowanej szkody (δ = ), gdy struktura zależności opisana jest funkcją łączącą FGM dana jest wzorem: λt μ ( t) = λm t,5θ e E m ( )( ) gdzie E = ( FX ( x)) dx. Natomiast drugi moment wynosi:

5 Zależny, złożony proces Poissona 7 θ μ( t) = m θ λt + m λt e E m + ( E m )( θe( + λt) m + θ + θλt gdzie = x( F ( x)) dx ( E m + ( E m )( θe m ( + θ )) + λt( m + ( E m ) θ ) ( ) ( ( )) E X Dla wykładniczych szkód X o dystrybuancie F X (x) = e -βx, otrzymujemy: m = /β, m = /β, E = /(β) oraz E = /(4β ). Natomiast dla szkód o rozkładzie Pareta z parametrami a i b, tzn. gdy: F X (x) = (b/(x + b)) a, mamy m = b/(a ), m = b /((a )(a )), E = b/(a ) oraz E = b /( a + a ). W przypadku struktury zależności opisanej funkcją łączącą Spearmana pierwszy moment wynosi [Heilpern, 4]: t λw μ ( t) = ( θ ) λmt + θλ e ( + ( t w) λ) l( w) dw a transformata Laplace a drugiego momentu jest równa: * λ * ( μ ) ( p) = (( θ ) m + θ ( p + λ)( l ) ( p + λ) p λ * + (( θ ) m ( ) ( )) + θ p + λ l p + λ ) p Chcąc znaleźć dokładną wartość drugiego momentu, należy znać funkcję l(w), czyli rozkład szkód X oraz odwrócić transformatę Lapalce a. Dla szkód wykładniczych: m = /β, m = /β, l(w) = λw/β, l * (p) = λ/(βp ) oraz (l ) * (p) = = λ /(β p ). Natomiast dla szkód o rozkładzie Pareto otrzymujemy: m = b/(a ), m = b /((a )(a )), l(w) = b(e λw/a ), l * (p) = λb/(p(ap λ)) oraz (l ) * (p) = = (λb) /(p((ap) λap + λ )). Dla pozostałych funkcji łączących, m.in. funkcji łączącej Claytona, chcąc znaleźć dwa pierwsze momenty zagregowanej straty S(t), należy skorzystać z metod symulacyjnych. Przykład. Załóżmy, że λ = 5, t = oraz c =,.. Niech szkody mają rozkład wykładniczy z parametrem β =,, a struktura zależności opisana jest funkcją łączącą Spearmana. W tabeli podane są wartości oczekiwane zagregowanej szkody S(t), jej wariancje oraz składki wyznaczone zgodnie z zasadami wartości oczekiwanej oraz odchylenia standardowego dla różnych wartości parametru θ. Wartość oczekiwana i wariancja zagregowanej straty opisane są następującymi funkcjami:

6 8 Stanisław Heilpern E(S(t)) =, 8,θ V(S(t)) =, 597,θ + 69,4444θ Tabela. Wartości wybranych składek dla szkód o rozkładzie wykładniczym i Pareta oraz funkcji łączącej Spearmana Wykładniczy Pareta θ E(S(t)) V(S(t)) w. oczek. od. st. E(S(t)) V(S(t)) w. oczek. od. st.,, 4 6,48,, 4 69,848, 6,667 78,8 9, 5,67 4, ,6 89,9 57,,4, 5,95 84, 4,48 5, ,59 78,679 44,9,6,4 988,5 76,,6 6,68 44,9 68,8,68,8 6, ,9 68,,7 97,797 84,7 57,6 6,,, 6, 6,665 88,94 56,8 46,7 99,6. Załóżmy teraz, że szkody mają rozkład Pareta z parametrami a = 4 i b =, czyli mają tę samą wartość oczekiwaną jak szkody w a), a struktura zależności opisana jest również funkcją łączącą Spearmana. Otrzymane wartości składek podane są w tab... Rozpatrzmy funkcję łączącą FGM oraz wykładnicze szkody z punktu a). Wartości składek podane są w tab.. 4. Niech struktura zależności scharakteryzowana jest funkcją łączącą Claytona, a szkody mają rozkład wykładniczy z punktu a). Tabela zawiera wartości składek otrzymanych na podstawie momentów uzyskanych metodą symulacyjną. W tym przypadku stopień zależności opisany jest współczynnikiem korelacji τ Kendala. Tabela. Wartości wybranych składek dla szkód o rozkładzie wykładniczym i funkcji łączącej FGM oraz Claytona FGM Clayton θ E(S(t)) V(S(t)) w. oczek. od. st. τ E(S(t)) V(S(t)) w. oczek. od. st. -/ 6, 4,68 4, 67,7, 4,5 99,97 6,586 -, 5, 49,44 4, 65,67, 7,599 84,4 9,9 54,569 -, 4,67 8,4 4, 64,79,4,899 49,4 86,79 45,745,, 4, 6,48,6 5,869 99,9 79,4 5,789,,5 65,69 99, 6,9,8 8,5 5486, 7,,49,,667,56 98, 6,67,99 96,8 6,9 6,86 /,556 9, 96,667 59,9 We wszystkich przypadkach otrzymane wartości składek, jak i parametrów zagregowanej straty maleją wraz ze wzrostem stopnia zależności między zmiennymi losowymi W i X.

7 Zależny, złożony proces Poissona 9. Miary ryzyka Oprócz funkcjonałów składek ubezpieczeniowych interesować nas będą miary ryzyka, oparte na wartości zagrożonej (ang. Value at Risk VaR). Wartość zagrożona na poziomie istotności α określona jest wzorem: VaR α = inf{x: F S(t) (x) α} = F S ( t) ( α) Innymi słowy jest to kwantyl rozkładu zagregowanej straty S(t). Wartość zagrożona jest popularną miarą ryzyka, często stosowaną w finansach i ubezpieczeniach. Jednak nie jest tzw. koherentną miarą ryzyka [McNeil, Frey, Embrechts, 5], nie spełnia warunku subaddytywności, ważnego w zagadnieniach dotyczących dywersyfikacji. Oczekiwany niedobór (ang. expected shortfall) określony dla ciągłych zmiennych losowych wzorem: ES α = E(S(t) S(t) > VaR α ) jest już koherentną miarą ryzyka. Jest to oczekiwana zagregowana szkoda wyznaczona pod warunkiem, że jest ona większa niż wartość zagrożona. Podstawowe miary ryzyka: wartość zagrożona VaR i oczekiwany niedobór ES wyznaczymy stosując dwie metody. Pierwsza z nich wykorzystuje symulację rozkładu zmiennej losowej S(t), a druga aproksymację opartą na trzech pierwszych momentach tej zmiennej. Rozkład zmiennej losowej S(t) będziemy przybliżać rozkładem innej zmiennej o znanym rozkładzie i tych samych trzech pierwszych momentach. W przypadku szkód o rozkładach z lekkimi ogonami, np. wykładniczymi, przybliżamy mieszanką dwóch rozkładów Erlanga, a dla rozkładów o ciężkich ogonach, np. Pareto uogólnionym rozkładem Pareta. Dwa pierwsze momenty zmiennej S(t) zostały wyznaczone w rozdziale niniejszej pracy. Postać trzeciego momentu μ (t) = E(S (t)) podamy w przypadku, gdy struktura zależności między zmiennymi W i oraz X i opisana jest funkcją łączącą Spearmana. Zastosujemy w tym celu metodę przedstawioną w pracy Heilperna [4]. μ ( t ) = E( S ( t)) = E( E(( X + S( t w)) W = ) = t = λ e λw t w t λw E( X W = w) dw + λ e E( X W = w) μ( t w) dw+ () λw λw + λ e E( X W = w) μ ( t w) dw + λ e μ ( t w dw ) t

8 4 Stanisław Heilpern Warunkowe wartości oczekiwane E(X W = w) = ( θ)m + θl(w) oraz E(X W = w) = ( θ)m + θl (w) zostały wyznaczone w pracy S. Heilperna [4]. Natomiast: E( X W = w) = x df( x w) = ( θ ) x df ( x w) + + θ x dfm ( x w) = ( θ ) m + θl ( w) Następnie obliczamy transformatę Laplace a z obydwu stron równania () i wyznaczamy z otrzymanego równania transformatę trzeciego momentu: * λ * * μ ( p) = (( θ )( m + p( mμ ( p) + mμ ( p))) + p * * * * * + θ ( p + λ)(pμ ( p) l ( p + λ) + pμ ( p)( l ) ( p + λ) + ( l ) ( p + λ))) Znając rozkłady strat X, możemy, po odwróceniu dystrybuanty, otrzymać trzeci moment μ (t) zagregowanej straty. Dla wykładniczych szkód mamy m = 6/β oraz (l )(p) = 6λ /(β p 4 ), a szkód o rozkładzie Pareta: m = 6b /((a )(a )(a )) i (l )(p) = 6(λb) /(p(ap λ)(ap λ)(ap λ)). Zmienną losową S(t) przybliżymy mieszanką Y dwóch zmiennych losowych o rozkładzie Erlanga o dystrybuancie: F Y (x) = pfy ( x) + p ( ) FY x gdzie p i, p + p =, a Y i mają rozkład gamma Γ(n, l i ), n jest liczbą naturalną (rozkłady Erlanga), i =,. Można pokazać [Tijms, 994], że klasa mieszanek rozkładów Erlanga jest gęsta w zbiorze wszystkich dodatnich rozkładów ciągłych. Załóżmy, że pierwsze trzy momenty μ i zmiennej Y są takie same jak odpowiednie momenty zmiennej S(t), czyli zachodzą zależności μ i = μ i (t), dla i =,,. M.A. Johnson i M.R. Taaffe [989] wyznaczyli wartości parametrów n, l i oraz p i. Wspólny parametr kształtu n jest najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność: / c + / c + c γ n > max, c γ c + / c gdzie c = m / μ jest współczynnikiem wariancji, / γ = m /(m) współczynnikiem skośności, m i centralnymi momentami zmiennej Y, a parametry skali wynoszą: Π

9 Zależny, złożony proces Poissona 4 i B + ( ) B 4AC li = A gdzie A = n(n + )μ y, B = (nx + n(n + )y /(n + ) + (n + )y μ ), C = μ x, y = μ (n + ) μ /n, x = μ μ (n + ) μ (n + ). Natomiast współczynniki wyznaczające mieszankę są równe [Barges i in., ; Johnson, Taaffe, 989]: μ / n / λ p = p = / λ / λ Tabela. Wartości miar ryzyka dla szkód o rozkładzie wykładniczym i Pareto Wykładniczy Pareto aproksymacja symulacja aproksymacja symulacja θ VaR ES VaR ES VaR ES VaR ES 75, 88,8 75,976 8,44 94,4,94, 698,5 77,59 698,5 768,5 848, 5,,4 68, 699,6 644,8 78, 77,667 9,6,6 575,7 65,797 58,95 68,8 65,945 75,8 687,65 849,75,8 494,78 58,68 59,68 557,47 568,5 69,55 59,7 76,849 7,4 8,84,,69 449,77 5,5 Przykład. Załóżmy, że szkody mają rozkład wykładniczy taki jak w przykładzie, a struktura zależności opisana jest funkcją łączącą Spearmana. W tabeli podane zostały wartości miar VaR i ES, uzyskane metodą aproksymacyjną i symulacyjną. Przykładowo, dla θ =,4 gęstość rozkładu aproksymującego zagregowaną stratę określona jest wzorem: f Y (x) = 6,84-8 e -.54x x 8 +,777-9 e -.7x x 8 Na rysunku znajdują się wykresy histogramów rozkładów zagregowanej szkody S(t) otrzymanych metodą symulacyjną dla tys. przebiegów oraz przeskalowanej gęstości rozkładu aproksymacyjnego f Y (x) dla różnych wartości stopnia zależności θ. Widzimy, że dla małych wartości parametru θ dopasowanie gęstości rozkładu aproksymacyjnego jest lepsze. W przypadku skrajnym, gdy θ =, aproksymacji nie należy stosować do wyznaczania tych miar ryzyka. Największa wartość zagregowanej straty nie może przekroczyć wtedy wartości tλ/β =,.

10 4 Stanisław Heilpern θ = θ =,4 θ =,8 θ = Rys.. Histogramy sym mulowanych i apro oksymacyjnych rozkładów S(t) ) W przypadku, gdy szkody X i maj ją rozkład charakteryzując cy się ciężkimi ogo- nami autorzy zastosowali w prac cy [Bargers i in.., ] aproksymację zmiennej S(t) przez uogólniony rozkład Paretaa [Barges i in., ; Johnson, Taaf ffe, 989]. Jest to rozkład opisany trzema parametrami: τ >, γ >, λ > o dystrybuancie: y F Y (y) = β τ,γγ ; λ + y dla y >, gdzie β(a, b; x) ) jest niekompletnąą funkcją beta określoną wzorem: x Γ( a + b) a β (a,b; x) = Γ ( a) Γ( b) t ( b t) dt Parametry tego rozkładu wyznaczamy stosując wzory [Barges i in., ]: M M τ = M + M M MM, τ + τmτ γ =, α λ = μ τ + τmm τ i gdzie M i = μ i μ, i =,. Jednak może sięę zdarzyć, żee parametry τ czy γ będą ujemne, wtedy nie możnaa wyznaczyć uogólnionego rozk kładu Pareto i zastosować tej aproksymacji. Dzieje sięę tak w przy ypadku, gdy rozkład szkód ma rozkład Pareto określony w przy ykładzie b). Jedynie dla θ =,6 i,8 można było wyznaczyćć ten rozkład, ale i tak aproksymacjaa nie była zbyt dokładna.

11 Zależny, złożony proces Poissona 4 Podsumowanie W pracy rozpatrywany był złożony proces Poissona, w którym dopuszczono zależność okresu między szkodami a następną wielkością szkody. Struktura zależności opisana była za pomocą funkcji łączącej. Wyznaczone zostały składki ubezpieczeniowe oparte na momentach zagregowanej szkody oraz podstawowe miary ryzyka: VaR i ES. Wielkości te w zależności od rodzaju funkcji łączącej i rozkładu szkody zostały wyznaczone w sposób dokładny, aproksymacyjny lub symulacyjny. Literatura Barges M., Cossete H., Loisel S., Marceau E. (), On the Moments of Aggregate Discound Claims with Dependence Introduced by FGM Copula, ASTIN Bulletin, No. 4(). Boudreault M., Cossette H., Landiault D., Marceau E. (6), On a Risk Model with Dependence Between Interclaim Arrivals and Claim Sizes, Scandinavian Actuarial Journal, No. 5. Cossette H., Marceau E., Marri F. (8), On the Compound Poisson Risk Model with Dependence Based on a Generalized Farlie-Gumbel-Morgenstern Copula, Insurance: Mathematics and Economics, No. 4. Heilpern S. (7), Funkcje łączące, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław. Heilpern S. (), Compound Poisson Process with Dependent Interclaim Times and Claim Amounts, Śląski Przegląd Statystyczny, nr (6). Heilpern S. (4), Zależny, złożony proces Poissona wyznaczanie składek ubezpieczeniowych, Śląski Przegląd Statystyczny, nr (8). Hürlimann W. (4), Multivariate Frechet Copulas and Conditional Value-At-Risk, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, No. 7. Johnson M.A., Taaffe M.R. (989), Matching Moments to Phase Distributions: Mixtures of Erlang Distribution of Common Order, Stoch. Models, No. 5(4). McNeil A.J., Frey R., Embrechts P. (5), Quantitative Risk Management, Princeton University Press, Princeton. Nelsen R.B. (999), An Introduction to Copulas, Springer, New York. Ostasiewicz W. (red.) (), Modele aktuarialne, Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej, Wrocław. Rolski T., Schmidli H., Schmidt V., Teugels J. (999), Stochastic Processes for Insurance and Finance, Willey, New York 999. Tijms H. (994), Stochastic Models: An Algorithmic Approach, Wiley, Chiester.

12 44 Stanisław Heilpern DEPENDENT, COMPOUND POISSON PROCESS COMPUTATION OF INSURANCE PREMIUMS AND RISK MEASURES Summary: The paper is devoted to the compound Poisson process, in which the interclaim time and the neighboring claim amount may be dependent. The dependent structure is described by the some copulas. The values of the insurance premiums based on the moments of the aggregated claim and basic risk measures: VaR and ES are derived. The exact formulas, approximation and simulations are used to compute these values. Keywords: compound Poisson process, dependence, copula, insurance premiums, risk measures.